小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究自考復(fù)習(xí)資料

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究自考復(fù)習(xí)資料（精品合集）

第一章小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)及內(nèi)容

一、數(shù)學(xué)是一種研究客觀世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科

學(xué)。

數(shù)學(xué)本質(zhì)：數(shù)學(xué)是一種研究思想事物的科學(xué)一一恩格斯。

二、數(shù)學(xué)的作用：一種科學(xué)只有在成功運(yùn)用數(shù)學(xué)時，才算達(dá)到

了真正完美的地步。數(shù)學(xué)是一切科學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)的內(nèi)容、思

想、方法和語言已廣泛滲入自然和社會科學(xué)中，數(shù)學(xué)作為一種文

化，已成人們的共識。

三、我國數(shù)學(xué)課程及演變過程：

（1）萌芽時期（公元前600年前）

（2）初等數(shù)學(xué)時期（公元前600年一一17世紀(jì)中葉）

（3）變量數(shù)學(xué)時期（17世紀(jì)中葉一一19世紀(jì)20年代）

（4）近代數(shù)學(xué)時期（19世紀(jì)20年代一一第二次世界大戰(zhàn)）

（5）現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期（第二次世界大戰(zhàn)以來）

作為一門學(xué)科，在我國卻遲到隋唐時期，才在國子監(jiān)設(shè)算學(xué)

館。置博士、助教，選定和注釋從漢朝以來的十部算經(jīng)，

以《算經(jīng)十書》著?！端憬?jīng)十書》是我國古代數(shù)學(xué)發(fā)展和成就的

代表文獻(xiàn)，構(gòu)成了我國古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系。①《周髀算經(jīng)》勾股定

理；②《九章算術(shù)》方程章中第13題是著名“五家共井"最早的不定

方程問題；③《孫子算經(jīng)》“知客幾何""雞兔同籠"尤其是"物不知數(shù)〃

是后來馳名于世的“大衍求一術(shù)〃的起源，是中國古代數(shù)學(xué)最具獨(dú)創(chuàng)

精神的成就之一。④《張丘建算經(jīng)》

提出了有趣的不定方程和解法"百雞問題〃；⑤《緝古算經(jīng)》三

次方程的代數(shù)解法；《數(shù)學(xué)記遺》"九宮圖"。⑥三國時期劉徽用割

圓術(shù)求出了圓周率值為3.14,之后法國數(shù)學(xué)家偉達(dá)用解析方法求出冗

值。⑦

世界上第一本討論排列組合的書是《周易》

算學(xué)作為小學(xué)課程則從近代光緒二十八年（1902年）才正式開

始。

1892年編《筆算數(shù)學(xué)》，則是我國學(xué)校里的第一部算學(xué)教科書。

1903年春編制《最新教科書》我國自己編寫的第一本正式的小

學(xué)算學(xué)課本問世。

1978年2月《全日制十年制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試行草案）》

明確將小學(xué)算術(shù)改為統(tǒng)一的數(shù)學(xué)。

1992年三個面向“面向現(xiàn)代化"、"面向世界"、"面向未來"。

四、國外數(shù)學(xué)課程變革的簡況及趨勢。

20世紀(jì)初，德國數(shù)學(xué)家克萊因發(fā)起并領(lǐng)導(dǎo)了數(shù)學(xué)教育近代化運(yùn)

動。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)運(yùn)動發(fā)展是不平衡的，分三種類型：1.革新型如英

美；2.進(jìn)化型如蘇聯(lián)；3.中間型如日本。

相似之處：

1.精簡傳統(tǒng)的算術(shù)內(nèi)容：

2.增減或滲透集合、函數(shù)、統(tǒng)計等現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容；

3.用結(jié)構(gòu)思想處理傳統(tǒng)內(nèi)容。

"回歸基礎(chǔ)〃改為“走向基礎(chǔ)〃。

大眾數(shù)學(xué):目標(biāo)讓全體學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)更多的數(shù)學(xué)而且是需

要的數(shù)學(xué)。

五、小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)與分析（參考課標(biāo)）

小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)是小學(xué)教育方向和性質(zhì)的表征，也是小學(xué)數(shù)

學(xué)教育活動，包括組織教學(xué)內(nèi)容、確定教學(xué)要求、選擇教學(xué)方法、

進(jìn)行質(zhì)量評估、決定考試命題等進(jìn)行的依據(jù)。

1、小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)制定的依據(jù)

2、小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)

3、小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容

六、學(xué)科數(shù)學(xué)與科學(xué)數(shù)學(xué)

課程內(nèi)容的載體是教材一一教科書。

學(xué)科數(shù)學(xué)的內(nèi)容是依賴于科學(xué)數(shù)學(xué)二建立和發(fā)展的。

1.作為科學(xué)的數(shù)學(xué)，它不考慮人們是否能夠理解和接受，只要

能完備而又精確地闡明某種數(shù)學(xué)理論，更深刻地反應(yīng)世界的空間形

式和數(shù)量關(guān)系就行。而作為學(xué)科的數(shù)學(xué)必須遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和

心理特點(diǎn)，往往日常生活、生產(chǎn)中的具體事例出發(fā)，對現(xiàn)象進(jìn)行描

述，然而轉(zhuǎn)向定義、定律、性質(zhì)等的揭露。

2.作為科學(xué)數(shù)學(xué)，對所有的定理、法則等都必須進(jìn)行嚴(yán)格的論

證和推導(dǎo)，而作為學(xué)科的數(shù)學(xué)限于學(xué)生的接收水平，往往通過列舉

一些事例用不完全歸納法得出結(jié)論。

3.作為科學(xué)的數(shù)學(xué)，完全按照數(shù)學(xué)倫理的邏輯系統(tǒng)進(jìn)行安排，

可以難易起伏不均；作為學(xué)科數(shù)學(xué)在不影響科學(xué)性的前提下，兼顧

小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。對某些內(nèi)容可以適當(dāng)調(diào)整。

由此可見，科學(xué)數(shù)學(xué)是作為人類認(rèn)識的結(jié)果而呈現(xiàn)的，已完全

揭示數(shù)量關(guān)系和空間形式為目的；而學(xué)科數(shù)學(xué)可看作為認(rèn)識對象而

存在。對作為小學(xué)學(xué)科的數(shù)學(xué)而言，除了正確反映科學(xué)數(shù)學(xué)的知識

外，還必須充分遵循小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有利于使他們學(xué)懂、學(xué)

好、學(xué)活。有利于發(fā)展他們的智能，有利于進(jìn)行思想品德教育。

七、小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容編排原則：

1.以數(shù)與計算為主線，以數(shù)與形式為重點(diǎn)，把各部分內(nèi)容按其

彼此的內(nèi)在聯(lián)系結(jié)合起來。

2.由淺入深，由易到難，循序漸進(jìn)，螺旋上升。

3.突出重點(diǎn)，分散難點(diǎn)。

4.把數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)應(yīng)用結(jié)合起來。

5.注重趣味性。

數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)：1.高度的抽象性2.嚴(yán)密的邏輯性3.應(yīng)用的廣泛

性。

第二章小學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論依據(jù)

一、數(shù)學(xué)問題及其組成

1、1、數(shù)學(xué)問題雖然名稱不同，敘述內(nèi)容不同，但它們卻有一

個共同的特點(diǎn)，即是在一定的知識背景中提出的。知識背景主要包

括已有的概念、理論和方法。因此，我們認(rèn)為依照數(shù)學(xué)問題的解答

與知識背景的關(guān)系，可以把數(shù)學(xué)問題大致分為兩類：常規(guī)問題和非

常規(guī)問題。

2、依照數(shù)學(xué)問題提法的意義是否明確，數(shù)學(xué)問題的條件是否充

分，我們還可以把數(shù)學(xué)問題劃分為：可能問題和不可能問題。

3、數(shù)學(xué)問題的組成成分是條件、目標(biāo)和運(yùn)算。（三大組成部分

也叫構(gòu)成要素）

二、智力結(jié)構(gòu)與活動方式

1、智力兩個方面：一是天賦的潛力、特性和發(fā)展的容量；即健

全的神經(jīng)代謝的總和。二是發(fā)展得以進(jìn)行下去的大腦功能，即能夠

決定操作和理解的功能。

皮亞杰關(guān)于智力階段的劃分

感知運(yùn)動階段（0——2歲）

前運(yùn)算階段（2——7歲）

具體運(yùn)算階段（7——11歲）

形式運(yùn)算階段（11歲以上）

同化和順應(yīng)是相對立的兩種力量。同化是一個人按照過去的經(jīng)

驗、圖示來活動；順應(yīng)則是根據(jù)面臨的新信息所作的改變和思考。

2、智力活動方式：

（1）根據(jù)基本的心理過程，分為知覺方式、記憶方式和思維方

式。

（2）根據(jù)完成的主要功能，分為定向方式、執(zhí)行和控制方式。

（3）根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)范化程度，分為計算性方式、算法指令性方

式、啟發(fā)性方式。

（4）根據(jù)動作的共同性，分為一般方式和具體方式。

另外，根據(jù)智力活動在人類不同認(rèn)知領(lǐng)域里的運(yùn)用程度，又可

以分為一般方式（如分析、綜合、抽象、概括、比較等）和限于某一

認(rèn)識領(lǐng)域的特殊方式。

二、數(shù)學(xué)思維品質(zhì)及其發(fā)展水平

1、1、思維：人腦對客觀事物的本質(zhì)特征、相互關(guān)系及其內(nèi)在

規(guī)律性的概括的、間接的反映，是人們對外接輸入的信息的感知的

基礎(chǔ)上經(jīng)過分析、綜合、比較、抽象、概括等智力活動方式，對其

加工、推理和獲得理性認(rèn)識的心理過程。

2、思維的本質(zhì)：思維是間接認(rèn)識事物，是通過感知與被直接認(rèn)

識的事物有著合乎規(guī)律的聯(lián)系的另一個對象而實現(xiàn)的。

3、思維的類型：1.邏輯性思維2.非邏輯性思維。

形式邏輯思維：是以概念、判斷、推理等思維方式，同一律，

矛盾律、排中律等思維規(guī)律，歸納、演繹、類比、科學(xué)假設(shè)等思維

方法為其研究對象。

辯證邏輯思維：研究的是思維形式如何正確反映客觀事物的運(yùn)

動變化、事物的內(nèi)部矛盾、事物的有機(jī)聯(lián)系和轉(zhuǎn)化等問題，其主要

特點(diǎn)是用有限量來描述和刻畫。

4、數(shù)學(xué)思維：又叫數(shù)學(xué)型思維，就是以數(shù)和形為思維的對象。

以數(shù)學(xué)的語言和符號為思維的載體，以認(rèn)識和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律為目的

的一種思維。

數(shù)學(xué)思維品質(zhì)：靈活性、積極性、目的性、記憶性、廣闊性、

深刻性、批判性、準(zhǔn)確性、簡捷性、獨(dú)創(chuàng)性和證明性。

數(shù)學(xué)思維水平的評定：第一級水平一一第五級水平

前兩級水平是小學(xué)年級的學(xué)生所特有的，第三級水平是初中年

級學(xué)生所特有的；第四級水平是高中年級學(xué)生所特有的，至于第五

級水平無論是幾何方面還是代數(shù)方面的，均屬于數(shù)學(xué)思維的現(xiàn)代水

平。一般的中學(xué)階段的學(xué)生是難以達(dá)到的。

四、影響小學(xué)數(shù)學(xué)解題的心理因素：（兩大）

（一）問題解決的特征：1.問題情境因素2.解題者的個體特征（解

題者知識經(jīng)驗基礎(chǔ)和個性品質(zhì)）3.解題中的認(rèn)知策略（解題者用來調(diào)

節(jié)注意、回憶和思維的技能）

（二）遷移與思維定勢：

遷移是指一種知識、技能的學(xué)習(xí)和應(yīng)用對另一種知識、技能的

學(xué)習(xí)和應(yīng)用所施加的影響。

思維定勢：指的是一種思維的定向預(yù)備狀態(tài)，在思維不受到新

干擾的情況下，人們按照既定的方向或者方法去思考。

第三章小學(xué)數(shù)學(xué)解題的認(rèn)知過程

一、小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及認(rèn)知

學(xué)習(xí)：從廣義上理解，學(xué)習(xí)是有機(jī)體憑借經(jīng)驗的獲得而產(chǎn)生的

比較持久的行為（思維、想象，記憶、感知等內(nèi)部心理活動和語言、

表情、動作等外部活動）變化。

從狹義上理解，學(xué)習(xí)是指學(xué)生在老師指導(dǎo)下，有目的、有計

劃、有組織、有步驟地進(jìn)行的獲得知識、形成技能、培養(yǎng)能力、發(fā)

展個性的過程。

桑代克一一刺激反應(yīng)理論，學(xué)習(xí)是刺激和反應(yīng)的聯(lián)結(jié)。

苛勒一一完形理論，學(xué)習(xí)是零碎和知覺信息的再組織過程。

托爾曼一一認(rèn)知理論，學(xué)習(xí)是對環(huán)境中的刺激，依其關(guān)系形成

一種新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，是意義的獲得和實現(xiàn)期望的過程等等。

小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)：是在教師指導(dǎo)下獲得數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)技能和數(shù)

學(xué)能力，發(fā)展個性數(shù)學(xué)品質(zhì)的過程。由于數(shù)學(xué)自身具有邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)

性、高度的抽象性及應(yīng)用的廣泛性，所以，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)

容和最終母的是解決小學(xué)數(shù)學(xué)問題。

小學(xué)數(shù)學(xué)解題：作為小學(xué)生的一種特殊心理活動，綜合起來

說，它屬于一種認(rèn)知學(xué)習(xí)。小學(xué)數(shù)學(xué)解題是一種逐漸深入的，具體

某種程度創(chuàng)新性和思維對策的心理活動（認(rèn)知）過程。不求甚解、生

搬硬套、機(jī)械呆板等等，都不是小學(xué)數(shù)學(xué)解題的真實含義。

二、認(rèn)知結(jié)構(gòu)：是指個體在感知及理解客觀現(xiàn)實的基礎(chǔ)上，在

頭腦里形成的一種心理結(jié)構(gòu)。簡單點(diǎn)說認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是在個體頭腦里

的知識結(jié)構(gòu)。

小學(xué)數(shù)學(xué)解題作為小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容和方式，其意義也

就在于不斷積極主動地建立、擴(kuò)大和重新組織數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并伴

隨著同化和順應(yīng)等特征。

小學(xué)數(shù)學(xué)解題并不是數(shù)學(xué)知識的簡單應(yīng)用，而是以原有數(shù)學(xué)認(rèn)

知結(jié)構(gòu)為依據(jù)，對新知識進(jìn)行加工。

三、技能：是順利完成某種任務(wù)的一種心智或動作的活動方

式，她需要通過練習(xí)才能形成。

動作：泛指在完成一項具體任務(wù)中所涉及的一系列操作，以完

善、合理方式組織起來并順利進(jìn)行時，就成為動作技能。心智系指

借助于內(nèi)部語言在頭腦中進(jìn)行的認(rèn)識活動。它包括感知、記憶、想

象和思維，但以抽象思維為它的主要成分。

技能和能力：是不同的概念，二者既有聯(lián)系，又有區(qū)別。技能

是指完成一定任務(wù)的活動方式，能力則是順利完成任務(wù)的個性心理

特征。技能的形成以一定的能力為前提，反過來又對能力的發(fā)展起

重要的促進(jìn)作用。

數(shù)學(xué)動作技能：指運(yùn)用工具繪圖的技能，測量技能、使用計算

工具的技能等。

數(shù)學(xué)心智技能：指數(shù)的計算技能、式的恒等變形技能、解方

程、解不等式的技能，推理論證技能、運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的技能等。

這兩種數(shù)學(xué)技能既有聯(lián)系又有區(qū)別。一方面數(shù)學(xué)心智技能的形

成，與數(shù)學(xué)動作技能有關(guān)；另一方面，數(shù)學(xué)動作技能又受數(shù)學(xué)心智

技能控制。

數(shù)學(xué)認(rèn)知技能：的形成，也有一個過程，就小學(xué)數(shù)學(xué)解題而

言，可以概括成認(rèn)知階段、聯(lián)結(jié)形成階段和自動階段。

小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的數(shù)學(xué)認(rèn)知技能盡管有上述的幾個階段，但最

終得以形成，都要經(jīng)歷一個從"會〃到"熟”的過程，其間必須不斷通

過有計劃、有目的的練習(xí)，才能完成這一轉(zhuǎn)變。

發(fā)展：作為一般意義上的理解是指人的各種特性在結(jié)構(gòu)上和機(jī)

能上的變化。發(fā)展有生理發(fā)展和心理發(fā)展之分。

四、認(rèn)知發(fā)展：是指與大腦生長和知識技能有關(guān)的發(fā)展方面。

涉及人在知覺、記憶、思維、語言、智力等方面種種功能的發(fā)展變

化。

小學(xué)數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展可以理解為小學(xué)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)認(rèn)知技

能的發(fā)展，是通過小學(xué)數(shù)學(xué)活動過程來體現(xiàn)的。認(rèn)知發(fā)展一般包含

這幾個階段：1.輸入階段2.同化和順應(yīng)階段3.應(yīng)用階段。以上三個階

段是密切聯(lián)系的。

第四章小學(xué)數(shù)學(xué)解題的實質(zhì)和結(jié)構(gòu)

一、小學(xué)數(shù)學(xué)解題的含義

小學(xué)數(shù)學(xué)解題即小學(xué)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的問題解決，不但要關(guān)心問題

的結(jié)果，而且要關(guān)心求得結(jié)果的過程，也就是問題解決的整個思考

活動。所以小學(xué)數(shù)學(xué)解題指的是按照一定的思維對策進(jìn)行的一個思

維過程，一步一步地靠近目標(biāo)，最終達(dá)到目標(biāo)。其含義就是思考的

活動及探索的過程。

19世紀(jì)中葉，德國數(shù)學(xué)家格拉斯曼才成功地建立了一個算術(shù)基

本公理體系，解決和統(tǒng)一禮物在此之前人們一直混淆的上述問題。

小學(xué)數(shù)學(xué)解題也就意味著找出這樣一個數(shù)學(xué)的一般原理（定義、

公理、法則、定律、公式）的序列，當(dāng)應(yīng)用他們到問題的條件或者條

件的推論（解法的中間結(jié)果）時，就能得到問題所要求的答案。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)解題的結(jié)構(gòu)

奧蘇伯爾解題結(jié)構(gòu)模式：1.呈現(xiàn)問題的情境2.明確問題的目標(biāo)與

已知條件3.填補(bǔ)空隙的過程4.解答后的檢驗。

小學(xué)數(shù)學(xué)解題的幾個階段：1.分析題意2.尋找解法3.實行解法4.

回顧解法

三、小學(xué)數(shù)學(xué)解題的趨向

教育心理學(xué)認(rèn)為根據(jù)解題者尋求解答的趨向可以把解題分為兩

種主要方式，一種是嘗試錯誤式，另一種是頓悟式。

嘗試錯誤式是由進(jìn)行無定向的嘗試，重復(fù)無效動作，糾正暫時

性嘗試錯誤。直至出現(xiàn)解決問題得以成功的一系列反應(yīng)所組成的行

動。

頓悟式解決問題嘗試錯誤式不同，它具有一定的"心向”，努力

發(fā)現(xiàn)手段與目標(biāo)之間的有意義的聯(lián)系，而這種聯(lián)系正是問題賴以解

決的基礎(chǔ)。

在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中，嘗試錯誤式和頓悟式實際上司不能絕對化

的，嘗試錯誤式解決可能是隱含在內(nèi)而不表露于外的。所以看不出

是嘗試錯誤式，未必就是頓悟式。頓悟式解題也不一定是徹底的、

完善的和即時的，盡管看上去解答是突然出現(xiàn)的，事實上卻往往經(jīng)

歷著一定的甚至是相當(dāng)曲折的過程。

四、小學(xué)數(shù)學(xué)解題的規(guī)則

常規(guī)問題解題規(guī)則：1.公式規(guī)則2.恒等式規(guī)則3.定理規(guī)則4.定義

規(guī)則

非常規(guī)問題就是沒有一般解題規(guī)則的數(shù)學(xué)問題，它的解題步驟

序列，可以利用技巧將其轉(zhuǎn)化為等價的常規(guī)問題，或分解為若干個

小常規(guī)問題，或通過分析、綜合等方法來尋求。

算術(shù)基本公式體系是小學(xué)數(shù)學(xué)中的定義、公理、定理、法則等

之間的邏輯關(guān)系。

小學(xué)數(shù)學(xué)解題是以思考為內(nèi)涵，以問題目標(biāo)為定向的心理活動

過程。

第五章小學(xué)數(shù)學(xué)解題的思想方法

化歸類比歸納

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》《數(shù)學(xué)與合情推理》一一

關(guān)于數(shù)學(xué)解題的核心觀點(diǎn)就是發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造。

蘇聯(lián)婭諾夫斯卡婭《解題意味著什么》一一解題也就意味著把所

要解的問題轉(zhuǎn)化到已經(jīng)解過的問題。

法國笛卡爾我所解決的每一個問題都將成為范例，以用于解決

其他問題。

一、化歸法的一般模式為：

化歸法的特點(diǎn)：在于它具有較強(qiáng)的目的性、方向性和概括性。

基本原則：是由未知到已知，由難到易、由繁到簡；

它的方向就是如何實現(xiàn)由所要解決的問題向已解決的或較容易

解決的問題的轉(zhuǎn)化，這里蘊(yùn)含著發(fā)現(xiàn)、發(fā)明及創(chuàng)造性的活動。

從廣義上的理解化歸是一種思想，如果從狹義上來看，化歸乃

是重要的常用的和具體的解決方法之一，而且又有分割組合、映射

反演等分別。

分割組合的一般模式:

分割組合：就是把所要求的問題，按照可能和需要，分割成若

干部分，使他們更容易于求解，再將這些解答有機(jī)地組合起來，過

渡到問題的最終結(jié)論。

映射反演就是映射和反演兩種方法并用。

映射：就是在兩類數(shù)學(xué)對象或兩個數(shù)學(xué)集合的元素之間建立的

某種對應(yīng)關(guān)系。

反演：就是從已知運(yùn)算往回推（每一步運(yùn)算都以其逆運(yùn)算來代

替，相對映射而言，反演就是逆映射。）

在數(shù)學(xué)解題中，這種映射反演具體表現(xiàn)為坐標(biāo)法、復(fù)數(shù)定向

法、換元法等。

萬能發(fā)現(xiàn)法：（笛卡爾）

這種模式在某些情況下是不適用的。這種方法包含了"數(shù)學(xué)

化〃、“代數(shù)化〃、"計算化”等合理的化歸思想方法。

二、類比法：是根據(jù)兩個或兩類不同的對象在某些方面（如特

征、屬性、關(guān)系等）的類同之處，猜測著兩個對象在其它方面也可能

有類同之處，并作出某種判斷的推理方法。

基本模式:

類比的結(jié)論屬于或然性推論，因為從前提到結(jié)論并不具備邏輯

必然性。也就是說，類比也有一定的局限性，其結(jié)論常常是不可靠

地的，甚至是完全錯誤的。

三、歸納法：是指通過對特殊情形的分析引出普遍的結(jié)論的推

理方法。德國大數(shù)學(xué)家高斯就曾說過，他的許多定理靠的是歸納法

發(fā)明的，證明只是一個補(bǔ)行的手續(xù)。歸納常常是建立在有目的、有

計劃的觀察和試驗基礎(chǔ)上的。

根據(jù)對象是否完備，歸納法又分為完全歸納法和不完全歸納法

兩種。

完全歸納法：是根據(jù)某類事物中每一個對象的情況或每一個子

類的情況，而作出該類事物的一般性結(jié)論的推理。

上面兩種安全歸納推理，前者根據(jù)每一個情況而得出一般性結(jié)

論，后者根據(jù)每一類特殊（子類）情況而得出一般性結(jié)論。它們子本

質(zhì)上是相互聯(lián)系的，前者是后者的特例，后者死前者的推廣。所

以，通常也可以把后者作為完全歸納推理的一般形式。

完全歸納法實質(zhì)上也是一種演繹推理。

不完全歸納法：是根據(jù)對某類事物中的一部分對象的情況，而

作出關(guān)于該事物的一般性結(jié)論的推理。不完全歸納法的推理形式：

和歸納法不同，數(shù)學(xué)歸納法屬于論證的范疇，而不是猜測的方

法。但是在歸納法與數(shù)學(xué)歸納法之間也存在著相互依賴、相互滲透

的辯證關(guān)系。換言之，數(shù)學(xué)歸納法所證明的往往是由歸納法所得出

的猜測，而歸納法所得出的猜測有些可用數(shù)學(xué)歸納法來證明。而

且，更為重要的是，歸納的過程往往為應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法去證明相應(yīng)

的結(jié)論打下了基礎(chǔ)；反之證明的過程則加深了對原來猜測的理解。

四創(chuàng)造性及其體現(xiàn)

創(chuàng)造：一般是指創(chuàng)造者的主觀意識活動，通過科學(xué)實踐而對自

然界的某一方面或某些方面的合乎規(guī)律的反映，它是一種現(xiàn)象。

創(chuàng)造的三大基本特征：1.實踐性2.創(chuàng)造者的創(chuàng)造能力充分發(fā)揮3.

創(chuàng)新性，即開創(chuàng)性和新穎性。

創(chuàng)造性作為一個認(rèn)知范疇的概念，系指一種能力或特性，按教

育心理學(xué)的觀點(diǎn)，它和人的智力、智慧品質(zhì)以及人格等有著密切的

關(guān)系。

創(chuàng)造和創(chuàng)造性不能等同，不可相互替代，但兩者共處一體。因

為如果強(qiáng)調(diào)過程，著眼于心理機(jī)制的話，那么創(chuàng)造即是一種特殊的

解決問題的活動，是解決問題的最高表現(xiàn)。而任何問題的解決都需

要一定的創(chuàng)造性作為基礎(chǔ)。

創(chuàng)造性既然貫穿在始于問題提出，終于問題解決這一創(chuàng)造過程

中，就起內(nèi)涵來說，它也具有一定的階段性。

想象、靈感和直覺，通常被人們稱做創(chuàng)造性的精華。（核心）

想象：是在頭腦中改造記憶中的表象而創(chuàng)造新形象的過程。它

既是一種具有極大的自由度的思維活動形式，同時又是可以自覺地

引導(dǎo)進(jìn)行的一種積極主動的心理形象。

靈感：是指人們在創(chuàng)造過程中，由于某種誘因的作用而突發(fā)的

一種非邏輯的思維活動。

靈感的特點(diǎn)：靈感引發(fā)的隨機(jī)性、靈感顯現(xiàn)的暫時性、靈感顯

現(xiàn)過程中的情感性。

靈感的產(chǎn)生不是憑空生產(chǎn)的，不是考等待就能來臨的。它的誘

發(fā)有著漫長的有意識的活動，有著相當(dāng)?shù)男燎谂蛯嵺`為基礎(chǔ)。

如愛迪生說：天才乃是99%的勤奮加上1%的靈感。

小學(xué)數(shù)學(xué)解題中，我們也應(yīng)該通過有意識的思考，去誘發(fā)靈

感。

直覺簡單得說就是直接去覺察。

直覺的三個明顯的特征：

1.它對問題的內(nèi)在規(guī)律（即客觀事物的本質(zhì)聯(lián)系）的深刻理解。

2.這種理解來自經(jīng)驗的積累。

3.經(jīng)驗積累到一定的程度突然理性與感性產(chǎn)生共鳴時，表現(xiàn)為

豁然貫通的一種頓悟式的理解。

直覺：是從感性經(jīng)驗達(dá)到理性飛躍的人的認(rèn)識過程的一種特殊

表現(xiàn)形式，是邏輯順序的高度簡縮。

總之想象、靈感、直覺的出現(xiàn)，不僅意味著常規(guī)思維中的"跳

躍”，邏輯順序的"中斷"，及由此而得到的創(chuàng)造性。而且三者常常又

是緊密聯(lián)系和相互作用的，或是想象誘發(fā)了靈感和直覺，或是靈感

和直覺喚起了活躍的想象。

第六章小學(xué)數(shù)學(xué)解題能力分析

一、小學(xué)數(shù)學(xué)解題能力的成分

從廣義上講，數(shù)學(xué)能力是順利完成數(shù)學(xué)活動所必備的，且直接

影響其活動效率的一種心理特征，它是在數(shù)學(xué)活動過程中形成和發(fā)

展起來的，并在這類活動中主要變現(xiàn)出來的比較穩(wěn)定的心理特征。

從狹義上講，數(shù)學(xué)能力即理解為解決數(shù)學(xué)問題的個性特征。

運(yùn)算能力：這些運(yùn)算能力最初表現(xiàn)為對其知識的理解和技能的

形成上，進(jìn)而體現(xiàn)在根據(jù)具體問題的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)睾侠磉\(yùn)用運(yùn)算，

與其他各種運(yùn)算的靈活運(yùn)用和巧妙的結(jié)合上。這也就表現(xiàn)出一種解

題的能力，即運(yùn)算能力。

空間想象能力：在空間形式的問題中，所要研究的是圖形的形

狀，圖形的大小，圖形與圖形的位置的關(guān)系等。在研究過程中，除

直接給出一些基本圖形的性質(zhì)外，總是要根據(jù)所給具體圖形的特點(diǎn)

和解決它的需要，把它分解和重新組合，即在頭腦中進(jìn)行感知和操

作，出現(xiàn)或構(gòu)造出一些異于所給圖形的新圖形，并找到新的關(guān)系。

這又表現(xiàn)出一種解題的能力即空間想象能力。

邏輯思維能力：數(shù)學(xué)問題的解決是解題者從感知獲得的感性材

料出發(fā)，通過分析和綜合、抽象和概括、判斷和推理等邏輯思維方

法，去粗取精、去偽取真，由此及彼、由表及里的改造，才上升到

理性認(rèn)識，從而領(lǐng)會和掌握數(shù)學(xué)的規(guī)律和本質(zhì)。因此，這仍然表現(xiàn)

出一種解題的能力，邏輯思維能力這三者之間的關(guān)系既相互區(qū)別，

又相互聯(lián)系和制約的，所以習(xí)慣上把他們概括成數(shù)學(xué)解題能力的主

要成分。

瑞典心理學(xué)家魏德林為代表的歐美心理學(xué)家認(rèn)為組成數(shù)學(xué)解題

能力的因素有：

1.一般因素G（主要指智力因素）

2.數(shù)因素N（對數(shù)概念的理解和應(yīng)用）

3.空間因素S（對空間形式的理解、想象和抽象）

4.語言因素V（用語言表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系）

5.推理因素R（運(yùn)用邏輯思維、形象思維和直覺思維）

日本的大橋正夫等學(xué)者，認(rèn)為數(shù)學(xué)解題能力包括以下三個方

面:

A、數(shù)理性的領(lǐng)會能力：具體要求是使之抽象化，使之?dāng)?shù)量化和

圖形化，使之記號化或形式化。

B、概括能力：具體要求是使之?dāng)U展，集中歸納，改變觀點(diǎn)和改

變條件。

C、思維能力：具體要求是有計劃按步驟地進(jìn)行思考，進(jìn)行類比

或?qū)Ρ龋懈鶕?jù)地進(jìn)行證明。

蘇聯(lián)心理學(xué)家魯捷茨基：1.使數(shù)學(xué)材料形式化能力2.概括數(shù)學(xué)材

料的能力3.用數(shù)學(xué)和其他符號進(jìn)行運(yùn)算能力4.連續(xù)而有節(jié)奏的邏輯

推理能力5.縮短推理過程的能力6.逆轉(zhuǎn)心理過程的能力7.靈活的思維

能力8.數(shù)學(xué)記憶能力9.形成空間概念的能力10.借助形象化（直觀）

努力。

我們認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)解題能力是取決于數(shù)學(xué)學(xué)科和數(shù)學(xué)活動的個

人特性，是小學(xué)生順利完成解題這種特殊的數(shù)學(xué)活動時所表現(xiàn)出來

的心理品質(zhì)的綜合。概括數(shù)學(xué)材料、逆轉(zhuǎn)心理過程、靈活性、借助

形象化等即是這種心理品質(zhì)綜合體中的具體成分。

二、概括數(shù)學(xué)材料能力主要表現(xiàn)：1.在從所給數(shù)學(xué)材料的形成

和結(jié)構(gòu)中，能迅速抓住事物的"數(shù)〃和"形"，找出或發(fā)現(xiàn)具有數(shù)學(xué)意

義的關(guān)系與特征2.正確辨認(rèn)出或分離出某些對解決問題有效的成分

與有數(shù)學(xué)意義的結(jié)構(gòu)。

概括數(shù)學(xué)材料，還在于感知題目的形式結(jié)構(gòu)。所謂題目的形式

結(jié)構(gòu)是指構(gòu)成題目實質(zhì)的相互關(guān)聯(lián)的量的綜合體。

概括數(shù)學(xué)材料的能力還充分體現(xiàn)在這樣兩個方面：一是從特殊

的和具體的事物中，概括出某些一般的熟識的教學(xué)模式；二是從孤

立的和特殊的事物中，概括出未知的數(shù)學(xué)模式。綜合起來也就是從

具體內(nèi)容擺脫出來，并且在各種對象、關(guān)系和運(yùn)算的結(jié)構(gòu)中，概括

出相似的、一般的和本質(zhì)的東西。

克魯捷茨基認(rèn)為對數(shù)學(xué)材料的概括能力，還應(yīng)表現(xiàn)在問題的類

型上即從不同的題目中發(fā)現(xiàn)一般類型，能從較簡單的題目過渡到相

同類型較復(fù)雜的題目，以及怎樣吧一種類型從表面上相似的其他類

型的題目中區(qū)分出來。這樣有助于在解決問題時，解題者也就能夠

迅速概括出所要解決的問題，發(fā)現(xiàn)和過去所熟悉的問題的相似之

處，從而將解法平移過來。

三、逆轉(zhuǎn)心理的能力：指的是重建一種心理過程的方向的能

力，即不僅取向而且取逆向；不僅從正面而且從反面；不僅從因到

果，而且執(zhí)果索因地進(jìn)行分析，是問題得以解決。

小學(xué)數(shù)學(xué)解題過程，逆轉(zhuǎn)心理過程還具體體現(xiàn)在正逆雙方面的

理解、思考和應(yīng)用上，這樣不僅有利于深入領(lǐng)會概念、公式、法

則，而且能達(dá)到解題迅速，簡捷的目的。

四、靈活性又稱變通性：愛因斯坦看成是創(chuàng)造你的典型特征。

在數(shù)學(xué)解題過程中，靈活性指的是解題思路的靈活轉(zhuǎn)換盒迅速重

組。

從認(rèn)知心理學(xué)的角度看，所謂的靈活性系指解題途徑的多樣

化，判斷其強(qiáng)弱的標(biāo)準(zhǔn)一般是指解題者從一種心理運(yùn)算到另一種心

理運(yùn)算的輕快平衡和敏捷程度。

靈活性和深刻性。思維深刻的小學(xué)生容易擺脫通常方法的羈

絆，靈活自如地考慮問題；而靈活性很強(qiáng)的小學(xué)生，也常常能發(fā)現(xiàn)

一些出乎意料的解題方法，更深刻地認(rèn)識問題。

五、在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中，小學(xué)生應(yīng)努力完善語言一一+邏輯和視

覺一一形象這兩個方面的相互轉(zhuǎn)換，即在一定程度上依靠視覺意

象，把數(shù)學(xué)關(guān)系視覺化，對比較抽象的數(shù)學(xué)系統(tǒng)也作出一種形象的

解釋，這就是所謂的"借助形象化”的全部內(nèi)涵。

借助于想象化的根本目的在于從直觀上來理解較為抽象的數(shù)學(xué)

關(guān)系，形成再現(xiàn)性想象，從而促進(jìn)創(chuàng)造性的活動。從其模式（視覺的

形象）來看，它和語言一一邏輯模式有著不同的特征，但在具體解題

過程中，它們是相互聯(lián)系和作用的，因此，單純地強(qiáng)調(diào)解題中的視

覺一一形象化作用則也是片面的。

借助形象化所得到的數(shù)學(xué)關(guān)系、數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)形式結(jié)構(gòu)、數(shù)

學(xué)知識系統(tǒng)和推證模式等，比起其他方式來，更能保持記憶。

數(shù)學(xué)氣質(zhì)有如下的三種類型：

分析型：傾向于用語言一一邏輯的詞語去思考

幾何型：習(xí)慣于用視覺一一形象的詞語去思考

混合型：綜合上述兩類特征。

數(shù)學(xué)能力是解決數(shù)學(xué)問題的一種個體心理特征。

第七章小學(xué)數(shù)學(xué)研究專題導(dǎo)引

一、數(shù)學(xué)學(xué)科品格：

1.積極的思維態(tài)度：這種不斷的抽象化，一般化和統(tǒng)一化為數(shù)

學(xué)思維的不斷升華，提供必要的以及可能的條件，促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)

展。

2.科學(xué)的思維方式：（1）是數(shù)學(xué)通過秩序、和諧、對稱、整齊、

簡約等形式來表現(xiàn)與之聯(lián)系的思維情趣，并在此基礎(chǔ)上，形成學(xué)習(xí)

或研究科學(xué)以及從事創(chuàng)造性的勞動具體方法。（2）"技術(shù)化〃向"科學(xué)

化"的過渡。"技術(shù)化”是指只注意具體實用的技巧，而沒有形成某種

思想，停留在經(jīng)驗和技術(shù)層面。而科學(xué)化則表現(xiàn)為注重定量分析，

注重形式邏輯，注重抽象思維。

3.強(qiáng)烈的思維內(nèi)驅(qū)動：從數(shù)學(xué)發(fā)展這一角度來看，思維內(nèi)驅(qū)動

主要是由數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展和外部需要相適應(yīng)而產(chǎn)生的。從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)這

一角度來看，思維內(nèi)驅(qū)動主要是來源于數(shù)學(xué)材料與人的認(rèn)識的矛盾

沖突。

4.密集的腦力當(dāng)量。某種學(xué)科知識總量為T,其腦力總付出為

R,這兩者之反比，即為單位知識所含有的腦力付出，通稱腦力當(dāng)量

C用公式表示，即C=R/T。

二、數(shù)學(xué)活動教學(xué)觀：由于數(shù)學(xué)本身是一種演繹法與結(jié)構(gòu)法相

互矛盾又相互作用的活動過程，所以它的教學(xué)就必須還其本來面

目，不僅注重演繹法，而且還設(shè)計出一種符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律和數(shù)

學(xué)發(fā)展規(guī)律的教學(xué)過程，這就是數(shù)學(xué)活動教學(xué)觀。

數(shù)學(xué)活動教學(xué)可分為這樣三個階段：

1.具體材料的數(shù)學(xué)化，即從實際生活中提取數(shù)學(xué)模型

2.數(shù)學(xué)材料的邏輯組織化，即通過辨析、歸納、直覺、類比、

想象、尋找方向和線索，用邏輯方法吧數(shù)學(xué)材料組織到邏輯材料體

系中去。

3.數(shù)學(xué)結(jié)論的應(yīng)用化。即把理解和掌握結(jié)論轉(zhuǎn)變?yōu)楦泳唧w的

思維，并能同所面臨的實際情境相結(jié)合，從而創(chuàng)造性地應(yīng)用結(jié)論。

上述階段其實就是思維活動由上升性一一探索性一一再上升性這

樣一個循環(huán)發(fā)展過程。

數(shù)學(xué)活動教學(xué)是提高人的素質(zhì)的一個有效途徑。

它能最大限度地調(diào)動學(xué)生的積極性，變被動接收知識為主動地

尋求知識，變脫離學(xué)生的認(rèn)識實際為符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，通過創(chuàng)

設(shè)一些引人入勝的問題情境，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在的學(xué)習(xí)動機(jī)。

數(shù)學(xué)活動教學(xué)提供了個體探求和獲得知識的過程，使之鍛煉了

意志，增強(qiáng)了思維能力，領(lǐng)會了數(shù)學(xué)的基本思想和方法。學(xué)生掌握

的結(jié)論不僅不少，而且得到的思想方法更具有廣泛的遷移意義，久

而久之，可以使學(xué)生從愛學(xué)到學(xué)會，再到會學(xué)。

數(shù)學(xué)活動教學(xué)，因為同現(xiàn)實聯(lián)系起來，所以既培養(yǎng)了辯證唯物

主義的科學(xué)世界觀，又發(fā)展了人頭腦中的數(shù)學(xué)現(xiàn)實認(rèn)識。數(shù)學(xué)來源

于現(xiàn)實，寓于現(xiàn)實，用于現(xiàn)實。

小學(xué)數(shù)學(xué)活動教學(xué)

現(xiàn)代心理學(xué)、教育心理學(xué)、數(shù)學(xué)教育學(xué)的相關(guān)研究成果，構(gòu)成

了數(shù)學(xué)活動及其教學(xué)的理論基礎(chǔ)。首先，從智力發(fā)展理論中的劃分

來看，小學(xué)生處于具體運(yùn)算和形成運(yùn)算這兩個階段，已經(jīng)能從特殊

到特殊這種傳遞性的推理。逐漸過渡到特殊到一般或一般到特殊這

兩種不完全歸納和演繹推理：能從具體直觀入手，通過語言復(fù)述和

部分描述，逐漸過渡到經(jīng)驗型的抽象。所以小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)方法，

對此就應(yīng)該具有依賴性和適應(yīng)性，就不能是單純的結(jié)論教學(xué)，而應(yīng)

該強(qiáng)調(diào)多種多樣的活動教學(xué)。否則就不能激起學(xué)生的共鳴，達(dá)不到

應(yīng)有的效果。

其次，概念學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)從廣義上講就是一種概念學(xué)

習(xí)。概念的形成過程，也就是活動的過程，如果注意感性的，具體

的描述方法，就一定能夠使學(xué)生正確理解和掌握概念。所以，對小

學(xué)生而言，他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就應(yīng)該是處理概念一一數(shù)和量的分類，及

他們之間的關(guān)系，記憶概念一一數(shù)和量的表達(dá)方式；應(yīng)用概念一一數(shù)

和量的相互作用。完成這些目標(biāo)的形成主要是：活動、游戲、尋找

共性、表達(dá)和符號化。

再次，認(rèn)識發(fā)現(xiàn)理論強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)不單純簡單的刺激反應(yīng)，而且以

人的意識為中介的認(rèn)知過程，所以，學(xué)習(xí)者是認(rèn)識的主體。

小學(xué)教學(xué)活動，就是以學(xué)生為主體，讓他們自覺地、主動地探

索，掌握認(rèn)識和解決問題的方法，與步驟，研究客觀事物的屬性，

發(fā)現(xiàn)事物發(fā)展的起因和事物內(nèi)部的聯(lián)系，從中找出規(guī)律，形成自己

的概念和理論。

小學(xué)數(shù)學(xué)活動教學(xué)符合小學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，體現(xiàn)了辯證邏輯和

形式邏輯的矛盾統(tǒng)一，突出了因材施教與面向全體的和諧統(tǒng)一。但

是，也必須注意，小學(xué)數(shù)學(xué)活動教學(xué)必須有鮮明的目標(biāo)性，必須選

擇最合適學(xué)生年齡特征的材料，必須設(shè)計合理、經(jīng)濟(jì)、有效的活動

步驟，也不能照搬學(xué)生中心論，更不能吳管理的"放羊式"。

某知識點(diǎn)A推導(dǎo)出其他知識點(diǎn)的數(shù)目，習(xí)慣上稱之為知識點(diǎn)A

的"基本度〃，用J(A)表示。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的趣味性。旨在以小學(xué)數(shù)學(xué)系列知識為基

礎(chǔ)，通過數(shù)學(xué)游戲，數(shù)學(xué)圖形、數(shù)學(xué)故事，數(shù)學(xué)歌謠，以及大量誘

人思考的趣題，來激發(fā)小學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)他們靈活的思路和

分析的技巧，啟迪他們的智慧，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性。

趣味化：一方面體現(xiàn)在教材的編輯中；另一方面則表現(xiàn)為趣味

數(shù)學(xué)活動課的內(nèi)容選擇上。

注重以下幾點(diǎn)：

1.趣味化一一小學(xué)數(shù)學(xué)趣味化方向的靈魂

2.合理性一一小學(xué)數(shù)學(xué)趣味化方向的基礎(chǔ)

3.思想性一一小學(xué)數(shù)學(xué)趣味化方向的保證

4.創(chuàng)造性一一小學(xué)數(shù)學(xué)趣味化方向的目標(biāo)

小學(xué)趣味活動的內(nèi)容還應(yīng)有針對性和連貫性等諸多方面。

四、研究性學(xué)習(xí)的特點(diǎn)：1.開放性2.問題性3.社會性4.實踐性

研究性學(xué)習(xí)：就是要求學(xué)生激勵科學(xué)研究的過程，獲得親身體

驗；了解科學(xué)研究的方法，提高解決問題的能力；增強(qiáng)探究和創(chuàng)新

的意識，培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度和精神；學(xué)習(xí)與人溝通和合作，培養(yǎng)社會責(zé)

任感。

小學(xué)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的類型

1.知識探究型有效地解決了"是什么"的問題

2.準(zhǔn)學(xué)術(shù)研究有效地解決了"為什么"的問題

3.創(chuàng)新研究型（最高層次）有效地解決了"怎樣做的更好”的問題

小學(xué)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)應(yīng)該由淺入深和循序漸進(jìn)，既不能墨守成

規(guī)，也不能急功近利。因為研究性學(xué)習(xí)的主要目的不是要學(xué)生取得

多大的研究成果，而是希望小學(xué)生通過研究性學(xué)習(xí)的這一手段，受

科學(xué)思想和科學(xué)精神的熏陶，學(xué)會一點(diǎn)科學(xué)方法，體驗科學(xué)研究的

過程。

五、教育科研是一種運(yùn)用科學(xué)的方法和手段，有目的、有計劃

地探索、發(fā)現(xiàn)、掌握教育教學(xué)規(guī)律的認(rèn)知活動，是一個立足于已知

去探求未知的過程。

為了能正確地開展教育科研活動，教師必須著重學(xué)習(xí)科學(xué)的研

究方法、教育統(tǒng)計方法、教育測量、教育評價等有關(guān)進(jìn)行教育科研

的基礎(chǔ)知識。具備有關(guān)科研的相應(yīng)技能，如教育科學(xué)研究的選題，

如何確定研究和論證的方法和手段，研究成果的定性與定量分析

等。

小學(xué)數(shù)學(xué)論文的撰寫：

小學(xué)數(shù)學(xué)科研工作要經(jīng)過確定課題、收集資料、制定方案、實

施計劃、分析效果、撰寫論文等步驟。

小學(xué)數(shù)學(xué)論文的組成：標(biāo)題、摘要、前言、正文、結(jié)論、參考

文獻(xiàn)等部分組成、

標(biāo)題：力求簡短、明確、質(zhì)樸、醒目

摘要：簡明扼要、引人入勝、內(nèi)容全面、重點(diǎn)突出、且能獨(dú)立

使用。

前言：也稱引言或者序言。一般包括本課題研究背景或起點(diǎn)，

需要研究的問題研究的方法手段研究的意義或價值、

正文：論文的主體，作為表達(dá)作者個人研究成果的部分，所占

篇幅較大，有時還必須輔以必要的小標(biāo)題，應(yīng)力求概念清晰，論點(diǎn)

明確，論證嚴(yán)密，論據(jù)充分。

結(jié)論：是對正文中所分析論證的問題加以綜合、概括出基本

點(diǎn)。這是課題解決的答案。

參考文獻(xiàn)：反映左下頜嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度和研究工作的依據(jù)，其

中包括撰寫論文所參考的書籍。

小學(xué)數(shù)學(xué)論文撰寫的過程：

1.選題、選材2.擬綱、執(zhí)筆3.修改、定稿

《小學(xué)數(shù)學(xué)專題研究》論述題

1、數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)有哪些？

答：數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)：1.高度的抽象性。首先數(shù)學(xué)的抽象撇開

對象的具體內(nèi)容，僅僅保留空間形式或數(shù)量關(guān)系，這些形式與關(guān)

系，已是一種形式化得思想材料，或者就像現(xiàn)代數(shù)學(xué)家所說的一種

抽象結(jié)構(gòu)。其次，數(shù)學(xué)的抽象是逐步發(fā)展的，超過了自然科學(xué)中的

一般抽象，從直接概括現(xiàn)實對象屬性的抽象到空間、一般系統(tǒng)、算

法等高水平的抽象，都是從簡單到復(fù)雜，從具體到抽象這樣不斷深

化的過。2.嚴(yán)密的邏輯性.由于數(shù)學(xué)的高度抽象性，數(shù)學(xué)家證明定理只

能用推理呵和計算，而且在推理論證的過程中，必須嚴(yán)格遵守邏輯規(guī)則

才能保證由已知推出的結(jié)論具有正確性.悖論：英國數(shù)學(xué)家羅素提出

一個悖論，指出作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的集合論本身就存在著矛盾。"理發(fā)

師"悖論。3.應(yīng)用的廣泛性。數(shù)學(xué)進(jìn)行了科學(xué)的抽象，才更深刻正確完

整的反應(yīng)現(xiàn)實世界.在21世紀(jì)的信息社會中，各門學(xué)科數(shù)學(xué)化已成為

科學(xué)研究和發(fā)展的主要特點(diǎn)之一,數(shù)學(xué)已成了人們認(rèn)識世界、改造世

界所必不可少的一種重要工具.

2、怎樣理解現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)？

答：1.理解和掌握最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識。小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的范

圍包括:算術(shù)知識、代數(shù)初步知識、幾何初步知識、計量初步知識、

統(tǒng)計初步知識。小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的內(nèi)容包括：概念、性質(zhì)、法

則、公式、方法。2、培養(yǎng)初步的數(shù)學(xué)能力。除培養(yǎng)學(xué)生的觀察力、

記憶力、思考力、想象力、實際操作等一般能力外，還要培養(yǎng)①計

算能力：小學(xué)階段計算能力的具體內(nèi)涵就是:正確（對）迅速（快）

合理靈活（巧）②初步的數(shù)學(xué)思維能力：邏輯思維能力是一種確定

的、前后一貫的（不相矛盾的）、有條有理的（循序漸進(jìn)）、有根有

據(jù)的（理由充分）的思維。邏輯思維的過程中主要采用比較、分析、

綜合、抽象、概括等思維方法。其中分析和綜合是最基本的方法，

判斷和推理是最基本的形式。比較：是借以認(rèn)出對象和現(xiàn)象異同的

一種邏輯方法，它是認(rèn)識的基礎(chǔ)。抽象概括：抽象就是抽取事物的

本質(zhì)屬性，使它與其他屬性分開；概括就是將同類事物的相同屬性

結(jié)合起來。分析綜合：分析是把一個對象和現(xiàn)象分散成若干部分和

若干屬性的思維方法（執(zhí)果索因），綜合是把一個對象或現(xiàn)象的各個

部分結(jié)合為一個整體的思維方法（由因?qū)Ч?。判斷推理：判斷（?shù)

學(xué)上叫命題）是對某個事物的性質(zhì)、現(xiàn)象作出肯定或否定的論斷，數(shù)

學(xué)中的法則、定理、結(jié)論、性質(zhì)都是判斷。判斷可分為主概念（反映

研究對象）、謂概念（反映對象的屬性和屬性間的關(guān)系）和聯(lián)系詞（表

示主概念和謂概念之間的關(guān)系）三部分。由一個或幾個已知的判斷推

出一個新的判斷的思維形式叫推理。已知判斷叫前提，推出的新判

斷叫結(jié)論。推理有歸納（由個別到一般的推理），演繹（由一般到個

別的推理），類比（由個別到個別的推理）。③初步的空間觀念.指

物體的形狀、大小、物體與物體之間的方向、距離及其位置關(guān)系保

留在人腦中的表象。④解決實際問題的能力。初步數(shù)學(xué)思維能力培

養(yǎng)（是核心）解決實際問題的能力是（最終目的）。3.培養(yǎng)良好的思

想品德。三者關(guān)系：在整個教學(xué)過程中三者是緊密聯(lián)系、相輔相

成、統(tǒng)一實現(xiàn)的。其中數(shù)學(xué)知識的掌握是完成其他兩項的基礎(chǔ)和前

提，而能力反過來又決定知識掌握的程度，同樣良好的思想品德和

學(xué)習(xí)習(xí)慣又能促進(jìn)小學(xué)生更有目的的學(xué)習(xí)，更有效的掌握知識和發(fā)

展能力。

3、怎樣理解數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的內(nèi)涵？

答：數(shù)學(xué)思維品質(zhì)：靈活性、廣闊性、深刻性、批判性、獨(dú)創(chuàng)

性。

4、怎樣理解遷移的消極作用？

答：遷移是指一種知識、技能的學(xué)習(xí)和應(yīng)用對另一種知識、技

能的學(xué)習(xí)和應(yīng)用所施加的影響。這種影響取決于個體認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特

點(diǎn)，取決于個體認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組織特征，這種影響是間接通過個體媒

介進(jìn)行的，所以這種影響可能是積極地，起促進(jìn)作用的，也可能是

消極的，起干擾和抑制作用。

小學(xué)數(shù)學(xué)解題作為一種有意義學(xué)習(xí)，所涉及的知識是有內(nèi)部聯(lián)

系的，相互作用，相互影響。所以正遷移也普遍存在于小學(xué)數(shù)學(xué)解

題中，而負(fù)遷移則成為影響問題解決的一大心理因素，常常表現(xiàn)在

感念、公式和解題思路等方面。

5、論述小學(xué)數(shù)學(xué)認(rèn)知技能形成的幾個階段?

答：也有一個階段過程，就小學(xué)數(shù)學(xué)解題而言，可以概括成認(rèn)

知階段、聯(lián)結(jié)形成階段和自動化階段。小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的數(shù)學(xué)認(rèn)知

技能盡管有上述的幾個階段，但最終得以形成，都要經(jīng)歷一個從

，，會，，到，，熟，，的過程，其間必須不斷通過有計劃、有目的的練習(xí)，才

能完成這一轉(zhuǎn)變。

6、怎樣理解小學(xué)數(shù)學(xué)解題的真實含義？

答：小學(xué)數(shù)學(xué)解題是一種逐漸深入的、具有某種程度創(chuàng)新性和

思維對策的一種心理活動過程。而不是不求甚解、生搬硬套、機(jī)械

呆板等。

7、試對奧蘇泊爾的解題結(jié)構(gòu)模式加以評述？

答：奧蘇伯爾解題結(jié)構(gòu)模式：1、呈現(xiàn)問題的情境2、明確問題

的目標(biāo)與已知條件3、填補(bǔ)空隙的過程4、解答后的檢驗。

8、對小學(xué)數(shù)學(xué)常規(guī)問題而言，其解題規(guī)則有哪些？

答：常規(guī)問題解題規(guī)則：1、公式規(guī)則2、恒等式規(guī)則3、定理

規(guī)則4、定義規(guī)則。

9、試對創(chuàng)造性的非邏輯方法加以評述

答：創(chuàng)造性的精華:想象、靈感和直覺，通常被人們稱做創(chuàng)造性

精華。（核心）

想象:是在頭腦中改造記憶中的表象而創(chuàng)造新形象的過程。它既

是一種具有極大的自由度的思維活動形式，同時又是可以自覺地引

導(dǎo)進(jìn)行的一種積極主動的心理現(xiàn)象。

靈感:是指人們在創(chuàng)造過程中，由于某種誘因的作用而突發(fā)的一

種非邏輯的思維活動。

靈感的特點(diǎn)：靈感引發(fā)的隨機(jī)性、靈感顯現(xiàn)的暫時性、靈感顯

現(xiàn)過程中的情感性。靈感的產(chǎn)生不是憑空產(chǎn)生的，不是靠等待就能

來臨的。它的誘發(fā)有著漫長的有意識的活動，有著相當(dāng)?shù)男燎谂?/p>

和實踐為基礎(chǔ)。如愛迪生說：天才乃是99%的勤奮加上1%的靈感。

小學(xué)數(shù)學(xué)解題中，我們也應(yīng)該通過有意識的思考，去誘發(fā)靈

感。

直覺:簡單得說就是直接去覺察，它是人腦對客觀事物的一種迅速

而直接的洞察或感悟，是人們自覺不自覺的思考某一問題時，在頭腦中

突如其來的一種創(chuàng)造性設(shè)想.

直覺的三個明顯的特性：

1.它對問題的內(nèi)在規(guī)律（即客觀事物的本質(zhì)聯(lián)系）的深刻理解。

2.這種理解來自經(jīng)驗的積累。

3.經(jīng)驗積累到一定的程度突然理性與感性產(chǎn)生共鳴時，表現(xiàn)為

豁然貫通的一種頓悟式的理解。

直覺是從感性經(jīng)驗達(dá)到理性飛躍的人的認(rèn)識過程的一種特殊表

現(xiàn)形式，是邏輯順序的高度簡縮。

總之想象、靈感、直覺的出現(xiàn)，不僅意味著常規(guī)思維中的"跳

躍”，邏輯順序的"中斷"，及由此而得到的創(chuàng)造性。而且三者常常又

是緊密聯(lián)系和相互作用的，或是想象誘發(fā)了靈感和直覺，或是靈感

和直覺喚起了活躍的想象。

10、化歸法的一般模式是什么？

答：在解題時，不是對問題的正面進(jìn)行進(jìn)攻，而是根據(jù)解決它

的需要，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到已能解決的或較容易解決的問

題中，最終過渡到所求問題的解答，這種數(shù)學(xué)家經(jīng)常使用的，去尋

找真理、發(fā)現(xiàn)真理和處理問題的思維方法，就是化歸法。從廣義上

說她是一種思想，狹義上講就是一種具體的解題方法。

11、試述小學(xué)數(shù)學(xué)解題能力的成分。

答：數(shù)學(xué)解題能力的成分，不僅僅從數(shù)學(xué)自身形式上看。而且

還要研究不同心理因素在解題者的不同解題階段，所表現(xiàn)出來的一

種或幾種相適應(yīng)的能力。瑞典心理學(xué)家魏德林為代表的歐美心理學(xué)

家認(rèn)為組成數(shù)學(xué)解題能力的因素有：

1.一般因素G（主要指智力因素）2.數(shù)因素N（對數(shù)概念的理解和

應(yīng)用）

3.空間因素S（對空間形式的理解、想象和抽象）4.語言因素v（用

語言表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系）5.推理因素R（運(yùn)用邏輯思維、形象思維和直覺思

維）

日本的大橋正夫等學(xué)者，認(rèn)為數(shù)學(xué)解題能力包括以下三個方

面：

A、數(shù)理性的領(lǐng)會能力：具體要求是使之抽象化，使之?dāng)?shù)量化和

圖形化，使之記號化或形式化；B、概括能力：具體要求是使之?dāng)U

展，集中歸納，改變觀點(diǎn)和改變條件。C、思維能力：具體要求是有

計劃按步驟地進(jìn)行思考，進(jìn)行類比或?qū)Ρ?，有根?jù)地進(jìn)行證明。

蘇聯(lián)心理學(xué)家魯捷茨基：1.使數(shù)學(xué)材料形式化能力；2.概括數(shù)學(xué)

材料的能力；3.用數(shù)學(xué)和其他符號進(jìn)行運(yùn)算能力；4.連續(xù)而有節(jié)奏的

邏輯推理能力；5.縮短推理過程的能力；6.逆轉(zhuǎn)心理過程的能力；7.

靈活的思維能力；8.數(shù)學(xué)記憶能力；9.形成空間概念的能力；10.借

助形象化（直觀）能力。

一般認(rèn)為，小學(xué)數(shù)學(xué)解題能力取決于數(shù)學(xué)學(xué)科和數(shù)學(xué)活動的個

人特性，是小學(xué)生在解題這一特殊的數(shù)學(xué)活動時，所表現(xiàn)出來的心

里品質(zhì)的綜合體。概括數(shù)學(xué)材料的能力、逆反心理過程能力、靈活

的思維能力和借助直觀化能力就是這個綜合體的具體成分。

12、怎樣理解在小學(xué)數(shù)學(xué)解題過程中，視覺-形象與語言邏輯模

式的相互作用和聯(lián)系？

答：數(shù)學(xué)氣質(zhì)有如下的三種類型：

分析型：傾向于用語言一一邏輯的詞語去思考。

幾何型：習(xí)慣于用視覺一一形象的詞語去思考。

混合型：綜合上述兩類特征。

在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中，小學(xué)生應(yīng)努力完善語言一一邏輯和視覺一一形象

這兩個方面的相互轉(zhuǎn)換，即在一定程度上依靠視覺意象，把數(shù)學(xué)關(guān)

系視覺化，對比較抽象的數(shù)學(xué)系統(tǒng)也作出一種形象的解釋，這就是

所謂的“借助形象化”的全部內(nèi)涵。

借助于想象化的根本目的在于從直觀上來理解較為抽象的數(shù)學(xué)

關(guān)系，形成再現(xiàn)性想象，從而促進(jìn)創(chuàng)造性的活動。從其模式（視覺的

形象）來看，它和語言一一邏輯模式有著不同的特征，但在具體解題

過程中，它們是相互聯(lián)系和作用的，因此，單純地強(qiáng)調(diào)解題中的視

覺一一形象化作用則也是片面的。

借助想象化所得到的數(shù)學(xué)關(guān)系、數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)形式結(jié)構(gòu)、數(shù)

學(xué)知識系統(tǒng)和推證模式等，比起其他方式來，更能保持記憶。

13、怎樣理解小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)具特色的教育功能？

答：小學(xué)數(shù)學(xué)作為學(xué)校教育系統(tǒng)工程的重要組成部分之一，必

須與人的發(fā)展相結(jié)合。小學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，不僅是數(shù)學(xué)知

識有所積累，更重要的是文化知識素質(zhì)、思維素質(zhì)、思想素質(zhì)、行

為素質(zhì)和身體素質(zhì)等都有所發(fā)展。對文化知識素質(zhì)而言，不僅僅是

知識總量的增加，更重要的是有質(zhì)的變化，能從一些基本事實出

發(fā)，建立具有一定邏輯意義的生長點(diǎn)和開放面，為今后創(chuàng)造性活動

打下基礎(chǔ)的知識結(jié)構(gòu)。對思維素質(zhì)而言，就是思維的方法、態(tài)度和

能力；對思想素質(zhì)而言，包括政治思想和道德價值觀，以及觀察事

物的思想和觀念；對行為素質(zhì)而言，包括學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)習(xí)慣，以

及實事求是等待人處世的方法和方式。對身體素質(zhì)而言，包括生理

機(jī)能水平、體能發(fā)展水平，以及對環(huán)境條件的適應(yīng)能力。

數(shù)學(xué)作用于社會的客觀效果，使她成為人們教育下一代的重要

學(xué)科，同時，在數(shù)學(xué)自身發(fā)展過程中，所形成的品格，如積極地思

維態(tài)度、科學(xué)的思維方式、強(qiáng)烈的思維內(nèi)驅(qū)力和密集的腦力當(dāng)量，

都有效地用于教育下一代，使之具有發(fā)展社會所需要的個人良好的

品質(zhì)。

14、簡述小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容選取的依據(jù)？

答：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的選取依據(jù)是：借鑒國際數(shù)學(xué)現(xiàn)代化的

經(jīng)驗，符合現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)所需要的最基本的數(shù)學(xué)知識和技能，符合

小學(xué)義務(wù)教育的目標(biāo)，符合小學(xué)生的年齡特征，兼顧當(dāng)今與未來，

兼顧"幼兒園與小學(xué)，小學(xué)與中學(xué)〃的銜接，兼顧靈活與統(tǒng)一，同時

突出教育性和思想性，穩(wěn)定性與先進(jìn)性。

15、簡述小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維定勢的積極作用與消極作用。

答：思維定勢就是指一種思維的定向預(yù)備狀態(tài)，它是在思維沒

有新干擾的情況下，人們習(xí)慣按照既定的方向和目標(biāo)去思考。

思維定勢的積極作用是：把所要解決的問題特征與以前解決的

問題特征進(jìn)行比較，利用已有的知識、經(jīng)驗與當(dāng)前所要解決的問題

特征相互聯(lián)系，去識別那些意義不清，特征不明和條件隱蔽的對

象，表現(xiàn)出思維的趨向性和專注性。

思維定勢的消極作用是：不能改變思維的方向，不能從多方面

全面、整體的看待問題，表現(xiàn)出思維的呆板性和盲目性。

16、簡述小學(xué)數(shù)學(xué)解題思維活動的過程。

答：鑒于奧蘇泊爾解題的結(jié)構(gòu)，對于小學(xué)數(shù)學(xué)解題這一復(fù)雜的

思維活動過程，可以分成以下幾個階段：

1、分析題意。從整體上把握數(shù)學(xué)問題，明確已知的是什么，要

求的問題時什么。

2、尋找解法。從初始狀態(tài)開始，只要通過適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算，就可以

建立一系列的中間狀態(tài)，最終達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)。

3、實行解法，就是具體完成從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)為止的狀態(tài)

序列的運(yùn)算。

4、回顧解法。其目的是：1、證實所實行的解法是正確的，滿

足題目的全部條件；2、進(jìn)一步證實所實行的解法是有效地；3、說

明所實行的解法是簡捷的。

第一章課程目標(biāo)

1數(shù)學(xué)是研究客觀世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)。現(xiàn)實

中的事物雖然千變?nèi)f化，但從數(shù)學(xué)角度來說，對事物的研究不外乎

數(shù)和形兩個方面。數(shù)學(xué)是一種研究思想事物的抽象的科學(xué)。（恩格斯

《自然辨證法》。）

2數(shù)學(xué)的作用法拉第《馬克思回憶錄》指出：一種科學(xué)只有在成

功運(yùn)用數(shù)學(xué)時，才算達(dá)到了真正完美的地步。聯(lián)合國教科文組織關(guān)

于科學(xué)研究主要趨勢的調(diào)查中指出：目前科學(xué)研究工作的特點(diǎn)之一

就是所有各門學(xué)科的（數(shù)學(xué)化）。數(shù)學(xué)是一切科學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)

的內(nèi)容、思想、方法和語言已廣泛滲入自然和社會科學(xué)中，數(shù)學(xué)作

為一種文化，已成人們的共識。

3我國數(shù)學(xué)課程及演變過程數(shù)學(xué)產(chǎn)生的漫長的歷史階段①萌芽

時期（公元前600年前）②初等數(shù)學(xué)時期（公元前600年一一17世

紀(jì)中葉）③變量數(shù)學(xué)時期（17世紀(jì)中葉一一19世紀(jì)20年代）④近

代數(shù)學(xué)時期（19世紀(jì)20年代一一第二次世界大戰(zhàn)）⑤現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期

（第二次世界大戰(zhàn)以來）但作為一門學(xué)科課程，在我國卻遲到隋唐時

期，才在國子監(jiān)設(shè)算學(xué)館。置博士、助教，選定和注釋從漢朝以來

的十部算經(jīng)，又以《算經(jīng)十書》著?！端憬?jīng)十書》是我國古代數(shù)學(xué)發(fā)

展和成就的代表文獻(xiàn)，構(gòu)成了我國古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系。①《周髀算

經(jīng)》勾股定理；②《九章算術(shù)》方程章中第13題是著名“五家共井"

最早的不定方程問題；③《孫子算經(jīng)》"知客幾何〃"雞兔同籠"尤其是

“物不知數(shù)〃是后來馳名于世的“大衍求一術(shù)〃的起源，是中國古代數(shù)

學(xué)最具獨(dú)創(chuàng)精神的成就之一。④《張丘建算經(jīng)》提出了有趣的不定

方程和解法"百雞問題〃；⑤《緝古算經(jīng)》三次方程的代數(shù)解法；《數(shù)

學(xué)記遺》“九宮圖"。⑥《海島算經(jīng)》⑦《五曹算經(jīng)》⑧《五經(jīng)算術(shù)》

⑨《綴術(shù)》⑩《夏侯陽算經(jīng)》。算學(xué)作為小學(xué)則從近代光緒二十八

年（1902年）才正式開始。1892年美國學(xué)者狄考文編《筆算數(shù)學(xué)》，

則是我國學(xué)校里的第一部算學(xué)教科書。1903年春編《最新教科書》，

其中包括《最新初小算學(xué)教科書》我國自己編寫的第一本正式的小學(xué)

算學(xué)課本問世。1978年2月《全日制十年制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試

行草案）》明確將小學(xué)算術(shù)改為統(tǒng)一的數(shù)學(xué)。1992年三個面向"面向

現(xiàn)代化、面向世界、面向未來”?！毒拍炅x務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教

學(xué)大綱（試用）》采用"一綱多本〃的新策略。

4國外數(shù)學(xué)課程變革的簡況及趨勢20世紀(jì)初，德國數(shù)學(xué)家克萊

因發(fā)起并領(lǐng)導(dǎo)了數(shù)學(xué)教育近代化運(yùn)動。20世紀(jì)30年代法國形成了著

名的“布爾巴基學(xué)派〃。瑞士心理學(xué)家皮亞杰的發(fā)展心理學(xué)派尋求數(shù)

學(xué)結(jié)構(gòu)和思維結(jié)構(gòu)的相似點(diǎn)。

5小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)是小學(xué)教育方向和性質(zhì)的表征，也是小學(xué)數(shù)

學(xué)教育活動，包括組織教學(xué)內(nèi)容、確定教學(xué)要求、選擇教學(xué)方法、

進(jìn)行質(zhì)量評估、決定考試命題等進(jìn)行的依據(jù)。

6數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)①高度的抽象性。②嚴(yán)密的邏輯性.由于數(shù)學(xué)

的高度抽象性，數(shù)學(xué)家證明定理只能用推理呵和計算，而且在推理論證

的過程中，必須嚴(yán)格遵守邏輯規(guī)則才能保證由已知推出的結(jié)論具有正

確性.悖論：英國數(shù)學(xué)家羅素提出一個悖論，指出作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的集

合論本身就存在著矛盾。"理發(fā)師〃悖論。③應(yīng)用的廣泛性。

8小學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平①根據(jù)小學(xué)生的思維特點(diǎn)和數(shù)學(xué)學(xué)科性

質(zhì)，培養(yǎng)小學(xué)生初步的邏輯思維能力。②根據(jù)小學(xué)生認(rèn)知幾何的心

理特點(diǎn)，培養(yǎng)幾何觀念。根據(jù)世界觀不成熟，自然地進(jìn)行辨證唯物

主義的啟蒙教育。③根據(jù)個性品質(zhì)、興趣愛好和行為習(xí)慣等方面具

有較大的可塑性，著重培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，幫助他們養(yǎng)成良

好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

9歷年我國小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)歸納縱觀將近一個世紀(jì)我國小學(xué)數(shù)

學(xué)課程目標(biāo)的演變，可以發(fā)現(xiàn)：課程名稱由小學(xué)堂算術(shù)到小學(xué)算

術(shù)，再到小學(xué)數(shù)學(xué)，逐步拓展；指導(dǎo)思想由自謀生計之必需的功利

主義到適應(yīng)進(jìn)一步學(xué)習(xí)和直接參加生產(chǎn)勞動的需要，再發(fā)展為提高

民族素質(zhì)，逐步更新。課程目標(biāo)發(fā)展的軌跡：①知識、技能玲②知

識、技能、思維-③知識、技能、能力玲④知識、技能、能力、思

想、非智力因素

第二章解題的理論依據(jù)

1數(shù)學(xué)問題?有一個共同的特點(diǎn)，即是在一定的知識背景中提出

的。知識背景主要包括已有的概念、理論和方法。因此，我們認(rèn)為

依照數(shù)學(xué)問題的解答與知識背景的關(guān)系，可以把數(shù)學(xué)問題大致分為

兩類：常規(guī)問題和非常規(guī)問題。依照數(shù)學(xué)問題提法的意義是否明

確，數(shù)學(xué)問題的條件是否充分，我們還可以把數(shù)學(xué)問題劃分為：可

能問題和不可能問題。（兩個顯著特征:一是是某些可能問題的自然延

伸，能夠在較長時期內(nèi)給人以成功的希望;其二是以可能問題的面目出

現(xiàn),其不可能性的本質(zhì)隱藏較深，以致經(jīng)過長時間的反復(fù)嘗試,才能將

本質(zhì)揭示和確認(rèn)出來.

2抽象分為三種類型：孤立抽象（從其他因素中劃分出確定因

素）、重點(diǎn)抽象（不僅劃分出一種因素，而且也指出作為背景的其他

因素）和區(qū)分抽象（有意識的劃分本質(zhì)因素和非本質(zhì)因素以及它們的

根本區(qū)別。

3概括分兩種基本形式：一般性概括（根據(jù)具有最強(qiáng)烈刺激的性

質(zhì)或特性而進(jìn)行的第一信號刺激的概括。概念性概括（又稱特殊性概

括，根據(jù)存在條件和表現(xiàn)形式而進(jìn)行的概括。）

4思維的本質(zhì)思維是間接認(rèn)識事物，是通過感知與被直接認(rèn)識的

事物有著合乎規(guī)律的聯(lián)系的另一個對象而實現(xiàn)的。

5思維的類型①邏輯性思維（按照邏輯的規(guī)律、方法和形式有步

驟有根據(jù)的從已知條件和已有的知識推導(dǎo)出新結(jié)論的思維。分為形

式邏輯思維和辯證邏輯思維）②非邏輯性思維。形式邏輯思維：是以

概念、判斷、推理等思維方式，同一律、矛盾律、排中律等思維規(guī)

律，歸納、演繹、類比、科學(xué)假設(shè)等思維方法為其研究對象。

6辯證邏輯思維研究是思維形式如何正確反映客觀事物的運(yùn)動變

化、事物的內(nèi)部矛盾、事物的有機(jī)聯(lián)系和轉(zhuǎn)化等問題，其主要特點(diǎn)

是用有限量來描述和刻畫無限過程以及有限和無限的矛盾轉(zhuǎn)化。

7數(shù)學(xué)思維又叫數(shù)學(xué)型思維，就是以數(shù)和形為思維的對象。以數(shù)

學(xué)的語言和符號為思維的載體，以認(rèn)識和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律為目的的一

種思維。數(shù)學(xué)思維品質(zhì)：靈活性、積極性、目的性、記憶性、廣闊

性、深刻性、批判性、準(zhǔn)確性、簡捷性、獨(dú)創(chuàng)性和證明性。

8數(shù)學(xué)思維水平的評定：第一級水平一一第五級水平。前兩級水

平是小學(xué)年級的學(xué)生所特有的，第三級水平是初中年級學(xué)生所特有

的；第四級水平是高中年級學(xué)生所特有的，至于第五級水平無論是

幾何方面的還是代數(shù)方面的，均屬于數(shù)學(xué)思維的現(xiàn)代水平。一般的

中學(xué)階段的學(xué)生是難以達(dá)到的。

9問題解決的特征：①問題情境因素②解題者的個體特征（解題

者知識經(jīng)驗基礎(chǔ)和個性品質(zhì)）③解題中的認(rèn)知策略（解題者用來調(diào)節(jié)

注意、回憶和思維的技能）

第三章解題的認(rèn)知過程

1學(xué)習(xí)從廣義上理解，學(xué)習(xí)是有機(jī)體憑借經(jīng)驗的獲得而產(chǎn)生的比

較持久的行為（思維、想象、記憶、感知等內(nèi)部心理活動和言語、表

情、動作等外部活動）變化。從狹義上理解，學(xué)習(xí)是指學(xué)生在老師指

導(dǎo)下，有目的、有計劃、有組織、有步驟地進(jìn)行獲得知識、形成技

能、培養(yǎng)能力、發(fā)展個性過程。桑代克一刺激反應(yīng)理論，學(xué)習(xí)是刺

激和反應(yīng)的聯(lián)結(jié)?？晾找煌晷卫碚?，學(xué)習(xí)是零碎和知覺信息的再組

織過程。托爾曼一認(rèn)知理論，學(xué)習(xí)是對環(huán)境中的刺激，依其關(guān)系形

成一種新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，是意義的獲得和實現(xiàn)期望的過程等

等。

2學(xué)習(xí)的分類：根據(jù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生的情景，由低到高把學(xué)習(xí)分為8類

（美加涅），信號學(xué)習(xí)，刺激反映學(xué)習(xí)，連鎖學(xué)習(xí)，語言的聯(lián)合，多

重辨別學(xué)習(xí)，原理學(xué)習(xí)，解決問題。根據(jù)學(xué)習(xí)進(jìn)行的方式：接受學(xué)

習(xí)和發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)；根據(jù)學(xué)習(xí)材料和學(xué)習(xí)者原有知識的關(guān)系，可以把學(xué)

習(xí)分為機(jī)械學(xué)習(xí)和有意義學(xué)習(xí)。（美奧蘇伯爾）

蘇聯(lián)彼得羅夫斯基根據(jù)人與動物學(xué)習(xí)的質(zhì)的差異分為：反射學(xué)

習(xí)和認(rèn)知學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)內(nèi)容與水平的不同又把認(rèn)知學(xué)習(xí)分為感性學(xué)習(xí)

和理性學(xué)習(xí)，再把理性學(xué)習(xí)分為概念學(xué)習(xí)、思維學(xué)習(xí)與技能學(xué)習(xí)。

2小學(xué)數(shù)學(xué)解題與數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)作為小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容和

方式，其意義也就在于不斷積極主動地建立、擴(kuò)大和重新組織數(shù)學(xué)

認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并伴隨著同化和順應(yīng)等特征。小學(xué)數(shù)學(xué)解題并不是數(shù)學(xué)

知識的簡單應(yīng)用，而是以原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)為依據(jù)，對新知識進(jìn)行

加工。小學(xué)數(shù)學(xué)解題實際上也是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷同化和順應(yīng)的過

程。

3技能是順利完成某種任務(wù)的一種心智或動作的活動方式，它需

要通過練習(xí)才能形成。動作泛指在完成一項具體任務(wù)中所涉及的一

系列操作，以完善、合理方式組織起來并順利進(jìn)行時，就成為動作

技能。

4心智系指借助于內(nèi)部語言在頭腦中進(jìn)行的認(rèn)識活動。它包括感

知、記憶、想象和思維，但以抽象思維為它的主要成分。

5技能和能力的區(qū)別是不同的概念，二者既有聯(lián)系，又有區(qū)別。

技能是指完成一定任務(wù)的活動方式，能力則是順利完成任務(wù)的個性

心理特征。技能的形成以一定的能力為前提，反過來又對能力的發(fā)

展起重要的促進(jìn)作用。

5數(shù)學(xué)動作技能：指運(yùn)用工具繪圖的技能，測量技能、使用計算

工具的技能等。

6數(shù)學(xué)心智技能：指數(shù)的計算技能、式的恒等變形技能、解方

程、解不等式的技能，推理論證技能、運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的技能等。這

兩種數(shù)學(xué)技能既有聯(lián)系又有區(qū)別：一方面數(shù)學(xué)心智技能的形成，與

數(shù)學(xué)動作技能有關(guān)；另一方面，數(shù)學(xué)動作技能又受數(shù)學(xué)心智技能控

制。

12數(shù)學(xué)認(rèn)知技能的形成階段：就小學(xué)數(shù)學(xué)解題而言，可以概括

成認(rèn)知階段、聯(lián)結(jié)形成階段和自動化階段。小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的數(shù)學(xué)

認(rèn)知技能盡管有上述的幾個階段，但最終得以形成，都要經(jīng)歷一個

從"會〃到"熟”的過程，其間必須不斷通過有計劃、有目的的練習(xí)，

才能完成這一轉(zhuǎn)變。

13發(fā)展發(fā)展作為一般意義上的理解是指人的各種特性在結(jié)構(gòu)上

和機(jī)能上的變化。發(fā)展有生理發(fā)展和心理發(fā)展之分。其中心里發(fā)展

是心理學(xué)研究的對象指個體心理的變化過程。心理發(fā)展最為重要的

部分是認(rèn)知發(fā)展。

14認(rèn)知發(fā)展認(rèn)知發(fā)展是指與大腦生長和知識技能有關(guān)的發(fā)展方

面。涉及人在知覺、記憶、思維、語言、智力等方面種種功能的發(fā)

展變化。

15小學(xué)數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展可以理解為小學(xué)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)認(rèn)知

技能的發(fā)展，是通過小學(xué)數(shù)學(xué)活動過程來體現(xiàn)的。認(rèn)知發(fā)展一般包

含這樣幾個階段：①輸入階段；②同化和順應(yīng)階段；③應(yīng)用階

段。以上三個階段是密切聯(lián)系的。

第四章解題的實質(zhì)

1小學(xué)數(shù)學(xué)解題的含義：即小學(xué)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的問題解決，不但要

關(guān)心問題的結(jié)果，而且要關(guān)心求得結(jié)果的過程，也就是問題解決的

整個思考活動。所以小學(xué)數(shù)學(xué)解題指的是按照一定的思維對策進(jìn)行

的一個思維過程，一步一步地靠近目標(biāo)，最終達(dá)到目標(biāo)。其含義就

是思考的活動及探索的過程。19世紀(jì)中葉，德國數(shù)學(xué)家格拉斯曼才

成功地建立了一個算術(shù)基本公理體系，解決和統(tǒng)一在此之前人們一

直混淆的上述問題。小學(xué)數(shù)學(xué)解題也就意味著找出這樣一個數(shù)學(xué)的

一般原理（定義、公理、法則、定律、公式）的序列，當(dāng)應(yīng)用他們到

問題的條件或者條件的推論（解法的中間結(jié)果）時，就得到問題所要

求答案。

2小學(xué)數(shù)學(xué)解題結(jié)構(gòu)奧蘇伯爾解題結(jié)構(gòu)模式：①呈現(xiàn)問題的情

境②明確問題的目標(biāo)與已知條件③填補(bǔ)空隙的過程④解答后的檢

驗。

3小學(xué)數(shù)學(xué)解題的幾個階段①分析題意②尋找解法③實行解法

④回顧解法

4小學(xué)數(shù)學(xué)解題的趨向:教育心理學(xué)認(rèn)為根據(jù)解題者尋求解答的

趨向可以把解題分為兩種主要方式，一種是嘗試錯誤式，另一種是

頓悟式。

嘗試錯誤式:是由進(jìn)行無定向的嘗試，重復(fù)無效動作，糾正暫時

性嘗試錯誤。直至出現(xiàn)解決問題得以成功的一系列反應(yīng)所組成的行

動。

頓悟式:解決問題嘗試錯誤式不同，它具有一定的"心向〃，努力

發(fā)現(xiàn)手段與目標(biāo)之間的有意義的聯(lián)系，而這種聯(lián)系正是問題賴以解

決的基礎(chǔ)。兩者關(guān)系:在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中，嘗試錯誤式和頓悟式實際

上不能絕對化的，嘗