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線性代數(shù)——矩陣概念和運(yùn)算矩陣的加法1.定義設(shè)有兩個(gè)m×n
矩陣矩陣A與B的和記作A+B,規(guī)定對(duì)應(yīng)元素相加注:只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí),才能進(jìn)行加法運(yùn)算。例解2.矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律01交換律:A+B
=
B+A.02結(jié)合律:(A+B)+C
=
A+(B+C).03A+O=A04稱為矩陣A的負(fù)矩陣.顯然有:A+(–A)
=
O05規(guī)定減法:
A–B
=
A+(–B).3.矩陣加法與行列式加法的區(qū)別數(shù)與矩陣的乘法1.定義數(shù)
與矩陣A=(aij)的乘積定義為(
aij),記作
A或A
,簡(jiǎn)稱為數(shù)乘.即例解2.矩陣數(shù)乘運(yùn)算的規(guī)律設(shè)A,B為同型的m
n矩陣,
,
為數(shù):⑴.(
)A=
(A)=
(A).⑵.(
+
)A=A+A;
(A+B)=A+B.⑶.0?A=O;1?A=A.注:矩陣的加法與數(shù)乘運(yùn)算,統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.3.矩陣數(shù)乘與行列式數(shù)乘的區(qū)別1若A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,則矩陣C=(Cij)m×n稱為矩陣A與矩陣B的乘積記為C=AB,其中Cij=
ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj(i=1,2,…m;j=1,2,…n)第j
列第
i行+++=…例3
注①左矩陣的列數(shù)=右矩陣的行數(shù)才能相乘;②Am
s
Bs
n=Cm
n;③若AB=BA,稱方陣A、B為可交換的;④矩陣乘法中,若
AB=O
A=O
或
B=O.2.矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律①結(jié)合律(AB)C=A(BC);②分配律:A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA③④3.方陣的冪并且其中k,l為正整數(shù).但是若A是n
階方陣,則為A的次冪,即矩陣的轉(zhuǎn)置把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣,叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作
.注①外型:Am
n
n
m;②元素:A(i,j)(j,i).1.定義2.轉(zhuǎn)置的運(yùn)算規(guī)律3.對(duì)稱陣對(duì)稱矩陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等.設(shè)A為n
階方陣,如果滿足,即那么A
稱為對(duì)稱陣.伴隨矩陣行列式
的各個(gè)元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣.簡(jiǎn)稱伴隨陣.1.定義解:由代數(shù)余子式
得2.性質(zhì)方陣的逆矩陣1.定義設(shè)
A是
n階矩陣,若存在n階矩陣B使AB=BA=E則稱
A是可逆的,并稱B是A的逆矩陣,記為:B=注①若A為B的逆矩陣,則B也為
A的逆矩陣,稱A與B互逆.②若A是可逆矩陣,則A的逆矩陣是唯一的.方陣的逆矩陣2.定理若矩陣A可逆,則|A|≠0.定理一:若A可逆,則則存在逆矩陣B,使得
AB=
E于是|A||B|
=
|E|=1,即|A|≠0證明:說(shuō)明若|A|=
0,則稱A為奇異矩陣(退化矩陣)
若|A|≠
0,則稱A為奇異矩陣(退化矩陣)
證明:若|A|≠0,則矩陣A可逆,且其中A*為矩陣
A的伴隨矩陣.定理二:因?yàn)閨A|≠0,
A是可逆矩陣的充分必要條件是A為非奇異矩陣.例求A的逆矩陣.設(shè)解:3.逆矩陣的性質(zhì)01若A可逆,則A-1也可逆,且
;02若A可逆,數(shù),則也可逆,且
;03若A可逆,則AT也可逆,且;04若A,B為同階可逆方陣
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