河南省南陽(yáng)市六校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析）

2025年春期六校第一次聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)?考場(chǎng)號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.13 B.14 C.17 D.18【答案】A【解析】【分析】根據(jù)求值.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：A2.有一散點(diǎn)圖如圖所示，在六組數(shù)據(jù)中去掉點(diǎn)后重新進(jìn)行回歸分析，則下列說(shuō)法正確的是（）A.樣本數(shù)據(jù)的兩變量正相關(guān)B.相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值更接近于0C.去掉點(diǎn)后，回歸直線的效果變?nèi)鮀.變量與變量相關(guān)性變強(qiáng)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖分析回歸直線的擬合效果.【詳解】對(duì)A：由圖可知，樣本數(shù)據(jù)的兩變量負(fù)相關(guān)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：由圖可知，點(diǎn)相對(duì)于其它點(diǎn)，偏離直線遠(yuǎn)，故去掉點(diǎn)后，回歸直線的擬合效果會(huì)更好，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值更接近于1，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：去掉點(diǎn)后，回歸直線的效果變強(qiáng)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：正確.故選：D3.已知等差數(shù)列的公差為，是與的等比中項(xiàng)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)等比中項(xiàng)的定義得出；再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得出，化簡(jiǎn)即可解答.【詳解】因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以.又因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，公差為，所以，化簡(jiǎn)得，即，所以.故選：A.4.在研究“溫度是否影響莊稼生長(zhǎng)”時(shí)，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)利用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，計(jì)算得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量的值為.已知，則（）A.的值小于3.841，就有95%的把握認(rèn)為“溫度會(huì)影響莊稼生長(zhǎng)”B.的值大于3.841，就有95%的把握認(rèn)為“溫度會(huì)影響莊稼生長(zhǎng)”C.的值越大，說(shuō)明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值的總體偏差越小D.的值越小，說(shuō)明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值的總體偏差越大【答案】B【解析】【分析】根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t的值大于3.841，就有95%的把握認(rèn)為“溫度會(huì)影響莊稼生長(zhǎng)”，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確；的值的大小不能說(shuō)明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值的總體偏差，C，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.5.已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，則（）A.128 B.169 C.254 D.255【答案】D【解析】【分析】先求等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，則.由，所以.故選：D6.某數(shù)列前12項(xiàng)依次是，則數(shù)列中值應(yīng)為（）A.56 B.60 C.62 D.64【答案】B【解析】【分析】觀察數(shù)列，找到規(guī)律，即可求解.【詳解】觀察數(shù)列，易知奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)規(guī)律不同.奇數(shù)項(xiàng)為則，，，，易知，所以.故選：B.7.已知數(shù)列滿足，若對(duì)于任意都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】已知對(duì)于任意都有，說(shuō)明數(shù)列是遞減數(shù)列.因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式是分段函數(shù)形式，所以需要分別考慮和時(shí)數(shù)列的單調(diào)性，同時(shí)還要考慮兩段函數(shù)在處的銜接情況，從而確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，移項(xiàng)可得.

當(dāng)時(shí)，，這是一個(gè)指數(shù)函數(shù)形式（且）經(jīng)過(guò)平移變換得到的，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.因?yàn)閷?duì)于任意都有，所以.，.則，可得，即，解得.

綜合以上三個(gè)條件：，，，取交集可得.

實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：C.8.某電動(dòng)汽車(chē)剛上市，就引起了小胡的關(guān)注，小胡2024年5月1日向銀行貸款元用來(lái)購(gòu)買(mǎi)該電動(dòng)汽車(chē)，銀行貸款的月利率是，并按復(fù)利計(jì)息.若每月月底還銀行相同金額的貸款，到2025年4月底全部還清（即用12個(gè)月等額還款），則小胡每個(gè)月月底需要還款（）A.元 B.元 C.元 D.元【答案】C【解析】【分析】設(shè)小胡每月月底還款錢(qián)數(shù)為元，根據(jù)等額本息還款法可得每次還款后欠銀行貸款，即第12次還款后欠銀行貸款為，進(jìn)而由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得，從而可得.【詳解】設(shè)小胡每月月底還款錢(qián)數(shù)為元，根據(jù)等額本息還款法可得：第1次還款后欠銀行貸款為，第2次還款后欠銀行貸款為，…，第12次還款后欠銀行貸款為，因?yàn)橘J款12個(gè)月還清，所以，即，所以故選：C.二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列關(guān)于回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)的說(shuō)法正確的有（）A.回歸直線就是散點(diǎn)圖中經(jīng)過(guò)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條直線B.相關(guān)變量的線性回歸方程為，若樣本點(diǎn)中心為，則C.由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)一定能確切地反映變量之間的相關(guān)關(guān)系D.在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，隨機(jī)變量的觀測(cè)值越小，“認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)”這種判斷犯錯(cuò)誤的概率越大【答案】BD【解析】【分析】分別根據(jù)回歸直線、線性回歸方程、樣本相關(guān)系數(shù)以及獨(dú)立性檢驗(yàn)相關(guān)概念和性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析判斷.【詳解】回歸直線是通過(guò)最小二乘法擬合數(shù)據(jù)得到的直線，它的目的是使樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)到該直線的距離的平方和最小，而不是經(jīng)過(guò)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條直線.所以選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于線性回歸方程，因?yàn)闃颖军c(diǎn)中心一定在回歸直線上，所以將，代入回歸方程可得：，即，解得.所以選項(xiàng)正確.

由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)只是對(duì)變量之間相關(guān)關(guān)系的一個(gè)估計(jì)，它受到樣本隨機(jī)性的影響，不一定能確切地反映變量之間的相關(guān)關(guān)系.所以選項(xiàng)錯(cuò)誤.

在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，隨機(jī)變量的觀測(cè)值越小，說(shuō)明兩個(gè)變量之間越可能沒(méi)有關(guān)系，那么“認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)”這種判斷犯錯(cuò)誤的概率就越大.所以選項(xiàng)正確.

故選：BD10.設(shè)數(shù)列都是等比數(shù)列，則下列選項(xiàng)中一定是等比數(shù)列的有（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義即可判斷.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比分別為.與可能為0，故A，B錯(cuò)誤；，故是等比數(shù)列，故C正確；，故是等比數(shù)列，故D正確.故答案為：CD.11.如圖，有邊長(zhǎng)為1的正方形，取其對(duì)角線的一半，構(gòu)成新的正方形，再取新正方形對(duì)角線的一半，構(gòu)成正方形……如此形成一個(gè)邊長(zhǎng)不斷縮小的正方形系列，設(shè)原正方形的面積為，其后新的正方形面積依次為，則下列表述正確的是（）A.數(shù)列為等比數(shù)列B.C.到第9次構(gòu)成新正方形時(shí)，當(dāng)前所有正方形面積的和為D.如果把這一過(guò)程無(wú)限制地延續(xù)下去，則全部正方形面積相加“最終”（即極限）會(huì)達(dá)到2【答案】ACD【解析】【分析】首先根據(jù)正方形邊長(zhǎng)與面積的關(guān)系，找出相鄰正方形面積之間的關(guān)系，判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列；然后利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求；再用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求前項(xiàng)和；最后求無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)和的極限.【詳解】已知原正方形邊長(zhǎng)為，根據(jù)正方形面積公式可得.

因?yàn)樾抡叫问怯汕耙粋€(gè)正方形對(duì)角線的一半構(gòu)成，設(shè)原正方形邊長(zhǎng)為，則其對(duì)角線長(zhǎng)為，那么新正方形邊長(zhǎng)為，新正方形面積.

即后一個(gè)正方形面積是前一個(gè)正方形面積的，所以（）.

可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，A選項(xiàng)正確.

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為（為首項(xiàng)，為公比）.

則，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式為（）.

這里，，，則，C選項(xiàng)正確.

對(duì)于首項(xiàng)為，公比為（）的無(wú)窮等比數(shù)列，其各項(xiàng)和的極限公式為.

因?yàn)椋?，所以，D選項(xiàng)正確.

故選：ACD.三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.若數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，則__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列周期性求和.【詳解】因?yàn)?所以數(shù)列是以4為周期的周期數(shù)列.又，，，，所以.所以.故答案為：13.攝影膠片繞在盤(pán)上，空盤(pán)時(shí)直徑為，滿盤(pán)時(shí)直徑為，已知膠片厚度是.則滿盤(pán)時(shí)，一盤(pán)膠片總長(zhǎng)度大約是__________（以膠片外側(cè)為半徑計(jì)算，取3.14，精確到）.【答案】63【解析】【分析】先求出膠片繞的圈數(shù)，再根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式求出每一圈的周長(zhǎng)，最后將每一圈的周長(zhǎng)相加，結(jié)合等差數(shù)列求和得到膠片的總長(zhǎng)度.【詳解】已知空盤(pán)時(shí)直徑為為，滿盤(pán)時(shí)直徑為，則膠片繞的總厚度為.又已知膠片厚度是，所以膠片繞的圈數(shù)為圈.

我們以膠片外側(cè)為半徑計(jì)算，從內(nèi)到外每一圈的半徑依次增加..最內(nèi)圈半徑為，最外圈半徑為.根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式（其中為周長(zhǎng)，為圓周率，為半徑），可得每一圈的周長(zhǎng)依次為（）.

將每一圈的周長(zhǎng)相加，可得到膠片的總長(zhǎng)度：

因?yàn)?，所?故答案為：63.14.如圖甲是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（簡(jiǎn)稱ICME-7）的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主題圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的.已知，為直角頂點(diǎn)，設(shè)這些直角三角形的周長(zhǎng)從小到大組成的數(shù)列為，令為數(shù)列的前項(xiàng)和，則__________.【答案】【解析】【分析】由題意可得邊長(zhǎng)，結(jié)合圖形求得周長(zhǎng)，計(jì)算并化簡(jiǎn)，求得即得.【詳解】由，可得，，，，所以，所以，所以前項(xiàng)和，所以.故答案為：.四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15.已知數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）因?yàn)閿?shù)列滿足，所以用累加法求解即可；（2）由（1）可求得，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，，所以.16.在2025年春晚《秧BOT》節(jié)目中，宇樹(shù)科技的UnitreeH1“福兮”機(jī)器人采用人工智能（AI）驅(qū)動(dòng)全身運(yùn)動(dòng)控制技術(shù)，能根據(jù)音樂(lè)旋律調(diào)整舞步，其最大關(guān)節(jié)扭矩高達(dá)360牛頓?米.節(jié)目播出后引發(fā)公眾對(duì)機(jī)器人技術(shù)的興趣和熱情，為了了解不同性別的學(xué)生對(duì)AI的關(guān)注情況，隨機(jī)抽取了90名學(xué)生，調(diào)查結(jié)果如下表：關(guān)注不關(guān)注合計(jì)男生5560女生合計(jì)75（1）完成上述列聯(lián)表，依據(jù)該統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，能否有的把握認(rèn)為學(xué)生對(duì)AI的關(guān)注與性別有關(guān)？（2）在這90名學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，求在關(guān)注AI的情況下，該生為女生的概率.附：，其中.0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）答案見(jiàn)解析；有的把握認(rèn)為學(xué)生對(duì)AI的關(guān)注與性別有關(guān).（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，完成列聯(lián)表，求出，對(duì)照數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論.（2）根據(jù)條件概率的計(jì)算公式求解.【小問(wèn)1詳解】完成列聯(lián)表如下：關(guān)注不關(guān)注合計(jì)男生55560女生201030合計(jì)751590則.因?yàn)?，所以有的把握認(rèn)為學(xué)生對(duì)AI的關(guān)注與性別有關(guān).【小問(wèn)2詳解】設(shè)事件：表示關(guān)注“關(guān)注AI”，事件表示“該生為女生”.則，，所以.即在這90名學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，在關(guān)注AI的情況下，該生為女生的概率為.17.在數(shù)列中，已知.（1）證明：是等比數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明即可.（2）采用分組求和法求數(shù)列的前項(xiàng)的和.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，且，所以?shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：.所以，所以.18.設(shè)等差數(shù)列的公差為d，前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為．已知，，，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】（1）利用前10項(xiàng)和與首項(xiàng)、公差的關(guān)系，聯(lián)立方程組計(jì)算即可；（2）當(dāng)d＞1時(shí)，由（1）知cn，寫(xiě)出Tn、Tn的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法及等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可．【詳解】解：（1）設(shè)a1＝a，由題意可得，解得，或，當(dāng)時(shí)，an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1；當(dāng)時(shí)，an（2n+79），bn＝9?；（2）當(dāng)d＞1時(shí)，由（1）知an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1，∴cn，∴Tn＝1+3?5?7?9?（2n﹣1）?，∴Tn＝1?3?5?7?（2n﹣3）?（2n﹣1）?，∴Tn＝2（2n﹣1）?3，∴Tn＝6．【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)及求和，利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．19.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為正實(shí)數(shù)，若，，也構(gòu)成等比數(shù)列，且數(shù)列唯一確定.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)，，，（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）數(shù)列中不存在3項(xiàng)，，成等比數(shù)列，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）設(shè)的公比為，然后根據(jù)題意列方程化簡(jiǎn)可得，再由且數(shù)列唯一確定，可得方程必有一個(gè)根為零，從而可求出的值，進(jìn)而可求出，則可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由