浙江省2023～2024學年高三數(shù)學下學期第三次聯(lián)考開學考試試題含答案

考生須知：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前務必將自己的姓名，準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的地方.3.答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙相應的位置上規(guī)范答題，在本試卷紙上答題一律無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.第I卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)滿足，則的虛部是（）A.-1 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】由復數(shù)的概念與運算求解．【詳解】由，得，的虛部是，故選：A2設集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先由對數(shù)運算和指數(shù)運算求解集合，，然后根據(jù)集合的運算，即可求解.【詳解】因為，所以，所以集合，因為，所以，即，所以集合，所以，因為或，所以或或，所以.故選：.3.已知是奇函數(shù)，則常數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為是奇函數(shù)，且定義域為，所以，解得，此時，，即，滿足奇函數(shù)定義，故選：C4.在正方體中，分別為的中點，則（）A.平面平面B.平面平面C.平面平面D.平面平面【答案】D【解析】【分析】建系，分別求出所需各面的法向量，再用法向量垂直與平行逐個選項求出即可.【詳解】如圖，以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，設邊長為2，則，則，，設平面的法向量為，則，令，則，同理可得平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量，平面的法向量為，對A，因為，則可知與不平行，故A錯誤；對B，因為，則與不垂直，故B錯誤；對C，因，所以與不平行，故C錯誤；對D，因為，與垂直，故D正確；故選：D.5.袋子中裝有3個紅球和4個藍球，甲先從袋子中隨機摸一個球，摸出球不再放回，然后乙從袋子中隨機摸一個球，若甲?乙兩人摸到紅球的概率分別為，則（）A. B.C. D.或【答案】A【解析】【分析】利用古典概型的概率公式求出后可得正確的選項.【詳解】設為“甲摸到紅球”，為“乙摸到紅球”，而乙兩人摸到紅球可分為甲摸到紅球后乙摸到紅球、甲摸到藍球后乙摸到紅球，則，而，故，故選：A.6.在平行四邊形中，點是的中點，點分別滿足，設，若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用平面向量基底法用表示，再利用向量垂直的性質(zhì)與數(shù)量積的運算法則即可得解.【詳解】因為點是的中點，，所以，；因為，所以，則，故A正確.故選：A.7.已知正項等差數(shù)列的前項和為，則“”是“為等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】設等差數(shù)列的公式為，若，則，故，故，故，故即為等差數(shù)列，故“”是“為等差數(shù)列”的充分條件.若為等差數(shù)列，設其公差為，則，故，故，其中.因為為等差數(shù)列，故也應該符合上式，故，故，故，故，，故，故“”是“為等差數(shù)列”的必要條件.綜上，“”是“為等差數(shù)列”的充要條件，故選：C.8.雙曲線的左右焦點分別為是雙曲線右支上一點，點關(guān)于平分線的對稱點也在此雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如圖，由題意可知且三點共線，設，根據(jù)雙曲線的定義求得，，，在、中分別利用余弦定理計算即可求解.【詳解】如圖，設關(guān)于平分線的對稱點為Q，則該角平分線為線段的垂直平分線，所以，且三點共線，設，則，，所以，在中，由余弦定理，得，又，所以，解得，所以，在中，由余弦定理，得，整理，得，由，解得.即雙曲線的離心率為.故選：B二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖，八面體的每個面都是正三角形，并且4個頂點在同一個平面內(nèi)，如果四邊形是邊長為2的正方形，則（）A.異面直線與所成角大小為B.二面角的平面角的余弦值為C.此八面體一定存在外接球D.此八面體的內(nèi)切球表面積為【答案】ACD【解析】【分析】建立空間直角坐標系，運用坐標法計算異面直線所成角及二面角可判斷A項、B項，由可判斷C項，運用等體積法求得內(nèi)切球的半徑，進而可求得內(nèi)切球的表面積即可判斷D項.【詳解】連接、交于點，連接、，因為四邊形為正方形，則，又因為八面體的每個面都是正三角形，所以、、三點共線，且面，所以以為原點，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，，，，對于A項，，，設異面直線與所成角為，則，所以，即異面直線與所成角大小為，故A項正確；對于B項，，，，設面的一個法向量為，則，取，則，，則，設面的一個法向量為，則，取，則，，則，所以，又因為面與所成的二面角的平面角為鈍角，所以二面角平面角的余弦值為，故B項錯誤；對于C項，因為，所以為此八面體外接球的球心，即此八面體一定存在外接球，故C項正確；對于D項，設內(nèi)切球的半徑為，則八面體的體積為，又八面體的體積為，所以，解得，所以內(nèi)切球的表面積為，故D項正確.故選：ACD.10.函數(shù)相鄰兩個最高點之間的距離為為的對稱中心，將函數(shù)的圖象向左平移后得到函數(shù)的圖象，則（）A.在上存在極值點B.方程所有根的和為C.若為偶函數(shù)，則正數(shù)的最小值為D.若在上無零點，則正數(shù)的取值范圍為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)及的解析式，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象、性質(zhì)逐項分析判斷得解.【詳解】依題意，，解得，由，得，而，則，，，對于A，當時，，顯然當時，函數(shù)取得極大值，A正確；對于B，由，得函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，直線過點，因此直線與的圖象交點關(guān)于點對稱，共有個交點，即方程共有個根，所有根的和為，不存在使得，B錯誤；對于C，函數(shù)是偶函數(shù)，則，，因此當時，正數(shù)取得最小值，C正確；對于D，函數(shù)，當時，，由在上無零點，得，則，解得，顯然，即，于是，所以正數(shù)的取值范圍為，D錯誤.故選：AC11.在平面直角坐標系中，如果將函數(shù)的圖象繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)（為弧度）后，所得曲線仍然是某個函數(shù)的圖象，則稱為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則（）A.，函數(shù)都為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”B.若函數(shù)為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則C.若函數(shù)為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則D.當或時，函數(shù)不是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”【答案】BCD【解析】【分析】對A，舉例說明即可；對BCD，設將旋轉(zhuǎn)后得出方程，則只需與原函數(shù)僅有一個交點即可，然后逐項求解判斷即可.【詳解】對A：當旋轉(zhuǎn)時與軸重合，此時個對應多個值，故A錯誤；對B：將旋轉(zhuǎn)后所得直線為，則只需與原函數(shù)僅有一個交點；令，，當時，只有一個零點，所以，即，故B正確；對C：令，當在定義域內(nèi)僅有唯一解時，即，當時，僅有一個解，故滿足題意；當時，的判別式，對任意的，都存在使得判別式大于0，不滿足題意；故，故C正確；對D：若是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，當僅有唯一解時，即，令，，令，則當時，方程為，得，僅有唯一解，符合題意；當時，當，，當，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為時，，，所以可得先減后增，不符合題意；當時，當，，當，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，有極大值也是最大值，即，則；綜上得存在時，是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，故D正確.故選：BCD.【點睛】方法點睛：（1）導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理；（2）利用導數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應用；（3）證明不等式，構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.第II卷三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.有甲乙兩生從“物理?化學?生物?政治?歷史?地理和技術(shù)”七門科目中選三門作為高考選考科目，學生甲物理和化學兩門必選，并在另外的五門中任選一門；學生乙必選政治學科，但一定不選物理?化學，則甲乙兩人有且只有一門選科相同的選科方法總數(shù)有__________種.（用數(shù)字作答）【答案】18【解析】【分析】分學生甲選擇政治和不選擇政治討論，結(jié)合計數(shù)原理求解即可.【詳解】若學生甲在另外五門中選擇政治，由于學生乙一定不選物理、化學，所以無論學生乙如何選，甲乙兩人一定有且只有一門選科相同，此時有種；若學生甲在另外五門中不選擇政治，此時甲有種選法，甲乙兩人有且只有一門選科相同，則乙有種選法，此時共有種選法；綜上，甲乙兩人有且只有一門選科相同的選科方法總數(shù)有種，故答案為：13.是圓上一動點，為的中點，為坐標原點，則的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】寫出圓的參數(shù)方程，進而可得點坐標，結(jié)合兩點間距離公式轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值即可.【詳解】如圖所示，因為圓：的參數(shù)方程為，所以設點，則的中點，所以，當時，取得最大值為.故答案為：.14.已知函數(shù)滿足為的導函數(shù)，.若，則數(shù)列的前2023項和為__________.【答案】【解析】【分析】由，可得，從而得，然后利用倒序相加法從而可求解.【詳解】由題意知，所以，即，又因為，所以，所以，，將兩式相加可得：.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要是對求導后得，主要能夠找到的關(guān)系，再根據(jù)倒序相加法從而可求解.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.某校為了解本校學生課間進行體育活動的情況，隨機抽取了120名男生和120名女生，通過調(diào)查得到以下數(shù)據(jù)：120名女生中有20人課間經(jīng)常進行體育活動，120名男生中有40人課間經(jīng)常進行體育活動.（1）完成如下列聯(lián)表（單位：人），并判斷能否有的把握認為學生課間經(jīng)常進行體育活動與性別有關(guān)聯(lián).性別課間進行體育活動情況合計不經(jīng)常經(jīng)常男女合計（2）以樣本的頻率作為概率的值，在全校的學生中任取3人，記其中課間經(jīng)常進行體育活動的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.附：，其中.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有關(guān)聯(lián)；（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知補全列聯(lián)表，根據(jù)獨立性檢驗，計算的值，與對比即可得出答案；（2）根據(jù)已知得出在全校學生中隨機抽取1人，其課間經(jīng)常進行體育活動的概率為，則隨機變量的所有可能取值為，，，，且，計算出對應的概率，再結(jié)合期望公式求解即可.【小問1詳解】補全列聯(lián)表如下：性別課間進行體育活動情況合計不經(jīng)常經(jīng)常男8040120女10020120合計18060240提出零假設：學生課間經(jīng)常進行體育活動與性別相互獨立，即課間是否經(jīng)常進行體育活動與性別無關(guān)，依題意，，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即有的把握認為學生課間經(jīng)常進行體育活動與性別有關(guān)聯(lián)；【小問2詳解】由題意得，學生課間經(jīng)常進行體育活動的頻率為，所以在全校學生中隨機抽取1人，其課間經(jīng)常進行體育活動的概率為，而隨機變量的所有可能取值為，，，，則由題意得，所以，，，，，，，，，的分布列如下：0123所以的數(shù)學期望.16.記的內(nèi)角所對的邊分別是，且滿足.（1）證明：；（2）若的面積為，求；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩角和、差的正弦公式化簡后可證.（2）根據(jù)正弦定理可將面積轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)關(guān)系式，化簡后可得，結(jié)合（1）中結(jié)果可求.【小問1詳解】由得，則，得，若，則，則均為直角，與題設矛盾，故，故，故，故.【小問2詳解】，所以，則，，從而，又，從而，，所以.17.在三棱錐中，.（1）證明：平面平面；（2）點為棱上，若與平面所成角的正弦值為，求的長；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）如圖過作，由相似三角形的判定定理與性質(zhì)求得，根據(jù)勾股定理的逆定理可得，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；（2）建立如圖空間直角坐標系，設，根據(jù)空間向量的線性運算表示出的坐標，利用空間向量法求線面角建立關(guān)于的方程，解之即可求解.【小問1詳解】過作，垂足為，由，得，，得，由，得，所以，即，所以；在中，，所以，又平面，所以平面平面，所以平面平面；【小問2詳解】如圖以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系；得，設，，設平面的一個法向量為，則，令，則，則，設直線與平面所成角為，則，，所以；18.已知橢圓的長軸長為4，離心率為，左頂點為，過右焦點作直線與橢圓分別交于兩點（異于左右頂點），連接.（1）證明：與不可能垂直；（2）求的最小值；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）求出橢圓方程，設出點坐標，結(jié)合求解即可.（2）設直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達定理可表示，運用換元法進而將問題轉(zhuǎn)化為求關(guān)于的二次函數(shù)的最小值.【小問1詳解】由題意知，，又因為，所以橢圓方程為，則，證明：設，，則①，如圖所示，假設，即，所以，又，，所以②，由①②消去