第八章　§8.1　直線的方程2025高考

§8.1直線的方程章節(jié)副標(biāo)題011.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.2.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式及一般式).課標(biāo)要求第一部分落實(shí)主干知識(shí)第二部分探究核心題型課時(shí)精練內(nèi)容索引落實(shí)主干知識(shí)章節(jié)副標(biāo)題021.直線的方向向量設(shè)A，B為直線上的兩點(diǎn)，則

就是這條直線的方向向量.2.直線的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，

與直線l_____的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為

.x軸正向向上0°≤α<180°3.直線的斜率(1)定義：把一條直線的傾斜角α的

叫做這條直線的斜率.斜率常用小寫字母k表示，即k＝

.(α≠90°)(2)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式如果直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝

.正切值tanα名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式_______________不含直線x＝x0斜截式_________不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式____________________________不含直線x＝x1和直線y＝y(tǒng)1y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b4.直線方程的五種形式名稱方程適用范圍截距式_________不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線一般式________________________平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)1.直線的斜率k與傾斜角α之間的關(guān)系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0牢記口訣：“斜率變化分兩段，90°是分界線；遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否要討論”.2.“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù).應(yīng)注意過(guò)原點(diǎn)的特殊情況是否滿足題意.3.斜率為k的直線的一個(gè)方向向量為(1，k).1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角.(

)(2)直線的斜率越大，傾斜角就越大.(

)(3)若直線的傾斜角為α，則斜率為tanα.(

)(4)經(jīng)過(guò)P0(x0，y0)的任意直線方程可表示為y－y0＝k(x－x0).(

)√×××2.(選擇性必修第一冊(cè)P55T4改編)已知點(diǎn)A(2,0)，B(3，

)，則直線AB的傾斜角為A.30°

B.60°

C.120°

D.150°√∵0°≤α<180°，∴α＝60°.3x－2y＝0或x＋y－5＝0當(dāng)截距為0時(shí)，直線方程為3x－2y＝0；當(dāng)截距不為0時(shí)，解得a＝5，直線方程為x＋y－5＝0.所以直線方程為3x－2y＝0或x＋y－5＝0.3.(選擇性必修第一冊(cè)P67T7)過(guò)點(diǎn)P(2,3)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為_(kāi)______________________.4.(選擇性必修第一冊(cè)P80T16改編)直線x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)所過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_________.返回(1，－1)直線x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)可以化為m(y＋1)＋y＋x＝0，探究核心題型章節(jié)副標(biāo)題03例1

(1)若直線l過(guò)點(diǎn)P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，

)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是√題型一直線的傾斜角與斜率本例(1)條件不變，則直線l的傾斜角的取值范圍是_________.√設(shè)直線l的傾斜角為θ(0≤θ<π)，√(2)(2024·廣州模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形ABC的邊AB所在直線斜率為

，則邊AC所在直線斜率的一個(gè)可能值為_(kāi)____________.設(shè)直線AB的傾斜角為α，設(shè)直線AC的傾斜角為θ，則kAC＝tanθ，因?yàn)樵诘冗吶切蜛BC中，∠BAC＝60°，所以θ＝α±60°，當(dāng)θ＝α＋60°時(shí)，tanθ＝tan(α＋60°)當(dāng)θ＝α－60°時(shí)，tanθ＝tan(α－60°)例2

求符合下列條件的直線方程：題型二求直線的方程(3)直線過(guò)點(diǎn)(2,1)，且橫截距為縱截距的兩倍.當(dāng)橫截距與縱截距都為0時(shí)，可設(shè)直線方程為y＝kx，又直線過(guò)點(diǎn)(2,1)，當(dāng)橫截距與縱截距都不為0時(shí)，綜上，所求直線方程為x－2y＝0或x＋2y－4＝0.求直線方程的兩種方法(1)直接法：由題意確定出直線方程的適當(dāng)形式.(2)待定系數(shù)法：先由直線滿足的條件設(shè)出直線方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設(shè)條件求出待定系數(shù).跟蹤訓(xùn)練2

(1)過(guò)點(diǎn)P(1,4)在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線有A.1條

B.2條C.3條

D.4條√當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)直線方程為y＝kx，將P(1,4)代入y＝kx，求得k＝4，故方程為y＝4x；當(dāng)截距不為0時(shí)，故方程為x＋y＝5.故方程為x－y＋3＝0.一條是截距為0，一條是截距相等(不為0)，一條是截距互為相反數(shù)(不為0)，共3條.(2)在△ABC中，若A(2,3)，B(－2,0)，C(2,0)，則∠BAC的角平分線所在直線l的方程是A.2x－y＋1＝0 B.2x－y－1＝0C.2x－3y－2＝0 D.3x－y－1＝0√如圖所示，設(shè)∠BAC的角平分線所在直線l與橫軸的交點(diǎn)為D(a,0)，例3

已知直線l過(guò)點(diǎn)M(2,1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，求直線l的方程.題型三直線方程的綜合應(yīng)用方法一設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x－2)(k<0)，因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)M(2,1)，即x＋2y－4＝0.1.在本例條件下，當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時(shí)，求直線l的方程.即k＝－1時(shí)等號(hào)成立.此時(shí)直線l的方程為x＋y－3＝0.2.在本例條件下，當(dāng)|MA|·|MB|取得最小值時(shí)，求直線l的方程.直線方程綜合問(wèn)題的兩大類型及解法(1)與函數(shù)相結(jié)合的問(wèn)題：一般是利用直線方程中x，y的關(guān)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的函數(shù)，借助函數(shù)的性質(zhì)解決.(2)與方程、不等式相結(jié)合的問(wèn)題：一般是利用方程、不等式的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決.跟蹤訓(xùn)練3

(1)(2023·貴州聯(lián)考)若直線l：(a－2)x＋ay＋2a－3＝0經(jīng)過(guò)第四象限，則a的取值范圍為√因?yàn)閘經(jīng)過(guò)第四象限，√由kx－y＋2k－2＝0，得y＝k(x＋2)－2.∴直線kx－y＋2k－2＝0恒過(guò)定點(diǎn)(－2，－2)，即A(－2，－2)，∵點(diǎn)A在直線mx＋ny＋2＝0上，∴m＋n＝1，返回課時(shí)精練章節(jié)副標(biāo)題04一、單項(xiàng)選擇題1.(2023·阜陽(yáng)模擬)在x軸與y軸上截距分別為－2,2的直線的傾斜角為A.45°

B.135°

C.90°

D.180°√由題意知直線過(guò)點(diǎn)(－2,0)，(0,2)，設(shè)直線斜率為k，傾斜角為α，123456789101112131415162.已知ab<0，bc<0，則直線ax＋by＝c不過(guò)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限√1234567891011121314151612345678910111213141516√3.已知直線l的一個(gè)方向向量為n＝(2,3)，若l過(guò)點(diǎn)A(－4,3)，則直線l的方程為12345678910111213141516因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量為n＝(2,3)，12345678910111213141516√12345678910111213141516∴其傾斜角為60°，∴直線l的傾斜角為120°，5.(2023·南通聯(lián)考)已知直線a1x＋b1y＋1＝0和直線a2x＋b2y＋1＝0都過(guò)點(diǎn)A(4,3)，則過(guò)點(diǎn)P1(a1，b1)和點(diǎn)P2(a2，b2)的直線方程為A.4x－3y＋1＝0 B.3x－4y－1＝0C.4x＋3y＋1＝0 D.3x＋4y－1＝0√因?yàn)橹本€a1x＋b1y＋1＝0和直線a2x＋b2y＋1＝0都過(guò)點(diǎn)A(4,3)，所以4a1＋3b1＋1＝0,4a2＋3b2＋1＝0.由上式可得點(diǎn)P1(a1，b1)和點(diǎn)P2(a2，b2)都在直線4x＋3y＋1＝0上，即過(guò)點(diǎn)P1(a1，b1)和點(diǎn)P2(a2，b2)的直線方程為4x＋3y＋1＝0.1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516二、多項(xiàng)選擇題7.已知直線l的方程為ax＋by－2＝0，則下列判斷正確的是A.若ab>0，則直線l的斜率小于0B.若b＝0，a≠0，則直線l的傾斜角為90°C.直線l可能經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)D.若a＝0，b≠0，則直線l的傾斜角為0°√12345678910111213141516√√12345678910111213141516將(0,0)代入ax＋by－2＝0中，顯然不成立，故C錯(cuò)誤；8.(2023·鹽城模擬)下列說(shuō)法正確的是A.直線的傾斜角越大，其斜率就越大B.傾斜角相等的兩直線的斜率一定相等C.經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－

y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示D.若直線l沿x軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿y軸向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，

回到原來(lái)的位置，則該直線l的斜率為√√1234567891011121314151612345678910111213141516對(duì)于C，當(dāng)x1＝x2時(shí)，經(jīng)過(guò)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線方程為x＝x1，此時(shí)適合(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)；當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，經(jīng)過(guò)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線方程為y＝y(tǒng)1，此時(shí)適合(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)；也即(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，故經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線方程可以表示為(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，故C正確；對(duì)于D，設(shè)直線l為y＝kx＋b，由題意得y＝k(x＋3)＋b＋2＝kx＋3k＋b＋2，則3k＋b＋2＝b，即k＝

，故D正確.12345678910111213141516三、填空題9.已知直線y＝(3－2k)x－6不經(jīng)過(guò)第一象限，則k的取值范圍為_(kāi)_________.1234567891011121314151610.過(guò)點(diǎn)M(－3,5)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為_(kāi)_____________________.1234567891011121314151612345678910111213141516過(guò)點(diǎn)M(－3,5)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)所求直線方程為x－y＝a，代入M的坐標(biāo)，可得a＝－3－5＝－8，即直線方程為x－y＋8＝0.1234567891011121314151611.已知點(diǎn)A(2,4)，B(4,2)，直線l：y＝kx－2，則直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)________，若直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是_______.(0，－2)[1,3]12345678910111213141516要使直線l與線段AB有公共點(diǎn)，由圖可知k∈[1,3].12.若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三點(diǎn)共線，則ab的最小值為_(kāi)_______.1234567891011121314151616123456789101112131415又因?yàn)镃(－2，－2)在該直線上，又因?yàn)閍b>0，故a<0，b<0.故ab≥16，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝－4時(shí)取等號(hào)，即ab的最小值為16.16四、解答題13.根據(jù)所給條件求直線方程.(1)直線過(guò)點(diǎn)A(1,2)，傾斜角α的正弦值為

；即3x－4y＋5＝0或3x＋4y－11＝0.12345678910111213141516依題意得，直線的橫截距、縱截距均不為0，解得m＝2或m＝4，即所求直線方程為3x＋y－6＝0或x＋y－4＝0.12345678910111213141516(2)直線過(guò)點(diǎn)A(1,3)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為8；12345678910111213141516(3)直線過(guò)點(diǎn)A(2,4)，B(－2,8).則所求直線方程為y－4＝－(x－2)，即x＋y－6＝0.14.已知直線l：x－ky＋2＋k＝0(k∈R).(1)若直線l不經(jīng)過(guò)第一象限，求k的取值范圍；12345678910111213141516當(dāng)k＝0時(shí)，方程x－ky＋2＋k＝0可化為x＝－2，不經(jīng)過(guò)第一象限；要使直線不經(jīng)過(guò)第一象限，綜上，k的取值范圍為[－2,0].1234567891011121314151612345678910111213141516(2)若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，△AOB的面積為S(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求S的最小值和此時(shí)直線l的方程.123456789101112131415由題意可得k>0，由x－ky＋2＋k＝0，令y＝0，得x＝－2－k