2023北京北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷和答案

高中PAGE1試題2023北京北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)班級(jí)__________姓名__________學(xué)號(hào)__________成績(jī)__________考生須知1.本試卷共4頁(yè)，共五道大題，24道小題，答題卡共4頁(yè)，滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫(xiě)班級(jí)、姓名、學(xué)號(hào).3.試卷答案一律填寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.4.在答題卡上，選擇題須用2B鉛筆將選中項(xiàng)涂黑涂滿(mǎn)，其他試題用黑色字跡簽字筆作答.第Ⅰ卷（共100分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.下列各角中，與角終邊相同的是（）A. B. C. D.2.在中，A為鈍角，則點(diǎn)（）A.在第一象限 B.在第二象限C.在第三象限 D.在第四象限3.已知，且角，的終邊關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則（）A. B. C. D.4.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的值為（）A.2 B.1 C. D.5.下列函數(shù)中，周期為的偶函數(shù)為（）A. B. C. D.6.如果角的終邊在直線(xiàn)上，則（）A. B. C. D.7.若將函數(shù)的圖像先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再保持縱坐標(biāo)不變，并將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)中心可能是（）A. B. C. D.8.如圖，為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)秒針尖位置p（x，y）．若初始位置為，當(dāng)秒針從P0（注此時(shí)t=0）正常開(kāi)始走時(shí)，那么點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為（）A.y=sin B.y=sinC.y=sin D.y=sin二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）9.已知向量，.若，則__________.10.已知圓的半徑為2，則的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為_(kāi)_____.11.已知是方程的兩根，則等于__________.12.設(shè)向量，的夾角為，且，，則__________.13.已知函數(shù)，若對(duì)任意都有（c為常數(shù)），則常數(shù)m的一個(gè)取值為_(kāi)________．14.關(guān)于函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的最小值是1；③函數(shù)的最大值是；④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.其中全部正確結(jié)論的序號(hào)是__________.三、解答題（本大題共3小題，共30分）15.已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，且.（1）求，，的值；（2）求，的值.16.已知函數(shù).（1）求的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，求的取值范圍.17.已知同時(shí)滿(mǎn)足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：①；②的圖像可以由的圖像平移得到；③相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為；④最大值為.（1）請(qǐng)直接指出這三個(gè)條件，并求出的解析式；（2）若曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸只有一條落在區(qū)間上，求的取值范圍.第Ⅱ卷（共50分）四、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）18.在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，它的終邊與以原點(diǎn)為圓心的單位圓交于點(diǎn)，則______．19.梯形中，，，，，點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng).（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，__________.（2）的最小值是__________.20.已知點(diǎn)，是函數(shù)圖像上的任意兩點(diǎn)，角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，的最小值為.又對(duì)任意，不等式恒成立，則__________，實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.21.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4條對(duì)稱(chēng)軸，給出下列四個(gè)結(jié)論，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.①在區(qū)間上有且僅有個(gè)不同的零點(diǎn)；②的最小正周期可能是；③的取值范圍是；④在區(qū)間上單調(diào)遞增.五、解答題（本大題共3小題，共30分）22.已知函數(shù).（1）求在區(qū)間上的最大值和最小值；（2）若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出實(shí)數(shù)的取值范圍（不需過(guò)程）.23.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、三點(diǎn)滿(mǎn)足.（1）已知，，求；（2）已知，，，的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.24.已知函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間D，若對(duì)于給定的非零實(shí)數(shù)m，存在，使得，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間D上具有性質(zhì).（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)，求n的取值范圍；（3）已知函數(shù)的圖像是連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，且，求證：函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì).

參考答案第Ⅰ卷（共100分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.【答案】D【解析】【分析】寫(xiě)出與終邊相同角的集合，取k值得答案.【詳解】與角終邊相同的角的集合為，取，可得.∴與角終邊相同的是.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查終邊相同的角，屬于基礎(chǔ)題.2.【答案】B【解析】【分析】先判斷的正負(fù)，即可求解【詳解】在中，A為鈍角，則B為銳角，則，則點(diǎn)在第二象限，故選：B3.【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，求的關(guān)系，根據(jù)誘導(dǎo)公式，即可求解.【詳解】因?yàn)榻?，的終邊關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以，，即，.故選：B4.【答案】C【解析】【分析】由圖象分析函數(shù)的周期，求得的值.【詳解】因?yàn)?，，由圖象可知，函數(shù)的半周期是，所以，得.故選：C5.【答案】D【解析】【分析】利用三角函數(shù)的周期公式及二倍角的余弦公式,結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義及誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】對(duì)于A，，由題意可知，的定義域?yàn)?，所以為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，由題意可知，的定義域?yàn)?，所以為偶函數(shù)，故D正確.故選：D.6.【答案】B【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊在直線(xiàn)上，所以.所以.故選：B.7.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則求出的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】將函數(shù)的圖像先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，再將保持縱坐標(biāo)不變，圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，得到，令，，解得，，所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，，故符合題意的有.故選：A8.【答案】C【解析】【分析】先確定函數(shù)的周期，再假設(shè)函數(shù)的解析式，進(jìn)而結(jié)合待定系數(shù)法可求函數(shù)的解析式，注意秒針是順時(shí)針走動(dòng)．【詳解】解：由題意，函數(shù)的周期為，設(shè)函數(shù)解析式為（因?yàn)槊脶樖琼槙r(shí)針走動(dòng)），初始位置為，，時(shí)，，，可取，函數(shù)解析式為故選：C．二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）9.【答案】【解析】【分析】利用向量垂直的條件及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，解?故答案為：.10.已知圓的半徑為2，則的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】由已知結(jié)合弧長(zhǎng)公式即可直接求解【詳解】由弧長(zhǎng)公式可得.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查弧長(zhǎng)公式，屬于基礎(chǔ)題.11.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得到，結(jié)合，即可求解.【詳解】由題意知是方程的兩根，可得，所以.故答案為：.12.【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再根據(jù)及數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)橄蛄浚膴A角為，且，，所以，所以.

故答案為：13.【答案】（答案不唯一，只要是即可）【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性得到，再根據(jù)誘導(dǎo)公式求出都可滿(mǎn)足條件.【詳解】函數(shù)中心對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在x軸上，所以，所以對(duì)任意恒成立，，所以，故利用誘導(dǎo)公式得都可滿(mǎn)足條件.故答案為：（答案不唯一，只要是即可）【點(diǎn)睛】正弦函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱(chēng)性，周期性，單調(diào)性及誘導(dǎo)公式等等是我們必備的基礎(chǔ)知識(shí)，做題時(shí)經(jīng)常用到.14.【答案】①②③【解析】【分析】首先把三角函數(shù)變形成的形式，進(jìn)而逐一分析三個(gè)結(jié)論的真假，可得答案.【詳解】函數(shù)，則，且，函數(shù)圖象如下所示：所以函數(shù)的最小正周期為，故①正確；故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，故②正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，故③正確；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，故函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，故④錯(cuò)誤；故答案為：①②③三、解答題（本大題共3小題，共30分）15.【答案】（1）；；.（2）；.【解析】【分析】（1）利用余弦函數(shù)在各象限的符號(hào)及三角函數(shù)的定義即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及二倍角的余弦公式，利用兩角和的正弦公式及三角函數(shù)的特殊值即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榻堑慕K邊過(guò)點(diǎn)，且，所以是第二象限角,且.所以，解得或（舍）.所以,所以，.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，又因?yàn)?，所以?16.【答案】（1）最小正周期為；單調(diào)遞減區(qū)間，；（2）【解析】【分析】（1）首先化簡(jiǎn)函數(shù)，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）首先根據(jù)（1）的結(jié)果求在區(qū)間的范圍，根據(jù)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，求的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】，則函數(shù)的最小正周期,令，，得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，；【小問(wèn)2詳解】，當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上無(wú)零點(diǎn)，所以，解得：.17.【答案】（1）①③④，（2）【解析】【分析】（1）先分析②③④成立時(shí)的情況，然后推出矛盾即可確定出滿(mǎn)足的三個(gè)條件；（2）先根據(jù)（1）求解出的解析式，然后采用整體替換的方法求解出的對(duì)稱(chēng)軸方程，然后對(duì)進(jìn)行賦值，確定出在區(qū)間上僅有一條對(duì)稱(chēng)軸時(shí)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】三個(gè)條件是：①③④，理由如下：若滿(mǎn)足②：因?yàn)?，所以，；若滿(mǎn)足③：因?yàn)椋?，所以，若滿(mǎn)足④：，由此可知：若滿(mǎn)足②，則③④均不滿(mǎn)足，所以滿(mǎn)足的三個(gè)條件是：①③④；由③④知，由①知，所以，所以，所以或，所以或，又因?yàn)?，所以，所以，【小?wèn)2詳解】由（1）可知，不妨令，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以若要的對(duì)稱(chēng)軸只有一條落在區(qū)間上，只需,所以的取值范圍是.第Ⅱ卷（共50分）四、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）18.【答案】##0.6【解析】【分析】先根據(jù)三角函數(shù)定義求得，再使用誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解.【詳解】根據(jù)三角函數(shù)定義可得：，由誘導(dǎo)公式得：.故答案為：19.【答案】①.0②.##【解析】【分析】（1）建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可求解；（2）根據(jù)是等腰直角三角形，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值.【詳解】（1）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，，，，，，；（2）由（1）可知，是等腰直角三角形，設(shè)，，，，當(dāng)時(shí)，的最小值是.故答案為：；.20.【答案】①.②.【解析】【分析】由的終邊上的點(diǎn)可求出的值，再由題可得，即可求出，可得解析式；根據(jù)可得的范圍，不等式化為，求出的最大值即可.【詳解】角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，又，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，的最小值為，所以，即，所以，可得，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以，于是即為，由，，，所以，得的最大值為，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：；.21.【答案】②③【解析】【分析】首先通過(guò)在區(qū)間上有且僅有4條對(duì)稱(chēng)軸，求出的范圍，再依次對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行辨析即可.【詳解】∵，∴當(dāng)時(shí)，，∵正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，，∴當(dāng)，，，，時(shí)，的對(duì)稱(chēng)軸分別為直線(xiàn)，，，，，∴若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4條對(duì)稱(chēng)軸，則，解得，故③正確；對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，∵，∴，∵正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為點(diǎn)，時(shí)，∴當(dāng)，，，時(shí)，的對(duì)稱(chēng)中心分別為點(diǎn)，，，，∴當(dāng)，即時(shí)，有且僅有個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，當(dāng)，即時(shí)，有且僅有個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若的最小正周期，則，故②正確；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，，又∵，∴，∵正弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上不單調(diào)，故④錯(cuò)誤．故答案為：②③.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題的取值并不是一個(gè)特定的值，而是一個(gè)范圍，故應(yīng)首先由已知條件解決的取值范圍，判斷③，再由的取值范圍，使用整體代換思想，對(duì)其他項(xiàng)進(jìn)行辨析.五、解答題（本大題共3小題，共30分）22.【答案】（1）最大值，最小值.（2）【解析】【分析】（1）使用二倍角公式（降冪公式）和輔助角公式化簡(jiǎn)，再結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求解；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)解決即可.【小問(wèn)1詳解】由已知，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)，即時(shí)，，有最大值，當(dāng)，即時(shí)，，有最小值.∴在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【小問(wèn)2詳解】由第（1）問(wèn)，，在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，令，∵，∴，∴方程即，在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，∴函數(shù)的圖象與直線(xiàn)在上有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖所示.∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.23.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）首先求出，，的坐標(biāo)，再坐標(biāo)法求出數(shù)量積與模，即可得解；（2）首先求出、，則，再令，，令，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到方程，解得即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以，，，又，所以，所以，，，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，?所以，，故，，從而，即，，依題意，令，，令，，則對(duì)稱(chēng)軸為，①當(dāng)≤，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，由，得，解得或，又，所以；②當(dāng)>，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，由，得，解得，又，所以．綜上所述：的值為或．24.【答案】（1）具有性質(zhì)，理由見(jiàn)解析（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由題可得，則，結(jié)合條件即得；（2）由，解得，，可得，即得；（3）設(shè)，，可得，當(dāng)、、、、、中有一個(gè)為0時(shí)，可得，，即證；當(dāng)、、、、、中均不為0時(shí)，由于其和為0，則其中必存在正數(shù)和負(fù)數(shù)，不妨設(shè)，，結(jié)合條件可知，存在，，即證.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)在上具有性質(zhì).若，則，因?yàn)?，且，所以函?shù)在上具有性質(zhì).【小問(wèn)2詳解】解法1：由題意，存在，使得，得（舍）或，則得.因?yàn)?/p>