浙江專用2025版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí)第三章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ3.7函數(shù)的圖象講義含解析

PAGEPAGE20§3.7函數(shù)的圖象最新考綱考情考向分析1.了解函數(shù)的三種表示法(解析法、圖象法和列表法)．2.駕馭指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)及五種冪函數(shù)的圖象和性質(zhì).函數(shù)圖象的辨析；函數(shù)圖象和函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用；利用圖象解方程或不等式，題型以選擇題為主，中檔難度.1．描點(diǎn)法作圖方法步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；(3)探討函數(shù)的性質(zhì)即奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值(甚至改變趨勢(shì))；(4)描點(diǎn)連線，畫出函數(shù)的圖象．2．圖象變換(1)平移變換(2)對(duì)稱變換①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于x軸對(duì)稱))y＝－f(x)；②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于y軸對(duì)稱))y＝f(－x)；③y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱))y＝－f(－x)；④y＝ax(a>0且a≠1)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于y＝x對(duì)稱))y＝logax(a>0且a≠1)．(3)伸縮變換①y＝f(x)y＝f(ax)．②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>1，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的a倍，橫坐標(biāo)不變),\s\do5(0<a<1，縱坐標(biāo)縮短為原來的a倍，橫坐標(biāo)不變))y＝af(x)．(4)翻折變換①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x軸上方圖象),\s\do5(將x軸下方圖象翻折上去))y＝|f(x)|.②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留y軸右邊圖象，并作其),\s\do5(關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象))y＝f(|x|)．概念方法微思索1．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱，你能得到f(x)解析式滿意什么條件？提示f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)．2．若函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱，則f(x)，g(x)的關(guān)系是______________．提示g(x)＝2b－f(2a－x)題組一思索辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝f(1－x)的圖象，可由y＝f(－x)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到．(×)(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．(×)(3)當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，函數(shù)y＝|f(x)|與y＝f(|x|)的圖象相同．(×)(4)函數(shù)y＝af(x)與y＝f(ax)(a>0且a≠1)的圖象相同．(×)(5)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．(×)(6)若函數(shù)y＝f(x)滿意f(1＋x)＝f(1－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．(√)題組二教材改編2．[P35例5(3)]函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)的圖象關(guān)于()A．y軸對(duì)稱 B．x軸對(duì)稱C．原點(diǎn)對(duì)稱 D．直線y＝x對(duì)稱答案C解析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，故選C.3．[P23T2]小明騎車上學(xué)，起先時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間后，為了趕時(shí)間加快速度行駛，與以上事務(wù)吻合得最好的圖象是()答案C解析小明勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，所得圖象為一條直線，且距離學(xué)校越來越近，故解除A.因交通堵塞停留了一段時(shí)間，與學(xué)校的距離不變，故解除D.后來為了趕時(shí)間加快速度行駛，故解除B.故選C.4．[P75A組T10]如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是__________．答案(－1,1]解析在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y＝f(x)和y＝log2(x＋1)的圖象(如圖)．由圖象知不等式的解集是(－1,1]．題組三易錯(cuò)自糾5．下列圖象是函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x<0，,x－1，x≥0))的圖象的是()答案C6．將函數(shù)y＝f(－x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)__________的圖象．答案y＝f(－x＋1)解析圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，是將f(－x)中的x變成x－1.7．設(shè)f(x)＝|lg(x－1)|，若0<a<b且f(a)＝f(b)，則ab的取值范圍是________．答案(4，＋∞)解析畫出函數(shù)f(x)＝|lg(x－1)|的圖象如圖所示．由f(a)＝f(b)可得－lg(a－1)＝lg(b－1)，解得ab＝a＋b>2eq\r(ab)(由于a<b，故取不到等號(hào))，所以ab>4.題型一作函數(shù)的圖象作出下列函數(shù)的圖象：(1)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(4)y＝x2－2|x|－1.解(1)作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象，保留y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象中x≥0的部分，再作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象中x>0的部分關(guān)于y軸的對(duì)稱部分，即得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|的圖象，如圖①實(shí)線部分．(2)將函數(shù)y＝log2x的圖象向左平移1個(gè)單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數(shù)y＝|log2(x＋1)|的圖象，如圖②實(shí)線部分．(3)∵y＝eq\f(2x－1,x－1)＝2＋eq\f(1,x－1)，故函數(shù)圖象可由y＝eq\f(1,x)的圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到，如圖③實(shí)線部分．(4)∵y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x<0，))且函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點(diǎn)法作出[0，＋∞)上的圖象，再依據(jù)對(duì)稱性作出(－∞，0)上的圖象，如圖④實(shí)線部分．思維升華圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)嫻熟駕馭幾種基本函數(shù)的圖象，如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、形如y＝x＋eq\f(1,x)的函數(shù)．(2)若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對(duì)稱和伸縮得到，可利用圖象變換作出，但要留意變換依次．題型二函數(shù)圖象的辨識(shí)例1(1)(2024·嘉興模擬)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－x2的大致圖象是()答案D解析在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x與函數(shù)y＝x2的圖象(圖略)易得兩函數(shù)圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，在y軸左側(cè)有2個(gè)交點(diǎn)，分別為(－4,16)，(－2,4)，在y軸右側(cè)且x∈(0,1)有1個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－x2有3個(gè)不同的零點(diǎn)，即函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－x2的圖象與x軸有3個(gè)不同的交點(diǎn)，解除A，C；又因?yàn)閒(0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0－02＝1>0，所以解除B，故選D.(2)已知定義在區(qū)間[0,2]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則y＝－f(2－x)的圖象為()答案B解析方法一由y＝f(x)的圖象知，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，0≤x≤1，,1，1<x≤2.))當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，2－x∈[0,2]，所以f(2－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，0≤x<1，,2－x，1≤x≤2，))故y＝－f(2－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，0≤x<1，,x－2，1≤x≤2.))圖象應(yīng)為B.方法二當(dāng)x＝0時(shí)，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；當(dāng)x＝1時(shí)，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.視察各選項(xiàng)，可知應(yīng)選B.思維升華函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手(1)從函數(shù)的定義域，推斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，推斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，推斷圖象的改變趨勢(shì)．(3)從函數(shù)的奇偶性，推斷圖象的對(duì)稱性．(4)從函數(shù)的周期性，推斷圖象的循環(huán)往復(fù)．(5)從函數(shù)的特征點(diǎn)，解除不合要求的圖象．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2024·浙江嘉興一中測(cè)試)已知函數(shù)f(x)＝ln|x|，g(x)＝－x2＋3，則f(x)·g(x)的圖象為()答案C解析由f(x)·g(x)為偶函數(shù)，解除A，D，當(dāng)x＝e時(shí)，f(x)·g(x)＝－e2＋3<0，解除B.(2)已知函數(shù)f(x)＝ln(exn)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，n∈Z，則下列圖象中不行能為函數(shù)f(x)圖象的是()答案C解析當(dāng)n＝0時(shí)，f(x)＝1(x≠0)，故A正確；當(dāng)n＝－1時(shí)，f(x)＝1－lnx，故B正確；當(dāng)n＝2時(shí)，f(x)＝1＋2ln|x|，f(x)為偶函數(shù)，且f(1)＝1，故D正確；易知y＝f(x)不行能為奇函數(shù)，所以不行能為C選項(xiàng)的圖象，故選C.題型三函數(shù)圖象的應(yīng)用命題點(diǎn)1探討函數(shù)的性質(zhì)例2(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝(x－a)|x－a|＋b，a，b∈R，則下列敘述中，正確的序號(hào)是()①對(duì)隨意實(shí)數(shù)a，b，函數(shù)y＝f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)；②對(duì)隨意實(shí)數(shù)a，b，函數(shù)y＝f(x)在R上都不是單調(diào)函數(shù)；③對(duì)隨意實(shí)數(shù)a，b，函數(shù)y＝f(x)的圖象都是中心對(duì)稱圖象；④存在實(shí)數(shù)a，b，使得函數(shù)y＝f(x)的圖象不是中心對(duì)稱圖象．A．①③ B．②③C．①④ D．③④答案A解析函數(shù)y＝x|x|為R上的奇函數(shù)且為增函數(shù)，函數(shù)f(x)＝(x－a)|x－a|＋b的圖象是由函數(shù)y＝x|x|的圖象平移得到的，因此，其單調(diào)性和對(duì)稱性不變，故①③正確，故選A.(2)已知函數(shù)f(x)＝|log3x|，實(shí)數(shù)m，n滿意0<m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值為2，則eq\f(n,m)＝________.答案9解析作出函數(shù)f(x)＝|log3x|的圖象，視察可知0<m<1<n且mn＝1.若f(x)在[m2，n]上的最大值為2，從圖象分析應(yīng)有f(m2)＝2，∴l(xiāng)og3m2＝－2，∴m2＝eq\f(1,9).從而m＝eq\f(1,3)，n＝3，故eq\f(n,m)＝9.命題點(diǎn)2解不等式例3函數(shù)f(x)是定義在[－4,4]上的偶函數(shù)，其在[0,4]上的圖象如圖所示，那么不等式eq\f(fx,cosx)<0的解集為________________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－1))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))解析當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，y＝cosx>0.當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，4))時(shí)，y＝cosx<0.結(jié)合y＝f(x)在x∈[0,4]上的圖象知，當(dāng)1<x<eq\f(π,2)時(shí)，eq\f(fx,cosx)<0.又函數(shù)y＝eq\f(fx,cosx)為偶函數(shù)，所以在[－4,0]上，eq\f(fx,cosx)<0的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－1))，所以eq\f(fx,cosx)<0的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－1))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2))).命題點(diǎn)3求參數(shù)的取值范圍例4(1)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x>0，,2x，x≤0，))若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．答案(0,1]解析作出函數(shù)y＝f(x)與y＝k的圖象，如圖所示，由圖可知k∈(0,1]．(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，對(duì)于隨意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．答案[－1，＋∞)解析如圖作出函數(shù)f(x)＝|x＋a|與g(x)＝x－1的圖象，視察圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)－a≤1，即a≥－1時(shí)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范圍是[－1，＋∞)．思維升華(1)留意函數(shù)圖象特征與性質(zhì)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．(2)方程、不等式的求解可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)和上下關(guān)系問題．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是圓x2＋y2＝2上的兩段弧，如圖所示，則不等式f(x)>f(－x)－2x的解集是__________．答案(－1,0)∪(1，eq\r(2)]解析由圖象可知，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，故原不等式可等價(jià)轉(zhuǎn)化為f(x)>－x.在同始終角坐標(biāo)系中分別畫出y＝f(x)與y＝－x的圖象，由圖象可知不等式的解集為(－1,0)∪(1，eq\r(2)]．(2)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析先作出函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1的圖象，如圖所示，當(dāng)直線g(x)＝kx與直線AB平行時(shí)斜率為1，當(dāng)直線g(x)＝kx過A點(diǎn)時(shí)斜率為eq\f(1,2)，故當(dāng)f(x)＝g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根時(shí)，k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).高考中的函數(shù)圖象及應(yīng)用問題高考中考查函數(shù)圖象問題主要有函數(shù)圖象的識(shí)別，函數(shù)圖象的變換及函數(shù)圖象的應(yīng)用等，多以小題形式考查，難度不大，常利用特別點(diǎn)法、解除法、數(shù)形結(jié)合法等解決．嫻熟駕馭中學(xué)涉及的幾種基本初等函數(shù)是解決前提．一、函數(shù)的圖象和解析式問題例1(1)如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊AB＝2，BC＝1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng)，記∠BOP＝x.將動(dòng)點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，則y＝f(x)的圖象大致為()答案B解析當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))時(shí)，f(x)＝tanx＋eq\r(4＋tan2x)，圖象不會(huì)是直線段，從而解除A，C；當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))時(shí)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))＝1＋eq\r(5)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝2eq\r(2).∵2eq\r(2)<1＋eq\r(5)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))，從而解除D，故選B.(2)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝eq\f(ln|x|,x)B．f(x)＝eq\f(ex,x)C．f(x)＝eq\f(1,x2)－1D．f(x)＝x－eq\f(1,x)答案A解析由函數(shù)圖象可知，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，應(yīng)解除B，C.若函數(shù)為f(x)＝x－eq\f(1,x)，則x→＋∞時(shí)，f(x)→＋∞，解除D，故選A.(3)(2024·全國(guó)Ⅱ)函數(shù)f(x)＝eq\f(ex－e－x,x2)的圖象大致為()答案B解析∵y＝ex－e－x是奇函數(shù)，y＝x2是偶函數(shù)，∴f(x)＝eq\f(ex－e－x,x2)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，解除A選項(xiàng)．當(dāng)x＝1時(shí)，f(1)＝eq\f(e－e－1,1)＝e－eq\f(1,e)>0，解除D選項(xiàng)．又e>2，∴eq\f(1,e)<eq\f(1,2)，∴e－eq\f(1,e)>eq\f(3,2)，解除C選項(xiàng)．故選B.二、函數(shù)圖象的變換問題例2已知定義在區(qū)間[0,4]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則y＝－f(2－x)的圖象為()答案D解析方法一先作出函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸的對(duì)稱圖象，得到y(tǒng)＝f(－x)的圖象；然后將y＝f(－x)的圖象向右平移2個(gè)單位，得到y(tǒng)＝f(2－x)的圖象；再作y＝f(2－x)的圖象關(guān)于x軸的對(duì)稱圖象，得到y(tǒng)＝－f(2－x)的圖象．故選D.方法二先作出函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱圖象，得到y(tǒng)＝－f(－x)的圖象；然后將y＝－f(－x)的圖象向右平移2個(gè)單位，得到y(tǒng)＝－f(2－x)的圖象．故選D.方法三當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－f(2－0)＝－f(2)＝－4.故選D.三、函數(shù)圖象的應(yīng)用例3(1)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|，x≤m，,x2－2mx＋4m，x>m，))其中m>0.若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)＝b有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是____________．答案(3，＋∞)解析在同一坐標(biāo)系中，作y＝f(x)與y＝b的圖象．當(dāng)x>m時(shí)，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，所以要使方程f(x)＝b有三個(gè)不同的根，則有4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.(2)不等式3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x))－x<0的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為________．答案2解析不等式3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x))－x<0，即3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x))<x.設(shè)f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x))，g(x)＝x，在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象，由圖象可知，當(dāng)x為整數(shù)3或7時(shí)，有f(x)<g(x)，所以不等式3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x))－x<0的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為2.(3)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinπx，0≤x≤1，,log2024x，x>1，))若實(shí)數(shù)a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，則a＋b＋c的取值范圍是__________．答案(2,2024)解析函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinπx，0≤x≤1，,log2024x，x>1))的圖象如圖所示，不妨令a<b<c，由正弦曲線的對(duì)稱性可知a＋b＝1，而1<c<2024，所以2<a＋b＋c<2024.1．(2024·浙江)函數(shù)y＝2|x|sin2x的圖象可能是()答案D解析由y＝2|x|sin2x知函數(shù)的定義域?yàn)镽，令f(x)＝2|x|sin2x，則f(－x)＝2|－x|sin(－2x)＝－2|x|sin2x.∵f(x)＝－f(－x)，∴f(x)為奇函數(shù)．∴f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故解除A，B.令f(x)＝2|x|sin2x＝0，解得x＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，∴當(dāng)k＝1時(shí)，x＝eq\f(π,2)，故解除C.故選D.2.如圖，不規(guī)則四邊形ABCD中，AB和CD是線段，AD和BC是圓弧，直線l⊥AB交AB于E，當(dāng)l從左至右移動(dòng)(與線段AB有公共點(diǎn))時(shí)，把四邊形ABCD分成兩部分，設(shè)AE＝x，左側(cè)部分的面積為y，則y關(guān)于x的圖象大致是()答案C解析當(dāng)l從左至右移動(dòng)時(shí)，一起先面積的增加速度越來越快，過了D點(diǎn)后面積保持勻速增加，圖象呈直線改變，過了C點(diǎn)后面積的增加速度又漸漸減慢．故選C.3．已知函數(shù)f(x)＝logax(0<a<1)，則函數(shù)y＝f(|x|＋1)的圖象大致為()答案A解析方法一先作出函數(shù)f(x)＝logax(0<a<1)的圖象(圖略)，當(dāng)x>0時(shí)，y＝f(|x|＋1)＝f(x＋1)，其圖象由函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位得到，又函數(shù)y＝f(|x|＋1)為偶函數(shù)，所以再將函數(shù)y＝f(x＋1)(x>0)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱翻折到y(tǒng)軸左邊，得到x<0時(shí)的圖象，故選A.方法二∵|x|＋1≥1,0<a<1，∴f(|x|＋1)＝loga(|x|＋1)≤0，故選A.4.若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b，x<－1，,lnx＋a，x≥－1))的圖象如圖所示，則f(－3)等于()A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(5,4)C．－1 D．－2答案C解析由圖象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋5，x<－1，,lnx＋2，x≥－1，))故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故選C.5．(2024·寧波模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x－1，x≤0，,fx－1，x>0，))若方程f(x)＝x＋a有兩個(gè)不同實(shí)根，則a的取值范圍為()A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(0,1) D．(－∞，＋∞)答案A解析當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝2－x－1，當(dāng)0<x≤1時(shí)，－1<x－1≤0，f(x)＝f(x－1)＝2－(x－1)－1.類推有f(x)＝f(x－1)＝22－x－1，x∈(1,2]，…，也就是說，x>0的部分是將x∈(－1,0]的部分周期性向右平移1個(gè)單位得到的，其部分圖象如圖所示．若方程f(x)＝x＋a有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝x＋a有兩個(gè)不同交點(diǎn)，故a<1，即a的取值范圍是(－∞，1)．6.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝x2－2ln|x| B．f(x)＝x2－ln|x|C．f(x)＝|x|－2ln|x| D．f(x)＝|x|－ln|x|答案B解析由圖象知，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，四個(gè)選項(xiàng)都是偶函數(shù)，故只需考慮x>0時(shí)的圖象即可．對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－2lnx，所以f′(x)＝2x－eq\f(2,x)＝eq\f(2x2－1,x)，所以f(x)在x＝1處取得微小值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－lnx，所以f′(x)＝2x－eq\f(1,x)＝eq\f(2x2－1,x)，所以f(x)在x＝eq\f(\r(2),2)處取得微小值，故B正確．對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x－2lnx，所以f′(x)＝1－eq\f(2,x)＝eq\f(x－2,x)，所以f(x)在x＝2處取得微小值，故C錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x－lnx，所以f′(x)＝1－eq\f(1,x)＝eq\f(x－1,x)，所以f(x)在x＝1處取得微小值，故D錯(cuò)誤，故選B.7．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－12，x≥0，,|ex－2|，x<0，))則f(－1)＝________，若方程f(x)＝m有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍為________．答案2－eq\f(1,e)(0,2)解析f(－1)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)－2))＝2－eq\f(1,e).作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝2－ex∈(1,2)，∴當(dāng)x≤1時(shí)，f(x)∈[0,2)，當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)≥0，若方程f(x)＝m有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則0<m<2，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,2)．8．設(shè)函數(shù)y＝f(x＋1)是定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)上是減函數(shù)，且圖象過點(diǎn)(1,0)，則不等式(x－1)f(x)≤0的解集為______________．答案{x|x≤0或1<x≤2}解析畫出f(x)的大致圖象如圖所示．不等式(x－1)f(x)≤0可化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1，,fx≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<1，,fx≥0.))由圖可知符合條件的解集為{x|x≤0或1<x≤2}．9．(2024·杭州模擬)給定min{a，b}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，b<a，))已知函數(shù)f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4，若動(dòng)直線y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為__________．答案(4,5)解析作出函數(shù)f(x)的圖象，函數(shù)f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4的圖象如圖所示，由于直線y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得m的取值范圍為(4,5)．10．已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lg|x|，x≠0，,1，x＝0，))關(guān)于x的方程f(x)＝c(c為常數(shù))恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，則x1＋x2＋x3＝________.答案0解析方程f(x)＝c有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于y＝f(x)與y＝c的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，畫出函數(shù)f(x)的圖象(圖略)，易知c＝1，且方程f(x)＝c的一根為0，令lg|x|＝1，解得x＝－10或10，故方程f(x)＝c的另兩根為－10和10，所以x1＋x2＋x3＝0.11．函數(shù)y＝ln|x－1|的圖象與函數(shù)y＝－2cosπx(－2≤x≤4)的圖象全部交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于________．答案6解析作出函數(shù)y＝ln|x－1|的圖象，又y＝－2cosπx的最小正周期為T＝2，如圖所示，12．已知函數(shù)f(x)＝2x，x∈R.(1)當(dāng)實(shí)數(shù)m取何值時(shí)，方程|f(x)－2|＝m有一個(gè)解？?jī)蓚€(gè)解？(2)若不等式[f(x)]2＋f(x)－m>0在R上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，畫出F(x)的圖象如圖所示，由圖象看出，當(dāng)m＝0或m≥2時(shí)，函數(shù)F(x)與G(x)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即原方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解；當(dāng)0<m<2時(shí)，函數(shù)F(x)與G(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．(2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t，因?yàn)镠(t)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2－eq\f(1,4)在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以H(t)>H(0)＝0.因此要使t2＋t>m在區(qū)間(0，＋∞)上恒成立，應(yīng)有m≤0，即所求m的取值范圍為(－∞，0]．13．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－1，x≥0，,x2－2x－1，x<0，))則對(duì)隨意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是()A．f(x1)＋f(x2)<0 B．f(x1)＋f(x2)>0C．f(x1)－f(x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0答案D解析函數(shù)f(x)的圖象如圖實(shí)線部分所示，且f(－x)＝f(x)，從而函數(shù)f(x)是偶函數(shù)且在[0，＋∞)上是增函數(shù)，又0<|x1|<|x2|，∴f(x2)>f(x1)，即f(x1)－f(x2)<0.14．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x,|x－1|)，g(x)＝1＋eq\