2021年湖南省長沙市長郡名校聯(lián)考高考數(shù)學(xué)一模試卷（含解析）

2021年湖南省長沙市長郡名校聯(lián)考高考數(shù)學(xué)一模試卷一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分）.1．若復(fù)數(shù)z滿足2z+＝3﹣2i，其中i為虛數(shù)單位，則z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．已知集合P＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，Q＝{x|3x≥1}，則P∩Q＝（）A．{x|﹣1≤x≤0} B．{x|0≤x≤1} C．{x|0≤x≤6} D．{x|﹣6≤x≤0}3．圓x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圓心到直線ax+y﹣1＝0的距離為1，則a＝（）A．﹣ B．﹣ C． D．24．設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，則“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．某班科技興趣小組研究在學(xué)校的圖書館頂上安裝太陽能板的發(fā)電量問題，要測(cè)量頂部的面積，將圖書館看成是一個(gè)長方體與一個(gè)等底的正四棱錐組合而成，經(jīng)測(cè)量長方體的底面正方形的邊長為26米，高為9米，當(dāng)正四棱錐的頂點(diǎn)在陽光照射下的影子恰好落在底30°面正方形的對(duì)角線的延長線上時(shí)，測(cè)的光線與底面夾角為30°，正四棱錐頂點(diǎn)的影子到長方體下底面最近頂點(diǎn)的距離為11.8米，則圖書館頂部的面積大約為（）平方米（注：，，）A．990 B．890 C．790 D．6906．已知非空集合A，B滿足以下兩個(gè)條件：（i）A∪B＝{1，2，3，4，5}，A∩B＝?；（ii）A的元素個(gè)數(shù)不是A中的元素，B的元素個(gè)數(shù)不是B中的元素，則有序集合對(duì)（A，B）的個(gè)數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．107．已知實(shí)數(shù)a，b，c∈R，滿足，則a，b，c大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c8．已知△ABC中，AB＝2BC＝4，AC＝2，點(diǎn)M在線段AC上除A，C的位置運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)沿BM進(jìn)行翻折，使得線段AB上存在一點(diǎn)N，滿足CN⊥平面ABM；若NB＞λ恒成立，則實(shí)數(shù)λ的最大值為（）A．1 B． C．2 D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9．為了了解市民對(duì)各種垃圾進(jìn)行分類的情況，加強(qiáng)垃圾分類宣傳的針對(duì)性，指導(dǎo)市民盡快掌握垃圾分類的方法，某市垃圾處理廠連續(xù)8周對(duì)有害垃圾錯(cuò)誤分類情況進(jìn)行了調(diào)查．經(jīng)整理繪制了如圖所示的有害垃圾錯(cuò)誤分類重量累積統(tǒng)計(jì)圖，圖中橫軸表示時(shí)間（單位：周），縱軸表示有害垃圾錯(cuò)誤分類的累積重量（單位：噸）．根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖分析，下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)x∈[0，2）時(shí)有害垃圾錯(cuò)誤分類的重量加速增長 B．當(dāng)x∈[2，4）時(shí)有害垃圾錯(cuò)誤分類的重量勻速增長 C．當(dāng)x∈[4，6）時(shí)有害垃圾錯(cuò)誤分類的重量相對(duì)于當(dāng)x∈[2，4）時(shí)增長了30% D．當(dāng)x∈[6，8]時(shí)有害垃圾錯(cuò)誤分類的重量相對(duì)于當(dāng)x∈[0，2）時(shí)減少了0.6噸10．如果平面向量，那么下列結(jié)論中正確的是（）A．||＝3|| B． C．與的夾角為30° D．在方向上的投影為11．如圖，某校測(cè)繪興趣小組為測(cè)量河對(duì)岸直塔AB（A為塔頂，B為塔底）的高度，選取與B在同一水平面內(nèi)的兩點(diǎn)C與D（B，C，D不在同一直線上），測(cè)得CD＝s．測(cè)繪興趣小組利用測(cè)角儀可測(cè)得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，則根據(jù)下列各組中的測(cè)量數(shù)據(jù)可計(jì)算出塔AB的高度的是（）A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD C．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC12．?dāng)?shù)學(xué)中的很多符號(hào)具有簡潔、對(duì)稱的美感，是形成一些常見的漂亮圖案的基石，也是許多藝術(shù)家設(shè)計(jì)作品的主要幾何元素．如我們熟悉的∞符號(hào)，我們把形狀類似∞的曲線稱為“∞曲線”．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把到定點(diǎn)F1（﹣a，0），F(xiàn)2（a，0）距離之積等于a2（a＞0）的點(diǎn)的軌跡稱為“∞曲線”C．已知點(diǎn)P（x0，y0）是“∞曲線”C上一點(diǎn)，下列說法中正確的有（）A．“∞曲線”C關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱 B． C．“∞曲線”C上滿足|PF1|＝|PF2|的點(diǎn)P有兩個(gè) D．|PO|的最大值為三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上）13．在（2+）6的展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于．14．已知是函數(shù)f（x）＝asinx+bcosx（a＞0）的對(duì)稱軸，則f（x）的對(duì)稱中心為．15．定義函數(shù)f（x）＝[x[x]]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[1.3]＝1，[﹣1.5]＝﹣2，[2]＝2．當(dāng)x∈[0，n）（n∈N*）時(shí)，f（x）的值域?yàn)锳n．記集合An中元素的個(gè)數(shù)為an，則值為．16．若關(guān)于x的方程+x﹣ln（ax）﹣2＝0（a＞0）有解，則正數(shù)a的取值范圍是．四、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．△ABC的內(nèi)角A，B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知向量＝（c﹣a，sinB），＝（b﹣a，sinA+sinC）且∥．（1）求C；（2）若，求sinA．18．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a3＝8，S5＝2a7．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n．19．如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)且滿足DE∥BC，記．將△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，連接MB，MC得到圖2，點(diǎn)N為MC的中點(diǎn)．（1）當(dāng)EN∥平面MBD時(shí)，求λ的值；（2）試探究：隨著λ值的變化，二面角B﹣MD﹣E的大小是否改變？如果是，請(qǐng)說明理由；如果不是，請(qǐng)求出二面角B﹣MD﹣E的正弦值大?。?0．已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣a（1﹣）+1（a∈R）．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，求整數(shù)a的最大值．21．已知橢圓＝1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為，離心率為，過橢圓C的左焦點(diǎn)F1作不與x軸重合的直線MN與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線m：x＝﹣2a的垂線ME，E為垂足．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①已知直線EN過定點(diǎn)P，求定點(diǎn)P的坐標(biāo)．②點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OEN面積的最大值．22．某電子公司新開發(fā)一電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品的一個(gè)系統(tǒng)G有2n﹣1個(gè)電子元件組成，各個(gè)電子元件能正常工作的概率均為p，且每個(gè)電子元件能否正常工作相互獨(dú)立．若系統(tǒng)中有超過一半的電子元件正常工作，則系統(tǒng)G可以正常工作，否則就需維修．（1）當(dāng)n＝2，p＝時(shí)，若該電子產(chǎn)品由3個(gè)系統(tǒng)G組成，每個(gè)系統(tǒng)的維修所需費(fèi)用為500元，設(shè)ξ為該電子產(chǎn)品需要維修的系統(tǒng)所需的總費(fèi)用，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）為提高系統(tǒng)G正常工作的概率，在系統(tǒng)內(nèi)增加兩個(gè)功能完全一樣的電子元件，每個(gè)新元件正常工作的概率均為p，且新增元件后有超過一半的電子元件正常工作，則系統(tǒng)C可以正常工作，問p滿足什么條件時(shí)，可以提高整個(gè)系統(tǒng)G的正常工作概率？

參考答案一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．若復(fù)數(shù)z滿足2z+＝3﹣2i，其中i為虛數(shù)單位，則z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i解：復(fù)數(shù)z滿足2z+＝3﹣2i，設(shè)z＝a+bi，可得：2a+2bi+a﹣bi＝3﹣2i．解得a＝1，b＝﹣2．z＝1﹣2i．故選：B．2．已知集合P＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，Q＝{x|3x≥1}，則P∩Q＝（）A．{x|﹣1≤x≤0} B．{x|0≤x≤1} C．{x|0≤x≤6} D．{x|﹣6≤x≤0}解：集合P＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}＝{x|﹣1≤x≤6}，Q＝{x|3x≥1}＝{x|x≥0}，∴P∩Q＝{x|0≤x≤6}．故選：C．3．圓x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圓心到直線ax+y﹣1＝0的距離為1，則a＝（）A．﹣ B．﹣ C． D．2解：圓x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圓心坐標(biāo)為：（1，4），故圓心到直線ax+y﹣1＝0的距離d＝＝1，解得：a＝，故選：A．4．設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，則“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解：因?yàn)閍，b都是實(shí)數(shù)，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分條件；反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要條件．故選：D．5．某班科技興趣小組研究在學(xué)校的圖書館頂上安裝太陽能板的發(fā)電量問題，要測(cè)量頂部的面積，將圖書館看成是一個(gè)長方體與一個(gè)等底的正四棱錐組合而成，經(jīng)測(cè)量長方體的底面正方形的邊長為26米，高為9米，當(dāng)正四棱錐的頂點(diǎn)在陽光照射下的影子恰好落在底30°面正方形的對(duì)角線的延長線上時(shí)，測(cè)的光線與底面夾角為30°，正四棱錐頂點(diǎn)的影子到長方體下底面最近頂點(diǎn)的距離為11.8米，則圖書館頂部的面積大約為（）平方米（注：，，）A．990 B．890 C．790 D．690解：如圖1，根據(jù)題意得：∠PSO＝30°，CC1＝9，SC1＝11.8，AB＝26，所以，故SO＝SC1+C1O＝11.8+18.2＝30，故在Rt△PSO中，設(shè)PO＝x，則PS＝2x，SO＝30，所以|SO|2+|OP|2＝|SP|2，即：900+x2＝4x2，解得在正四棱錐P﹣ABCD中，PO'＝17﹣9＝8，AB＝26，取BC中點(diǎn)E，連接EP，EO'，所以EO'＝13，由正四棱錐的性質(zhì)得△PEO'為直角三角形，故|PE|2＝|PO'|2+|O'E|2＝132+82＝233，所以，所以正四棱錐P﹣ABCD的側(cè)面積為．故選：C．6．已知非空集合A，B滿足以下兩個(gè)條件：（i）A∪B＝{1，2，3，4，5}，A∩B＝?；（ii）A的元素個(gè)數(shù)不是A中的元素，B的元素個(gè)數(shù)不是B中的元素，則有序集合對(duì)（A，B）的個(gè)數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．10解：若集合A中只有1個(gè)元素，則集合B中只有4個(gè)元素，則1?A，4?B，∴4∈A，1∈B，此時(shí)只有＝1；若集合A中只有2個(gè)元素，則集合B中只有3個(gè)元素，則2?A，3?B，∴3∈A，2∈B，此時(shí)有＝3；若集合A中只有3個(gè)元素，則集合B中只有2個(gè)元素，則3?A，2?B，∴2∈A，3∈B，此時(shí)有＝3；若集合A中只有4個(gè)元素，則集合B中只有1個(gè)元素，則4?A，1?B，∴1∈A，4∈B，此時(shí)有＝1，∴有序集合對(duì)（A，B）的個(gè)數(shù)為：1+3+3+1＝8．故選：B．7．已知實(shí)數(shù)a，b，c∈R，滿足，則a，b，c大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c解：因?yàn)?，則a＞0，c＜0，對(duì)于函數(shù)f（x）＝x﹣lnx，（x＞0），f′（x）＝1﹣，可得f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，∴f（x）≥（1）＝1＞0，∴l(xiāng)na＜a，即，∴，令函數(shù)h（x）＝，h′（x）＝，可得h（x）的圖像如下：∴a＜b，綜上：b＞a＞c，故選：D．8．已知△ABC中，AB＝2BC＝4，AC＝2，點(diǎn)M在線段AC上除A，C的位置運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)沿BM進(jìn)行翻折，使得線段AB上存在一點(diǎn)N，滿足CN⊥平面ABM；若NB＞λ恒成立，則實(shí)數(shù)λ的最大值為（）A．1 B． C．2 D．解：因?yàn)锳B＝2BC＝4，AC＝2，且點(diǎn)M在線段AB上除A、C的位置運(yùn)動(dòng)，要使AB上存在一點(diǎn)N，滿足CN⊥平面ABM，使NB＞λ恒成立，則當(dāng)M恰好為C點(diǎn)時(shí)，為臨界條件（M不可為C點(diǎn)，但可用來計(jì)算），即CN⊥AB，且NB＝λ，因?yàn)锳B＝4，可得CN2＝4﹣λ2，CN2＝（2）2﹣（4﹣λ）2，所以4﹣λ2＝12﹣（4﹣λ）2，解得λ＝1，所以λ的最大值為1．故選：A．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9．為了了解市民對(duì)各種垃圾進(jìn)行分類的情況，加強(qiáng)垃圾分類宣傳的針對(duì)性，指導(dǎo)市民盡快掌握垃圾分類的方法，某市垃圾處理廠連續(xù)8周對(duì)有害垃圾錯(cuò)誤分類情況進(jìn)行了調(diào)查．經(jīng)整理繪制了如圖所示的有害垃圾錯(cuò)誤分類重量累積統(tǒng)計(jì)圖，圖中橫軸表示時(shí)間（單位：周），縱軸表示有害垃圾錯(cuò)誤分類的累積重量（單位：噸）．根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖分析，下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)x∈[0，2）時(shí)有害垃圾錯(cuò)誤分類的重量加速增長 B．當(dāng)x∈[2，4）時(shí)有害垃圾錯(cuò)誤分類的重量勻速增長 C．當(dāng)x∈[4，6）時(shí)有害垃圾錯(cuò)誤分類的重量相對(duì)于當(dāng)x∈[2，4）時(shí)增長了30% D．當(dāng)x∈[6，8]時(shí)有害垃圾錯(cuò)誤分類的重量相對(duì)于當(dāng)x∈[0，2）時(shí)減少了0.6噸解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，由統(tǒng)計(jì)圖可知，第2周增長數(shù)量比第1周增長數(shù)量明顯要多，所以是加速增長，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，當(dāng)x∈[2，4）時(shí)圖象是線段，所以是勻速增長，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，當(dāng)x∈[4，6）時(shí)增長數(shù)量比當(dāng)x∈[2，4）時(shí)增長數(shù)量要少，所以是減少，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)x∈[0，2）時(shí)共增長2.4噸，當(dāng)x∈[6，8]時(shí)共增長0.6噸，所以減少了1.8噸，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AB．10．如果平面向量，那么下列結(jié)論中正確的是（）A．||＝3|| B． C．與的夾角為30° D．在方向上的投影為解：因?yàn)椋裕畬?duì)于A，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以與的夾角為180°，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在方向上的投影為，故D錯(cuò)誤．故選：AB．11．如圖，某校測(cè)繪興趣小組為測(cè)量河對(duì)岸直塔AB（A為塔頂，B為塔底）的高度，選取與B在同一水平面內(nèi)的兩點(diǎn)C與D（B，C，D不在同一直線上），測(cè)得CD＝s．測(cè)繪興趣小組利用測(cè)角儀可測(cè)得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，則根據(jù)下列各組中的測(cè)量數(shù)據(jù)可計(jì)算出塔AB的高度的是（）A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD C．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC解：對(duì)于A，已知s，∠ACB，∠BCD，∠BDC，在△BCD中，利用三角形內(nèi)角和為180°可求得∠CBD＝π﹣∠BDC﹣∠BCD，利用正弦定理＝，可求得BC，在△ABC中，AB⊥BC，由tan∠ACB＝，即可求AB；對(duì)于B，在△BCD中，已知一邊CD，一角∠BCD，無法求解三角形，在△ABC中，已知兩角∠ABC＝90°，∠ACB，無法求解三角形，在△ACD中，已知一邊CD，一角∠ACD，無法求解三角形；對(duì)于C，在△ACD中，已知一邊CD，兩角∠ACD，∠ADC，由三角形內(nèi)角和可求得∠CAD，由正弦定理可求得AC，在△ABC中，已知兩角∠ACB，∠ABC＝90°，一邊AC，利用sin∠ACB＝，可求得AB；對(duì)于D，在△ABC中，已知兩角∠ABC＝90°，∠ACB，由tan∠ACB＝，可用AB表示BC，由sin∠ACB＝，可用AB表示AC，在△ACD中，已知∠ADC，邊CD，AB表示AC，利用余弦定理可用AB表示AD，在Rt△ABD中，利用勾股定理可用AB表示BD，在△BCD中，已知∠BCD，CD，AB表示BD，AB表示BC，利用余弦定理可建立關(guān)于AB的方程，即可求解AB．故選：ACD．12．?dāng)?shù)學(xué)中的很多符號(hào)具有簡潔、對(duì)稱的美感，是形成一些常見的漂亮圖案的基石，也是許多藝術(shù)家設(shè)計(jì)作品的主要幾何元素．如我們熟悉的∞符號(hào)，我們把形狀類似∞的曲線稱為“∞曲線”．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把到定點(diǎn)F1（﹣a，0），F(xiàn)2（a，0）距離之積等于a2（a＞0）的點(diǎn)的軌跡稱為“∞曲線”C．已知點(diǎn)P（x0，y0）是“∞曲線”C上一點(diǎn)，下列說法中正確的有（）A．“∞曲線”C關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱 B． C．“∞曲線”C上滿足|PF1|＝|PF2|的點(diǎn)P有兩個(gè) D．|PO|的最大值為解：對(duì)A，設(shè)動(dòng)點(diǎn)C（x，y），由題意可得C的軌跡方程為，把（x，y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)（﹣x，﹣y）代入軌跡方程，顯然成立；所以A正確；對(duì)B，因?yàn)镻（x0，y0），故，又，所以a2sin∠F1PF2＝2a?|y0|，即，故，故B正確；對(duì)C，若|PF1|＝|PF2|，則P（x0，y0）在F1F2的中垂線即y軸上．故此時(shí)x0＝0，代入，可得y0＝0，即P（0，0），僅有一個(gè)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)椤螾OF1+∠POF2＝π，故cos∠POF1+cos∠POF2＝0，，因?yàn)閨OF1|＝|OF2|＝a，，故．即，所以．又|PF1|﹣|PF2|≤|F1F2|＝2a，當(dāng)且僅當(dāng)P，F(xiàn)1，F(xiàn)2共線時(shí)取等號(hào)．故，即|OP|2≤2a2，解得，故D正確．故選：ABD．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上）13．在（2+）6的展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于160．解：（2+）6的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1＝＝26﹣rx3﹣r，令3﹣r＝0，可得r＝3，所以常數(shù)項(xiàng)為23＝160．故答案為：160．14．已知是函數(shù)f（x）＝asinx+bcosx（a＞0）的對(duì)稱軸，則f（x）的對(duì)稱中心為（kπ﹣，0），（k∈Z）．解：f（x）＝asinx+bcosx（a＞0）＝sin（x+?），tan?＝．∵是函數(shù)f（x）＝asinx+bcosx（a＞0）的對(duì)稱軸，∴f（0）＝f（），∴sin（0+?）＝sin（+?）＝cos?，∴tan?＝1，∴?＝，∴f（x）＝sin（x+），由x+＝kπ，得：x＝kπ﹣，∴對(duì)稱中心為（kπ﹣，0）（k∈Z）．故答案為：（kπ﹣，0），（k∈Z）．15．定義函數(shù)f（x）＝[x[x]]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[1.3]＝1，[﹣1.5]＝﹣2，[2]＝2．當(dāng)x∈[0，n）（n∈N*）時(shí)，f（x）的值域?yàn)锳n．記集合An中元素的個(gè)數(shù)為an，則值為．解：根據(jù)題意，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，即[x]＝，則有x[x]＝，則[x[x]]在各區(qū)間中的元素個(gè)數(shù)是：1，1，2，3，…，n﹣1；故an＝1+1+2+3+……+（n﹣1）＝1+，＝（）+（）+……+（）＝++……+＝（﹣）+（﹣）+……+（﹣）＝2（1﹣）＝；故答案為：．16．若關(guān)于x的方程+x﹣ln（ax）﹣2＝0（a＞0）有解，則正數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．解：因?yàn)?，即e[ln（ax）﹣x+1]＝[ln（ax）﹣x+1]+1有解，由ex≥x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)，可知ln（ax）﹣x+1＝0在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)有解，所以ax＝ex﹣1在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)有解，即在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)有解，設(shè)，則，易知函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，而f（1）＝1，x→0時(shí)，f（x）→+∞，x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，∴要使在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)有解，只需a≥1．故答案為：[1，+∞）．四、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．△ABC的內(nèi)角A，B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知向量＝（c﹣a，sinB），＝（b﹣a，sinA+sinC）且∥．（1）求C；（2）若，求sinA．解：（1）∵向量＝（c﹣a，sinB），＝（b﹣a，sinA+sinC）且∥，∴（c﹣a）（sinA+sinC）＝（b﹣a）sinB，由正弦定理可得（c﹣a）（a+c）＝（b﹣a）b，∴a2+b2﹣c2＝ab，∴cosC＝＝＝，∵C∈（0，π），∴C＝．（2）由（1）可得B＝﹣A，由題設(shè)及正弦定理可得：sinC+3sin（﹣A）＝3sinA，即+cosA+sinA＝sinA，可得sin（A﹣）＝，由于0，﹣＜A﹣＜，∴cos（A﹣）＝，∴sinA＝sin（A﹣+）＝sin（A﹣）cos+cos（A﹣）sin＝．18．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a3＝8，S5＝2a7．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n．解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由題意可得，解得a1＝2，d＝3，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為a；（2）因?yàn)閎＝（﹣1），所以T2n＝（a2﹣a1）+（a4﹣a3）+…+（a2n﹣a2n﹣1）+（22+23+…+2n+1）＝3n+＝3n+22n+2﹣4．19．如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)且滿足DE∥BC，記．將△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，連接MB，MC得到圖2，點(diǎn)N為MC的中點(diǎn)．（1）當(dāng)EN∥平面MBD時(shí)，求λ的值；（2）試探究：隨著λ值的變化，二面角B﹣MD﹣E的大小是否改變？如果是，請(qǐng)說明理由；如果不是，請(qǐng)求出二面角B﹣MD﹣E的正弦值大?。猓海?）取MB的中點(diǎn)為P，連接DP，PN，因?yàn)镸N＝CN，MP＝BP，所以NP∥BC，又DE∥BC，所以NP∥DE，即N，E，D，P四點(diǎn)共面，又EN∥面BMD，EN?面NEDP，平面NEDP∩平面MBD＝DP，所以EN∥PD，即NEDP為平行四邊形，所以NP∥DE，且NP＝DE，即，即．（2）解：取DE的中點(diǎn)O，由平面MDE⊥平面DECB，且MO⊥DE，所以MO⊥平面DECB，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)BC＝2，則，D（λ，0，0），，所以，．設(shè)平面BMD的法向量為，則，令，即，又平面EMD的法向量，所以，即隨著λ值的變化，二面角B﹣MD﹣E的大小不變．且，所以二面角B﹣MD﹣E的正弦值為．20．已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣a（1﹣）+1（a∈R）．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，求整數(shù)a的最大值．解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），∵f（x）＝lnx﹣a（1﹣）+1（a∈R），∴f′（x）＝﹣＝，當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0得x＞a，由f′（x）＜0得0＜x＜a，綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增；（2）由f（x）＞0得lnx﹣a（1﹣）+1＞0，故＜lnx+1，即a＜對(duì)x∈（1，+∞）恒成立，令g（x）＝，則g′（x）＝＝，令h（x）＝x﹣lnx﹣2，則h′（x）＝1﹣＝，∵x＞1，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∵h(yuǎn)（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣ln4＞0，故?x0∈（3，4）滿足x0﹣lnx0﹣2＝0，當(dāng)1＜x＜x0時(shí)，h（x）＜0，g′（x）＜0，當(dāng)x＞x0時(shí)，h（x）＞0，g′（x）＞0，故g（x）在（1，x0）單調(diào)遞減，在（x0，+∞）單調(diào)遞增，故g（x）min＝g（x0）＝＝x0，故a＜x0，∵3＜x0＜4，a∈Z，故a的最大值是3．21．已知橢圓＝1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為，離心率為，過橢圓C的左焦點(diǎn)F1作不與x軸重合的直線MN與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線m：x＝﹣2a的垂線ME，E為垂足．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①已知直線EN過定點(diǎn)P，求定點(diǎn)P的坐標(biāo)．②點(diǎn)O