2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)測試卷（新高考八省專用）（學(xué)生版+解析）

2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)測試卷01(新高考八省專用)

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.已知集合A={H-1WX<2},B={X|-2<X<1},則AU8=()

A.B.卜卜2Vx<2}

C.[x\x>-2^D.{x|%<2}

2.若復(fù)數(shù)z=cos]：-a+3i是純虛數(shù)，則〃的值可以為()

、-c5兀-3兀-9兀

A.2兀B.—C.—D.—

444

3.若非零向量，，5滿足同=2忖，且(2-3萬)1.萬，則cos〈。而=()

A.1B.3C,1D.2

3463

4.已知函數(shù)>=/(無)的圖象與函數(shù)y=2'的圖象關(guān)于直線y=x對稱，g(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，

g(x)=f(x)-x,則g(-8)=()

A.-5B.-6C.5D.6

5.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,過C上一點A作于點5,若

\AB\^\BF\^4,則。=()

A.1B.73C.2D.273

/,3sin—+a+sincr-3nil…上工/、

6.已知2a12)，則cos2a的值為()

tan—=----------------------------

2sina

7.如圖，已知四棱柱ABC。-A瓦UR的底面為平行四邊形，E,F,G分別為棱AVCG，G2的中點，則

()

A.直線3GI2都與平面5FG平行

B.直線都與平面占FG相交

C.直線3G與平面MG平行，直線5。］與平面￡FG相交

D.直線5G與平面MG相交，直線5R與平面￡FG平行

8.若0<九心九2<1，e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

xX2Xl

A.x2e'<xfiB.x2e>冗戶電

2x,

C.e^-e>Inx2-In玉D.e巧-e*<Inx2-Inxr

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)〃X）=ACOS（S+0）［A>0⑷的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）

A.=2cos[2%一.

B.函數(shù):（x）在一旌上的值域為卜1,百］

C.函數(shù)/，-巳1是奇函數(shù)

D.函數(shù)“X）的圖象可由y=2cos,上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腡倍，再向右平移彳得到

10.某中學(xué)在學(xué)校藝術(shù)節(jié)舉行“三獨”比賽（獨唱獨奏獨舞），由于疫情防控原因，比賽現(xiàn)場只有9名教師評

委給每位參賽選手評分，全校4000名學(xué)生通過在線直播觀看并網(wǎng)絡(luò)評分，比賽評分采取10分制.某選手

比賽后，現(xiàn)場9名教師原始評分中去掉一個最高分和一個最低分，得到7個有效評分如下表.對學(xué)生網(wǎng)絡(luò)

則下列說法正確的是（）

A.現(xiàn)場教師評委7個有效評分與9個原始評分的中位數(shù)相同

B.估計全校有1200名學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)評分在區(qū)間［8,9）內(nèi)

C.在去掉最高分和最低分之前9名教師評委原始評分的極差一定大于0.7

D.從學(xué)生觀眾中隨機抽取10人，用頻率估計概率，X表示評分不小于9分的人數(shù)，則E（X）=5

11.“臉譜”是戲曲舞臺演出時的化妝造型藝術(shù)，更是中國傳統(tǒng)戲曲文化的重要載體如圖，“臉譜”圖形可近

x2+y2=4,y>0

似看作由半圓和半橢圓組成的曲線C,其方程為％22,則下列說法正確的是（）

—十-1,y<0

149）

A.曲線C包含的封閉圖形內(nèi)部（不含邊界）有11個整數(shù)點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)）

B.曲線C上任意一點到原點距離的最大值與最小值之和為5

C.若4（0,一右）、B（0,君），尸是曲線C下半部分中半橢圓上的一個動點，則coszAPB的最小值為

9

D.畫法幾何的創(chuàng)始人加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓中任意兩條互相垂直的切線，其交點都在與橢圓同中

心的圓上，稱該圓為橢圓的蒙日圓；那么曲線C中下半部分半橢圓擴充為整個橢圓C：

22

亍+工=1（一34”3）后，橢圓。的蒙日圓方程為：%2+/=13

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

/、ex,x<1

12.已知函數(shù)〃x）=，則"In3）=.

13.一個盒子中裝有標(biāo)號為1,2,3,4,5的五個大小質(zhì)地完全相同的小球.甲、乙兩人玩游戲，規(guī)則如

下：第一輪，甲先從盒子中不放回地隨機取兩個球，乙接著從盒子中不放回地隨機取一個球，若甲抽取的

兩個小球數(shù)字之和大于乙抽取的小球數(shù)字，則甲得1分，否則甲不得分；第二輪，甲、乙從盒子中剩余的

兩個球中依次不放回地隨機取一個球，若甲抽取的小球數(shù)字大于乙抽取的小球數(shù)字，則甲得1分，否則甲

不得分.則在兩輪游戲中甲共獲得2分的概率為.

14.已知過點尸（0,-2）的直線分別與圓E：/+y2-4y=0交于兩點（點8在A的上方）和C,￡>兩點

（點C在。的上方），且四邊形ABCD為等腰梯形，若sin/8PC=姮，則梯形ABCD的面積為.

8

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）

已知VABC的內(nèi)角A8,C滿足二—=工=亞.

sinAsinBsinC

⑴求sinB；

（2）證明：C=2A.

16.（15分）

已知數(shù)列｛4｝滿足％=1必=3a?_1+4（n>2）.^bn=log3（aB+2）.

（1）求證：數(shù)歹！J｛%,+2｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛〃“｝通項公式；

34

(2)設(shè)數(shù)列q=，且對任意正整數(shù)〃，不等式恒成立，求實數(shù)2的取值范圍.

凡4+1

17.(15分)

設(shè)函數(shù)f(x)=x-alnx,a>0.

(1)若/(元)在(e/(e))處的切線方程為y=-x,求實數(shù)。的取值;

e

⑵試討論的單調(diào)性;

(3)對任意的xe(0,xo),恒有〃x)ZO成立，求實數(shù)a的取值范圍.

18.(17分)

如圖，在四棱錐尸—ABCD中，底面ABCZ)是直角梯形，AB//CD,AB±BC,^.AB=BD=2CD=4,

側(cè)面PCD是正三角形，側(cè)面PCD,底面ABC。，E為PC中點，作EFLPB交PB于F.

(2)求平面尸3Q與平面PBC的夾角的余弦值；

(3)在平面ZJEF內(nèi)是否存在點。.使得麗?詼=0,若存在，求動點。的軌跡長度；若不存在，請說

明理由.

19.(17分)

定義:如果在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點，點A，B的坐標(biāo)分別為a，M),(%，%)，那么稱

d(A3)=%-司+1%-|為A8兩點間的曼哈頓距離；D(A,B)="再-垃+(%-%y為A8兩點間的歐

幾里得距離.

(1)已知d(O,P)=l,求。(。,尸)的最小值;

⑵已知M(3,2),D(O,N)=2,求d(M,N)的最大值；

(3)已知a>0,點4(%,%)在函數(shù)/心)=-2(犬<0)圖像上，點3(羽,s)在函數(shù)g(x)=alnx-x圖像上,

X

且y產(chǎn)V2，點A,8有d(AB)的最小值為4,求實數(shù)a的取值.

2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)測試卷01（新高考八省專用）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.已知集合4=3卜14%<2},8={尤卜24尤<1},則AUB=（）

A.{X|-1VX<1}B.{x卜2Vx<2}

C.[x\x>-2^D.{x|尤<2}

【答案】B

【解析】集合A={MT4X<2},8={尤卜2WX<1},所以=無<2}.

故選：B

2.若復(fù)數(shù)z=cos]：-“+3i是純虛數(shù)，則。的值可以為（）

cc57c-3?！?兀

A.2兀B.—C.—D.—

444

【答案】C

【解析】由題意可知,cos佰-o]=o,--e=-+kit,k^,

14）42

得6=-：jr-E,左eZ,根據(jù)選項可知，只有3?7r滿足條件.

44

故選：C

7/23

3.若非零向量,，5滿足同=2忖，且5―35)4,則cos@5〉=()

【答案】D

【角星析】Q（Q—3Z?）_LQ,3力）=。，

rr1rI->I㈠

^a-b=-a2,又|《=2愀，

故選：D.

4.已知函數(shù)>=/(元)的圖象與函數(shù)y=2,的圖象關(guān)于直線y=x對稱，g(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)尤>0時,

g(x)=/(x)-x,則g(_8)=()

A.-5B.-6C.5D.6

【答案】C

【解析】由已知，函數(shù)>=/(幻與函數(shù)y=2*互為反函數(shù)，則/(x)=iog2x.

由題設(shè),當(dāng)x>0時,g(x)=log2x-x,則g(8)=logz8-8=3-8=-5.

因為g(x)為奇函數(shù)，所以g(-8)=-g(8)=5.

故選：C.

5.已知拋物線。：丁=2/(p>0)的焦點為人準(zhǔn)線為人過C上一點A作A3JJ于點B,若

\AB\=\BF\^4,貝"=()

A.1B.V3C.2D.2g

【答案】C

【解析】方法一：連接AF,由拋物線定義可得|AF|=|AB|,

因為|AB|=|/|=4,所以△"B是邊長為4的等邊三角形.

8/23

yt

D

如圖，設(shè)準(zhǔn)線/與x軸的交點為。，又〃。尸,

所以NBM）=NAB歹=60。,

所以2=|。同=忸同cos60°=2.

方法二：設(shè)/與x軸的交點為。，則尸,

設(shè)4（無1，%），在RtABD.中，忸￡＞『+。耳2=忸典2,

即y；+p2=2p%+p2=16①，

又依同=%+5=4②，聯(lián)立方程組①②，解得：玉=3,p=2

所以P=2.

故選：C.

3sin工+a+sina-3

6.已知2a(2J,則cos2tz的值為（）

tan—

2sincr

A-IB-Ec-I

【答案】B

3sin—+a+sincr-3

【解析】由a(2J

tan2—

2sintz

c.aa/.2a

2sin-cos---osin一

,n2a3cosa+sina-3

-iwtan——----------------222=l-3tan—,

2sina、.aa2

2sm—cos—

22

-a

2tan—2?2

2coscif-sina1-tan%_5

tana

則二------而cos2a=2?~2

3cos?+sina1+tan2a13

1-tan—

2

故選：B

7.如圖，已知四棱柱48CD-的底面為平行四邊形，E,F,G分別為棱e,CGCR的中點，則

9/23

A.直線都與平面EfG平行

B.直線8G，8R都與平面EFG相交

C.直線BG與平面EPG平行，直線BQ與平面EPG相交

D.直線BG與平面EFG相交，直線與平面EfG平行

【答案】C

設(shè)對角線AC的中點為。，瓦'的中點為。I,9=￡,成=反時=3,

以為基底，建立空間坐標(biāo)系如上圖，

則Bq=—a+c,

???￡,/分別是AA，CG的中點，；.M〃AC,Oa//C￡EF=AC,OOl=CF,

GOLb--c+FOx=-b--c+-(a-b\=-(a-A,

1221222V>2V>

___.1___.

.■.BCl=--GOl,即BC/GO],GOg平面所G,BQu平面EFG,

BCJ/平面EFG；

10/23

由以上分析知，OOJIFC,FCUDD\,并且JFC=gcG=g。2，

：.OOJ/DD{,,點。也是對角線8。的中點，

???OOX是一。"的DR邊上的中位線，即。?在上，

B”平面EEG,即BA與平面E/G交于點。，

綜上，BC"/平面EFG,BDX與平面EPG相交；

故選：C.

8.若e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

%1X2XlX2

A.x2e<xfiB.x2e>xxe

C.e巧一e*>Inx2-Inx{D.e巧-e*<Inx2-Inxx

【答案】B

【解析】對于AB選項，構(gòu)造函數(shù)〃x)=則尸(x)=9，當(dāng)0<x<l時，「(x)>0,

所以，函數(shù)/(X)在(。,1)上單調(diào)遞增，

因為0"<三<1,貝1]/(石)</(々)，即宗<?，即Xze-1>書法，A錯，B對；

對于CD選項，構(gòu)造函數(shù)g(x)=e=lnx,其中0<x<l,g'(尤)=^-工，

因為函數(shù)丁=^、>=-：在(。,1)上均為增函數(shù)，故函數(shù)g'(x)在(0,1)上為增函數(shù)，

因為g(g)=&-2<0,g,(l)=e-l>0,

所以，存在使得小)=0,

當(dāng)0cx</時,g,(x)<0,此時函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)X?！从?lt;1時，短(x)>0,此時函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

所以，函數(shù)g(x)在(0,1)上不單調(diào)，無法比較g&)、g(N)的大小，C錯，D錯.

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

11/23

9.已知函數(shù)/（x）=Acos（0x+e“A>O,0>O,網(wǎng)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）

尤

A./(x)=2cos(2

B.函數(shù)?。┰?旌上的值域為卜1,若］

C.函數(shù)/，-巳1是奇函數(shù)

D.函數(shù)〃尤）的圖象可由y=2cos［x+f上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膅倍，再向右平移巳得到

【答案】ACD

【解析】由圖可知4=2,3==-二=；,

43124

27r

所以T=—=7t,所以①=2,

0)

貝ij/(x)=2cos(2x+0),

乂=+=所以cos[+e[=1,

JT

所以一+8=2E#￡Z,

6

又ld<g,所以夕=一］,

20

所以〃x)=2cos]2x-m,故A正確；

對于B,因為xe,所以2x-.e-，

4oJ6L36

ffrtUcos^2x-—e——,1,

jrjr

所以函數(shù)“X)在-"不上的值域為[T，2]，故B錯誤;

因為g=2sin(―2x)=-2sin2x--g(x),

12/23

所以函數(shù)小是奇函數(shù)，故c正確;

對于D,y=2cos［x+［J上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得y=2cos0x+￡

再向右平移得y=2cos2］無用+￡=2cos|^2x-^=/（%）,故D正確.

故選：ACD.

10.某中學(xué)在學(xué)校藝術(shù)節(jié)舉行“三獨”比賽（獨唱獨奏獨舞），由于疫情防控原因，比賽現(xiàn)場只有9名教師評

委給每位參賽選手評分，全校4000名學(xué)生通過在線直播觀看并網(wǎng)絡(luò)評分，比賽評分采取10分制.某選手

比賽后，現(xiàn)場9名教師原始評分中去掉一個最高分和一個最低分，得到7個有效評分如下表.對學(xué)生網(wǎng)絡(luò)

評分按口,8）,［89）,［9,10］分成三組，其頻率分布直方圖如圖所示.

則下列說法正確的是（）

A.現(xiàn)場教師評委7個有效評分與9個原始評分的中位數(shù)相同

B.估計全校有1200名學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)評分在區(qū)間［8,9）內(nèi)

C.在去掉最高分和最低分之前9名教師評委原始評分的極差一定大于0.7

D.從學(xué)生觀眾中隨機抽取10人，用頻率估計概率，X表示評分不小于9分的人數(shù)，則E（X）=5

【答案】ABD

【解析】去掉9個原始評分中的一個最高分和一個最低分，不會改變該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，A正確；

因為學(xué)生網(wǎng)絡(luò)評分在區(qū)間［8,9）內(nèi)的頻率為0.3,學(xué)生總?cè)藬?shù)為4000,則網(wǎng)絡(luò)評分在區(qū)間［8,9）內(nèi)的學(xué)生估計

有4000x0.3=1200人，B正確；

若去掉的一個最高分為9.6,去掉的一個最低分為8.9,則9名教師原始評分的極差等于0.7,C錯誤；

學(xué)生網(wǎng)絡(luò)評分在區(qū)間［9,10］內(nèi)的頻率為0.5,則X~8C10,0.5）,所以E（X）=10x0.5=5,D正確；

13/23

故選：ABD.

11.“臉譜”是戲曲舞臺演出時的化妝造型藝術(shù)，更是中國傳統(tǒng)戲曲文化的重要載體如圖，“臉譜”圖形可近

X2+y2=4,y>0

似看作由半圓和半橢圓組成的曲線C,其方程為爐2.則下列說法正確的是（）

—+^-=1,y<0

149

A.曲線C包含的封閉圖形內(nèi)部（不含邊界）有11個整數(shù)點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)）

B.曲線C上任意一點到原點距離的最大值與最小值之和為5

C.若4（0,—6）、8（0,行），P是曲線C下半部分中半橢圓上的一個動點，貝！JcoszAPB的最小值為

9

D.畫法幾何的創(chuàng)始人加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓中任意兩條互相垂直的切線，其交點都在與橢圓同中

心的圓上，稱該圓為橢圓的蒙日圓；那么曲線C中下半部分半橢圓擴充為整個橢圓C：

22

?+看_=1（_3<”3）后，橢圓。的蒙日圓方程為：X2+/=13

【答案】BCD

x2+y2=4,y>0

【解析】對于A：曲線■尤22中，-2VxV2,當(dāng)xeZ時,

—+^-=l,y<0

149,

分5類討論：%=-2,-1,0,1,2,分別代入曲線C方程，可得：

整數(shù)點為(一1,1),(-1,0),(-1,-1).(-1,-2),(0,1),(0,0),(0,-1),

(0,-2),(1,1),(1,0)、(1,-1),(1,-2),

所以：整數(shù)點有12個，選項A錯誤；

對于B：曲線C中，當(dāng)y>l時/+/=4,此時與原點距離為2,

22

當(dāng)y<0,時‘+5=1,設(shè)半橢圓上動點P坐標(biāo)為(2cos0,3sin。)，6c［肛2句

貝！110/f=0cos6)2+(3sin6)2=4cos26(+9sin261=9-5cos26?<9=>2<|(9P|<3,

最大值與最小值之和為5,選項B正確;

14/23

22

對于C：又40，一非)、2(0，6)恰為橢圓上+匕=1的兩個焦點.

49

pA

那么|即+「@=6,\PA\-\PB\<1㈤=9

I2,

當(dāng)且僅當(dāng)|網(wǎng)=|正耳，即P在x軸上時，等號成立，

在ARIB中，|AB|=26，由余弦定理知:

|PA|2+|PBI2-|AB|2_(|PA|+|PB|)2-|AB|2-2|PA|.|PB|

cosZAPB=

2\PA\-\PB\2\PA\-\PB\

62-2O-2|PA|.|PB|881“

=--------1----n----1------=?-----pi—r-IN—1=—,選項c正確；

2\PA\-\PB\|PA|-|PB|99

對于D：由題意知：蒙日圓的圓心。坐標(biāo)為原點(0,0),在橢圓C'：工+匯=1(-34>43)中取兩條切

49'

線：》=2和>=3,它們交點為(2,3),

該點在蒙日圓上，半徑為,2?+3?=岳

此時蒙日圓方程為：x2+y2=13,選項D正確.

故選：BCD.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

/、[ex,x<1

12.已知函數(shù)〃x=“八?則"山3)=.

3

【答案】-

e

【解析】因為ln3>l,所以“In3)=〃ln3—1),

/n3oO

因為ln3—1<1,所以“In3-1)=6瓜37=J=3,所以“In3)=±.

eee

3

故答案為：-

e

13.一個盒子中裝有標(biāo)號為1,2,3,4,5的五個大小質(zhì)地完全相同的小球.甲、乙兩人玩游戲，規(guī)則如

下：第一輪，甲先從盒子中不放回地隨機取兩個球，乙接著從盒子中不放回地隨機取一個球，若甲抽取的

兩個小球數(shù)字之和大于乙抽取的小球數(shù)字，則甲得1分，否則甲不得分；第二輪，甲、乙從盒子中剩余的

兩個球中依次不放回地隨機取一個球，若甲抽取的小球數(shù)字大于乙抽取的小球數(shù)字，則甲得1分，否則甲

15/23

不得分.則在兩輪游戲中甲共獲得2分的概率為.

【答案】今23

60

【解析】若第一輪在第一輪中得1分，

若第一輪中甲抽到的小球為1,3,則乙抽到的小球只能是2,

若第一輪中甲抽到的小球為1,4,則乙抽到的小球可以是2或3,

若第一輪中甲抽到的小球為2,3,則乙抽到的小球可以是1或4,

若第一輪中甲抽到的小球為1,5或者2,4或者2,5或者3,4或者3,5或者4,5時，則乙抽到的小球

可以是剩下三個小球中的任何一個，故共有6x3=18,

1+2+2+1823

因此第一輪中甲得1分的概率為一3H-=而，

在第二輪的過程中，只剩下兩個球，要使甲在第二輪中得1分，只需要甲在剩下兩個球中抽到號碼大的球

即可，故概率為

I2323

因此甲在兩輪中共得2分的概率為5乂前，

23

故答案為：--

60

14.已知過點PQ-2）的直線//分別與圓E:/+y2—4y=0交于兩點（點5在A的上方）和兩點

（點C在。的上方），且四邊形A5CD為等腰梯形，若sin/8PC=巫，則梯形A5CD的面積為.

8

【答案】M

4

【解析】不妨設(shè)點C，D在第一象限，設(shè)AD與y軸交點為尸，如圖所示，

由圓石：f+y2_4y=0得，x2+（^—2）2=4,圓心石（。,2）,半徑為2,

因為sin/BPC=姮，所以cos/BPC=

88

因為四邊形ABCD為等腰梯形，

所以點4,8與點C,。關(guān)于y軸對稱，BCHADUx螭,

2

則cosZBPC=cos2ZDPF=2cos2/DPF—1=-,解得cosZDPF=—,

84

所以tai*‘in〃尸J["C°LDPF=叵,

cosZDPFcosZDPF15

PF1l

設(shè)直線CD的傾斜角為0=/PDF,則直線CD的斜率為tan/PDF=——=-------------=V15,

FDtanZFPD

設(shè)直線CD的方程為y=y/l5x-2,D（xt,%）,C（x2,y2）,

16/23

y=y/l5x-2_

由,,z、2得，—265%+3=0,

d+(y_2)=4

7-3757+3火

解得％=4一，X=-

4

715+731V15-V37-3班7+3百3A/5

則|AD|+忸C|=2x(-■)=,|%-%|二

44442

3A/51156

所以梯形ABCD的面積為（|AD|+忸?！?-列3=后x-----x—=-----

224

故答案為：”3

共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(13分)

73M

已知VABC的內(nèi)角A,民C滿足上=

sinAsinBsinC

⑴求sinB；

(2)證明：C=2A.

【解析】（）由N-

1—=，得sinA:sinB:sinC=2:3:

sinAsinBsinC

由正弦定理得a:b:c=sinA:sinB:sinC=2:3:A/10

^a=2x,b=3x,c=A/10X(X>0),

由余弦定理得cosB=鵬起一護=叵

2ac8

貝!jsinB=71~COS2B=

8

2+I」,cosA=b2+c2-a2J10

（2）證明：由（1）可知，cosC=—

lab42bc4

則cos2A=2COS2A-1=—=cosC.

4

17/23

由cosA>0,得Ac[0,5],貝1|2Ae（0,兀）.

因為Ce（O,兀），所以C=2A.

16.（15分）

已知數(shù)列｛%｝滿足%=1,%=3a.i+4（n>2）.設(shè)一=log3（an+2）.

（1）求證：數(shù)歹U｛。,+2｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列且對任意正整數(shù)〃，不等式c〃V24-1恒成立，求實數(shù)X的取值范圍.

a屋冊+i

【解析】（1）證明：由％=1,4=3%+4（〃22）,

可得%+2=3%+6=3（%+2）,4+2=3

即數(shù)列｛4+2｝是首項和公比均為3的等比數(shù)列，

貝lJa“+2=3",即。"=3"—2；

4,+23"

（2）數(shù)列%丁+1）

Un,Un+la」a田（3?-2）（3"-2）

.c-3-（3--2）（3--2）3--6；1

G（3H+1-2）（3H+2-2）3"3"+2-2'

可得｛%｝遞減，可得c“Wq=],對任意正整數(shù)〃，不等式恒成立,

35「5、

可得24-1之即有即2的取值范圍是

17.（15分）

設(shè)函數(shù)/（%）=%一alnx,a>0.

⑴若“X）在（e"（e））處的切線方程為y=3x,求實數(shù)。的取值;

e

（2）試討論“X）的單調(diào)性;

⑶對任意的xe（O,y）,恒有/（x）ZO成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】⑴由向，則/（耳=1_三，

因為“X）在（e,/（e））處的切線方程為V=?》，

18/23

所以f(e)=l-9===^,=

eee

(2)由(1)知，ff(x}=l--=—―,x>0,

XX

因為〃>0,所以0<X<4時，/<(%)<0,當(dāng)時，f\x)>0,

所以了(%)單調(diào)遞減區(qū)間是(O,Q),單調(diào)遞增區(qū)間是(。,+8).

(3)若任意的XE(0,+8),恒有/(力20成立，

即=1n^之。，在％E(0,+8)上恒成立,即如xVx,其中a>0,

當(dāng)％=1時，041成立，

當(dāng)0<%<1時，lnx<0,則〃之二恒成立，h(x)=—,h'(x\=,

luxInxInx

Y

當(dāng)x〉l時，lnx>0,貝—恒成立，令>0,即lnx-l>0,解得％>0,

Iwc

而出(%)<0時，0<x<e,故l<x<e時，尸(%)<0,此時/(%)單調(diào)遞減，

%>e時，((%)>0,此時/(%)單調(diào)遞增，

故f(x)在X=e時取得最小值，/??.?=/(e)=-^=e,即aVe,

又因為?！?,故0<〃We,

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍為(0,可.

18.(17分)

如圖，在四棱錐尸—ABCD中，底面A2CD是直角梯形，AB//CD,AB±BC,S.AB=BD=2CD=4,

側(cè)面尸CD是正三角形，側(cè)面尸CD_L底面ABCZ),E為尸C中點，作￡F_L依交PB于尸.

19/23

(2)求平面與平面PBC的夾角的余弦值；

(3)在平面DEF內(nèi)是否存在點Q.使得@5?森=0,若存在，求動點。的軌跡長度；若不存在，請說

明理由.

【解析】(1)由側(cè)面PCD,底面ABCD,側(cè)面尸CC>n底面ABCD=CD,BCu面ABCD,

又底面ABCD是直角梯形，AB//CD,ABA.BC,故5CLCD,

所以BC_L面尸CD,DEu面尸8,則BC_LOE,

由側(cè)面PCD是正三角形，E為尸C中點，則DEJLPC,

而8€?。1尸。=(7且都在面P3c內(nèi)，則。E_L面P3C,DEu面OEb,

所以面面尸8C,而￡F_LPB,面DEFc面PBC=EF,尸3u面P8C,

所以P3_L平面ZJEF.

(2)依題意，可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，C(0,0,0),B(0,2A/3,0),P(l,0,^),D(2,0,0),

所以屈=(0,2百,0),/=(1,0,A5),而=(-1,26,一石)，而=(-1,0,百)，

一m-CB=2>/3y=0

令%=(x,y,z)是面PBC的一個法向量，則<一',

m-CP=x+y/3z=0

令x=6，則而=(有,0,-1),

n-PB=-a+26b-y/3c=0

令日=(a,4c)是面尸8c的一個法向量，貝叫一廣，

n-DP=-a+y/3c=0

令a=G則7=（后1,1）,

/___\!_|fmn-n_2_y/5

所以平面P3D與平面PBC的夾角的余弦值cos仇和麗=溫?

20/23

z,

(3)由諉?詼=0,即誣_L誣，故。點在以AB為直徑的球體與平面DEF的交線上,

又4（4,2石,0）,8（0,2百,0）,其中點坐標(biāo)為0（2,26,0）,則加=（0,2后0）,

由(1)(2)知，而=(-1,26,-石)是面DE尸的一個法向量,

所以。到面DEF的距離d=|嗎絲|=I2=3>