福建省廈門市第一中學(xué)2024−2025學(xué)年高一下學(xué)期3月適應(yīng)性訓(xùn)練 數(shù)學(xué)試題（含解析）

福建省廈門市第一中學(xué)2024?2025學(xué)年高一下學(xué)期3月適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．向量（）A． B． C． D．2．已知是虛數(shù)單位，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．在中，點(diǎn)是上靠近的三等分點(diǎn)，是上靠近的三等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．4．在中，已知角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，，若三角形有兩個(gè)解，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知向量，，若，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．（6．在一堂數(shù)學(xué)實(shí)踐探究課中，同學(xué)們用鏡面反射法測(cè)量學(xué)校鐘樓的高度.如圖所示，將小鏡子放在操場(chǎng)的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置，此時(shí)測(cè)量人和小鏡子的距離為，之后將小鏡子前移，重復(fù)之前的操作，再次測(cè)量人與小鏡子的距離為，已知人的眼睛距離地面的高度為，則鐘樓的高度大約是（

）

A． B． C． D．7．已知的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，的值為（）A．2 B．1 C． D．8．若的三個(gè)內(nèi)角均小于120°，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，點(diǎn)被人們稱為費(fèi)馬點(diǎn)．根據(jù)以上性質(zhì)，已知是平面內(nèi)的任意一個(gè)向量，向量，滿足，且，，則的最小值是（

）A．9 B． C．6 D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（

）A．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的模為1 B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限C．復(fù)數(shù)是方程的解 D．10．已知為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則為等腰三角形C．若，則為的垂心D．若，則點(diǎn)的軌跡經(jīng)過(guò)的重心11．東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”，根據(jù)面積關(guān)系給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖1，它由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．我們通過(guò)類比得到圖2，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形．對(duì)于圖2．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．這三個(gè)全等的鈍角三角形可能是等腰三角形B．若，則C．若，則D．若是的中點(diǎn)，則的面積是面積的5倍三、填空題（本大題共3小題）12．已知，則的面積為．13．在中，角的對(duì)邊分別為，，，且的周長(zhǎng)為，則角為.14．如圖，在中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點(diǎn).若，則的值是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知向量，，．(1)若向量，能構(gòu)成一組基底，求實(shí)數(shù)m的范圍；(2)若，且，求向量與的夾角大?。?6．如圖，觀測(cè)站在目標(biāo)的南偏西方向，經(jīng)過(guò)處有一條南偏東走向的公路，在處觀測(cè)到與相距31km的處有一人正沿此公路向處行走，走20km到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得，相距21km.(1)求；(2)求，之間的距離.17．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，.(1)求的外接圓半徑；(2)若為銳角三角形，求周長(zhǎng)的取值范圍.18．折紙是一項(xiàng)玩法多樣的活動(dòng).通過(guò)折疊紙張，可以創(chuàng)造出各種各樣的形狀和模型，如動(dòng)物、花卉、船只等.折紙不僅是一種藝術(shù)形式，還蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)知識(shí).在紙片中，，，所對(duì)的邊分別為，，，的面積為，.(1)證明：；(2)若，求的值；(3)在（2）的條件下，若，是的中點(diǎn)，現(xiàn)需要對(duì)紙片做一次折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，求折疊后紙片重疊部分的面積.19．在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是一類與常見(jiàn)的三角函數(shù)類似的函數(shù).其中，雙曲余弦函數(shù)：，雙曲正弦函數(shù)：，雙曲正切函數(shù)：.在中，，，所對(duì)的邊分別為，，.前兩問(wèn)中，已知，，，其中.(1)若，證明：，并判斷的形狀；(2)若，作平分交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)；(3)若，，，點(diǎn)為的內(nèi)心，求點(diǎn)的橫坐標(biāo).

參考答案1．【答案】A【詳解】向量，故選A.2．【答案】A【詳解】當(dāng)“”時(shí)，“”成立，故“”是“”的充分條件；當(dāng)“”時(shí)，“”或“”，故“”是“”的不必要條件；綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.故選A.3．【答案】C【詳解】由點(diǎn)是上靠近的三等分點(diǎn)，是上靠近的三等分點(diǎn)，得.故選C.4．【答案】C【詳解】依題意，，即，由，得，所以的取值范圍是.故選C．5．【答案】C【詳解】由，，，得，解得．所以，，所以，，所以在上的投影向量為故選C．6．【答案】D【分析】設(shè)鐘樓的高度為，根據(jù)相似得到，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】如下圖，設(shè)鐘樓的高度為，由，可得：，由，可得：，故，故，故選D.

7．【答案】C【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，.故選C.8．【答案】C【詳解】設(shè)，，，，，，，則，，，所以，因?yàn)闉榈冗吶切危深}意，等邊的費(fèi)馬點(diǎn)為的中心，此時(shí)取最小值，所以，故選：C．9．【答案】AD【詳解】，，故A正確；復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則該點(diǎn)在第四象限，故B錯(cuò)誤；由，則，解得，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選AD.10．【答案】BCD【詳解】A.如圖，過(guò)點(diǎn)作，，則由可知，，則，則，得，故A錯(cuò)誤；B.該向量位于的角平分線上，因，即角平分線與BC垂直，則為等腰三角形，故B正確；C.，則，則，同理可得，故為的垂心，故C正確；D.過(guò)點(diǎn)作，中點(diǎn)為，則，則，即共線，則點(diǎn)的軌跡經(jīng)過(guò)的重心，故D正確.故選BCD.11．【答案】ACD【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：由，即可判斷A；對(duì)于B選項(xiàng)：在中，利用正弦定理求得，進(jìn)而可判斷B；對(duì)于C選項(xiàng)：在中，設(shè)，利用余弦定理即可求得，進(jìn)而可判斷C；對(duì)于D選項(xiàng)：利用三角形的面積公式，可得，進(jìn)而可判斷D．【詳解】對(duì)于A，根據(jù)題意，題圖2是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，故，所以這三個(gè)全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在中，，所以，而，所以，由正弦定理得，解得，又因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C，不妨設(shè)，在中，由余弦定理得，即，解得，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若是的中點(diǎn)，，所以，故D錯(cuò)誤．故選ACD．【關(guān)鍵點(diǎn)撥】關(guān)鍵是利用正弦定理、余弦定理、三角形面積公式進(jìn)行分析，由此即可順利得解.12．【答案】5【詳解】因?yàn)?，所以，故，由向量的模長(zhǎng)公式得，，且設(shè)的面積為，則.13．【答案】【詳解】由題意知，，由正弦定理得，，即，所以，由余弦定理得，，又，所以.14．【答案】.【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF//CE，交AB于點(diǎn)F，由BE=2EA，D為BC中點(diǎn)，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.15．【答案】(1)且(2)【詳解】（1）若向量，能構(gòu)成一組基底，則向量，不共線，則，解得且；（2）因?yàn)椋?，即，解得，所以，，則，又因?yàn)?，所以，即向量與的夾角為.16．【答案】(1)(2)15km【詳解】（1）由題意知：，，在中，由余弦定理因?yàn)?所以（2），,，由題意知：在中，由正弦定理得：，所以由余弦定理得：，即，解得：或（舍），之間的距離為17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由可得，故，由于，故由余弦定理得由于，所以，，根據(jù)解得，所以的外接圓半徑為.（2）由（1）知，，，，由正弦定理有，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得

，所以，則，所以，則.所以周長(zhǎng)的取值范圍為.18．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【詳解】（1）證明：由正弦定理可得，則，又因?yàn)椋?；?）將代入，得即，所以，即，解得：，又因?yàn)椋?；?）由余弦定理得，則，即，所以解得則；設(shè)折痕為線段，其中在上，在上，設(shè)，，則，，，在中，由余弦定理得，解得在中，由余弦定理得，解得重疊部分的面積為的面積，.因?yàn)樗?所以19．【答案】(1)證明見(jiàn)解析，等腰三角形(2)(3)1【詳解】（1）得證，因?yàn)?，則，因?yàn)?，則，化簡(jiǎn)可得，則，故，，，所以三角形為等腰三角形.（2）余弦定理得，又因，代入解得，.法1：由題可知，等面積法求：，代入整理得.在中余弦定理得，解得.法2：內(nèi)角平分線，中，，中，，，所以.（3）設(shè)，，分別長(zhǎng)為，，.法1：，注意到，故，類似地，.故.如圖，記內(nèi)切圓