全國(guó)中考數(shù)學(xué)壓軸題60例答案解析

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全國(guó)中考數(shù)學(xué)壓軸題60例

參考答案與試題解析

一、解答題(共60小題)

1.(?重慶)已知：如圖①，在矩形ABCD中，AB=5,AD=22,AE±BD,垂足是E.點(diǎn)

3

F是點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，連接AF、BF.

(2)若將AABF沿著射線BD方向平移，設(shè)平移的距離為m(平移距離指點(diǎn)B沿BD方向

所經(jīng)過(guò)的線段長(zhǎng)度).當(dāng)點(diǎn)F分別平移到線段AB、AD上時(shí)，直接寫(xiě)出相應(yīng)的m的值.

(3)如圖②,將AABF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角a(0°<a<180°),記旋轉(zhuǎn)中的MBF為

△A'BF',在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè)AF所在的直線與直線AD交于點(diǎn)P,與直線BD交于點(diǎn)Q.是

否存在這樣的P、Q兩點(diǎn)，使ADPQ為等腰三角形？若存在，求出此時(shí)DQ的長(zhǎng)；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

考點(diǎn)：幾何變換綜合題.

專題：壓軸題.

分析：(1)利用矩形性質(zhì)、勾股定理及三角形面積公式求解；

(2)依題意畫(huà)出圖形，如答圖2所示.利用平移性質(zhì),確定圖形中的等腰三角形，分別求出m的值;

(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，等腰〃DPQ有4種情形，如答圖3所示,對(duì)于各種情形分別進(jìn)行計(jì)算.

解答：解：(1)在RMABD中，AB=5,AD=@,

由勾股定理得=25

~3

,.,SAABD=1BD?AE=1AB?AD,

22

5X與

.p_AB*AD

A4.

BD仔

3

在RfABE中，AB=5,AE=4,由勾股定理得：BE=3.

(2)設(shè)平移中的三角形為AA'BF,如答圖2所示:

由對(duì)稱點(diǎn)性質(zhì)可知，N1=N2.

由平移性質(zhì)可知，ABllA'B',z4=zl,BF=B'F'=3.

①當(dāng)點(diǎn)F'落在AB上時(shí),-.ABIIAB,

.-.z3=z4,.,.z3=z2,

...BB'=B'F'=3,即m=3;

②當(dāng)點(diǎn)F'落在AD上時(shí),-.ABIIAB,

.'.z6=z2,?/zl=z2,z5=zl,

.-.z5=z6,又易知A'B'_LAD,

."B'F'D為等腰三角形，

二B'D=B'F'=3,

.-.BB'=BD-B'D=.2§-3=1^,即m=￥.

333

(3)存在.理由如下：

在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，等腰△DPQ依次有以下4種情形：

①如答圖3-1所示，點(diǎn)Q落在BD延長(zhǎng)線上，且PD=DQ,易知N2=2NQ,

答圖3-1

,.zl=z3+zQ,zl=z2,

.?.z3=zQ,

.-.A,Q=A'B=5,

..F'Q=F'A'+A'Q=4+5=9.

在RfBF'Q中，由勾股定理得：BQ=FFT■/=海童=WI5.

.-.DQ=BQ-BD=3V10--；

3

②如答圖3-2所示，點(diǎn)Q落在BD上，且PQ=DQ,易知N2=NP,

,.zl=z2,/.zl=zP,

?■,BA'IIPD,則此時(shí)點(diǎn)A'落在BC邊上.

,.z3=z2,.,.z3=zl,.'.BQ=A,Q,

..F'Q=F'A'-A'Q=4-BQ.

在RfBQF中,由勾股定理得:BF'2+F'Q2=BQ2,

即：32+(4-BQ)2=BQ2,

解得：BQ=&,

8

.-.DQ=BD-BQ=-25-.25=125.

3824

③如答圖3-3所示，點(diǎn)Q落在BD上，且PD=DQ,易知N3=N4.

,.1z2+z3+z4=180°,z3=z4,

.?24=90。-lz2.

2

-.zl=z2,.-.z4=90°-Izl.

2

.-.zA,QB=z4=90°-Izl,

2

.?.zA(BQ=180°-zA'QB-zl=90°-Izl,

2

.'.zA,QB=zA,BQ,

..A'Q=A'B=5,

.FQ=A'Q-A'F'=5-4=1.

在中由勾股定理得：

RfBFQ，BQ=^p,Q2+F，B2=^32+12=V10,

.'.DQ=BD-BQ儂-伍；

3

④如答圖3-4所示，點(diǎn)Q落在BD上，且PQ=PD,易知N2=N3.

,.-zl=z2,z3=z4,z2=z3,

.,.zl=z4,

，BQ=BA'=5,

.'.DQ=BD-BQ=25-5=1P.

33

綜上所述,存在4組符合條件的點(diǎn)P、點(diǎn)Q,使ADPQ為等腰三角形；

DQ的長(zhǎng)度分別為訴-查您、25-VTOHEIP.

32433

點(diǎn)評(píng)：本題是幾何變換壓軸題，涉及旋轉(zhuǎn)與平移變換、矩形、勾股定理、等腰三角形等知識(shí)點(diǎn).第（3）問(wèn)

難度很大，解題關(guān)鍵是畫(huà)出各種旋轉(zhuǎn)圖形，依題意進(jìn)行分類討論；在計(jì)算過(guò)程中，注意識(shí)別旋轉(zhuǎn)過(guò)程

中的不變量，注意利用等腰三角形的性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算.

2.(?重慶)如圖1，在口ABCD中，AH_LDC,垂足為H,AB=4行,AD=7,AH=&i.現(xiàn)

有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，分別以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度、每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿

射線AC方向勻速運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)E,F的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以EF為邊作等邊AEFG，使^EFG與^ABC

在射線AC的同側(cè)，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，E,F兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)求線段AC的長(zhǎng)；

(2)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)等邊AEFG與△ABC重疊部分的面積為S,請(qǐng)直接寫(xiě)出S與t

之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)的自變量t的取值范圍；

(3)當(dāng)?shù)冗匒EFG的頂點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，如圖2,將AEFG繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度a(0°

<a<360°),在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，F(xiàn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F',G的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G',設(shè)

直線FG，與射線DC、射線AC分別相交于M,N兩點(diǎn).試問(wèn)：是否存在點(diǎn)M,N,使得△

CMN是以NMCN為底角的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出CM的長(zhǎng)度;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

考點(diǎn)：幾何變換綜合題.

專題：壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型.

分析：(1)利用平行四邊形性質(zhì)、勾股定理，求出DH、CH的長(zhǎng)度，可以判定AACD為等腰三角形，則

AC=AD=7;

(2)首先證明點(diǎn)G始終在直線AB上，然后分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程，求出不同時(shí)間段內(nèi)S的表達(dá)式：

①當(dāng)0<t<I^,如答圖2-1所示，等邊AEFG在△內(nèi)部；

3

②當(dāng)工<t<4時(shí)，如答圖2-2所示，點(diǎn)G在線段AB上，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上；

3

③當(dāng)4<G7時(shí)，如答圖2-3所示，點(diǎn)6、F分別在AB、AC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在線段AC上.

(3)因?yàn)镹MCN為等腰三角形的底角，因此只可能有兩種情形：

①若點(diǎn)N為等腰三角形的頂點(diǎn)，如答圖3-1所示；

②若點(diǎn)M為等腰三角形的頂點(diǎn)，如答圖3-2所示.

解答：解：(1)voABCD,.-.CD=AB=4V7.

在RtMDH中，由勾股定理得：DH」/_而=/9_21=2行

.-.CH=DH.

.-.AC=AD=7.

(2)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,AE=t,AF=3t，，等邊AEFG的邊長(zhǎng)EF=EG=GF=2t.

如答圖1,過(guò)點(diǎn)G作GP±AC于點(diǎn)P,貝!|EP=lEG=t,GP=?G=J^t.

..AP=AE+EP=2t.

.-.tanzGAC=^P=^il=2/3.

AP2t2

,/tanzBAC=tanzACH=Ay=2/^=jL2,

CH2A/72

/.tanzGAC=tanzBAC,

.?.點(diǎn)G始終在射線AB上.

設(shè)NBAC=NACH=B,貝!]sin8=&1=叵，cos0=^=-^ZZ.

AC7AC7

①當(dāng)0<t<JW,如答圖2-1所示，等邊AEFG在△內(nèi)部.

3

22

S=S6EFG=V3EF2=Vs(2t)=Vst；

44

②當(dāng)工＜t“時(shí)，如答圖2-2所示，點(diǎn)G在線段AB上，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上.

3

答圖2-2\

過(guò)點(diǎn)B作BQ±AF于點(diǎn)Q,貝BQ=AB?sine=4V?x叵=4%,AQ=AB?cos6=4曲x紐=8.

.-.CQ=AQ-AC=8-7=1.

設(shè)BC與GF交于點(diǎn)K,過(guò)點(diǎn)K作KP±AF于點(diǎn)P,

設(shè)KP=x,貝UPF=—坦—=&,

tan60°3

.-，CP=CF-PF=3t-7-亞x.

3

?.PKllBQ,

3L7-*X4y

嚼嚙即X-----------，解得：x=2&(3t-7).

W3-15

-Si?-l(3t-7).^(3t-7)=-喳+嚕.喈;

③當(dāng)4Vt47時(shí)，如答圖2-3所示，點(diǎn)G、F分別在AB、AC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在線段AC上.

過(guò)點(diǎn)B作BQ±AF于點(diǎn)Q,則BQ=AB?sine=4V?x叵=4%,AQ=AB.COS6=4VT><-^5=8.

.-.CQ=AQ-AC=8-7=1.

設(shè)BC與GF交于點(diǎn)K,過(guò)點(diǎn)K作KPJ_AF于點(diǎn)P,

設(shè)KP=x,則EP=—些—=&,

tan6003

.?.CP=EP-CE=&-(7-t)=逗-7+t.

33

??1PKllBQ,

x李一解得：*=延(7-。

,KP_CP即.

BQ^CQ行13

."-7一挈一爭(zhēng)+萼.

綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為:

Vst2

o

13732,8473

tT---

s=5---------553

2Mt2-28?t卜98北

(4<t<7)

(3)設(shè)NACH=8,貝!]tanS=H=^^=^,cosB=@=^5.

CH2772AC7

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，t=7，，等邊AEFG的邊長(zhǎng)=2t=14.

假設(shè)存在點(diǎn)M,N,使得ACMN是以NMCN為底角的等腰三角形，

①若點(diǎn)N為等腰三角形的頂點(diǎn)，如答圖3-1所示，則NNMC=NMCN=S.

過(guò)點(diǎn)C作CP_LF'M于點(diǎn)P,則CP=*CF'=7我.

.-.PM=_J2L_=^X2=14.

tan。73

~2

設(shè)CN=MN=x,則PN=PM-MN=14-x.

在RfCNP中,由勾股定理得：CP2+PN2=CN2，即：(773)2+(14-x)2=x2,

解得：x=i9.

4

過(guò)點(diǎn)N作NQLCM于點(diǎn)Q,

.?.CM=2CQ=2CN?cos0=2x坐xm7g

47

②若點(diǎn)M為等腰三角形的頂點(diǎn)，如答圖3-2所示，則NMNC=NMCN=B.

G'

過(guò)點(diǎn)C作CP±G'N于點(diǎn)P,則CP=6CF'=7百.

_2

...PN=伊=^^=14.

tan?V3

~2

設(shè)CM=MN=x,貝!|PM=PN-MN=14-x.

在RfCMP中,由勾股定理得:CP2+PM2=CM2，即：（773）2+（14-x）2=x2,

,,.CM=x=—.

4

綜上所述，存在點(diǎn)M,N,使得ACMN是以NMCN為底角的等腰三角形，CM的長(zhǎng)度為臂.

點(diǎn)評(píng)：本題是幾何變換綜合題，涉及平移與旋轉(zhuǎn)兩種幾何變換.第（2）問(wèn)中，針對(duì)不同時(shí)間段內(nèi)的幾何圖

形，需要分類討論；第（3）問(wèn)中，根據(jù)頂點(diǎn)的不同，分兩種情形進(jìn)行分類討論.本題涉及考點(diǎn)眾多，

圖形復(fù)雜，計(jì)算量偏大，難度較大；解題時(shí)需要全面分析，認(rèn)真計(jì)算.

3.（?長(zhǎng)春）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3，點(diǎn)0為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P從

點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD-DO-0C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)

A不重合時(shí)過(guò)點(diǎn)P作PQ±AB于點(diǎn)Q以PQ為邊向右作正方形PQMN，設(shè)正方形PQMN

與AABD重疊部分圖形的面積為S（平方單位），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）.

(1)求點(diǎn)N落在BD上時(shí)t的值；

(2)直接寫(xiě)出點(diǎn)。在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)t的取值范圍；

(3)當(dāng)點(diǎn)P在折線AD-DO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(4)直接寫(xiě)出直線DN平分△BCD面積時(shí)t的值.

考點(diǎn)：相似形綜合題；勾股定理；三角形中位線定理；矩形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性

質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義.

專題：壓軸題；分類討論.

分析：(1)可證ADPN-ADQB,從而有更M,即可求出t的值.

DQQB

(2)只需考慮兩個(gè)臨界位置(①M(fèi)N經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,②點(diǎn)P與點(diǎn)。重合)下t的值，就可得到點(diǎn)0在正

方形PQMN內(nèi)部時(shí)t的取值范圍.

(3)根據(jù)正方形PQMN與△ABD重疊部分圖形形狀不同分成三類，如圖4、圖5、圖6,然后運(yùn)用

三角形相似、銳角三角函數(shù)等知識(shí)就可求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

(4)由于點(diǎn)P在折線AD-DO-OC運(yùn)動(dòng)，可分點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)P在DO上，點(diǎn)P在0C上三種

情況進(jìn)行討論，然后運(yùn)用三角形相似等知識(shí)就可求出直線DN平分△BCD面積時(shí)t的值.

解答：解：(1)當(dāng)點(diǎn)N落在BD上時(shí)，如圖1.

..四邊形PQMN是正方形，

.-.PNllQM,PN=PQ=t.

...△DPNSADQB.

.DP_PN

"DQ^QB-

?.-PN=PQ=PA=t,DP=3-1,QB=AB=4,

.3-tt

?----------------------.

3一4

7

.?.當(dāng)t=,，點(diǎn)N落在BD上.

7

(2)①如圖2,

則有QM=QP=t,MB=4-1.

..四邊形PQMN是正方形，

.'.MNllDQ.

??,點(diǎn)。是DB的中點(diǎn),

.-.QM=BM.

.-.t=4-1.

.-.t=2.

②如圖3,

?.四邊形ABCD是矩形，

.-.zA=90°.

?/AB=4,AD=3,

.'.DB=5.

??,點(diǎn)。是DB的中點(diǎn),

.-.D0=-^.

2

「.lxt=AD+D0=3+2

2

.-.t=ll.

2

，當(dāng)點(diǎn)O在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)，t的范圍是2<t<H.

2

(3)①當(dāng)0<t4當(dāng)寸，如圖4.

7

S=s正方形PQMN=PQ2=PA2=t2.

②當(dāng)竺<仁3時(shí)，如圖5,

7

■.tanzADB=^=—,

DPAD

?.---P--G--_—_—4.

3-t3

.-.PG=4-殳.

3

.-.GN=PN-PG=t-(4-冉)=11-4.

33

,.tanzNFG=tanzADB=-^,

3

.GN_4

.-.NF=3GN=.?(H-4)=It-3.

4434

二,S二S正方形PQMN-SAGNF

=t2-Ax(Zi-4)X(It-3)

234

=-罵2+7t-6.

24

③當(dāng)3Vts口時(shí)，如圖6,

2

..四邊形PQMN是正方形，四邊形ABCD是矩形.

.-.zPQM=zDAB=90°.

.-.PQllAD.

.?.△BQPSABAD.

.BP=BQ=PQ

,BDBAAD-

???BP=8-1,BD=5,BA=4,AD=3,

?.--8-----t---B-Q-PQ.

5~4~3

...BQ=4&。,PQ=3(8-t).

55

...QM=PQ=3(W-t).

5

.?.BM=BQ-QM=8-t

5

.tanzABD=-,

.?.FM:'BM=3回。.

420

，S=S梯形PQMF=2(PQ+FM)?QM

2

_lr3(8-t)/(8-t)].3(8-t)

——L---------------十------------------------J---------------

25205

=32.雪+邈.

4055

綜上所述：當(dāng)0<t4烏寸，S=t2.

7

當(dāng)空<仁3時(shí)，S=-雪2+7t-6.

724

當(dāng)3<,S=&2.18t+Z2

24055

(4)設(shè)直線DN與BC交于點(diǎn)E,

.,直線DN平分△BCD面積，

，BE=CE=a.

2

①點(diǎn)P在AD上，過(guò)點(diǎn)E作EHIIPN交AD于點(diǎn)H,如圖7,

則有ADPN-ADHE.

.DPPN

"DH^EH-

?.PN=PA=t,DP=3-t,DH=CE=a,EH=AB=4,

2

.3-tt

"3=4'

~2

解得；t=&.

11

②點(diǎn)P在DO上，連接OE,如圖8,

則有0E=2,OEllDCllABllPN.

."DPN?"DOE.

.DP_PN

"DO^OE-

?.DP=t-3,DO=i,OE=2,

2

.-.PN=i（t-3）.

5

?,PQ=a（8-t）,PN=PQ,

5

（t-3）=心（8-1）.

55

解得：t=3§.

7

③點(diǎn)P在OC上，設(shè)DE與OC交于點(diǎn)S,連接OE,交PQ于點(diǎn)R,如圖9,

則有OE=2,OEllDC.

."DSJESO.

.-.SC^C-2.

SO-OE

.-.SC=2SO.

?.OC=i,

2

.60=更=也.

36

,.PNllABllDCllOE,

.?.△SPN-ASOE.

.SPPN

"SO^OE'

???SP=3+&+^-1=11-t，SO=i,0E=2,

2636

.-.PN=^-l2t.

55

,/PRIIMNIIBC,

.?.AORP-AOEC.

.OPPR

"oc^,

?.-OP=t-ll,oc=2EC=a,

222

?pR二3t_33

…"TIo'

???QR=BE=a,

2

:.PQ=PR+QR=&-9.

55

???PN=PQ,

.76_12t=3t_9

"~5~5~~55,

解得：t=iz.

3

綜上所述：當(dāng)直線DN平分△BCD面積時(shí)，t的值為絲3617.

1173

圖8

DC

圖7

圖6

圖4

圖3

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、三角形的

中位線定理、勾股定理等知識(shí)，考查了用割補(bǔ)法求五邊形的面積，考查了用臨界值法求t的取值范圍，

考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度.

4.(?達(dá)州)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,己知點(diǎn)0(0,0),A(5,0),B(4,4).

(1)求過(guò)0、B、A三點(diǎn)的拋物線的解析式.

(2)在第一象限的拋物線上存在點(diǎn)M,使以0、A、B、M為頂點(diǎn)的四邊形面積最大，求

點(diǎn)M的坐標(biāo).

(3)作直線x=m交拋物線于點(diǎn)P,交線段OB于點(diǎn)Q,當(dāng)WQB為等腰三角形時(shí)，求m

的值.

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.

專題：壓軸題；分類討論.

分析：(1)由于拋物線與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)已知，因此拋物線的解析式可設(shè)成交點(diǎn)式，然后把點(diǎn)B的坐標(biāo)代

入，即可求出拋物線的解析式.

(2)以0、A、B、M為頂點(diǎn)的四邊形中，AOAB的面積固定，因此只要另外一個(gè)三角形面積最大，

則四邊形面積即最大；求出另一個(gè)三角形面積的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定其最值；本問(wèn)需分

類討論：

①當(dāng)0<x<4時(shí)，點(diǎn)M在拋物線0B段上時(shí)，如答圖1所示；

②當(dāng)4Vx<5時(shí)，點(diǎn)M在拋物線AB段上時(shí)，圖略.

(3)APQB為等腰三角形時(shí)，有三種情形，需要分類討論，避免漏解：

①若點(diǎn)B為頂點(diǎn)，即BP=BQ,如答圖2-1所示；

②若點(diǎn)P為頂點(diǎn)，即PQ=PB,如答圖2-2所示;

③若點(diǎn)P為頂點(diǎn)，即PQ=QB,如答圖2-3所示.

解答：解：(1)?.該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,0),0(0,0),

.?該拋物線的解析式可設(shè)為y=a(x-0)(x-5)=ax(x-5).

?.點(diǎn)B(4,4)在該拋物線上，

，ax4x(4-5)=4.

.,.a=-1.

.?該拋物線的解析式為y=-x(x-5)=-x2+5x.

(2)以0、A、B、M為頂點(diǎn)的四邊形中，AOAB的面積固定，因此只要另外一個(gè)三角形面積最大,

則四邊形面積即最大.

①當(dāng)0<x<4時(shí)，點(diǎn)M在拋物線0B段上時(shí)，如答圖1所示.

-B(4,4)，二易知直線0B的解析式為：y=x.

設(shè)M(x,-x2+5x),

過(guò)點(diǎn)M作MElly軸，交0B于點(diǎn)E,則E(x,x),

.'.ME=(-x2+5x)-x=-x2+4x.

SSOBM=SAMEO+SAMEB=iME(xE-0)+AME(xB-xE)=1ME?XB=^MEX4=2ME,

2222

二SSOBM=-2x2+8x=-2(x-2)2+8

.?.當(dāng)x=2時(shí)，SQBM最大值為8,即四邊形的面積最大.

②當(dāng)4<x<5時(shí)，點(diǎn)M在拋物線AB段上時(shí)，圖略.

可求得直線AB解析式為：y=-4x+20.

設(shè)M(x,-x2+5x),

過(guò)點(diǎn)M作MElly軸，交AB于點(diǎn)E,則E(x,-4x+20),

.'.ME=(-x2+5x)-(-4x+20)=-x2+9x-20.

SAABM=S，MEB+SSMEA==1ME?=1MEX1=AME,

iME(xE-xB)+AME(xA-xE)(xA-xB)

22222

.SABM=-AX2+A-10=-?1(X-g)2+_l

22228

二當(dāng)x=身寸，SSBM最大值為L(zhǎng)即四邊形的面積最大.

28

比較①②可知，當(dāng)x=2時(shí)，四邊形面積最大.

當(dāng)x=2時(shí)，y=-x2+5x=6,

.-.M(2,6).

(3)由題意可知，點(diǎn)P在線段OB上方的拋物線上.

設(shè)P(m,-m2+5m)，則Q(m,m)

當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，

①若點(diǎn)B為頂點(diǎn)，即BP=BQ,如答圖2-1所示.

過(guò)點(diǎn)B作BE,PQ于點(diǎn)E,則點(diǎn)E為線段PQ中點(diǎn)，

---BEllxtt,B(4,4),

2

."m4-6in_/|

2，

解得：m=2或m=4(與點(diǎn)B重合，舍去)

.,.m=2;

②若點(diǎn)P為頂點(diǎn)，即PQ=PB,如答圖2-2所示.

易知NBOA=45°,，NPQB=45°,貝必PQB為等腰直角三角形.

.,.PBllx軸,

二-m2+5m=4,

解得：m=l或m=4(與點(diǎn)B重合，舍去)

.,.m=l;

③若點(diǎn)Q為頂點(diǎn)，即PQ=QB,如答圖2-3所示.

■.P(m,-m2+5m),Q(m,m),

.'.PQ=-m2+4m.

又

：QB=&(xB-xQ)=V2(4-m),

二-m2+4m=^/2(4-m),

解得：111=料或m=4(與點(diǎn)B重合，舍去)，

二m=&.

綜上所述，當(dāng)APQB為等腰三角形時(shí)，m的值為1,2或加.

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)壓軸題，涉及考點(diǎn)較多，有一定的難度.重點(diǎn)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，第(2)

(3)問(wèn)均需要進(jìn)行分類討論，避免漏解.注意第(2)問(wèn)中求面積表達(dá)式的方法，以及第(3)問(wèn)中

利用方程思想求m值的方法.

5.(?云南)已知如圖平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0是坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形ABCO是頂點(diǎn)坐標(biāo)分別

為A(3,0)、B(3,4)、C(0,4).點(diǎn)D在y軸上，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,-5),

點(diǎn)P是直線AC上的一動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段AC的中點(diǎn)時(shí)，求直線DP的解析式(關(guān)系式)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D、P的直線與x軸交于點(diǎn)M.問(wèn)在x軸的正半軸上

是否存在使ADOM與AABC相似的點(diǎn)M?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由；

(3)當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動(dòng)時(shí)，以點(diǎn)P為圓心、R(R>0)為半徑長(zhǎng)畫(huà)圓.得到的圓稱為

動(dòng)圓P.若設(shè)動(dòng)圓P的半徑長(zhǎng)為空，過(guò)點(diǎn)D作動(dòng)圓P的兩條切線與動(dòng)圓P分別相切于點(diǎn)E、

2

F.請(qǐng)?zhí)角笤趧?dòng)圓P中是否存在面積最小的四邊形DEPF?若存在，請(qǐng)求出最小面積S的值;

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

考點(diǎn)：圓的綜合題，?待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；垂線段最短；勾股定理；切線長(zhǎng)定理；相似三角形的判

定與性質(zhì).

專題：綜合題；壓軸題；存在型；分類討論.

分析：(1)只需先求出AC中點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出直線DP的解析式.

(2)由于ADOM與△ABC相似，對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，可分兩種情況進(jìn)行討論，利用三角形相似求出OM

的長(zhǎng)，即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

(3)易證SWED=S，PFD.從而有S四邊形DEPF=2S”ED=也DE.由NDEP=90°得DE2=DP2-PE2=DP2-

2

25.根據(jù)"點(diǎn)到直線之間，垂線段最短"可得：當(dāng)DP^AC時(shí)，DP最短，此時(shí)DE也最短，對(duì)應(yīng)的

4

四邊形DEPF的面積最小.借助于三角形相似，即可求出DP±AC時(shí)DP的值，就可求出四邊形DEPF

面積的最小值.

解答：解：(1)過(guò)點(diǎn)P作PHIIOA,交OC于點(diǎn)H,如圖1所示.

".PHllOA,

.“CHP-ACOA.

.HP=CH=CP

"OACOCA,

■.點(diǎn)P是AC中點(diǎn)，

.-.CP=1CA.

2

.-.HP=JJOA,CH=1CO.

22

?.A(3,0)、C(0,4),

.-.OA=3,OC=4.

..HP—,CH=2.

2

.-.OH=2.

?.PHllOA,zCOA=90°,

.?.zCHP=zCOA=90°.

.?點(diǎn)P的坐標(biāo)為(心，2).

2

設(shè)直線DP的解析式為y=kx+b,

vD(0,-5),P(心，2)在直線DP上,

二直線DP的解析式為y=M-5.

(2)①若ADOM-AABC,圖2(1)所示，

,.,△DOMSAABC,

.DO-0M

"ABBC'

???點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,4)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0.-5),

.-.BC=3,AB=4,OD=5.

?.?—5―.-O--N-.

43

.?QM=8.

4

?.?點(diǎn)M在x軸的正半軸上，

.?點(diǎn)M的坐標(biāo)為(站，0)

4

②若ADOM-ACBA，如圖2(2)麻，

,.,△DOMSACBA,

?.?■D0-.-O--N-.

CBBA

???BC=3,AB=4,OD=5,

?.?—5―.-O--N-.

34

.-.OM=22.

3

??,點(diǎn)M在x軸的正半軸上，

，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4，0).

3

綜上所述：若ADOM與ACBA相似，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,0)pg(20,0)

43

(3)「OA=3,OC=4,zAOC=90°,

.-.AC=5.

.?.PE=PF=AC=2

22

「DE、DF都與。P相切，

,DE=DF,zDEP=zDFP=90°.

.*.SAPED=SAPFD?

--S四邊形DEPF=2S,，PED

=2xlpE?DE

2

=PE?DE

=iDE.

2

-.zDEP=90°,

...DE2=DP2-PE2.

=DP2-

4

根據(jù)"點(diǎn)到直線之間,垂線段最短"可得：

當(dāng)DP_LAC時(shí)，DP最短，

此時(shí)DE取到最小值，四邊形DEPF的面積最小.

-.DP±AC,

.?.zDPC=90°.

.-.zAOC=zDPC.

?,1zOCA=zPCD,zAOC=zDPC,

「.AAOCSADPC.

.A0.AC

DPDC

?.AO=3,AC=5,DC=4-(-5)=9,

-3-5

DP9

??-DP=f-

...DE2=DP2

4

=(27)2-25

54

-2291

100-

.-.DE=2/229T,

10

：S四邊形DEPF="&)E

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求直線的解析式、切線長(zhǎng)定理、勾股定理、垂線

段最短等知識(shí)，考查了分類討論的思想.將求DE的最小值轉(zhuǎn)化為求DP的最小值是解決第3小題的

關(guān)鍵.另外，要注意"ADOM與AABC相似"與"ADOM-AABC"之間的區(qū)別.

6.(?十堰)已知拋物線Q:y=a(x+1)2-2的頂點(diǎn)為A,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(-2,-1).

(1)求A點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線Ci的解析式；

(2)如圖1,將拋物線Ci向下平移2個(gè)單位后得到拋物線C2,且拋物線C2與直線AB相

交于C,D兩點(diǎn)，求SAOAC：SAOAD的值；

(3)如圖2,若過(guò)P(-4,0),Q(0,2)的直線為I,點(diǎn)E在(2)中拋物線C2對(duì)稱

軸右側(cè)部分(含頂點(diǎn))運(yùn)動(dòng)，直線m過(guò)點(diǎn)C和點(diǎn)E.問(wèn)：是否存在直線m，使直線I,m

與x軸圍成的三角形和直線I,m與y軸圍成的三角形相似？若存在，求出直線m的解析

式；若不存在,說(shuō)明理由.

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；相似三角形的判定

與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的增減性.

專題：壓軸題；存在型.

分析：(1)由拋物線的頂點(diǎn)式易得頂點(diǎn)A坐標(biāo)，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可解決問(wèn)題.

(2)根據(jù)平移法則求出拋物線C2的解析式，用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再通過(guò)解方程組

求出拋物線C2與直線AB的交點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，就可以求出S，9AC：S..OAD的值.

(3)設(shè)直線m與y軸交于點(diǎn)G,直線I,m與x軸圍成的三角形和直線I,m與y軸圍成的三角形

形狀、位置隨著點(diǎn)G的變化而變化，故需對(duì)點(diǎn)G的位置進(jìn)行討論，借助于相似三角形的判定與性質(zhì)、

三角函數(shù)的增減性等知識(shí)求出符合條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)，從而求出相應(yīng)的直線m的解析式.

解答：解：(1)?.拋物線J:y=a(x+1)2-2的頂點(diǎn)為A,

.??點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,-2).

.?拋物線J:y=a(x+l)2-2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(-2,-1),

.-.a(-2+1)2-2=-1.

解得:a=l.

二拋物線Ci的解析式為：y=(x+l)2-2.

(2)?.拋物線C2是由拋物線J向下平移2個(gè)單位所得，

.?拋物線C2的解析式為：y=(x+l)2-2-2=(x+l)2-4.

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b.

?/A(-1,-2),B(-2,-1),

.'-k+b=-2

-2k+b=-l

解得：(k="1

b=-3

..直線AB的解析式為y=-x-3.

癡尸(x+l)2一4

-

X.y=x-3

解得：(x=-3或[x=0.

[y=01y=-3

??.C(-3,0),D(0,-3).

.-.OC=3,OD=3.

過(guò)點(diǎn)A作AE，x軸，垂足為E,

過(guò)點(diǎn)A作AF_Ly軸，垂足為F,

???A(-1,-2),

.-.AF=1,AE=2.

/.SiOAC:SAQAD

=(1OC?AE):(1OD.AF)

22

=(1x3x2):(1x3x1)

22

=2.

?SOAC：SAQAD的值為2.

(3)設(shè)直線m與y軸交于點(diǎn)G,設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(0,t)

1.當(dāng)直線m與直線I平行時(shí)，則有CGIIPQ.

.,.△OCGSAOPQ.

.0C=OP

"OGOQ'

-.P(-4,0),Q(0,2),

.-.OP=4,OQ=2,

.3_4

OG2

.?QG=W.

2

?.?當(dāng)t=當(dāng)寸，直線m與直線I平行，

2

二直線I,m與x軸不能構(gòu)成三角形.

.,.tw衛(wèi).

2

2.當(dāng)直線m與直線I相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為H,

①t<0時(shí)，如圖2①所示.

1.?zPHC>zPQG,zPHC>zQGH,

.'.zPHC^zPQG,NPHONQGH.

當(dāng)NPHC=NGHQ時(shí)，

1.?zPHC+zGHQ=180°,

.-.zPHC=zGHQ=90o.

?.?zPOQ=90°,

.-.zHPC=90o-zPQO=zHGQ.

.?.△PHJGHQ.

1.?zQPO=zOGC,

.'.tanzQPO=tanzOGC.

?.?■■—0Q_―~OC.

OPOG

.2=J_

"4OG-

.-.OG=6.

二點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0,-6）

設(shè)直線m的解析式為y=mx+n,

?.?點(diǎn)C(-3,0),點(diǎn)G(0,-6)在直線m上,

(-3nH-n=0

[n=-6

in=-2

解得：

n=-6

，直線m的解析式為y=-2x-6,

聯(lián)立卜(x+1)2-4,

X.y=-2x-6

"CX=-1T/X=-3

解得：或《

y=_4[y=0

.?.E(-1,-4).

此時(shí)點(diǎn)E就是拋物線的頂點(diǎn)，符合條件.

，直線m的解析式為y=-2x-6.

②當(dāng)t=0時(shí),

此時(shí)直線m與x軸重合，

二直線I,m與x軸不能構(gòu)成三角形.

③0<t<時(shí)，如圖2②所示,

".tanzGCO=P^=l<l,

0C32

tanzPQ0=PP=-^=2,

OQ2

.,.tanzGCO/tanzPQO.

.,.zGCO/zPQO.

?.zGCO=zPCH,

.-.zPCH^zPQO.

又.NHPC>NPQO,

.”PHC與AGHQ不相似.

，符合條件的直線m不存在.

@-<t<2時(shí)，如圖2③所示.

2

,.tanzCGO=—=.?>—,

OGt2

tanzQPO=^=.?=i.

OP42

.,.tanzCGO^tanzQPO.

.,.zCGO^zQPO.

?.zCGO=zQGH,

.-.zQGH^zQPO,

又.NHQG>NQPO,

.”PHC與AGHQ不相似.

二符合條件的直線m不存在.

⑤t>2時(shí)，如圖2④所示.

此時(shí)點(diǎn)E在對(duì)稱軸的右側(cè).

??-zPCH>zCGO,

.-.zPCH^zCGO.

當(dāng)NQPC=NCGO時(shí)，

?.zPHC=zQHG,zHPC=zHGQ,

.“PCHSAGQH.

二符合條件的直線m存在.

?.zQPO=zCGO,zPOQ=zGOC=90°,

.“POQSAGOC.

.0P.OQ

??—■■—'".

OGOC

.4_2

??——.

OG3

.-.OG=6.

???點(diǎn)G的坐標(biāo)為(0,6).

設(shè)直線m的解析式為y=px+q

?.?點(diǎn)C(-3,0)、點(diǎn)G(0,6)在直線m上,

.'-3p+q=0

?,<?

q=6

解得：尸.

Iq=6

二直線m的解析式為y=2x+6.

綜上所述：存在直線m，使直線I,m與x軸圍成的三角形和直線I,m與y軸圍成的三角形相似,

此時(shí)直線m的解析式為y=-2x-6和y=2x+6.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，考查了三角形相似的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義及增減性等知識(shí),

考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式，考查了通過(guò)解方程組求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，

強(qiáng)化了對(duì)運(yùn)算能力、批判意識(shí)、分類討論思想的考查，具有較強(qiáng)的綜合性，有一定的難度.

7.(?湘西州)如圖，拋物線y=ax2+bx+c關(guān)于y軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)。，點(diǎn)B

(2,-9)和點(diǎn)C(-3,-3)兩點(diǎn)均在拋物線上，點(diǎn)F(0,-心)在y軸上，過(guò)點(diǎn)(0,

34

心)作直線I與x軸平行.

4

(1)求拋物線的解析式和線段BC的解析式.

(2)設(shè)點(diǎn)D(x,y)是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B,C重合)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的

垂線，與拋物線交于點(diǎn)G.設(shè)線段GD的長(zhǎng)度為h,求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)

x為何值時(shí)，線段GD的長(zhǎng)度h最大，最大長(zhǎng)度h的值是多少？

(3)若點(diǎn)P(m,n)是拋物線上位于第三象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PF并延長(zhǎng)，交拋物線于

另一點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)Q作QS±I,垂足為點(diǎn)S,過(guò)點(diǎn)P作PN±I,垂足為點(diǎn)N,試判斷AFNS

的形狀，并說(shuō)明理由；

(4)若點(diǎn)A(-2,t)在線段BC上，點(diǎn)M為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AF,當(dāng)點(diǎn)M在

何位置時(shí)，MF+MA的值最小，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)與MF+MA的最小值.

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的最值；待定系

數(shù)法求二次函數(shù)解析式；線段的性質(zhì):兩點(diǎn)之間線段最短.

專題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題.

分析：(1)由于拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)0,故拋物線的解析式可設(shè)為y=ax2,把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求

出拋物線的解析式；設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n,把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入即可求出直線BC的解

析式.

(2)由點(diǎn)D(x,y)在線段BC上可得yD="-2,由點(diǎn)G在拋物線y=-42上可得丫