山東濱州惠民縣2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中階段性質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

第頁，共頁2023—2024學(xué)年第二學(xué)期階段性質(zhì)量檢測高一數(shù)學(xué)學(xué)科注意事項(xiàng)：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算化簡，然后由復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】，則其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第三象限.故選:C.2.已知向量，，那么向量可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線的充要條件計算即可判斷.【詳解】向量，，則存在，使得故只有向量符合.故選：A.3.如圖，向量，，，則向量可以表示為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量的加法減法運(yùn)算法則即可求解.【詳解】由題圖可知，.故選：C.4.已知點(diǎn)A∈直線l，又A∈平面，則（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系判斷．詳解】點(diǎn)A∈直線l，又A∈平面，則與平面至少有一個公共點(diǎn)，所以或．故選：D．5.如圖，兩點(diǎn)在河的兩岸，在同側(cè)的河岸邊選取點(diǎn)，測得的距離，則兩點(diǎn)間的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】根據(jù)正弦定理求解即可【詳解】因?yàn)椋?，由正弦定理，，故m故選：D6.的斜二測直觀圖如圖所示，則的面積是（）A. B. C. D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合斜二測畫法規(guī)則，求出的底邊及這邊上的高即可計算得解.【詳解】依題意，由斜二測畫法規(guī)則知，的底邊，邊上的高，所以的面積是.故選：D7.在某次數(shù)學(xué)探究活動中，小明先將一副三角板按照圖1的方式進(jìn)行拼接，然后他又將三角板折起，使得二面角為直二面角，得圖2所示四面體．小明對四面體中的直線、平面的位置關(guān)系作出了如下的判斷：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判斷正確的個數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于①中，因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，可得平面平面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，，且平面，所以平面，所以①正確；對于②中，由平面，且平面，可得，又因?yàn)?，且，平面，所以平面，所以②正確；對于③中，由平面，且平面，所以平面平面，所以③正確；對于④，中，因?yàn)槠矫?，且平面，可得平面平面，若平面平面，且平面平面ABC=AB，可得平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)榕c不垂直，所以矛盾，所以平面和平面不垂直，所以D錯誤.故選：C.8.某圓柱的軸截面是面積為12的正方形為圓柱底面圓弧的中點(diǎn)，在圓柱內(nèi)放置一個球，則當(dāng)球的體積最大時，平面與球的交線長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件知當(dāng)球的體積最大時，球與圓柱的上下底面及母線均相切，作出圖形后，計算即可.【詳解】由題意知，當(dāng)球的體積最大時，球與圓柱的上下底面及母線均相切，因?yàn)檎叫蔚拿娣e為12，所以，如圖1，記所在底面的圓心為所在底面的圓心為，平面與球的交線為圓形，如圖即為截面圓的直徑，易知，易知RtRt，故，所以，所以交線長為.故選:D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.已知為虛數(shù)單位，，.則下列選項(xiàng)中正確的有（）A. B.C. D.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，為方程的根【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合復(fù)數(shù)模、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的乘法逐項(xiàng)計算判斷.【詳解】對于A，，A正確；對于B，，B正確；對于C，都是虛數(shù)，不能比較大小，C錯誤；對于D，由，得在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，為方程的根，D正確.故選：ABD10.已知正方體，點(diǎn)是四邊形的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，為四邊形的中心，則下列說法正確的是（）A.不存在點(diǎn)，使平面B.三棱錐的體積為定值C.直線與直線的夾角為定角D.平面截正方體所得的截面是有一組對邊平行的四邊形【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)線面平行、錐體體積、線線角、正方體的截面等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，連接，則是的中點(diǎn)，連接交內(nèi)切圓于，由于平面，平面，所以平面，也即平面，所以A選項(xiàng)錯誤.B選項(xiàng)，由于三角形的面積為定值，到平面的距離是定值，也即到平面的距離為定值，所以為定值，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，設(shè)正方形的中心為，則平面，由于平面，所以，所以在以為軸，為母線的圓錐的底面圓的圓上，所以與所成角為定值，也即直線與直線的夾角為定角，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，由于平面平面，平面平面，設(shè)平面平面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，所以D選項(xiàng)正確.故選：BCD11.a、b、c為ABC的三邊，下列條件能判定ABC為等腰直角三角形為（）A.且B.C.且D.:sinB:sinC=：：【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)通過向量的平行四邊形法則以及向量垂直即可判斷；B、C、D選項(xiàng)借助正弦定理以及三角恒等變換進(jìn)行判斷.【詳解】A選項(xiàng)：分別為方向上的單位向量，設(shè)為的角平分線，按照平行四邊形法則知與共線，又，說明，即的角平分線與垂直，故ABC為等腰三角形，又，兩邊平方得，即，故，即ABC為等腰直角三角形，A正確；B選項(xiàng)：，由正弦定理得，即，可得或，即ABC為等腰或直角三角形，B錯誤；C選項(xiàng)：，由正弦定理得，即，可得，，又，即，，由正弦定理得，即，故，即ABC為等腰直角三角形，C正確；D選項(xiàng)：由正弦定理得，可得，即ABC為等腰直角三角形，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在立體幾何講授圓錐之前，為了讓同學(xué)們對圓錐有直觀的認(rèn)識，善于動手的老師用鐵皮自制一個無蓋的圓錐形密封容器.當(dāng)老師聚精會神做好該密封容器后，發(fā)現(xiàn)正在下雨，猛然想起氣象學(xué)上用24小時內(nèi)的降水在平地上的積水厚度來判斷降雨程度，其中小雨?中雨?大雨?暴雨，勤于思考的老師用剛剛做好的這個圓錐形容器接了24小時的雨水，得到雨水?dāng)?shù)據(jù)如圖所示，請你幫他判斷一下這天降雨屬于哪個等級？__________.【答案】中雨【解析】【分析】先利用圓錐的體積公式求得水的體積，再利用圓柱的體積公式求得高即可.【詳解】解：由題意，一個半徑為的圓面內(nèi)的降雨充滿一個底面半徑為，高為的圓錐，積水厚度，這天降雨屬于中雨.故答案為：中雨.13.已知向量，其中，且，則向量與的夾角等于____；【答案】##120°【解析】【分析】利用夾角公式求出向量與的夾角.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，所?而，所以，因?yàn)?，所?故答案為：14.如圖，正方體的棱長為，動點(diǎn)在對角線上，過點(diǎn)作垂直于的平面，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長為，設(shè)，則當(dāng)時，函數(shù)的值域__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件，所得截面可能是三角形，也可能是六邊形，分別求出三角形與六邊形周長的取值情況，即可得到函數(shù)的值域.【詳解】如圖：∵正方體的棱長為，∴正方體的對角線長為6，∵（i）當(dāng)x=1或時，三角形的周長最小.設(shè)截面正三角形的邊長為，由等體積法得：∴∴，（ii）x=2或時，三角形的周長最大，截面正三角形的邊長為26∴（iii）當(dāng)時，截面六邊形的周長都為∴∴當(dāng)時，函數(shù)y=f(x【點(diǎn)睛】本題考查多面體表面的截面問題和線面垂直，關(guān)鍵在于結(jié)合圖形分析截面的三種情況，進(jìn)而得出與截面邊長的關(guān)系.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)復(fù)數(shù)．（1）若是實(shí)數(shù)，求；（2）若是純虛數(shù)，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的加法及復(fù)數(shù)的分類求出，再利用復(fù)數(shù)乘法求解即得.（2）利用復(fù)數(shù)除法及復(fù)數(shù)的分類求出即得.小問1詳解】由，得，而是實(shí)數(shù)，于是，解得，所以．【小問2詳解】依題意，是純虛數(shù)，因此，解得，所以．16.如圖，在邊長為2的正方形中，分別是的中點(diǎn).（1）若，則的值（2）若為中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，求證.【答案】（1）；（2）證明見解析；【解析】【分析】（1）建立平面直角坐標(biāo)系利用向量的坐標(biāo)表示聯(lián)立方程組解得；（2）利用三點(diǎn)共線求出，即得.【小問1詳解】如下圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則，則，由可得，即，解得，因此；【小問2詳解】易知F0,1，設(shè)P易知三點(diǎn)共線，可得，即，可得，即，又三點(diǎn)共線，且，所以，解得，則，所以，，易知；即可得.17.在銳角中，三個角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，且的外接圓半徑為．（1）求角C；（2）求AB邊上的高h(yuǎn)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦二倍角公式化簡即可求解結(jié)果；（2）由正弦定理解得，再由余弦定理得，結(jié)合面積公式即可求解高h(yuǎn)．【小問1詳解】由得則，因?yàn)?，則，；【小問2詳解】由正弦定理得，所以由余弦定理得，又，所以；由，得．18.（1）已知直線a，b，平面滿足：，，，求證：（2）已知直線a，b，平面，滿足：，，，求證：（3）如圖1，由正方形ABCD、直角三角形ABE和直角三角形CDF組成的平面圖形，其中，將圖形沿AB、CD折起使得點(diǎn)E、F重合于點(diǎn)P，如圖利用（1）（2）問的結(jié)論判斷圖2中平面PAB和平面PCD的交線l與平面ABCD的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）平行，理由見解析【解析】【分析】（1）由題意利用反證法，假設(shè)直線a與平面不平行，由此進(jìn)行證明假設(shè)不成立，即可得到（2）利用直線與平面平行的定義證明a與b沒有公共點(diǎn)，利用直線與直線平行的定義證明a與b是同一個平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)的兩條直線，由此即可得到（3）利用直線與平面平行的判定證明平面PCD，利用直線與平面平行的性質(zhì)證明平面PAB和平面PCD的交線l與平面ABCD平行．【詳解】（1）證明：如圖所示，（反證法）假設(shè)直線a與平面不平行，由于，則a與相交，設(shè)，若點(diǎn)上，則，這與矛盾，若點(diǎn)上，則a與b是異面直線，這與相矛盾，故假設(shè)不成立，原命題正確，即（2）證明：，，即，與b沒有公共點(diǎn)，又，b?β與b是同一個平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)的兩條直線，（3）平面PAB和平面PCD的交線l//平面ABCD如圖，，平面PCD，平面PCD，平面PCD，平面PAB，平面平面，，平面ABCD，l?平面ABCD，平面19.在中，向量等式或，溝通了幾何與代數(shù)的聯(lián)系，利用它并結(jié)合向量的運(yùn)算，可以很好地幫助我們研究問題，體現(xiàn)向量法的特性