第10講 單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式（解析版）

第10講單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則ma+mb+mc單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即.ma+mb+mc注：（1）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的計(jì)算方法，實(shí)質(zhì)是利用乘法的分配律將其轉(zhuǎn)化為多個(gè)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的問(wèn)題.（2）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積仍是一個(gè)多項(xiàng)式，項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同.（3）計(jì)算的過(guò)程中要注意符號(hào)問(wèn)題，多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)包括它前面的符號(hào)，同時(shí)還要注意單項(xiàng)式的符號(hào).（4）對(duì)混合運(yùn)算，應(yīng)注意運(yùn)算順序，最后有同類項(xiàng)時(shí)，必須合并，從而得到最簡(jiǎn)的結(jié)果.考點(diǎn)剖析（計(jì)算單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式及求值）例1：計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算，熟知單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故選C．變式1-1：已知，則代數(shù)式．【答案】【分析】本題主要考查了單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，求代數(shù)式的值．先計(jì)算乘法，再合并，然后把代入，即可求解．【詳解】解：∵，∴故答案為：變式1-2：計(jì)算：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了整式的乘除運(yùn)算；（1）根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則計(jì)算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．例2：老師在黑板上書寫了一個(gè)正確的算式，隨后用手掌遮住了一個(gè)多項(xiàng)式，形式如下：，則處應(yīng)為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了整式的乘除法，直接利用整式的乘法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案即可．【詳解】解：由題意得：．故選：C．變式2-1：已知和表示單項(xiàng)式，且，則，．【答案】【解析】略變式2-2：計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)，【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則：熟練掌握“單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加”．單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)，應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題：①單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式；②用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)時(shí)，不能漏乘；③注意確定積的符號(hào)．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．（利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式求字母的值）例3：若a，b均為整數(shù)，且，則等于（

）A．6 B．8 C．9 D．16【答案】C【分析】根據(jù)得到，則，求出，代入即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴，∴，解得，∴，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式和多項(xiàng)式相等，熟練掌握單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式乘法法則是解題的關(guān)鍵．變式3-1：若對(duì)任意都成立，則．【答案】1【分析】本題主要考查單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則對(duì)等式左邊進(jìn)行整理，再結(jié)合等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：，，，原式子對(duì)任意都成立，，，解得：，，．故答案為：1．變式3-2：我閱讀：類比于兩數(shù)相除可以用豎式運(yùn)算，多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式也可以用豎式運(yùn)算，其步驟是：（1）把被除式和除式按同一字母的降冪排列（若有缺項(xiàng)用零補(bǔ)齊）．（2）用豎式進(jìn)行運(yùn)算．（3）當(dāng)余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)時(shí)，運(yùn)算終止，得到商式和余式．我會(huì)做：請(qǐng)把下面解答部分中的填空內(nèi)容補(bǔ)充完整．求的商式和余式．解：答：商式是，余式是（

）我挑戰(zhàn)：已知能被整除，請(qǐng)直接寫出a、b的值【答案】我會(huì)做：；，我挑戰(zhàn)：【分析】我會(huì)做：根據(jù)題意填空即可；我挑戰(zhàn)，根據(jù)例題列豎式進(jìn)行多項(xiàng)式的除法計(jì)算即可，然后根據(jù)整除，最后結(jié)果余0，即可求得的值．【詳解】解：我會(huì)做：補(bǔ)全如下，答：商式是，余式是（）故答案為：；我挑戰(zhàn)：能被整除，則余數(shù)為0，根據(jù)題意列豎式運(yùn)算即可，解得【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式，掌握多項(xiàng)式的乘法是解題的關(guān)鍵．例4：若計(jì)算的結(jié)果中不含有項(xiàng)，則a的值為（

）A． B．0 C．2 D．【答案】A【分析】利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)行求解，再結(jié)合不含項(xiàng)，則其項(xiàng)的系數(shù)為0，從而求解．【詳解】解：，結(jié)果中不含有項(xiàng)，，解得，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，合并同類項(xiàng)，解題的關(guān)機(jī)是熟練掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則．變式4-1：數(shù)學(xué)課上，老師講了單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：先用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，小麗在練習(xí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了這樣一道題：“（3x﹣■+1）＝”那么“■”中的一項(xiàng)是．【答案】【分析】利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算即可得出“■”中的項(xiàng)，然后利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證即可．【詳解】解：∵即，∴“■”中的一項(xiàng)是2y．故答案為：2y．【點(diǎn)睛】此題考查了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式和多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．變式4-2：已知，求，的值．【答案】a=2，b=1【分析】根據(jù)整式的乘法展開(kāi)，分別得到a，b的關(guān)系式，故可求解．【詳解】∵∴5a=10，-3a=-6，ab=2∴a=2，b=1．【點(diǎn)睛】此題主要考查整式運(yùn)算的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知整式乘法的運(yùn)算法則．（單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的應(yīng)用）例5：若長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)為，另一邊比它長(zhǎng)，則這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了整式乘法的運(yùn)用，熟練掌握長(zhǎng)方形的面積公式以及整式乘法的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得，長(zhǎng)方形的另一邊長(zhǎng)為：，所以長(zhǎng)方形的面積為：，故A正確．故選：A．變式5-1：如圖所示的是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的小正方形和一個(gè)長(zhǎng)、寬分別為a，b的小長(zhǎng)方形組成的大長(zhǎng)方形，則大長(zhǎng)方形的面積可寫成一個(gè)有關(guān)多項(xiàng)式因式分解的等式．請(qǐng)寫出這個(gè)等式：．【答案】【解析】略變式5-2：有總長(zhǎng)為l的籬笆，利用它和一面墻圍成長(zhǎng)方形園子，園子的寬度為a．(1)如圖1，①園子的面積為（用關(guān)于l，a的代數(shù)式表示）．②當(dāng)時(shí)，求園子的面積．(2)如圖2，若在園子的長(zhǎng)邊上開(kāi)了長(zhǎng)度為1的門，則園子的面積相比圖一（填增大或減?。?，并求此時(shí)園子的面積（寫出解題過(guò)程，最終結(jié)果用關(guān)于l，a的代數(shù)式表示）．【答案】(1)①；②1200(2)增大；【分析】本題考查了列代數(shù)式及代數(shù)式求值，正確列出代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．（1）①先用和的代數(shù)式表示出園子的長(zhǎng)，再表示出園子的面積；②把，代入①中的代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）由園子的寬不變，長(zhǎng)增加了，即可判斷出園子的面積增大了，表示出園子的長(zhǎng)，即可求出園子的面積．【詳解】（1）解：①總長(zhǎng)為，寬為，園子的長(zhǎng)為：，園子的面積為：；故答案為：；②當(dāng)，時(shí)，；（2）解：園子的寬不變，長(zhǎng)增加了，園子的面積增大了，在園子的長(zhǎng)邊上開(kāi)了1的門，園子的長(zhǎng)為：，園子的面積為：，園子增加的面積為：，答：園子的面積增加了，此時(shí)園子的面積．故答案為：增大．例6：如圖，由個(gè)大小一樣的小長(zhǎng)方形組成的大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為，則大長(zhǎng)方形的面積是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】小長(zhǎng)方形的寬為，長(zhǎng)為，得出，根據(jù)大長(zhǎng)方形的面積為得出，進(jìn)而得出，即可求解．【詳解】解：設(shè)小長(zhǎng)方形的寬為，長(zhǎng)為，根據(jù)題意得，即，∵大長(zhǎng)方形的面積為∴，即∴解得：則∴大長(zhǎng)方形的面積為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的乘法與圖形面積，得出是解題的關(guān)鍵．變式6-1如圖，兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別為a，4，圖中陰影部分的面積為

【答案】【分析】由兩個(gè)正方形的面積減去兩個(gè)三角形的面積即可得到陰影部分的面積．【詳解】解：由割補(bǔ)法可得：陰影部分的面積為：，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是利用割補(bǔ)法求解圖形面積，整式的混合運(yùn)算，理解題意，列出面積表達(dá)式是解本題的關(guān)鍵．變式6-2：如圖，正方形和正方形的邊長(zhǎng)分別為a，b．(1)用含a，b的代數(shù)式表示陰影部分的面積．(2)當(dāng)，時(shí)，陰影部分的面積是多少？【答案】(1)(2)【分析】本題考查列代數(shù)式，以及整式乘法的混合運(yùn)算，求代數(shù)式的值，熟練掌握整式乘法的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)代入求解即可；（2）將，代入求解即可．【詳解】（1）∵正方形和正方形的邊長(zhǎng)分別為a，b∴；（2）當(dāng)，時(shí)，．過(guò)關(guān)檢測(cè)選擇題（共6題，每題4分）1．計(jì)算：（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的乘法法則∶用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．【詳解】解：故選：A．2．下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則、絕對(duì)值、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、乘方依次判斷即可．【詳解】解：A、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，故本選項(xiàng)正確；D、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類項(xiàng)的法則（把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變．）、絕對(duì)值、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、乘方知識(shí)，牢記法則是關(guān)鍵．3．計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：．故選：D4．計(jì)算：的結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式和同底數(shù)冪的乘法，先用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式展開(kāi)，再用同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算即可．【詳解】解：故選：B．5．現(xiàn)定義運(yùn)算“”，對(duì)于任意有理數(shù)，，都有，例如：，由此可知等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】原式利用題中的新定義化簡(jiǎn)，計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題中的新定義得：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，讀懂題目中定義的新運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．6．若，則等于（

）A．2020 B．2019 C．2018 D．－2020【答案】C【分析】將變形為，，代入即可求解．【詳解】解：∵，∴，，∴=2018．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)已知代數(shù)式的值求新代數(shù)式的值，將已知條件適當(dāng)變形，代入所求代數(shù)式求解是解題關(guān)鍵．填空題（共8題，每題4分）7．去括號(hào)：．【答案】/【分析】本題考查去括號(hào)，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，將分別與和相乘，再相加即可．【詳解】解：，故答案為：．8．若，則的值為．【答案】【分析】本題考查單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式去括號(hào)后即可得到答案．【詳解】解：，，，故答案為：．9．定義一種新運(yùn)算：，則．【答案】/【分析】根據(jù)，可以將所求式子變形，然后化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算、新定義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用新定義解答．10．如果，那么多項(xiàng)式等于．【答案】【分析】本題考查多項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式；將兩邊同時(shí)乘，計(jì)算即可．【詳解】解：將兩邊同時(shí)乘，，故答案為：．11．已知，則代數(shù)式的值為．【答案】2【分析】本題主要考查了單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，求代數(shù)式的值，先把展開(kāi)，利用已知代數(shù)式的值整體代入計(jì)算即可．【詳解】解：，．故答案為：．12．老師在黑板上書寫了一個(gè)正確的演算過(guò)程，隨后用手掌捂住了一個(gè)多項(xiàng)式，形式如下：，則手掌捂住的多項(xiàng)式是．【答案】【分析】本題主要考查單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，根據(jù)題意可得捂住的部分為，利用整式的乘法的法則進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】解：，故答案為：．13．已知，則代數(shù)式的值為．【答案】2019【分析】由已知的式子可得，，然后將所求的式子降次變形結(jié)合整體思想解答即可．【詳解】解：∵，∴，，∴；故答案為：2019．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值和整式的乘法運(yùn)算，正確降次、靈活應(yīng)用整體思想是解題的關(guān)鍵．14．將大小不同的兩個(gè)正方形按圖1，圖2的方式擺放.若圖1中陰影部分的面積是6，圖2中陰影部分的面積是5，則大正方形的面積是.【答案】25【分析】此題可用兩種方法進(jìn)行解答：方法一：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為a，大正方形邊長(zhǎng)為b，連接圖1中大正方形的對(duì)角線，可把陰影部分分成兩個(gè)三角形，它們的面積均等于，所以圖1中陰影部分面積為，圖2中陰影部分面積為=6，所以ab=10，所以，a=2，易得b=5，所以大正方形面積為25．方法二：觀察圖形可得：圖2陰影部分面積×2-圖1陰影部分面積＝小正方形面積，由此可求出小正方形的邊長(zhǎng)，再利用圖2陰影部分的面積＝×小正方形的邊長(zhǎng)×大正方形的邊長(zhǎng)，即可求出結(jié)果．【詳解】解：方法一：如圖連接圖1中大正方形的對(duì)角線，可把陰影部分分成兩個(gè)三角形，設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為a，大正方形邊長(zhǎng)為b，則陰影部分面積為，∴圖1中陰影部分面積為，圖2中陰影部分面積為=5，則ab=10，∴，∴a=2，∴b=5，∴大正方形面積為25．方法二：設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為a，大正方形邊長(zhǎng)為b，觀察圖形可得：圖2陰影部分面積×2-圖1陰影部分面積＝小正方形面積，∴a2＝5×2－6，解得a＝2,∵S圖2陰影部分＝ab，∴×2b＝5，則b＝5，∴大正方形面積為25．故答案為：25．【點(diǎn)睛】本題考查了整式運(yùn)算的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用正方形的邊長(zhǎng)去表示陰影部分的面積，如果陰影部分為不規(guī)則圖形，可用剪切法把它分割成幾個(gè)三角形．解答題（共5題，前三題每題8分，后兩題每題10分）15．計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式即可求解；（2）根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式即可求解．【詳解】（1）（2）【點(diǎn)睛】本題考查單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是掌握法則，正確計(jì)算．16．化簡(jiǎn)求值：，其中，．【答案】，．【分析】先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的整式乘法、積的乘方，再計(jì)算整式的除法，然后將的值代入即可得．【詳解】解：原式，，，將代入得：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握整式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．17．為了優(yōu)化宜居環(huán)境，某小區(qū)規(guī)劃修建一個(gè)“”形廣場(chǎng)，平面圖形如圖所示.(1)的長(zhǎng)度可表示為_(kāi)____；(2)求這個(gè)廣場(chǎng)的周長(zhǎng)；(3)若，時(shí)，則該廣場(chǎng)的面積為_(kāi)____【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算及化簡(jiǎn)求值，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性即可．（1）計(jì)算即可求解；（2）計(jì)算即可求解；（3）根據(jù)計(jì)算出廣場(chǎng)的面積，再代值計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，故答案為：（2）解：，答：這個(gè)廣場(chǎng)的周長(zhǎng)為（3）解：廣場(chǎng)的面積為：，當(dāng)，時(shí)，，故答案為：18．仔細(xì)閱讀下面例題，解答問(wèn)題：例題：已知關(guān)于x的多項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求另一個(gè)因式以及m的值．解：設(shè)另一個(gè)因式為，得：，則，∴，解得：，．∴另一個(gè)因式為，m的值為－21．問(wèn)題：仿照以上方法解答下面問(wèn)題：(1)二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求p的值；(2)已知關(guān)于x的多項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求另一個(gè)因式以及k的值；(3)已知關(guān)于x的多項(xiàng)式有一個(gè)因式為，求b的值．【答案】(1)p的值為6(2)另一個(gè)因式是，(3)【分析】本題主要考查了整式的乘法；（1）設(shè)另一個(gè)因式為，根據(jù)整式乘法的法則進(jìn)行計(jì)算，得出關(guān)于p、n的方程，求解即可；（2）設(shè)另一個(gè)因式為，根據(jù)整式乘法的法則進(jìn)行計(jì)算，得出關(guān)于k、n的方程，求解即可；（3）設(shè)另一個(gè)因式為，根據(jù)整式乘法的法則進(jìn)行計(jì)算，得出關(guān)于m、n、b的方程，求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)二次三項(xiàng)式的另一個(gè)因式為，則，即，∴，解得，答：p的值為6；（2）設(shè)關(guān)于x的多項(xiàng)式的另一個(gè)因式是，則，即，∴，解得，∴關(guān)于x的多項(xiàng)式的另一個(gè)因式是，；（3）設(shè)關(guān)于x的多項(xiàng)式的另一個(gè)因式為，則，即，∴，∴，即．19．七年級(jí)學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時(shí)，遇到這樣一類題“代數(shù)式的值與的取值無(wú)關(guān)，求