4、矩形的判定和性質(zhì)

矩形的判定和性質(zhì)【問(wèn)題導(dǎo)學(xué)】操作：已知Rt△ABC中，BO是斜邊AC上的中線。請(qǐng)大家以點(diǎn)O為對(duì)稱中心，作出此圖關(guān)于點(diǎn)O的中心對(duì)稱圖形。（點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為D）思考、交流：所得四邊形ABCD是不是平行四邊形？你能說(shuō)明理由嗎？一、矩形性質(zhì)探究：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形。（矩形通常也叫長(zhǎng)方形）1.矩形與平行四邊形比較：相同點(diǎn)：不同點(diǎn)：2.你能用以前學(xué)過(guò)的知識(shí)證明矩形的對(duì)角線相等嗎？3.小結(jié)：矩形的特殊性質(zhì)（1）.（2）.4.矩形和平行四邊形性質(zhì)比較。相同點(diǎn)：（1）邊：不同的：（1）角：.（2）角：（2）對(duì)角線：.（3）對(duì)角線：.（4）對(duì)稱性：（3）對(duì)稱性：.二、矩形判定探究⑴有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形嗎？為什么？⑵如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC=BD，四邊形ABCD是矩形嗎？DDCBAO矩形的判定定理總結(jié)：1、__________________________________________________2、__________________________________________________3、__________________________________________________題型一：矩形的性質(zhì)-邊角1、如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OBD．OA＝AD2、矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）A.對(duì)邊相互平行B.對(duì)角線相等C.對(duì)角線相互平分D.對(duì)角相等3、在下列圖形性質(zhì)中，矩形不一定具有的是（）A．對(duì)角線互相平分且相等B．四個(gè)角相等C．是軸對(duì)稱圖形D．對(duì)角線互相垂直4、如圖,在矩形ABCD中,AD=12,AB=7,DF平分ADC,AFEF,（1）求證：AF=EF；(2)求EF長(zhǎng);題型二：矩形的性質(zhì)-對(duì)角線1、如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠AOB＝60°，AC＝6cm，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_____2、如圖所示，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠ACB＝30°，則∠AOB的度數(shù)為_(kāi)_____3、如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OA＝3，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)_______．4、如圖,矩形ABCD的對(duì)角線交于O點(diǎn),若OA=1,BC=,那么BDC的大小為_(kāi)_____.5、如圖，在矩形ABCD中，連接AC，BD，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使BC＝CE，連接DE.求證：DE＝AC.6、如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上的動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＋PF的值為_(kāi)_______．7、如圖，延長(zhǎng)矩形ABCD的邊BC至點(diǎn)E，使，若，則．題型三：矩形的性質(zhì)-周長(zhǎng)和面積問(wèn)題1、在矩形ABCD中,對(duì)角線交于O點(diǎn)，AB=6,BC=8,那么△AOB的面積為_(kāi)______;周長(zhǎng)為_(kāi)_______.2、一個(gè)矩形周長(zhǎng)是16cm,對(duì)角線長(zhǎng)是7cm,那么它的面積為_(kāi)_____.3、如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是線段上一點(diǎn)，連接，．若的面積等于的面積，則和的面積比等于（

）

A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．9∶44、如圖所示，沿DE折疊長(zhǎng)方形ABCD的一邊，使點(diǎn)c落在AB邊上的點(diǎn)F處，若AD＝8，且△AFD的面積為60．求：(1)邊AB的長(zhǎng)；(2)△DEC的面積．5、如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果將該矩形沿對(duì)角線BD重疊，（1）求證：△ABE≌△C1DE（2）求圖中陰影部分的面積.題型四：矩形的判定定理1、下列說(shuō)法中，正確的是 ( )A．有1個(gè)角是直角的四邊形是矩形 B．2條對(duì)角線相等的四邊形是矩形．C．2條對(duì)角線互相垂直的四邊形是矩形 D．有3個(gè)角是直角的四邊形是矩形2、下列關(guān)于矩形的說(shuō)法中正確的是 ( )A.對(duì)角線相等的四邊形是矩形B．對(duì)角線互相平分的四邊形是矩形C．矩形的對(duì)角線互相垂直且平分D．矩形的對(duì)角線相等且互相平分3、如圖工人師傅砌門(mén)時(shí)要想檢驗(yàn)門(mén)框ABCD是否符合設(shè)計(jì)要（即門(mén)框是否為矩形，在確保兩組對(duì)邊分別平行的前提下，只要測(cè)量出對(duì)角線的長(zhǎng)度，然后看它們是否相等就可判斷了．(1)當(dāng)AC （填“等”或“不等BD時(shí)，門(mén)符合要求；(2)這種做法的根據(jù)是 ．4、如圖，在△ABC為BCABDE是平行四邊形，求證：四邊形ADCE為矩形．5、如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分線，CE⊥AN于點(diǎn)E．求證：四邊形ADCE為矩形．6、已知：如圖，四邊形ABCD是由兩個(gè)全等的正三角形ABD和BCD組成的，M、N分別為BC、AD的中點(diǎn)．求證：四邊形BMDN是矩形．7、已知：如圖，平行四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，求證：四邊形EFGH是矩形.8、已知：四邊形是平行四邊形，以對(duì)角線為斜邊作，連接，，．求證：四邊形是矩形．題型五：最值問(wèn)題1．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)，為對(duì)角線上的兩點(diǎn)，且滿足，連接，，則的最小值為

A． B． C． D．2．如圖，在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)到、兩點(diǎn)距離之和的最小值為（

）

A． B． C． D．3．如圖，在中，，點(diǎn)P是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于A、B兩點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P分別作邊的垂線，垂足分別為M、N，則的最小值是．

課后練習(xí)：1．如圖，在矩形中，，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，，垂足為E．若，則．2．如圖，點(diǎn)是矩形的對(duì)角線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，分別交，于點(diǎn)，，連接，．若，，則圖中陰影部分的面積為．3．如圖，已知點(diǎn)是矩形的對(duì)稱中心，分別是邊上的點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，如果矩形的面積是22，那么圖中陰影部分的面積是．4．如圖，在矩形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作的垂線，垂足為E．已知，求的度數(shù)．5．如圖，在矩形中，，點(diǎn)P為邊上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作，垂足分別為E、F，則．

6．如圖，將一張矩形紙片沿著折疊后，點(diǎn)恰好與邊上的點(diǎn)重合，已知，，則的長(zhǎng)度為cm．

7．如圖所示，在長(zhǎng)方形中，，，將長(zhǎng)方形沿折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)，則重疊部分的面積是．

8．如圖，中，，，，點(diǎn)為邊上任一點(diǎn)，過(guò)分別作于，于，則線段的最小值是．

9．如圖，在矩形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，若平分交于點(diǎn)E，且，連接，則（

）A． B． C． D．10．如圖，過(guò)的頂點(diǎn)A分別作及其外角的平分線的垂線，垂足分別為E、F，求證：四邊形是矩形；11．如圖，在中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，E是外一點(diǎn)，且，求證：是矩形．12．如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，△OAB是等邊三角形，AB＝1．(1)求證：平行四邊形ABCD是矩形；(2)求平行四