2025年山東日照高三二模高考數(shù)學(xué)試卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)參照秘密級(jí)管理★啟用前試卷類型：A2022級(jí)高三校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)2025.4考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束，將試題卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則實(shí)數(shù)a=（

）A．1 B．-1 C．2 D．-23．“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件4．已知一組樣本數(shù)據(jù)，，，，恰好構(gòu)成公差為5的等差數(shù)列，則這組數(shù)據(jù)的方差為（

）A．30 B．40 C．50 D．605．如圖，已知同一平而上的三條直線a，b，c相交于同一點(diǎn)O，兩兩夾角均為，點(diǎn)A，B分別在直線a，b上，且，設(shè)，若點(diǎn)P落在陰影部分（不含邊界），則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．6．將5名志愿者隨機(jī)分配到3個(gè)項(xiàng)目(衛(wèi)生、宣傳、審計(jì))服務(wù)，衛(wèi)生項(xiàng)目與宣傳項(xiàng)目各分配2名志愿者，審計(jì)項(xiàng)目只需1名志愿者，則不同的分配方案共有（

）A．30種 B．60種 C．90種 D．180種7．已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，在每相鄰兩項(xiàng)，之間插入個(gè)2（），使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則成立的n的最小值為（

）A．20 B．21 C．22 D．23二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知樣本空間，其中每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，事件，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件A與事件B互斥 B．事件B與事件C相互獨(dú)立C． D．10．已知函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù) B．的最小正周期是πC．的值域?yàn)?D．在上單調(diào)遞增11．在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的正三角形，，P為其表面上一點(diǎn)，記點(diǎn)與四個(gè)頂點(diǎn)的距離分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．該三棱錐的外接球的表面積為B．若，，則點(diǎn)P存在且唯一C．若，則的最小值為D．的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知，則．13．已知與x軸相交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)，以AB為直徑的圓與⊙O內(nèi)切，則△BCD面積的最大值為．14．定義在區(qū)間D上的函數(shù)，若存在正數(shù)K，對(duì)任意的，不等式恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間D上滿足K-條件．若函數(shù)在區(qū)間上滿足K-條件，則K的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知(1)求；(2)設(shè)的中點(diǎn)為，若，求的面積．16．如圖，在三棱柱中，，，，，．(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成角的余弦值．17．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍．18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l平行于y軸時(shí)，．(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l的斜率存在，直線AO與直線相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B且與拋物線C相切的直線交x軸于點(diǎn)E．（?。┳C明：；（ⅱ）是否存在直線l使得四邊形ABDE的面積為？若存在，說(shuō)明直線l有幾條；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．設(shè)，數(shù)對(duì)按照如下方式生成：①規(guī)定；②拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)硬幣正面朝上時(shí)，，；當(dāng)硬幣反面朝上時(shí)，，(1)寫出數(shù)對(duì)的所有可能結(jié)果；(2)當(dāng)時(shí)，記的概率為．（?。┣蠹暗淖畲笾?；（ⅱ）設(shè)的數(shù)學(xué)期望為，求．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．A【分析】解一元二次不等式求出集合B，再求交集即可.【詳解】易知，解之得，即，所以.故選：A2．D【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以.故選：D.3．A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和條件的判斷方法進(jìn)行判斷.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，所以等價(jià)于，所以“”是“”的充要條件.故選：A4．C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及平均值求法得均值為，再應(yīng)用方差公式求方差即可.【詳解】由題設(shè)，所以.故選：C5．C【分析】由題意，結(jié)合圖形，易得，且，設(shè)，求出，由的兩種表示式整理得到，從而建立不等式，解之即得.【詳解】設(shè)依題意，，因點(diǎn)P落在陰影部分（不含邊界），且，易得，且，由，可得，由，又，故可得：，即，因，則，即，由，可得，整理得：，因，故得，即；由，可得，整理得：顯然成立.綜上分析，可得.故選：C.6．A【分析】利用分步計(jì)數(shù)原理和組合數(shù)計(jì)算.【詳解】先從5名志愿者選2名參加衛(wèi)生項(xiàng)目，有種，再在剩下的3人中選2人參加宣傳項(xiàng)目，有種，剩下的1名志愿者參加審計(jì)項(xiàng)目，所以共有種分配方案.故選：A7．D【分析】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以值域?yàn)椋?，由分段函?shù)的值域?yàn)镽，所以當(dāng)時(shí)，的取值包含的每一個(gè)取值，求解參數(shù)a的取值范圍即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以值域?yàn)椋?，要使得分段函?shù)的值域?yàn)镽，則當(dāng)時(shí)，的取值包含的每一個(gè)取值，所以，解得，故選：D8．B【分析】根據(jù)已知列舉出的項(xiàng)，再根據(jù)數(shù)列構(gòu)成求、，即可得.【詳解】由題設(shè)，數(shù)列各項(xiàng)依次為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以成立的n的最小值為21.故選：B9．BD【分析】根據(jù)已知及互斥事件定義判斷A；由已知得、，根據(jù)獨(dú)立事件的判定、條件概率公式判斷B、C、D.【詳解】由，即不是互斥事件，A錯(cuò)；由，則且，故，B對(duì)；由，則，且，顯然，C錯(cuò)；由，則，故，D對(duì).故選：BD10．AC【分析】利用奇偶性定義判斷A；由奇偶對(duì)稱性，只需寫出上解析式，畫出部分圖象分析判斷B、C、D即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，所以是偶函數(shù)，A對(duì)；在上，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)部分圖象如下(注意偶函數(shù)的對(duì)稱性)，

由圖知，所以的最小正周期為，值域?yàn)?，B錯(cuò)、C對(duì)；由且，結(jié)合圖知在上不單調(diào)，D錯(cuò).故選：AC11．ACD【分析】A：通過(guò)正方體外接球即可判斷；B：找出線段的中垂面與線段的中垂面的交線與表面的交點(diǎn)即可；C：確定滿足的點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢球面與三棱錐的表面的截線，然后判定線段與橢球面必有交點(diǎn)，即可得到最小值為，從而判斷C正確；D：建立空間坐標(biāo)系，設(shè)，確定滿足的條件，用可以表示四個(gè)距離的平方和，由對(duì)稱性只需討論點(diǎn)在面內(nèi)和在面內(nèi)兩種情況，利用配方法和不等式方法可求最小值，然后比較得到總得最小值，從而判定D正確.【詳解】

由，△ABC是邊長(zhǎng)為的正三角形，結(jié)合勾股定理易知兩兩垂直，所以該三棱錐的外接球即為棱長(zhǎng)為1的正方體的外接球，易知球的直徑為，所以外接球的表面積為，A正確；因，則為線段的中垂面與線段的中垂面的交線與表面的交點(diǎn)，如圖，

有兩個(gè)點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：取的中點(diǎn)，易得,設(shè)點(diǎn)在面上，，故點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，2為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓上，.而，故點(diǎn)在橢圓外，在空間中將該橢圓繞旋轉(zhuǎn)一周得到橢球面，則橢球面上任一點(diǎn)都，由于點(diǎn)必須是三棱錐的表面上的一點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡是上述橢球面與該三棱錐的表面的截線.而，故點(diǎn)在橢球面內(nèi)，因?yàn)?，所以也在橢球面外，因此線段與橢球面必有2個(gè)不同交點(diǎn)，兩點(diǎn)中的任意一點(diǎn)到的距離之和都等于，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段距離最短，其余的點(diǎn)到的距離之和都大于，故的最小值為，故C正確；如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則.①若點(diǎn)在坐標(biāo)平面上，由對(duì)稱性，不妨設(shè)平面，則，，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；

②若點(diǎn)平面，平面的法向量為，由得，且，消去整理得因，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).綜上，，故D正確.故選：ACD12．【詳解】試題分析：或，．考點(diǎn)：（1）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（2）二倍角公式13．8【分析】由兩圓內(nèi)切可以判定得到B的軌跡方程為橢圓，根據(jù)橢圓的性質(zhì)即可確定最大值.【詳解】如圖，設(shè)以為直徑的圓的圓心為，，因?yàn)閮蓤A內(nèi)切，所以，又為的中位線，所以，所以，所以的軌跡為以，為焦點(diǎn)的橢圓，，，顯然當(dāng)為橢圓短軸頂點(diǎn)即時(shí)，的面積最大，最大值為.故答案為：814．【分析】先求出在區(qū)間的單調(diào)性，再結(jié)合K-條件的定義進(jìn)行分析，從而求K的取值范圍，即可求出K的最小值.【詳解】因?yàn)?，令，，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以在上恒成立，所以，則在上單調(diào)遞增，設(shè)，所以，若函數(shù)在區(qū)間上滿足K-條件因此對(duì)任意恒成立，所以對(duì)任意恒成立，則對(duì)任意恒成立，令，所以在上單調(diào)遞減，在恒成立，所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，.所以，所以K的最小值為.故答案為：.15．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換求解即可；（2）利用和和向量數(shù)量積的運(yùn)算律聯(lián)立解出和，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)榈膬?nèi)角的對(duì)邊分別為，，所以由正弦定理邊化角可得①，又因?yàn)橹?，所以②，將②式代入①式可得，因?yàn)?，，所以，即，因?yàn)椋裕?（2）因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，所以③，④，③④聯(lián)立解得，，所以，的面積.16．(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）由已知得，應(yīng)用線面垂直的判定證明面，再由面面垂直的判定證明結(jié)論；（2）根據(jù)已知構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角的正弦值及向量法求得，進(jìn)而確定相關(guān)向量的具體坐標(biāo)，最后應(yīng)用向量法求面面角的余弦值.【詳解】（1）在中，，，則，所以，則，由，都在面內(nèi)，則面，又面，所以面面；（2）由（1）及，即兩兩垂直，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖示，設(shè)，由（1），則，所以，若是面的一個(gè)法向量，則，取，則，設(shè)直線與面所成角為，則，所以，則，在中，則，若是面的一個(gè)法向量，則，取，則，設(shè)面與面所成角為，則.17．(1)(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；（2）令，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，確定每種情況下函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，所以，，又因?yàn)?，所以切點(diǎn)為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，化簡(jiǎn)可得：.（2）令，函數(shù)的定義域?yàn)?，．①?dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；②當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，即對(duì)任意的恒成立，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根、，且滿足，，不妨設(shè)，則，、的情況如下：增極大值減極小值增所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是、，單調(diào)遞減區(qū)間是．因?yàn)椋詾榈囊粋€(gè)零點(diǎn)．又，，且，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得．又，，且，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得．所以函數(shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)，方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，綜上，的取值范圍為．18．(1)；(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）存在，4條.【分析】（1）根據(jù)已知有點(diǎn)在拋物線上，代入拋物線求參數(shù)，即可得方程；（2）（i）設(shè)，，，聯(lián)立直線與拋物線并應(yīng)用韋達(dá)定理得，，導(dǎo)數(shù)的幾何意義求點(diǎn)處切線方程，且，進(jìn)而得到、，易得，即可證；（ii）連接，由（i）得，則有四邊形為平行四邊形，再由且，結(jié)合已知及導(dǎo)數(shù)研究根的個(gè)數(shù)，即可得.【詳解】（1）當(dāng)直線軸時(shí)，則點(diǎn)在拋物線上，故，所以拋物線方程為；（2）（i）由題設(shè)，直線的斜率存在且不為0，設(shè)，則斜率，若，，聯(lián)立，得，所以，，由，則，故點(diǎn)處切線斜率為，所以對(duì)應(yīng)切線方程為，令，故，由，令，則，故，所以，所以，即，所以；（ii）連接，由（i）得，，則，又，所以軸，即四邊形為平行四邊形，所以，若四邊形的面積為，則，整理得，令且，則，令，則，故在上單調(diào)遞增，又，所以使，在上，在上單調(diào)遞減，在上，在上單調(diào)遞增，而，，存在使，所以在上有兩個(gè)零點(diǎn)，為和，即在上有2個(gè)不同根，由對(duì)稱性，四邊形的面積為的直線共有4條.19．(1)答案見(jiàn)解析；(2)①，最大值為；②.【分析】（1）寫出所有拋擲結(jié)果即可得到答案；（2）①分析計(jì)算得，再構(gòu)造等比數(shù)列即可得到和其最值；②分析得，再分類討論和的情況即可.【詳解】（1）當(dāng)拋鄭兩次硬幣結(jié)果為（正，正）時(shí)，；當(dāng)拋擲兩次硬幣結(jié)果為（正，反）時(shí)，；當(dāng)拋擲兩次硬幣結(jié)果為（反，正）時(shí)，；當(dāng)拋擲兩次硬幣結(jié)果為（反，反）時(shí)，．（2）易知當(dāng)時(shí)，；