線性代數(shù)期末考試復(fù)習(xí)題

線性代數(shù)期末考試復(fù)習(xí)題

練習(xí)L1〃階行列式的定義

一、1.12.2.3.2；-1.4.5或I；3；1或5.

二、1.(B).由行列式定義知，一個(gè)〃階行列式為加項(xiàng)取自不同行不同列的內(nèi)個(gè)元素的乘

積的代數(shù)和.由于傳二1或一1,故每項(xiàng)為1或一1,設(shè)有，項(xiàng)是一1,則項(xiàng)是1故

IA|=0I5""GD=二從而知|A|為偶數(shù),應(yīng)選⑻.

2.(D),因?yàn)閨A|=(-D2過(guò)不成立，

IB|=(一IX—DEJD-^(一尸/乂一。-?不成立，

|C|=(-/(-DWT+f1不成立，|D|=(W?Dfil成立，應(yīng)選(D).

3.(B).

三、設(shè)排列.巧_JC^Xh的逆序數(shù)為k,則不產(chǎn)口…巧巧的逆序數(shù)為多少？

解1：設(shè)排列不巧…中元素玉的逆序數(shù)為可，即毛的前面有/個(gè)元素比毛大,而毛的

后面有“一1個(gè)元素，故后的后面有(“一“一比個(gè)元素比不小.從而，排列…括

中元素毛的逆序數(shù)為皿3.

所

以，

與)=/_￡1_之/=/_域71)_比=漢;1)一比

解2：由于任一對(duì)數(shù)偶在排列召…和Ak---書(shū)中必形成一個(gè)逆序和順序,所以這

兩個(gè)排列的逆序之和等于從”個(gè)元素中取兩個(gè)元素的組合數(shù)°：于

是，8p3?2.由于Ur3)=±所以

~2~

四、利用對(duì)角線法則計(jì)算下列三階行列式:

201

(1)T83；⑵

111

abc

2,22

abc

解：(1)原式

=2x(-^9x3+lx8xl+(-^x(-5x0-lx(-l)x(-4)-0xlx3-(-5x2x3=-4

111

=abc=6c2+ab2^ca—ba2-ac—cb1

2,22

(2)原式"0°

五、證明：一個(gè)旗階行列式中等于零的元素個(gè)數(shù)若比/一。多，則此行列式必等于零.

證明：因?yàn)閗階行列式中共有二個(gè)元素，若零元素的個(gè)數(shù)多于二一”，則非零元素的個(gè)數(shù)

少于，一(二一切=”個(gè).而行列式的值為加項(xiàng)取自不同行不同列的川個(gè)元素的乘積的代

數(shù)和，故每一項(xiàng)中至少有一個(gè)零因子，因此行列式必等于零.

練習(xí)L2〃階行列式的性質(zhì)與計(jì)算

一、填空題:

aBT

7aB

1.設(shè)是方程爐+口+9=0的三個(gè)根，則行列式07a

解：由于■氏，是方程9+"+,=°的三個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系有“+￡+，=°,又

a4f

6rl-Hi

7?07a7?

7?6以7,故應(yīng)填

23241

2-x233-121

%

A=235232

2225062

2.9-x

4的第一二列對(duì)應(yīng)元素相等，故4=°,從而4有因子d-D；

解:由于7=1時(shí),

又由于7=4時(shí)，T的第三四行對(duì)應(yīng)元素相等,故4=°,從而4有因子d一。由

于4中關(guān)于"最高次數(shù)為4,故4=壯一打一與，又由于4的1的項(xiàng)為

1(2-x2)1(9-x2)-!(2-x2)2(9-x2)比較兩邊/的系數(shù)，得金=-3,故應(yīng)填

2424

3-125062

5=1=0

2323

4=_箕？_咳9_4）由于506506，故應(yīng)填心二°

yz

x1oo

JF01o

z則”,y=

3.已知0

工y

3+/+/=°,從而工=°J=°N=°,故應(yīng)填五=o，，=°2=°

1l-x1—1

D^=112-x—1=0

an?■?■

4.方程I111…的所有解為

解：因?yàn)楫?dāng)工分別等于°工2尸/T時(shí)，4H1均有兩列元素對(duì)應(yīng)相等，故居H1=0,故

x=0,%=Lc=a…工=〃一!是刀1Hl=0的解，又刃1Hl口關(guān)于上的最高次數(shù)為巴所以

無(wú)=0,xr=Lx=Z…/=〃-1是D1Hl=°的所有解，故應(yīng)填無(wú)二&%=L"=Z…無(wú)="一1

1』1+2-1+W.

2=1+碼1+石馬—1.5%

5.行列式1+2-1+小當(dāng)森=2

時(shí),A=_____________,當(dāng)"23時(shí)，A=

解:4=6一"無(wú)心一骷）,當(dāng)ji之3

if1#卬2-1+Wa

M（巧一五），式巧一瑜-K（巧一天）

y可

，式鼻一反）-一天）

時(shí),

1+卬i1斗卬2■"

=n?F居%-M.

i-2

Ai，故應(yīng)填

4=GFXhF)4=0

二、選擇題:

故應(yīng)選（B）.

2,設(shè)W=°f辦二山邛pl2jrT，H其中一?門(mén)均為三維列向量，若

網(wǎng)=1,則1A1=[]

(A)1：(B)3；

11

(C)6；(D)9.

解：

.-1H1=1■+耶f+2rT+2^=|3[?+?^,+身妙叫=3卜母T-?。中=3,T-?

=卦LT=*TT=91HfT|=9|A|故四三葉無(wú)故應(yīng)選(D).

3,設(shè)1Al=k%Pil.M=k,匐，期—九%均為三維列向量，且

囚=科|叫=’則

12111M2如…唱+匐=

[]

(A)2m+n.(B)2m-n.(C)

6m—3n.(D)6m+3n

解:k+%與+%毫+間=m+叼）招一毫+聞

=3k+，2?2+?12R+聞

*+聞=叼，』

=31al+.?23%?22fi+f2|=3|oi?22pli+21al

匕聞?』=故應(yīng)選?

=6?2-3k2nl6|A|-3|B|=6m->

三、計(jì)算下列行列式：

1^41-21

02-112

心=54-213

10-124

⑴1403T⑵

1-21

-112

5-1-26

02-1

31-10

★+DnQ-1"

57-2n1n

22

0-10-000-10-00

。402-2------go0-----------

000--n-11-n000--01-n

=（/駕（W4智?

四、證明:

ty+teaz^bx.ryz

ac+by=(fl3)yZX

ac+by?y+fez

⑴萬(wàn)y⑵

證明：（i）利用行列式的性質(zhì)可將左邊行列式表示為爐個(gè)行列式之和.這八個(gè)行列式中有

六個(gè)行列式因有兩列元素成比例，因而為所以，

o00

n,得

證.

練習(xí)13行列式按行（列）展開(kāi)定理與克萊姆法則

一、填空題：

012

103

D=

110

5

1.已知2表示第工行第J列元素的余子式,則

MQ+2/32+Af42=

-112

103

跖2+%2+A/驍+腹42=一&+42-42+4==0

-110

154

解:因?yàn)?，故?yīng)填

122-2

222--2

2

222——n

解:

200

20

200

，一！210

020=(-1)=-2(n-2)I

2n—2

02

故應(yīng)填_2（鞭一2）!

kc+y+z=O

jc+fy+z=0

3.當(dāng)斤=時(shí),方程組五斗9.七=°有非零解.

1

1k1=0

k

解:方程組有非零解,由于

11t+2

i1=i+2=(t+2)1k1

23

i+2

or

2

昂（H2）0k-10=(k+2)(i-l)

00i-1,所以上=-2或上=1.故應(yīng)填一2或1.

二、選擇題:

?1+X?+X

0H+X%+X%+x

/?=

■+X七十x%+X

1.設(shè)l+X%+X則多項(xiàng)式f3次數(shù)最高可能

為[]

(B)2；

(C)3.(D)4.

OF

/㈤晶

解:,將其按第一行展開(kāi)，得

若"，則/(X)是常數(shù)；若戶(hù)，則/W是一次多項(xiàng)式，故應(yīng)選(A).

2.設(shè)用刃,且其每列元素之和為品聞，則1Al的第一行元素的代數(shù)余子式之和

4乜-"=[]

(A)也(B)無(wú);

a

4+4++4=/+/+-+A=：(蚪+弭—+%)=加|=汕=?

，故應(yīng)選(B).

3.行列式D非零的充分條件

是

[]

(A)D的所有元素非零；(B)D的任意兩行元素之間

不成比例；

(C)D至少有〃個(gè)元素豐零；①)以D為系數(shù)行列式的齊次線

性方程組有唯一解.

解：選項(xiàng)(A),(B),(C)均不是D非零的充分條件，故應(yīng)選(D).

\+2xj-2x^=0

2^-/+乜=0

齊次線性方程組〔加+巧一巧=°只有零解,

4.則Z應(yīng)滿(mǎn)足的條件

是]

(A)以=0；(B)z=2；

(C)z=1；(D)

12-2

02-1A工0

131-1

解：齊次線性方程組只有零解而

故應(yīng)選(D).

證

10a1

0-1b-1

=33+方4■㈤

-1-1c1

⑵-11d0

00

-X0=xV=右

0—y

,得證.

⑵

bTTb-1

\a^c—b3

a^c2=0a^c-b34■力=右

w

a^d00

,得證.

四、計(jì)算卜列行列式:

「S—爐—(&一冷?

產(chǎn)1(&_口1—(a-n)*4

aa—1---a-n

⑴11-1⑵

解：(1)將“3的第a+1行經(jīng)”次行的調(diào)換調(diào)至第一行，第“行經(jīng)”一1次行的調(diào)換調(diào)至第

_,域八+D

n+--+2+l=———-

二行，…，第2行經(jīng)1次行的調(diào)換調(diào)至第〃行,于是經(jīng)過(guò)2次行調(diào)

換，故得

a-2

2

。1Hi=(T).................——=(T)2口K。-力-

F(?-l)T(。-2)TQ-〃)T""

HB

才(a-i)(fl-2)-g-研

=(-i)2n("力=n(j—o

(2)將?！霭吹凇姓归_(kāi)，得quQwm%一42,但此說(shuō)推公式難以推出A的表土

式.由于

11

M1

CDS22

AE叫V亮=2l=cns2fiFZ)l=12cos^=4cos6—3cns^=tns3ft

012cose

于是我們猜測(cè)[=皿^.事實(shí)上，假設(shè)結(jié)論對(duì)于小于正階的行列式均成立，則對(duì)于七階，

由遞推公式有

4=(2ms0Z^_1-Z^_2=Qcos0-cos(fc-l)^-cos(Jt-2)0

=2-[ms(6l+(i-^+ms(^-(i-l)0]-cDs^-^=aisfc9+aK(i-2^-casCt-2)0=co5W

冠

,故由數(shù)學(xué)歸納法，得%=cos

練習(xí)2.1矩陣及其運(yùn)算

一、填空題：

1設(shè)。=Q-25),1=(21-3)>A=arf貝償5=

解：A=/xWf而"Q1-3X1-25)r=-15

所以，A5=15VM15*A,故應(yīng)填］5*A

2.設(shè)A是叫價(jià)矩陣，其每行元素之和為士則A■的每行元素之和為

有解

原=2乂+2達(dá)士%

石=3此+小/5%

已知線性變換I巧=3乂+2典+3再則變量不巧到變量外,叫,%的線性變換

3.

為.

2吸+2叫.y3=a22101

79

3”32+5%=',二萬(wàn)=315-95

34

3尸11功+3招=巧，3233

解1:因?yàn)閅

20

A=1=—7天一4巧+9巧

20

211

4=35巧一5。0=6jq+g-7巧

33巧一3天0

2-40

4=331=3jq+2x^—7巧

32-30巧一2巧

4

=2

4萬(wàn)

萬(wàn)=

n_

%=多=巧_巧

故應(yīng)填3/127

r22心7-49丫乂、

315，231563-7

2人加,故⑴[切(

解2：由已知:W133[323J32-4

乂=-7天-4巧19巧隊(duì)一寸與+與

%=6/+3巧一7/%=6/?3〃-7巧>

4=3一土?xí)?巧，故應(yīng)填

r43r

1-2321(T2)=

4.570W

(12,3)2=10(12,3)2=10

II

J

『I

(不，巧，巧)%=+2dbift+入書(shū)

仆

二、選擇題：

L設(shè)人B,C是”階方陣且AB=BC=CA=E,則

A^+tf+C^[]

(A)E.(B)2E.(c)

3E；(D),.

解：丁允=(期)(8=4(804二人[同理可得1：=片,￡=<：[故

A?+B、c2=3E.故應(yīng)選(c).

2.設(shè)A為”階對(duì)稱(chēng)矩陣.B為”階反對(duì)稱(chēng)矩陣,則下列矩陣中為反對(duì)稱(chēng)矩陣的

是[]

(A)AB+BA；(B)AB-BA；(C)

(D)BAB

解.v(AB+BA)r=BrAr+ArBr=-BA-AB=-(AB+BA)故應(yīng)選依)

3.設(shè)AB為力階方陣，無(wú)為正整數(shù)，則下列結(jié)論中不正確的

是[]

(A)若A>H可交換，則(A+B)(A-呀=然一/；⑻若A>B可交換，則

Atf和RA”可交換；

(C)若A-B和A+B可交換，則可交換；(D)若AB和RA可

交換，貝內(nèi)■可交換.

解：若交換，則(A+H)(AF=AJAB+BA-BN=A2-町故⑴正確;

若AH可交換,顯然也可交換，于是

時(shí)小、)二(ABX^A1)=(RAXAlBl)=(BA^CAB1)故⑴)正確；

2222

1).(A+BXA-B)=A-AB+RA-B(A-BXA+B)=A+AB-RA-BH

A-B和A+B可交換的充要條件是一AB，RA=AB—RA,即AB=RA,故(c)正

確；從而(D)不正確.事實(shí)上，若

f-i1Y1「00

A=TJ,由

J-V00知即AB不可

00

(A^KBA)=(R^(Am=

交換，但d故應(yīng)選(A).

rl02、

A=01-1

0

4.設(shè)4矩陣咤蔭足AB=A-2B-E,則

I

]

99

(A)7.(B)7；(C)7

(D)-1.

解:由AB=A-2B-E得AB-A=-2B+2E—3E即A(B-E)=一獨(dú)一呀一克

亦即(A+2B3O?=-第，兩邊取行列式得

|(A+2EXB-I3|=|A+2E||B-E|=|-3E|=-27因

2

2

|A+2E|=03T=3]=21

3莊產(chǎn)二一2

1

故217,故應(yīng)選(B).

5.設(shè)A>B為”階方陣,則下列結(jié)論正確的

是

[]

(A)AB=.oA=?且B=?:(B)若

|A|=O<=>A=t

（C）1ABi陽(yáng)或

1*0①)A=E=|A|=1

???AB|=A||B|=O=|A|=O或網(wǎng)=0,

解:故（C）成立;

則AR=O,但AfQBfO,故（A）不成立;0)，故⑻不

|A|=1!=1A=|11卜E

成立；P1，但1°，故（D）不成立.故應(yīng)選（C）.

三、設(shè)

四、設(shè)r=C；）A=（：:卜=（：；）A"AQ

計(jì)算Q，及A?

QP=

解:Q就優(yōu)：）

Att=(PAQT=flPAQXFAQ)--^AQ)=PA(QP)A(QP)(QP)AQ=FAX?

當(dāng)萬(wàn)=21時(shí)，Aa=E,所以A.=PQ=E：

.fl0、3V1-3「7

Aa=

2

當(dāng)ji=2t+l時(shí),I。-v所以

rio000、

oi000

2ft

A=0010-2JI

00010

所以1°0

oo1,

六、證明任何一個(gè)M階方陣都可以表示為一對(duì)稱(chēng)矩陣與一反對(duì)稱(chēng)矩陣之和.

證明：設(shè)A為任-矩陣，且A=B4C,其中統(tǒng)=住厘=4，由于

Ar=^+<5=8-0,所以

JA=B+C

rr

rB=-(A+AXC=-(A-A)

[A=B-C，解得22即

A=[1(A+Ar)]+[1(A-Ar)]i(A+Ar)^(A-Ar)

22，且2為一對(duì)稱(chēng)矩陣,2為一反對(duì)

稱(chēng)矩陣.得證.

練習(xí)2.2矩陣的初等變換

一、選擇題:

I.

則必有［]

B=AP,

（A）底題立(B)2i；B=P1P2A

(D)B=P2PtA

解：因?yàn)閷?duì)段X，矩陣A施行一次初等行（列）變換，相當(dāng)于用同種的段00階初等矩陣左（右）

乘A,而B(niǎo)是由A經(jīng)過(guò)將第一行加到第三行，調(diào)換第一，二行兩次初等行變換得到的，所

以故應(yīng)選

B=F2PlA,(D).

故存在三階矩陣

r010、

1-20

(C)2-1L

解：B是由A經(jīng)過(guò)將調(diào)換第一，二行，第一行乘以々加到第二行，第二行乘以T加到第三

行三次初等行變換得到的，所以B=其中

何10、00>

\二100息=-210工=010

(00

,所以

00ri0OYO10「016

『=中禺=010-210100ITO

&-1100火0。V1-121)

,故應(yīng)選(C).

3.設(shè)矩陣A中有一個(gè)階子式不為零，且所有七階子式全為零，則必

有[]

(A)必)=￡(B)心)…；(C)3HL(D)

r(A)=i-l^r(A)=i

解：因?yàn)榫仃嘇所有階子式全為零，所以'(A)＜二+1,又矩陣A中有一個(gè)上一]階子式

不為零，所以?A)A*T,因而，(A)=*-l或，(A)=￡故應(yīng)選①).

自31T0

二、用初等行變換將94743瓦為行最簡(jiǎn)形矩陣，再進(jìn)一步用初等列變換將

其化為標(biāo)準(zhǔn)形.

20-220-2-4、

-111-1111

-8890014

-7780014,

q20041020-2、002-2、10000、

0-10-32t0一1030-1301000

->->->

0004r00014004Q-2<i00100

0000」*0000,0000*0000)

rl020一2、‘10000、

01-10301000

0001400100

)(

所以，矩陣A的行最簡(jiǎn)形矩陣為*0000，標(biāo)準(zhǔn)形為0000Oj

1-2廿

A=T2kT

」

設(shè)kT3問(wèn)無(wú)為何值時(shí)，可使

a)KA)=1;(2)KA)=2;KA)=3.

解

1-23k、rl-23k、

vA=02(￡-D3(〉D0雄-D3(t-D

*折D-駛_6*o-3(t+2Xi-1)；

所以(1)1r(A)=l,則后兩行元素全為零，故上=L即上=1時(shí)，(A)=l；

(2)?A)=2,見(jiàn)有兩行非零，故土=-2,即*=一2時(shí)，(A)=2；

3t

(3)必)=3,則三行全非零，故*L金才一2,即上工1且上3t-2時(shí)，(A)=3.

四.、設(shè)為行數(shù)相等矩陣，C&I9是由人日并列所得的矩陣.證

明：

'E,OOO、

(AOOooo

OOE,O(AO

=尸+s

證明：設(shè)則1°OOOJ,故I。B

AO

又OB所以

&Bao

r(C)=r(AB)<r=產(chǎn)+s=r(A)+r(B)

2?,得證.

「21837、

2-3?7-5

3458

1?32

五、求矩陣J的秩,并求一個(gè)最高階非零子式.

解

11

-30

-20

07)I。

217

3-20=14

所以，矩陣的秩為3,三階非零子式為1°0

練習(xí)2.3逆矩陣

一、填空題：

1.設(shè)A為三階方陣，14萬(wàn)、則.

UA|=1#0,v.AlA_i2A'=21AT=AT

解：2二A可逆且A=|A|A,所以2,

（2A?尸=N）T=A,IQA.尸1#片故應(yīng)填g

2.設(shè)A為噸笏階可逆方陣，則（A〉'=.

解：vAA#=|A|E,^>0.-JAHA-HIAIEHAnEHAr,即川平廠又

￡（A?）?=|A?|E=|ALE=|ALA?A,所以（A?）.=（ALA,故應(yīng)填|ALA

-200、

A=03-1

3,設(shè)1°5~2<R是三階矩陣，滿(mǎn)足A^IAIEnA'+B,則

B=.

解：由ABf|A|E=A、B得AB-B=A'一|A|E,即(A-E)B=(E-A)A：因

―300、

|A-E|=02-1=3*0

I。5-3),A-E可逆，上式兩邊左乘(A-E)T,得

B=-A>=-|A|A-1

4.設(shè)AB均為三階方陣，將A的第一行的2倍加到第三行得C,將B的第一，二列互換得

102、

CD=011

D.已知1213),則血=.

解：由題設(shè)EGK2))A=CBEa2)=D,所以CD="3.1Q))ABEQ2),因而

2\(01f012、

AB=E(3」Q))Tci?：a2)T=1

一1A故應(yīng)填

’012、

101

J0F

二、選擇題：

1.設(shè)AR是同階方陣，且A可逆，B不可逆，則下列矩陣中一定可逆的矩陣

是]

r

(A)AB；(B)AA；(C)

3

A+B;(D)4B

解：因A可逆,所以i^l1=1AHAF|=IAl2*0,因此AA「可逆，故應(yīng)選(B).

2.設(shè)AB均為”階方陣，則下列結(jié)論中正確的

是[

]

(A)A或B可逆，則必有AB可逆；(B)AB均可

逆,則必有A+B可逆;(C)AB不可逆，則必有A或B不可

逆;(D)均不可逆，則必有A+B不可逆.

解：若AB不可逆，則1神1=°,于是必有|A|=0或|同=0,即A或B不可逆，故應(yīng)選(c).

3.設(shè)A為力階方陣，滿(mǎn)足A3=O,則必

有

[]

2

(A)A=O.(B)."A均不可逆；?A2_A+￡A2+A+月均可

逆；(D)E+A不可逆.

2

解：由A'=°得A1E=E,gp(A+EXA-A+E)=E>所以HA可逆，且

(E+A)-1=A2-A+E故應(yīng)選(D).

‘5200、

」22100

34-20083

三、求下列矩陣的逆矩陣：(1)&<1J52

⑵I。。J,

⑴解1："|=2,故A”存在而

4=-44=24=Q4=-134=64=-上

4=-324=144=T

解:2

2-1100、20000、

『%

34-200-?010

15000016-7

1000

0

131

->00130103

22

16

1°00-167-1

故

0

13

3

22

1一167

|A|=1*Q

⑵解故存在而

4=MI=N4=04=Q4=-24=54=04=Q

4=0=04=-5=&

從而,

四、設(shè)工階矩陣A及零階矩陣B都可逆,JO方

oAY^x,

則J。八X,X|

因此，由于均可逆，所以

=O,BX1=O,BX,=EA,B

1

X5=A-；X4=O,X1=O,X2=B^從而【Boj(AToj

則

因此，+由于A,B均可逆，所以

(AO，A-1O、

從而]4

Y>=A^,Y2=O,Y3=_"A±K一[R4CATR,

A=

五、設(shè)

v|A|=-4*Q

解1