2025北京各區(qū)高三一模數(shù)學(xué)分類匯編解析 答案

2025北京高三一模分類匯編數(shù)學(xué)目錄集合2復(fù)數(shù)4二項(xiàng)式定理6向量8等式/不等式1112函數(shù)基礎(chǔ)15函數(shù)綜合17指對(duì)函數(shù)實(shí)際應(yīng)用1921等差數(shù)列/等比數(shù)列24直線與圓方程27雙曲線29拋物線31選填壓軸33立體幾何解答題39三角函數(shù)與解三角形解答題54概率統(tǒng)計(jì)解答題72解析幾何解答題89導(dǎo)數(shù)解答題102創(chuàng)新新定義解答題120·集合1.（2025北京東城區(qū)高三一模已知集合A=x∣x2-x-6>0,則?RA=A.{x∣-2<x<3}B.{x∣-3<x<2}C.{x∣-2≤x≤3}D.{x∣-3≤x≤2}C2.（2025北京西城區(qū)高三一模已知集合A=xx2<4B=xlgx>0，那么集合A∪B=A.-2,+∞B.-∞,-2∪1,+∞C.-∞,2D.1,+∞A3.（2025北京海淀區(qū)高三一模已知集合U=x∣x>1,A={x∣x≥2},則?UA=A.-∞,2B.-∞,-1∪(1,2]C.(-∞,2]D.-∞,-1∪1,2D4.(2025北京朝陽區(qū)高三一模01)已知集合A={x||x|<2}B={x|0≤x≤2}，則A∩B=A.{x|0≤x<2}B.{x|0≤x≤2}C.{x|-2<x<2}D.{x|0<x≤2}A5.（2025北京豐臺(tái)區(qū)高三一模已知集合U={-3,-2,-1,0,1,2}A={x∈Z||x|<2}，則UA=A.{-1,0,1}B.{-2,-1,0,1,2}C.{-3}D.{-3,-2,2}D6.(2025北京石景山區(qū)高三一模01)已知全集U={-2,-1,0,1,2,3}A={x∈Z|x2≤2}，則?UA=A.{-1,0,1}B.{-2,2,3}C.{-2,1,2}D.{-2,0,3}B·7.（2025北京房山區(qū)高三一模已知集合A={-2,-1,0,1,3},集合B=x∣x2<2,則A∩B=A.{-1,0,1}B.{-2,-1,0,1}C.{-1,0,1,3}D.{-2,-1,0,1,3}A8.(2025北京門頭溝區(qū)高三一模01)已知集合A=x|x2<4B=x|0≤x≤3，則A∪B=A.0,2B.0,2C.0,3D.-2,3D9.(2025北京順義區(qū)高三一模01)已知集合U={x|x+3≥0}A={x|-2<x<2}，則?UA=A.-3,-2∪2,+∞B.-3,2)C.-3,-2∪2,+∞)D.-2,3)C10.（2025北京延慶區(qū)高三一模已知集合A={x|0≤x≤3}B={x|logx<1}，則A∪B=A.[0,3]B.[0,3)C.(0,3)D.(0,3]A11.（2025平谷區(qū)高三一模已知集合A={x∣-1<x<1},B=x∣0≤x≤2，則A∪B=A.{x∣-1<x<2}B.x∣0≤x≤2C.{x∣0≤x<1}D.{x∣-1<x≤2}D·復(fù)數(shù)1.（2025北京東城區(qū)高三一模若復(fù)數(shù)z滿足1+i?z=i,則z=.222.（2025北京西城區(qū)高三一模設(shè)i1-i2-i=．35-15i3.（2025北京海淀區(qū)高三一模在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=i2+i3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為A.(1,1)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(-1,-1)D4.(2025北京朝陽區(qū)高三一模02)設(shè)復(fù)數(shù)z=1+i的共軛復(fù)數(shù)為z?=A.1B.2C.2D.4C5.（2025北京豐臺(tái)區(qū)高三一模z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-1)|iz|=A.5B.5C.3D.3B6.(2025北京石景山區(qū)高三一模02)z=i-ai對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2)a=A.1B.-1C.2D.-2D7.（2025北京房山區(qū)高三一模在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)i?3+4i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限B8.(2025北京門頭溝區(qū)高三一模02)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是3,4zi=A.4+3iB.4-3iC.-4+3iD.-4-3iB·9.(2025北京順義區(qū)高三一模04)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為2z+=3+iz?=A.2B.2C.1D.22A10.（2025北京延慶區(qū)高三一模已知a∈Ria-2i2+ia=A.-1B.1C.-4D.4C11.（2025平谷區(qū)高三一模z滿足z?1-i=2iz對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限B·二項(xiàng)式定理1.（2025北京東城區(qū)高三一模在ax-x的展開式中,x3的系數(shù)為10,則a的值為A.-1B.1C.-2D.2D2.（2025北京西城區(qū)高三一模在x2+24的展開式中，x2的系數(shù)等于xA.6B.12C.18D.24D3.（2025北京海淀區(qū)高三一模已知x-2=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a,則a4+a3=.-74.(2025北京朝陽區(qū)高三一模03)在x+24xA.6B.8C.12D.24D5.（2025北京豐臺(tái)區(qū)高三一模在x-26xA.60B.-60C.160D.-160A6.(2025北京石景山區(qū)高三一模03)在2x2-15的展開式中，x的系數(shù)為xA.10B.-10C.40D.-40D7.（2025北京房山區(qū)高三一模若x-2=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a,則a3+a1=A.-41B.41C.-40D.40C8.(2025北京門頭溝區(qū)高三一模11)x-2的展開式中x的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)-80·9.(2025北京順義區(qū)高三一模12)若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則a0=a1+a3+a5=1-12210.（2025北京延慶區(qū)高三一模x2-26的展開式中，x6的系數(shù)為.x6011.（2025平谷區(qū)高三一模在(x-2)5的展開式中，x2的系數(shù)為A.-5B.5C.-10D.10D·向量北京東城區(qū)高三一模a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.ac若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,則cos?b,c?=a-b?c=.22,0b2.（2025北京西城區(qū)高三一模設(shè)平面向量=-1,1=-2,1=x,y=5，則使得向量b-與共線的一組值x=y=．-4,3(答案不唯一)3.（2025北京西城區(qū)高三一模蜂巢的精密結(jié)構(gòu)是通過優(yōu)勝劣汰的進(jìn)化自然形成的．若不計(jì)蜂巢P為圖中7個(gè)正六邊形(邊長(zhǎng)為4的某一個(gè)頂點(diǎn)，A,B?PB的最大值為A.44B.48C.72D.76B4.（2025北京海淀區(qū)高三一模已知向量a=2,0,b=1,則a+b的最大值為；a+b與a的夾角的取值范圍是.3,0,π65.(2025北京朝陽區(qū)高三一模09)在△ABC中，CA=CB=5AB=4M為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)且AM?CM的最小值為A.0B.-1625C.-45D.-165C·6.（2025北京豐臺(tái)區(qū)高三一模在平行四邊形中，E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，O為△ABD外接圓的圓心，2DO=+|DO|=||=2DO?的最大值為A.3B.4C.6D.8C7.(2025北京石景山區(qū)高三一模13)設(shè)AB=(1,1),|AC|=5,AB?BC=0|BC|=．38.（2025北京房山區(qū)高三一模已知向量a=x,1,b=1,-2,若a⊥b,則a-b=A.2B.5C.352D.10D9.(2025北京門頭溝區(qū)高三一模05)已知向量滿足=5=3,4的夾角為πb3-=A.52B.53C.5D.10C10.(2025北京順義區(qū)高三一模02)已知平面向量a,b滿足|a|=2b=(1,0)|2a-b|=5a?b=A.6B.3C.-4D.-2D11.(2025北京順義區(qū)高三一模06)已知A(1,0)B(0,1)C(0,3)M滿足MB?MC=0AM的可能取值是A.4B.2C.1D.12B12.（2025北京延慶區(qū)高三一模已知向量=(1,2)=(λ,-1)=(μ,-1)(+λ+μ=A.-2B.-1C.0D.1B·13.（2025平谷區(qū)高三一模已知是平面內(nèi)兩個(gè)非零向量，λ≠0=λb+λb=+λA.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件D等式/不等式1.（2025北京東城區(qū)高三一模已知x>1,y>1,4x>2log2x>log4y-1A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A2.（2025北京海淀區(qū)高三一模已知四個(gè)數(shù)a=lg2+lg52,b=lg2?lg5,c=lg2,d=lg5,其中最小的是A.aB.bC.cD.dC3.（2025北京豐臺(tái)區(qū)高三一模已知a<bc<dA.a-c<b-dB.ac<bdC.2a+2c<2b+2dD.a2+c2<b2+d2C4.(2025北京石景山區(qū)高三一模05)已知x,y∈Rx>y>0A.1x-1y>0B.2x-2y>0C.cosx-cosy<0D.lnx+lny<0B5.（2025北京房山區(qū)高三一模已知a,b∈R,且a<b,則A.1a>1bB.a2<b2C.a3<b3D.lnb-a>0C6.（2025北京延慶區(qū)高三一模設(shè)xy∈R0<x<y<1A.x2>y2B.sinx>sinyC.4x>2yD.x+1x>y(2-y)D1.（2025北京東城區(qū)高三一模在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α以O(shè)x為始邊,其終邊落在第一象限,則下列三角函數(shù)值中一定大于零的是A.sinπ+αB.cosπ-αC.sin2αD.cos2αC2.（2025北京東城區(qū)高三一模已知函數(shù)fx=sinωxω>0,若fx的最小正周期為π,則ω=x,x2∈π,2π,使得fx1-fx2=2,則ω的最小值為.2,543.（2025北京西城區(qū)高三一模在長(zhǎng)方形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，cos∠AEB=23，則cos∠AED=A.459B.19C.-459D.-19B4.（2025北京西城區(qū)高三一模已知函數(shù)fx=sinx+3cosx．若fx1=fx2A.x1-x2=2kπk∈ZB.x1-x2=2kπ或x1+x2=2kπ+π3k∈ZC.x1+x2=kπ+π3D.x1-x2=2kπ或x1+x2=kπ+πk∈Z3k∈ZB北京海淀區(qū)高三一模y=3sinωx+φω>0y的部分圖象如圖所示.若A,B,C,D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上,則ω=B3A.1B.1

2C.πD.π2OAxD-3DC6.(2025北京朝陽區(qū)高三一模04)為得到函數(shù)y=sin2x+cos2xy=2sin2x的圖象A.向右平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度B.向左平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度C.向右平移π8個(gè)單位長(zhǎng)度D.向左平移π8個(gè)單位長(zhǎng)度D7.(2025北京朝陽區(qū)高三一模07)已知sinα+sinβ=0,cosα+cosβ=3cos(α-β)=A.-12B.12C.32D.1B北京豐臺(tái)區(qū)高三一模f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)MN是直線y=12與曲線y=f(x)的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)．若|MN|=π3ω=fπ=．22，329.(2025北京石景山區(qū)高三一模04)在△ABCasinB-3sinA=0b=A.3B.23C.1D.2A10.(2025北京石景山區(qū)高三一模12)如圖2α以O(shè)x單位圓O相交于點(diǎn)PP的橫坐標(biāo)為35sin(π2+α)=．3511.（2025北京房山區(qū)高三一模已知函數(shù)fx=sin2x,x1+x2=fx1+fx2=A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A12.（2025北京房山區(qū)高三一模若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,cosx+π=Asinx+φA>0恒成立,6則滿足條件的一組A,φ的值為A=,φ=.1,2π3(答案不唯一)13.(2025北京門頭溝區(qū)高三一模07)已知函數(shù)fx=sinx-π足fx+fx2=0，31且fx在區(qū)間x,x2x1+x2的值可以是A.π3B.2π3C.4π3D.5π3B14.(2025北京門頭溝區(qū)高三一模13)在平面直角坐標(biāo)系xOyα以O(shè)x與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-12α=.2π3(答案不唯一)15.(2025北京順義區(qū)高三一模14)在△ABC中，2b=3c∠A=2∠CcosC=.10416.（2025北京延慶區(qū)高三一模已知α是第四象限角且sinα=-352sinβ-cosβ=0，則tan(α-β)的值為.-217.（2025平谷區(qū)高三一模已知函數(shù)fx=2sinωx-π,ππω>0fx在區(qū)間-上沒342ω的最大值為A.23B.43C.53D.2A函數(shù)基礎(chǔ)1.（2025北京東城區(qū)高三一模下列函數(shù)中,定義域?yàn)?,+∞的是A.fx=xB.fx=lnxC.fx=2xD.fx=tanxB2.（2025北京西城區(qū)高三一模y軸對(duì)稱的是A.y=x-1B.y=2xC.y=x4+x2D.y=lnxC3.（2025北京海淀區(qū)高三一模函數(shù)fx=a21+1a>0的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)A.1,2B.21C.(0,2)D.(0,1),12A4.(2025北京朝陽區(qū)高三一模11)函數(shù)f(x)=11-x+log3x的定義域?yàn)椋?x的定義域?yàn)椋?0,1)5.(2025北京石景山區(qū)高三一模11)若f(x)=lg(x+1)x>0，f(9)+f(-1)=．2x+2x≤026.（2025北京房山區(qū)高三一模已知函數(shù)fx=2,x<1,則f0+f1=.log2x+7,x≥1.47.(2025北京門頭溝區(qū)高三一模03)0,+∞上單調(diào)遞增的是A.y=x-1x1B.y=x3-xC.y=x2D.y=tanxA8.(2025北京順義區(qū)高三一模03)0,+∞的是A.y=x2B.y=x+1C.y=31D.y=log2xB北京延慶區(qū)高三一模.數(shù)學(xué)中把這種兩端固定的一條均.已知函數(shù)f(x)=12(ex+e)A.f(x)為奇函數(shù)B.f(x)的最大值為1C.f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增D.方程f(x)=2有2個(gè)實(shí)數(shù)解D10.（2025平谷區(qū)高三一模1,+∞上單調(diào)遞增的是A.y=x-2B.y=2xC.y=11-xD.y=-lnxC函數(shù)綜合1.（2025北京東城區(qū)高三一模中國(guó)茶文化博大精深,茶水的口感與T水的溫度有關(guān).一杯80°C的熱紅茶置于20°C的房間里,茶水的溫度T單位:°C與時(shí)間t(單位:min)的函數(shù)T=ft的圖象如圖所示.下80列說法正確的是A.若t1+t3=2t,則ft1+ft3>2ft220B.若t1+t3>2t,則ft1+ft3>2ft2OtC.若ft1+ft3=2ft2,則t1+t3<2t2D.若ft1+ft3>2ft2,則t1+t3>2t2A2.（2025北京海淀區(qū)高三一模已知函數(shù)fx=2-x,x≤1,.若fx的a>0且a≠11ax+3,x>1loga2值域?yàn)?-∞,2],則a的一個(gè)取值為fx的值域?yàn)镽,則a的取值范圍是.12(答案不唯一,只需滿足0<a<1),[2,+∞)3.(2025北京朝陽區(qū)高三一模08)兩岸所在直線l,l2DE與河岸所在直線垂直.的三個(gè)入口分別設(shè)在直角三角形的頂點(diǎn)A,B,CA(定點(diǎn))在橋DEA到直線l,l2的距離分別為h,h(h,h2為定值)口B,C分別在直線l,l1AB與直線l2所成的銳角∠ABD為αAC與AB垂直．設(shè)該休閑公園的面積為S(α)α是A.函數(shù)S(α)的最大值為hh2B.函數(shù)S(α)的最小值為hh22C.若α,α2∈0,π1<α2S(α)<S(α)且α2D.若α,α2∈0,π1+α2=π且α22S(α)=S(α)D4.(2025北京朝陽區(qū)高三一模13)已知函數(shù)f(x)是Rx>0時(shí)，f(x)=x+exf(-2)=a,b,c∈R(a≠b)f(a)=f(b)=cc的一個(gè)取值為．-34(答案不唯一)5.（2025北京豐臺(tái)區(qū)高三一模已知函數(shù)f(x)=x+1,x>0,當(dāng)a=0時(shí)，f(0)=x+a,x≤0．f(x)在Ra的取值范圍是．0(-∞,1]6.(2025北京門頭溝區(qū)高三一模09)已知函數(shù)fx=ea-a,x<-a,a>0,b>0fx既不存bsinx,x≥-a.ab關(guān)系中一定成立的是A.a+b>12B.a+b<1C.ab≤18D.ab≥14B7.（2025平谷區(qū)高三一模已知函數(shù)fx=-x2+ax,x≤1a=-1時(shí)，ax-1,x>1fx的值域是fxa的取值范圍是.-∞,14,0<a<2指對(duì)函數(shù)實(shí)際應(yīng)用1.(2025北京石景山區(qū)高三一模08)S=aekt(a,k為常數(shù))S()代表t分鐘末未溶解糖塊的質(zhì)量．現(xiàn)將一塊質(zhì)量為7克的糖塊放5分鐘末測(cè)得未溶解糖塊的質(zhì)量為3.5克k=A.ln25B.ln35C.ln2D.ln3A2.（2025北京房山區(qū)高三一模自然界中,大多數(shù)生物存在著世代重疊現(xiàn)象,它們?cè)谏钍分袝?huì)持續(xù)不斷地繁殖后代,且有時(shí)不同的世代能在同一時(shí)間進(jìn)行繁殖.假定某類生物的生長(zhǎng)發(fā)育不受密度制約時(shí),其增長(zhǎng)符合模型:Nt=Nert,其中N0為種群起始個(gè)體數(shù)量,r為增長(zhǎng)系數(shù),Nt為t時(shí)刻的種群個(gè)體數(shù)量.當(dāng)t=3時(shí),種群個(gè)體數(shù)量是起始個(gè)體數(shù)量的2倍.若N4=150,則N10=A.300B.450C.600D.750C3.(2025北京門頭溝區(qū)高三一模14)1年在市區(qū)公共區(qū)域建設(shè)了220%3年在市區(qū)公共區(qū)域新建設(shè)了1域的充電樁總量達(dá)到30萬個(gè)(結(jié)果保留到個(gè)位).(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301lg3≈0.477)2.8884.(2025北京順義區(qū)高三一模05).視星等m.絕對(duì)星等M是假設(shè)把恒星放在距離地球10秒差距(10秒差距≈32.6光年).視星等m和絕對(duì)星等M滿足m-M=5lgd,其中d.若恒星A距離10地球約32.6B距離地球約326A,B的視星等滿足mB-mA=4A.MB=MA+4B.MB=MA+6C.MA=MB+1D.MA=MB+6C5.（2025平谷區(qū)高三一模P(單位：mg/L)與時(shí)間t(單位：h)間的關(guān)系為P=ekt,k10h消除了50%60%的污染物到消除80%的污染物大約需要經(jīng)歷A.10hB.4hC.40hD.8hA1.（2025北京東城區(qū)高三一模祈年殿(圖1)是北京市的1標(biāo)志性建筑之一,距今已有600多年歷史.殿內(nèi)部有垂直于1地面的28根木柱,分三圈環(huán)形均勻排列.內(nèi)圈有4根約為119米的龍井柱,寓意一年四季;中圈有12根約為13米的金AB

C柱,代表十二個(gè)月;外圈有12根約為6米的檐柱,象征十二圖2圖1個(gè)時(shí)辰.已知由一根龍井柱AA1和兩根金柱BB,CC1形成的幾何體ABC-A1BC(圖2)中,AB=AC≈8米,∠BAC≈144°,則平面A1BC1與平面ABC所成角的正切值約為A.43sin18°B.34sin18°C.43cos18°D.34cos18°B2.（2025北京西城區(qū)高三一模設(shè)直線m?平面αα∩平面β=直線l，m⊥m⊥A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A3.（2025北京西城區(qū)高三一模近似看成一個(gè)四面體ABCDAD的長(zhǎng)為6cm26cm角粽的表面積為cm2cm．(粽葉的厚度忽略不計(jì))123+615,664.（2025北京海淀區(qū)高三一模已知A4紙的長(zhǎng)寬比約為2:1.現(xiàn)將一張A4紙卷成一個(gè)圓柱的側(cè)面(無重疊部分).當(dāng)該圓的高等于A4紙的長(zhǎng)時(shí),設(shè)其體積為,軸截面的面積為S;當(dāng)該圓柱的高等于A4紙的寬時(shí),設(shè)其體積為,軸截面的面積為S,則A.1=,S1=S2B.1≠,S1=S2C.1=,S1≠S2D.1≠,S1≠S2B5.（2025北京豐臺(tái)區(qū)高三一模已知m,n是兩條不同的直線，α,β正確的是A.若m?α,n?β,α‖βm‖nB.若m‖n,n?αm‖αC.若α⊥β,m⊥β,n⊥mn⊥αD.若m⊥α,n⊥β,m⊥nα⊥βD北京房山區(qū)高三一模2E--FP為棱BCA.AE∥平面BCFB.八面體E--F的體積為43C.EP+FP的最小值為6D.點(diǎn)A到平面BCF的距離為62D7.(2025北京門頭溝區(qū)高三一模08)某紀(jì)念塔的一部分建筑結(jié)構(gòu)可抽象為三棱錐P-ABC=PB=PC=23面△ABC是等腰直角三角形，AB=BC點(diǎn)P到底面ABC的距離為3B到平面的距離為A.2B.6C.3D.23C8.(2025北京順義區(qū)高三一模07)穩(wěn)定氣體.化學(xué)式為SF6一個(gè)八面體的結(jié)構(gòu).P--Q則平面與平面QAB夾角的余弦值是A.22B.23C.12D.13D9.（2025北京延慶區(qū)高三一模某圓錐高為3π3A.3πB.4πC.5πD.6πA平谷區(qū)高三一模以看作是由半徑為10cm2π3部分的奶油和包裹在蛋筒內(nèi)部的奶油體積相等(忽略蛋筒厚度)奶油的總體積約為A.2000281πcm3B.4000327πcm3C.2000327πcm3D.4000281πcm3D等差數(shù)列/等比數(shù)列1.（2025北京東城區(qū)高三一模已知an是各項(xiàng)均為正整數(shù)的無窮等差數(shù)列,其中的三項(xiàng)為41,25,13,則a的公差可以為nA.-4B.-3C.4D.3C2.（2025北京海淀區(qū)高三一模已知an是公差為d的等差數(shù)列,bn是公比為q的等比數(shù)列.若0<q<1,an-bnd≥A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件D3.(2025北京朝陽區(qū)高三一模05)已知{a}是等比數(shù)列，a2=2a3=1aa2?a6=A.18B.14C.12D.1A4.(2025北京朝陽區(qū)高三一模14)()和十二地支()的組合來表示年份，20252025年之后的首個(gè)己巳年是年．(用數(shù)字作答)20495.（2025北京豐臺(tái)區(qū)高三一模已知{a}是公差不為0n項(xiàng)和為Sn?n∈N?Sn≤Sa8≥A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A6.（2025北京豐臺(tái)區(qū)高三一模已知a,a,a3是公比不為1a,a,a3調(diào)整順序后可a,a,a3的值依次為．1,-2,4(答案不唯一)7.(2025北京石景山區(qū)高三一模07)等比數(shù)列{a}中，a2=2：a4=4：a6=8A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件C8.（2025北京房山區(qū)高三一模已知an是等差數(shù)列,且a2=1,a1+a5=8,則an的通項(xiàng)公式an=.3n-59.(2025北京順義區(qū)高三一模08)設(shè)ani>j>kai<aj<aanA.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件B10.（2025北京延慶區(qū)高三一模已知等比數(shù)列an的公比為qn項(xiàng)和為S.若S1=-1，且?n∈N*a2>a則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A.a2<0B.0<q<1C.Sn<1q-1D.a1>anC11.（2025北京延慶區(qū)高三一模數(shù)列{a}akak≥a1且ak≥a，(k≥2，k∈N)則稱ak為{a}的一個(gè)峰值.若an=-3n2+11n{a}的峰值為；若an=tlnn-n{a}t的最大值為.10,-∞,1ln212.（2025平谷區(qū)高三一模在等比數(shù)列an中，a1+a2=-16,a2+a3=163，記n=aa2?ann=1,2,?nA.B.C.D.C13.（2025平谷區(qū)高三一模55(按30天計(jì))共織了44010天該女子織了尺布”11直線與圓方程1.（2025北京東城區(qū)高三一模長(zhǎng)度為2的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸及y軸上運(yùn)動(dòng),則線段AB的中點(diǎn)到直線3x+4y+10=0距離的最小值為A.1B.2C.2D.3A2.（2025北京西城區(qū)高三一模在平面直角坐標(biāo)系xOyA0,t發(fā)出的光線經(jīng)過點(diǎn)B1,0x軸反射后將圓C:x-4+y-3=1t=A.1B.2C.3D.4A3.（2025北京海淀區(qū)高三一模已知直線y=ax+b經(jīng)過圓x2+y2+2x=0的圓心,則a2+b的最小值為A.-1B.-14C.0D.1B4.（2025北京豐臺(tái)區(qū)高三一模已知直線x-y+2=0與圓x2+y2=r(r>0)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)r=．25.(2025北京石景山區(qū)高三一模09)已知點(diǎn)M,N為圓x2+y2-2y-3=0|MN|=23，點(diǎn)P在直線3x-y-5=0上Q為線段MN|PQ|的最小值為A.1B.2C.3D.4B6.（2025北京房山區(qū)高三一模直線y=x+1與圓x-1+y2=3交于A,B兩點(diǎn),則AB=A.1B.2C.2D.22B7.(2025北京門頭溝區(qū)高三一模06)已知圓C:x2+y2=1l:y=kx+2kl上任意一點(diǎn)總能作圓Ck的最大值為A.0B.33C.1D.3D8.(2025北京順義區(qū)高三一模13)已知直線l:y=kx-1與圓O:(x-1)2+(y-1)2=1有兩個(gè)交點(diǎn)，則k可以是.(寫出滿足條件的一個(gè)值即可)k>34(答案不唯一)9.（2025北京延慶區(qū)高三一模已知圓C:(x-4)2+(y-3)2=1和兩點(diǎn)A(-m,0)B(m,0)(m>0).若圓C上存點(diǎn)P∠APB=90°m的最大值為A.4B.5C.6D.7C雙曲線1.（2025北京西城區(qū)高三一模設(shè)雙曲線Ex2a2-y2b2=1(a>0,b>0)12，若E上存在一點(diǎn)P得PF1=3PF2E的離心率的取值范圍是A.[3,+∞)B.[2,+∞)C.(1,3]D.(1,2]D2.（2025北京海淀區(qū)高三一模已知雙曲線y2a2-x2b2=1的一條漸近線的方程為y=2x,則該雙曲線的離心率為.523.(2025北京朝陽區(qū)高三一模06)已知曲線C:mx2-ny2=1n>m>C為焦點(diǎn)在x軸上A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A4.（2025北京豐臺(tái)區(qū)高三一模圖12是某校陶藝社團(tuán)的同學(xué)仿照金筐寶(忽略杯底部分)外輪廓可近似看作雙曲線C(即杯口直徑)約6.92cm4.00cm部最細(xì)處直徑約3.46cm6.92cmC的離心率最接近的是(參考數(shù)據(jù)：2≈1.41,3≈1.73)A.2B.2C.3D.3B5.(2025北京石景山區(qū)高三一模14)已知雙曲線x2-my2=1，若m=1；若雙曲線上存在四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D使得四邊形m的一個(gè)取值為．y=±x(答案不唯一)6.(2025北京門頭溝區(qū)高三一模04)k=±12線y=kx-3與雙曲線x24-y2=1只有一個(gè)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件C7.(2025北京順義區(qū)高三一模11)已知雙曲線C:x2a2-y2=1,2M(2,3)C的漸近線方程為.y=±x8.（2025北京延慶區(qū)高三一模已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線過點(diǎn)(-2,1)，則其離心率為.529.（2025平谷區(qū)高三一模記雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為e線y=3x與Ce的一個(gè)值為.32(答案不唯一)拋物線1.（2025北京東城區(qū)高三一模已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M為C上任意一點(diǎn),且總有MF≥1,則p的一個(gè)值可以為.2(答案不唯一,滿足p≥2)2.（2025北京西城區(qū)高三一模設(shè)拋物線C:x2=2py的焦點(diǎn)為F0,1lC上一點(diǎn)At,2到l的距離為．33.（2025北京海淀區(qū)高三一模已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M3,y在C上,02=2,則y=MF0A.1B.2C.3D.2C4.(2025北京朝陽區(qū)高三一模12)已知點(diǎn)M(2,1)在拋物線C:x2=2py(p>0)C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為F為圓心，|FM|為半徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線的位置關(guān)系是．()(0,1)5.（2025北京豐臺(tái)區(qū)高三一模已知拋物線Cy2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為FM在C上．若M的橫坐標(biāo)為1|MF|=2p的值為A.12B.1C.2D.4C6.(2025北京石景山區(qū)高三一模06)已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為FM(x0y)在C上，若|MF|>4A.x0∈(0,2)B.y0∈(0,2)C.x0∈(2,+∞)D.y0∈(2,+∞)C7.（2025北京房山區(qū)高三一模已知F是拋物線C:x2=12y的焦點(diǎn),則F的坐標(biāo)為，設(shè)A是直線y=-3上一點(diǎn),直線AF與拋物線C的一個(gè)交點(diǎn)為B,若AB=2BF,則點(diǎn)B到x軸的距離為0,3;18.(2025北京門頭溝區(qū)高三一模12)已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F點(diǎn)F且垂直于其對(duì)稱軸的直線交C于點(diǎn)MNMN=4.29.(2025北京順義區(qū)高三一模09)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為Fl點(diǎn)F的直線與C交于不同的兩點(diǎn)A,BOBO與l交于點(diǎn)M|AF|=2|FB|△ABM的面積為A.922B.32C.322D.2A10.（2025北京延慶區(qū)高三一模k=12線y=kx+2與拋物線y2=4xA.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件A11.（2025平谷區(qū)高三一模拋物線y2=2x上一點(diǎn)Px,y0到準(zhǔn)線的距離與到對(duì)稱軸的距離相等，則x0=.12選填壓軸1.（2025北京東城區(qū)高三一模已知集合A=x,y∣y=x2-1,B=x,yy=ax+a∣.如果A∩B有且只有兩個(gè)元素,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A.-∞,1B.1,+∞C.0,1D.[0,1)∪1,+∞D(zhuǎn)2.（2025北京東城區(qū)高三一模已知數(shù)列an滿足a2=a1+2ann=1,2,3,?,且a1=1.給出下列四個(gè)結(jié)論:①若a2∈0,+∞,當(dāng)n≥3時(shí),a1>an；②若a2∈-2,0,當(dāng)n≥3時(shí),a1<an；③若a2∈-1,0,對(duì)任意正數(shù)M,存在正整數(shù)N,當(dāng)n>N0時(shí),an>M；④若a2∈-∞,-1,對(duì)任意負(fù)數(shù)M,存在正整數(shù)N,當(dāng)n>N0時(shí),an<M.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.①③④3.（2025北京西城區(qū)高三一模設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snn項(xiàng)的乘積為．若aa2<aa3<0A.Sn無最小值，n無最大值B.Sn有最小值，n無最大值C.Sn無最小值，n有最大值D.Sn有最小值，n有最大值D4.（2025北京西城區(qū)高三一模記x表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)．設(shè)函數(shù)fx=x+x，有以下四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)fxxfx+f-x=0或fx+f-x=-1；③集合x∣fx=a(a為常數(shù))中有且僅有一個(gè)元素；④滿足fx+fy≤7的點(diǎn)x,yx≥0,y≥0構(gòu)成的區(qū)域的面積為8．．①②④5.（2025北京海淀區(qū)高三一模對(duì)于無窮數(shù)列an和正整數(shù)kk≥2,若存在n,n,?,nk滿足n1<n2<?<nk且ann1=ann2=?=annk,則稱數(shù)列a具有性質(zhì)k.下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是nA.若an=n,則數(shù)列an不具有性質(zhì)2B.若an=n-1+cosnπ,則數(shù)列an具有性質(zhì)C.存在數(shù)列an和bn,使得an和bn均不具有性質(zhì),且an+bn具有性質(zhì)D.若數(shù)列an和bn均具有性質(zhì),則an+bn具有性質(zhì)D6.（2025北京海淀區(qū)高三一模如圖所示,某游樂場(chǎng)有一款游樂設(shè)施,該設(shè)施由轉(zhuǎn)輪A和轉(zhuǎn)輪B組成,B的圓心固定在轉(zhuǎn)輪A上的點(diǎn)Q處,某個(gè)座椅固定在轉(zhuǎn)輪B上的點(diǎn)M處.A的半徑為10米,B的半徑為5米,A的圓心P距離地面豎直高度為20米.游樂設(shè)施運(yùn)行過程中,A與B分別繞各自的圓心逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn),A旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)π分鐘,B旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)π2分鐘.當(dāng)Q在P正下方且M在Q正下方時(shí),開始計(jì)時(shí),設(shè)在第t分鐘M距離地面的豎直高度為ht米.給出下列四個(gè)結(jié)論:①hπ=25;②ht最大值是35；4轉(zhuǎn)輪AP③M在豎直方向上的速度大小低于40米/分鐘；M④存在t0π使得tt時(shí)M到P的距離等于15米.∈,,=00其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為.Q轉(zhuǎn)輪Bh(t)①③7.(2025北京朝陽區(qū)高三一模10)n301分．所n位同學(xué)的得分總和為150局總場(chǎng)數(shù)為A.12B.15C.16D.18B8.(2025北京朝陽區(qū)高三一模15)在棱長(zhǎng)為1的正方體-ABCD1中P是底面ABCD1①|(zhì)+PC|的最小值為2||+|PC|的最小值為6；③||+|PC|的最大值為1+3||2+|PC|2的最小值為3．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．①②④9.（2025北京豐臺(tái)區(qū)高三一模-C的棱長(zhǎng)為2E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段C①存在唯一的點(diǎn)F得AEF四點(diǎn)共面；②+F的最小值為23；③存在點(diǎn)FAF⊥E；④有且僅有一個(gè)點(diǎn)F截正方體-C所得截面的面積為25．其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為A.1B.2C.3D.4B10.（2025北京豐臺(tái)區(qū)高三一模已知函數(shù)f(x)=ex-acosx．給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)a=1時(shí)，在區(qū)間a，都沒有最小值；③當(dāng)a≠0時(shí)f(x)的零點(diǎn)從大到小依次為x,x,x,?，則對(duì)任意正整數(shù)i有xi-x1<π；④對(duì)任意實(shí)數(shù)a,mx0t>x0f(-t)+f(t)>m．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為．②④11.(2025北京石景山區(qū)高三一模10)如圖12的正方體-ABCD1中，M,N,P分別是AA,CC,CD1的中點(diǎn)，Q是線段DA1上的動(dòng)點(diǎn)(不包含端點(diǎn))，給出下列三個(gè)命題：①對(duì)任意點(diǎn)Q有BQ⊥AB1；②存在點(diǎn)QBQ//平面MNP；③過點(diǎn)Q且與BN垂直的平面截正方體-ABCD1所得截面面積的最大值為25．其中正確的命題個(gè)數(shù)是A.0B.1C.2D.3C12.(2025北京石景山區(qū)高三一模15)高斯取整函數(shù)f(x)=[x]的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如，[-3.5]=-4[2.1]=2．有如下四個(gè)結(jié)論：①若x∈(0,1)f(-x)+12=-(f(x)+12)f(x)=[x]與函數(shù)h(x)=x-1無公共點(diǎn)；-kkf+f(77③11)=-23；④所有滿足f(m)=f(n)(m,n∈[0,103])的點(diǎn)(mn)組成區(qū)域的面積為289．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．①②④13.（2025北京房山區(qū)高三一模已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),且滿足a12-an=λλ是常數(shù)，n=1,2,3,?,則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是A.若λ=0,則數(shù)列l(wèi)nan是等比數(shù)列B.若λ>0,則數(shù)列an是遞增數(shù)列C.若數(shù)列an是常數(shù)列,則λ≥-14D.若數(shù)列an是周期數(shù)列,則最小正周期可能為2C14.（2025北京房山區(qū)高三一模,曲線E:x2+y-x=1就是其中之一.設(shè)曲線E與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于C,D兩點(diǎn),點(diǎn)P是E上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).給出下列四個(gè)結(jié)論:①曲線E關(guān)于yE恰好經(jīng)過2個(gè)整點(diǎn)();③△面積的最大值為1;④OP≤5+12(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).其中正確結(jié)論的序號(hào)是.①③④15.(2025北京門頭溝區(qū)高三一模10)已知函數(shù)fx=ax2-x+xa∈R中x表示不超過x2.1=2-1.1=-2A.不存在afx有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)B.fx有3個(gè)零點(diǎn)的充要條件是a∈1,+∞C.存在a得fx有4個(gè)零點(diǎn)D.存在afx有5個(gè)零點(diǎn)C16.(2025北京門頭溝區(qū)高三一模15)已知數(shù)列an滿足a1>0a1=an+kank≠0個(gè)結(jié)論：①存在k得ank>0an為遞增數(shù)列；③對(duì)任意的k>0an既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列；④對(duì)于任意的k有a2≥a2+2kn-1.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.②③④17.(2025北京順義區(qū)高三一模10)已知直線y=-x+4分別與函數(shù)y=2x和y=logx的圖象交于A(x,y)B(x,y)2>x22+2>8xlogx2-xlogx1>0.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是A.0B.1C.2D.3C18.(2025北京順義區(qū)高三一模15)已知函數(shù)f(x)=1x,0<x≤1,，x-1,x>1.數(shù)列an滿足a1=m(m>0)a1=f(a).給出下列四個(gè)結(jié)論：①若a3=3m有3m=2-1a3=a(n∈N)；②對(duì)于任意m>2T得aT=a(n∈N)；③對(duì)于任意大于2的正整數(shù)T在m>1aT=a(n∈N)；其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.①②④19.（2025北京延慶區(qū)高三一模已知正方體-ABCD1的棱長(zhǎng)為1有點(diǎn)MMB+MC1=3點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為A.2B.4C.6D.8C20.（2025北京延慶區(qū)高三一模已知函數(shù)f(x)=lnx-1-kx+2①?k<1f(x)關(guān)于直線x=1?k>1得f(x)存在最小值；③?k>1f(x)在(1,+∞)?k>1得f(x)有三個(gè)零點(diǎn)；其中所有正確的結(jié)論的序號(hào)是.①③④21.（2025平谷區(qū)高三一模已知函數(shù)fx=sinπ2xt∈RAt={y∣y=fxPt,ftQx,fx滿足PQ≤2}.設(shè)M,mt分別表示集合Atht=Mt-m.則函數(shù)ht的最小值是A.22B.1C.2D.2B22.（2025平谷區(qū)高三一模已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列an前n項(xiàng)和是S,a1=aSn=aa1n=1,2,?.給出如下結(jié)論：①a2=1ana的取值范圍是0,1aan為等比數(shù)列；④?m∈N*k>maka1<2.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.①②④立體幾何解答題1.（2025北京東城區(qū)高三一模(本小題14分)如圖,在幾何體ABCDEF中,四邊形ABCD為平行四邊形,平面ADE⊥平面CDE,AD⊥DE,AD=DE=DC=1,BF?DE.(Ⅰ)證明:FC?平面ADE;(Ⅱ)已知點(diǎn)E到平面AFC的距離為62,再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,求BF的長(zhǎng).條件①:AE⊥CD;條件②:AC=CE.注:如果選擇條件①和條件②分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.(17)(共14分)解：(Ⅰ)因?yàn)樗倪呅蜛BCDBC∥AD.因?yàn)锳D?平面ADEBC?平面ADEBC∥平面ADE.因?yàn)锽F∥DEDE?平面ADEBF?平面ADEBF∥平面ADE.因?yàn)锽C∩BF=BBCF∥平面ADE.因?yàn)镕C?平面BCF以FC∥平面ADE.??????5分(Ⅱ)選條件①：AE⊥CD.因?yàn)槠矫鍭DE⊥平面CDE,平面ADE∩平面CDE=DE，AD⊥DEAD?平面ADEAD⊥平面CDE.因?yàn)镃D?平面CDE以AD⊥CD.因?yàn)锳E⊥CDAD∩AE=A，所以CD⊥平面ADE.所以CD⊥DE.如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyzBF=t，則A(1,0,0)C(0,1,0)E(0,0,1)F(1,1,t).所以AC=(-1,1,0)AF=(0,1,t).設(shè)平面AFC的法向量為m=(x,y,z)m?AC=0,即m?AF=0,-x+y=0,y+tz=0.令z=-1y=tx=t.于是m=(t,t,-1).由于AE=(-1,0,1)E到平面AFC的距離d為62|AE?m||(-1)×t+0×t+1×(-1)|所以d===6|m|2t2+t2+(-1)2，得t=12.所以BF的長(zhǎng)為12.??????14分選條件②：AC=CE．因?yàn)槠矫鍭DE⊥平面CDE面ADE∩平面CDE=DEAD⊥DE，AD?平面ADEAD⊥平面CDE.所以AD⊥CD.所以∠ADC=90.因?yàn)锳D=EDAC=ECDC=DCΔADC?ΔEDC.所以∠ADC=∠EDC=90.所以CD⊥DE.以下同選條件①.??????14分2.（2025北京西城區(qū)高三一模(本小題13分)中，AB⊥平面PDC∩平面=PQAB?CDPO⊥AD于點(diǎn)O．(1)求證：?PQ；(2)設(shè)AB=DO=4OA=4=PQ=PO=2與平面QBC所成角的正弦值．(16)(共13分)解:(I)如圖,因?yàn)锳B?,?平面ABQP,AB?平面ABQP,所以?平面ABQP.3分又因?yàn)?平面,平面∩平面ABQP=PQ,所以?PQ.5分(II)在平面內(nèi)過點(diǎn)O作Oy?AB.因?yàn)锳B⊥平面,所以O(shè)y⊥平面.所以O(shè)y⊥OP,Oy⊥.又因?yàn)镻O⊥AD,所以O(shè)D,Oy,OP兩兩互相垂直.如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則O0,0,0,A-1,0,0,D4,0,0,C4,2,0,B-1,4,0,P0,0,2,BC=5,-2,0,AP=1,0,2.7分由題意,得CQ=DP=-4,0,2.設(shè)平面QBC的法向量為m=x,y,z,m?CQ=0,-4x+2z=0,則即5x-2y=0.m?BC=0,令x=2,則y=5,z=4.于是m=2,5,4.10分所以cos?m,AP?=m?AP=2.3mAP故直線與平面QBC所成角的正弦值為23.13分3.（2025北京海淀區(qū)高三一模(本小題13分)如圖,五面體ABCDEF中,四邊形ABCD是正方形.(Ⅰ)求證:EF?CB；(Ⅱ)若平面ABCD⊥平面ABF,AB=AF=12EF=1,BF=2,求直線DE與平面BCEF所成角的大小.B(16)(本小題13分)C解:(I)由四邊形ABCD是正方形,可得BC?AD.又因?yàn)锽C?平面ADEF,AD?平面ADEF,AF所以BC?平面ADEF.DE又因?yàn)锽C?平面BCEF,平面BCEF∩平面ADEF=EF,所以BC?EF.(II)由四邊形ABCD是正方形,可得AD⊥AB.又因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABF,所以AD⊥平面ABF.所以AD⊥AF.在△ABF中,因?yàn)锳B=AF=1,BF=2,所以AB2+AF2=BF,由勾股定理逆定理得AB⊥AF如圖,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,由已知可得A0,0,0,D1,0,0,F0,1,0,E2,1,0,B0,0,1,C1,0,1.所以,DE=1,1,0,BC=1,0,0,BF=0,1,-1,BC?n=0,設(shè)平面BCEF的一個(gè)法向量為n=x,y,z,則BF?n=0,x=0,取y=1,得x=0,z=1.所以n=0,1,1,所以y-z=0.設(shè)直線DF與平面BCEF所成角為θ,則sinθ=cos<DE,n>=DE?n=?nDE12?ncos?DE,n?=DE?nDE=12.又因?yàn)棣葹殇J角,所以θ=π6.4.(2025北京朝陽區(qū)高三一模16)(本小題13分)-A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD中，ABAB=2AD==1E為線段AB的中點(diǎn)．(Ⅰ)求證：A1E?平面C1；(Ⅱ)若平面AABB1⊥平面A1AA=2AABB1與平面AC1E夾角的余弦值．解：(Ⅰ)連接DC,EC．因?yàn)锳B=2,=1,E為ABAE=．又ABCD為平行四邊形．所以EC//AD,EC=AD．又因?yàn)锳D//AD,AD1=AD，所以ADEC,AD1=EC．所以四邊形A11為平行四邊形．所以A1EDC．又因?yàn)锳1E?平面C1DC?平面C1，所以A1E?平面C．6分(Ⅱ)因?yàn)锳A1⊥平面ABCDAA1⊥AB,AA1⊥AD．又因?yàn)槠矫鍭1ABB1⊥平面A11面A1ABB1∩平面A1=AA,AD?平面A1，所以AD⊥平面AABB．所以AD⊥AB．所以AB,AD,AA1兩兩垂直．如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則D(0,1,0)B(2,0,0)A(0,0,2)C(1,1,2)．所以E(1,0,0)EA1=(-1,0,2)AC1=(1,1,0)．因?yàn)锳D⊥平面AABB1，所以AD=(0,1,0)是平面AABB1的法向量．n?EA1=0,設(shè)平面AC1E的法向量為n=(x,y,z)即n?AC1=0,-x+2z=0,x+y=0.令x=2y=-2,z=1．于是n=(2,-2,1)．設(shè)平面AABB1與平面AC1E夾角為θ|AD?n|=2cosθ=|cos<AD,n>|=3|AD|?|n|．13分5.（2025北京豐臺(tái)區(qū)高三一模(本小題14分)P-⊥平面ABCD△為等邊三角形，AD‖BC，AB=AD=12BC=2∠ABC=60°．(Ⅰ)求證：AC⊥平面；(Ⅱ)求直線PD與平面PBC所成角的正弦值．解：(Ⅰ)在△ABCAB=2BC=4∠ABC=60°，所以AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cosB=4+16-2×2×4所以AC=23.又AC2+AB2=BC2，所以AC⊥AB.又因?yàn)槠矫妗推矫鍭BCD，平面∩平面=AB，AC?平面ABCD，所以AC⊥平面...........5分(Ⅱ)分別取ABBC中點(diǎn)OEOPOE.所以O(shè)E‖AC.因?yàn)锳C⊥AB，所以O(shè)E⊥AB.又因?yàn)椤鳛榈冗吶切?，所以O(shè)P⊥AB.因?yàn)锳C⊥平面OP?平面，所以AC⊥OP.又因?yàn)镺E‖AC，所以O(shè)E⊥OP.所以O(shè)BOEOP兩兩垂直.如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則A(-100)B(100)P(00，3)E(0，30).所以BP=(-10，3)AD=BE=(-1，30)PD=+AD=(-2，3-3).設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z)，則n?BP=0，即n?BE=0，-x+3z=0，-x+3y=0.令y=1x=3z=1.于是n=(311).設(shè)直線PD與平面PBC所成角為θsinθ=|cos<n,PD>|=|n?PD||n||PD|=65.所以直線PD與平面PBC所成角的正弦值為65...........14分6.(2025北京石景山區(qū)高三一模18)(本小題14分)P-中，⊥平面ABCDAB=2AB=1BC=1=2AB⊥BCN為PD的中點(diǎn)．(Ⅰ)求證：AN//平面PBC；(Ⅱ)求二面角C-PD-A的余弦值；(Ⅲ)點(diǎn)M在線段APCM與平面所成角的正弦值為63，求點(diǎn)M到平面的距離．解：(Ⅰ)取PC的中點(diǎn)為F結(jié)NF,BF，因?yàn)镹,F分別為PDPC中點(diǎn)，所以NF且NF=12CD，因?yàn)锳BCDAB=12=1，所以AB//NF且AB=NF，即四邊形ABMN是平行四邊形．所以ANBF，又AN?平面PBCBF?平面PBC，所以AN//平面PBC．????4分(Ⅱ)取的中點(diǎn)為E結(jié)AE．因?yàn)锳BCDCE=12=1=AB，所以四邊形ABCE是平行四邊形．則AE=1，因?yàn)锳B⊥BCABCE是正方形．則AE⊥AB．因?yàn)椤推矫鍭BCDAE,AB?平面ABCD，所以⊥AE⊥AB．則,AE,AB兩兩垂直．如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyzA(0,0,0)B(0,1,0)，C(1,1,0)D(1,-1,0)P(0,0,2)．因此AP=(0,0,2)AD=(1,-1,0)，=(0,-2,0)PC=(1,1,-2)．設(shè)平面的一個(gè)法向量為m=(x,y,z)m?AP=0,m?AD=0,即2z=0，x-y=0令y=1x=1以m=(1,1,0)，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=(a,b,c)n?PC=0，得n?=02b=0，a+b-2c=0令c=1a=2以n=(2,0,1)設(shè)二面角的平面角為α0<α<π2，所以cosα=|cos<mn>|=|m?n||m|?|n|=22×5=105，所以二面角C-PD-A的余弦值為105．????10分(Ⅲ)AM=k(0≤k≤2)M=(0,0,k)MC=(1,1,-k)．又由(Ⅱ)得平面的一個(gè)法向量為m=(1,1,0)，設(shè)直線CM與平面所成角為β，所以sinβ=|cos<m,MC>|=|m?MC||m|=|1+1|2?2+k2=63，解得k=1(負(fù)值舍去)，所以點(diǎn)M到平面的距離為|MC?n||n|=15=55．????14分7.（2025北京房山區(qū)高三一模(本小題13分)-ABCD1中，AB=AD=1E為BB1的中點(diǎn)，1與平面A1EC交于點(diǎn)F.(Ⅰ)求證：F為1的中點(diǎn)；(Ⅱ)若二面角C-AF-D的余弦值為33AA1的長(zhǎng)度.解：(Ⅰ)在長(zhǎng)方體-ABCD1中，因?yàn)槠矫鍮CCB1∥平面A1，平面A1EC∩平面BCCB1=EC,平面A1EC∩平面A1=AF，所以EC∥AF.同理EA1∥CF.所以1是平行四邊形.所以EC=AF.又DF=AF2-AD1=AF2-1,BE=EC2-BC2=EC2-1.所以DF=BE=12BB1=12.所以F為1的中點(diǎn).(Ⅱ)在長(zhǎng)方體-ABCD1中，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyzAA1=t(t>0)，則A(0,0,t)C(1,1,0)E1,0,t.2因此CE=0-1t=(-1,-1,t).CA21設(shè)平面A1EC的法向量為=(x,y,z)，則?=0,?CA=0.1即-y+t-x-y+t?z=0.令z=2y=tx=t此=(t,t,2).易知平面A1的法向量為=(1,0,0)?|cos<,>|=m=||?|||t|t2+t2+4=33.解得t=2.所以AA1=2.8.(2025北京門頭溝區(qū)高三一模16)-ABCD1中，E為BB1中點(diǎn)，BC1與平面AD1E交于點(diǎn)F.(1)求證：F為BC1的中點(diǎn)；(2)求平面AD1E與平面夾角的余弦值.解:(I)如圖所示,因?yàn)?ABCD1為正方體,所以平面A1?平面BCCB.1分又因?yàn)?A1∩平面AD1E=AD1,BCC1B1∩平面AD1E=,所以AD1?.2分連接BC,因?yàn)锳B?CD,AB=CD,所以四邊形ABCD13分因此AD1?BC.4分所以BC1?.5分又因?yàn)镋為BB1中點(diǎn),所以F為BC16分(II)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,7分則A2,0,0,D10,0,2,E2,2,1.從而AD1=-2,0,2,AE=0,2,1.8分n?AD1=0,-2x+2z=0,設(shè)平面AD1E的法向量為n=x,y,z,則即2y+z=0.n?AE=0,9分令y=-1,則x=z=2,于是n=2,-1,2.10分易知平面的一個(gè)法向量為m=0,0,211分方法一:所以cos?n,m?=n?mnm=23.12分所以平面AD1E與平面夾角的余弦值為23.13分方法二:設(shè)平面AD1E與平面夾角為θ,cosθ=cos?n,m?=n?m=nm23.13分9.(2025北京順義區(qū)高三一模16)(本小題13分)P-是菱形，∠=120°=AB=2PB=22.(Ⅰ)若平面ACE與棱PD交于點(diǎn)EPB∥平面ACE：E是PD中點(diǎn)；(Ⅱ)若F是棱PDPFPD=23BD⊥PC時(shí)，求PC與平面ACF所成角的正弦值.(Ⅰ)設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O結(jié)OE.因?yàn)镻B∥平面ACE面PBD∩平面ACE=OEPB?平面PBD.所以PB∥OEO為ACE是PD中點(diǎn).???5分(II)BD⊥PCBD⊥ACAC∩PC=C.所以BD⊥平面?平面以BD⊥.因?yàn)镻B=22AB==2.所以PB2=AB2+2⊥ABBD∩AB=B.所以⊥平面以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB所在直線為x軸，OC所在直線為yO且平行于的直線為zo-xyz.則O(0,0,0)A(0,-1,0)C(0,1,0)P(0,-1,2)D(-3,0,0)．因此AC=(0,2,0)PD=(-3,1,-2)．因?yàn)镻FPD=23=2以PF3PD=-23,2,-4.333所以F-23,-1,2此AF333=-23,2,2.333設(shè)平面ACF的法向量為n=(x,y,z)n?AF=0,n?AC=0,即-232y=0.23y+23z=0,令x=1z=3．于是n=(1,0,3)．所以cos?n,PC?=n?PC|n||PC|=-232×22=-64．?|=6設(shè)PC與平面ACF所成角為θsinθ=|cos?n,PC4．所以，PC與平面ACF所成角的正弦值為64．???13分(II)方法二：取BC中點(diǎn)Q,連結(jié)因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，?120°.所以△ABC為等邊三角形.所以⊥BC.又因?yàn)锳D?BC.所以⊥AD.因?yàn)锽D⊥PCBD⊥ACAC∩PC=C.所以BD⊥平面?平面以BD⊥.因?yàn)镻B=22AB==2.所以PB2=AB2+2⊥ABBD∩AB=B.所以⊥平面以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z間直角坐標(biāo)系o-xyz.則A(0,0,0)C(3,1,0)P(0,0,2)D(0,2,0)．因此PC=(3,1,-2)AC=(3,1,0)PD=(0,2,-2)．因?yàn)镻FPD=23=2以PF3PD=0,4,-4.33所以F0,4,2=0,4,2此AF.3333設(shè)平面ACF的法向量為n=(x,y,z)n?AF=0,n?AC=0,即3x+y=0,423y+3z=0.令x=1y=-3．z=23于是n=(1,-3,23)．所以cos?n,PC?=n?PC|n||PC|=3-3-434×22=-64．?|=6設(shè)PC與平面ACF所成角為θsinθ=|cos?n,PC4．所以，PC與平面ACF所成角的正弦值為64．???13分10.（2025北京延慶區(qū)高三一模(本小題14分)P-是矩形，PD⊥底面ABCDPD=AD=2E是PCABE與線段PD交于點(diǎn)F.(Ⅰ)求證：AB?FE；(Ⅱ)若CF=5BE與平面BCF所成角的正弦值.解:(I)在矩形中,AB?DC,又AB?平面DCP,DC?平面DCP,所以AB?平面DCP.2分又因?yàn)锳B?平面ABE,且平面ABE∩平面DCP=FE,所以AB?FE.4分(II)由(I)可知FE?DC.又因?yàn)镋是PC的中點(diǎn),所以F是PD的中點(diǎn).5分因?yàn)镃F=5,即2+DF2=5.故=2.6分因?yàn)镻D⊥平面,所以PD⊥AD,PD⊥DC.又在正方形中,AD⊥DC,所以,DC,DP兩兩垂直.如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,7分則B2,2,0,C0,2,0,P0,0,2,E0,1,1,F0,0,1.所以BE=-2,-1,1,BF=-2,-2,1,BC=-2,0,0.10分設(shè)平面BCF的一個(gè)法向量為n=x,y,z.由BF?n=0,BF?n=0得-2x-2y+z=0,所以-2x=0.x=0,z=2y.令y=1,得z=2,所以平面BCF的一個(gè)法向量為n=0,1,2.12分設(shè)直線BE與平面BCF所成角為θ,BE?n=1則sinθ=cos<BE,n>=6?5BEn=3030.故直線BE與平面BCF所成角的正弦值為3030.14分11.（2025平谷區(qū)高三一模(本小題14分)P-⊥平面,△ADP等腰直角三角形，∠APD=90°,AD∥BC,AB⊥AD,AD=2,AB=BC=1.(1)點(diǎn)E在棱PD上CE∥平面：E為PD的中點(diǎn)；(2)求DC與平面所成的角.解：(Ⅰ)在△E作//AD交于點(diǎn)F接BF，因?yàn)锳DBC以BC以BCEF四點(diǎn)共面．??因?yàn)镃E//平面CE?平面，平面∩平面=BFCE?BF．所以四邊形是平行四邊形．??????4分所以BC==12ADE為PD的中點(diǎn)．??????(Ⅱ)過P作PO⊥AD于O接OC．因?yàn)?PD以O(shè)為AD中點(diǎn)，AD=2AO=BC=1ADBCABCOAB⊥ADCO⊥AD因?yàn)槠矫妗推矫鍭B⊥AD面∩平面=?平面以AB⊥平面．所以AB⊥PO以CO⊥PO．??????8分如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．因?yàn)锳D=2AB=BC=1A(0,1,0)B(1,1,0)C(1,0,0)D(0,-1,0)P(0,0,1)．??????9分所以AB=(1,0,0)=(0,1,-1)DC=(1,1,0)．設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z)，則n?AB=0,n?=0,即x=0,??????11分y-z=0.令z=1y=1．所以n=(0,1,1)．設(shè)DC與平面所成角為θ，|n?DC|=1則sinθ==|n||DC|1+1?2=12??????13分解得θ=π6．所以DC與平面所成的角為π6．??????14分三角函數(shù)與解三角形解答題1.（2025北京東城區(qū)高三一模(本小題13分)在△ABC中,a=6,b-c=1,sinC=74.(Ⅰ)求b的值及△ABC的面積；(Ⅱ)求證:A=2C.(16)(共13分)解：(Ⅰ)在△ABCb-c=1以b>c.所以C為銳角．因?yàn)閟inC=74以cosC=34．由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC(b-1)2=36+b2-9b.解得b=5.△ABC的面積S=12absinC=1574.?????????7分(Ⅱ)由a=6,b=5b-c=1c=4.2+c2-a22bccosA=b2+42-622×5×4=5=18.因?yàn)镃2C∈(0,π).又cos2C=1-2sinC=18=cosA由A∈(0,π)以A=2C.?????????13分2.（2025北京西城區(qū)高三一模(本小題14分)在△ABC中，acosB+bcosA=4ccosA．(1)求cosA的值；(2)若a=210△ABC存在，求BC邊上的高．條件①：B=3π4；條件②：b=6；條件③：cosC=104．(2)問得0個(gè)解答計(jì)分．(17)(本小題14分)解:(I)由正弦定理asinA=bsinB=csinC,得sinAcosB+sinBcosA=4sinCcosA,3分即sinA+B=4sinCcosA.5分由A+B+C=π,得sinA+B=sinC.7分所以sinC=4sinCcosA.由0<C<π,得sinC≠0.所以cosA=14.8分(II)選擇條件②:由A∈0,π,且cosA=14,得sinA=1-cosA=154.9分由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得210=62+c2-2×6×c×14,解得c=4或c=-1(舍).12分設(shè)邊BC上的高為h,則三角形面積S=12bcsinA=12ah,所以h=bcsinAa=4×6×4210=362.14分選擇條件③:由A∈0,π,且cosA=14,得sinA=1-cosA=154.9分由C∈0,π,且cosC=104,得sinC=64.所以sinB=sinA+C=154×104+14×64=368.11分由正弦定理,得b=asinBsinA=6,所以邊BC上的高h(yuǎn)=bsinC=6×64=362.14分3.（2025北京海淀區(qū)高三一模(本小題13分)在△ABC中,已知2asinA=331-cos2A,b=26.(Ⅰ)求sinB的值;(Ⅱ)若∠B為銳角,,使△ABC存在且唯一,求△ABC的面積.條件①:c=5;條件②:cosA=63;條件③:asinA=3.注:如果選擇的條件不符合要求,第(II)問得0分;如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.(17)(本小題14分)解:(I)因?yàn)閏os2?A=1-2sin2?A,故由2asinA=331-cos2?A可得2asinA=63sin2?A,因?yàn)锳∈0,π,sinA>0,所以asinA=33,在△ABC中,由正弦定理asinA=bsinB,所以bsinB=33,因?yàn)閎=26,所以sinB=2633=223.(II)選條件②解答如下:因?yàn)閏osA=63,?A∈0,π,所以sinA=1-cos2?A=33,因?yàn)閟inB=223,∠B為銳角,所以cosB=1-sin2B=13,又因?yàn)锳+B+C=π,所以sinC=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB=33×13+63×223=539,在△ABC中,由正弦定理asinA=bsinB=csinC=33,所以c=33sinC=5(或者a=3)又因?yàn)閟inA=33,?b=26所以△ABC的面積S=12bcsinA=12×26×5×33=52.選條件③解答如下:由(I),asinA=33,且asinA=3,解得a=3,sinA=33,因?yàn)閍=3<26=b,所以A<B<π2,所以cosA>0,cosA=1-sin2A=63,因?yàn)閟inB=223,∠B為銳角,所以cosB>0,cosB=1-sin2B=13,又因?yàn)锳+B+C=π,所以sinC=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB=33×13+63×223=539所以△ABC的面積S=12absinC=12×3×26×539=52.4.(2025北京朝陽區(qū)高三一模17)(本小題13分)在△ABC中，bcosA+acosB=c．(Ⅰ)求c的值；(Ⅱ)已知sinC=35△ABC△ABC的周長(zhǎng)．條件①：∠B=π4；條件②：AB邊上的高為32；條件③：a=43.(Ⅱ)問得0一個(gè)解答計(jì)分．解：(Ⅰ)由正弦定理asinA=bsinB=csinC及bcosA+acosB=c2得sinBcosA+sinAcosB=csinC．所以sin(A+B)=csinC．所以sin(π-C)=csinC．又因?yàn)镃∈(0,π)sin(π-C)=sinC≠0．所以c=1．5分(Ⅱ)B=π4sinC=35c=1bsinB=csinC，所以b=csinBsinC=526．因?yàn)閎>c以B>C．所以C∈0,π．2又因?yàn)閟inC=35以cosC=1-sinC=45．所以sinA=sinπ+C=422×45+22×35=7210．又asinA=csinCa=csinAsinC=726．所以△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=1+726+526=1+22．13分c=1AB邊上的高為32以S=34．又因?yàn)閟inC=35以S=12ab×35=310ab．所以ab=52．因?yàn)閟inC=35cosC=±1-sinC=±45．①當(dāng)cosC=45時(shí)c2=a2+b2-2abcosC1=a2+b2-2ab×45．又ab=52以a2+b2=5．所以a=b=102．所以△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=1+10．②當(dāng)cosC=-45時(shí)c2=a2+b2-2abcosC1=a2+b2-2ab×-4．5又ab=52以a2+b2=-3綜上，△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=1+10．13分5.（2025北京豐臺(tái)區(qū)高三一模(本小題13分)在△ABC中，b2-a2-c2=-117ac．(Ⅰ)求sinB；(Ⅱ)若△ABC的面積為1534得△ABCa．條件①：C=2π3；條件②：b=5；條件③：sinA-sinC=1．(Ⅱ)問得0一個(gè)解答計(jì)分．解：(Ⅰ)在△ABCb2-a2-c2=-117ac，由余弦定理cosB=a2+c2-b22accosB=1114.因?yàn)锽∈(0,π)，所以sinB=1-cosB=5314...........5分(Ⅱ)選擇條件①：因?yàn)镃=2π3,所以sinC=32cosC=-12.由題意得S=12absinC=1534，所以ab=15(1).因?yàn)閏osB=1114sinB=5314sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=5314×-1+21114×32=3314.由正弦定理asinA=bsinBab=35(2)，由(1)(2)解得a2=9以a=3...........13分S=12acsinB=1534ac=21(1).因?yàn)閎=5b2-a2-c2=-117ac以a2+c2=58.又(a+c)2=a2+c2+2ac=100，所以a+c=10(2