線性代數(shù)課件：矩陣的概念和運(yùn)算（運(yùn)算）

線性代數(shù)——矩陣概念和運(yùn)算矩陣的加法1.定義設(shè)有兩個(gè)m×n

矩陣矩陣A與B的和記作A+B，規(guī)定對(duì)應(yīng)元素相加注：只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算。例解2.矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律01交換律:A+B

=

B+A.02結(jié)合律:(A+B)+C

=

A+(B+C).03A+O=A04稱為矩陣A的負(fù)矩陣.顯然有：A+(–A)

=

O05規(guī)定減法：

A–B

=

A+(–B).3.矩陣加法與行列式加法的區(qū)別數(shù)與矩陣的乘法1.定義數(shù)

與矩陣A=(aij)的乘積定義為(

aij),記作

A或A

,簡(jiǎn)稱為數(shù)乘.即例解2.矩陣數(shù)乘運(yùn)算的規(guī)律設(shè)A,B為同型的m

n矩陣,

,

為數(shù):⑴.(

)A=

(A)=

(A).⑵.(

+

)A=A+A；

(A+B)=A+B.⑶.0?A=O；1?A=A.注：矩陣的加法與數(shù)乘運(yùn)算,統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.3.矩陣數(shù)乘與行列式數(shù)乘的區(qū)別1若A=（aij）m×s，B=（bij）s×n，則矩陣C=（Cij）m×n稱為矩陣A與矩陣B的乘積記為C=AB，其中Cij=

ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj（i=1,2，…m;j=1,2，…n）第j

列第

i行+++=…例3

注①左矩陣的列數(shù)=右矩陣的行數(shù)才能相乘；②Am

s

Bs

n=Cm

n；③若AB=BA,稱方陣A、B為可交換的;④矩陣乘法中,若

AB=O

A=O

或

B=O.2.矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律①結(jié)合律(AB)C=A(BC);②分配律：A(B+C）=AB+AC(B+C)A=BA+CA③④3.方陣的冪并且其中k，l為正整數(shù).但是若A是n

階方陣，則為A的次冪，即矩陣的轉(zhuǎn)置把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作

.注①外型：Am

n

n

m；②元素：A（i，j）（j，i）.1.定義2.轉(zhuǎn)置的運(yùn)算規(guī)律3.對(duì)稱陣對(duì)稱矩陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等.設(shè)A為n

階方陣，如果滿足，即那么A

稱為對(duì)稱陣.伴隨矩陣行列式

的各個(gè)元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣.簡(jiǎn)稱伴隨陣.1.定義解：由代數(shù)余子式

得2.性質(zhì)方陣的逆矩陣1.定義設(shè)

A是

n階矩陣，若存在n階矩陣B使AB=BA=E則稱

A是可逆的，并稱B是A的逆矩陣，記為：B=注①若A為B的逆矩陣，則B也為

A的逆矩陣，稱A與B互逆.②若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的.方陣的逆矩陣2.定理若矩陣A可逆，則|A|≠0.定理一：若A可逆，則則存在逆矩陣B,使得

AB=

E于是|A||B|

=

|E|=1,即|A|≠0證明：說(shuō)明若|A|＝

0,則稱A為奇異矩陣(退化矩陣)

若|A|≠

0,則稱A為奇異矩陣(退化矩陣)

證明：若|A|≠0，則矩陣A可逆，且其中A*為矩陣

A的伴隨矩陣.定理二：因?yàn)閨A|≠0，

A是可逆矩陣的充分必要條件是A為非奇異矩陣.例求A的逆矩陣.設(shè)解：3.逆矩陣的性質(zhì)01若A可逆，則A-1也可逆，且

;02若A可逆，數(shù),則也可逆，且

;03若A可逆，則AT也可逆，且;04若A，B為同階可逆方陣