2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之統(tǒng)計（2025年4月）

第50頁（共50頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之統(tǒng)計（2025年4月）一．選擇題（共8小題）1．（2025?上海模擬）標(biāo)志重捕法是指的是在一定范圍內(nèi)，對活動能力強(qiáng)、活動范圍較大的動物種群進(jìn)行粗略估算的一種生物統(tǒng)計方法，是根據(jù)自由活動的生物在一定區(qū)域內(nèi)被調(diào)查與自然個體數(shù)的比例關(guān)系對自然個體總數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)推斷．在被調(diào)查種群的生存環(huán)境中，捕獲一部分個體，將這些個體進(jìn)行標(biāo)志后再放回原來的環(huán)境，經(jīng)過一段時間后進(jìn)行重捕，根據(jù)重捕中標(biāo)志個體占總捕獲數(shù)的比例來估計該種群的數(shù)量．標(biāo)志重捕法估算種群密度是基于以下幾種假設(shè)：①標(biāo)記個體與未標(biāo)記個體在重捕時被捕獲的概率相等；②在調(diào)查期內(nèi)標(biāo)記的個體沒有死亡，沒有遷出，標(biāo)記物沒有脫落；③標(biāo)記個體在種群中均勻分布．若應(yīng)用標(biāo)志重捕法調(diào)查魚的種群密度，則下列捕魚過程會導(dǎo)致估算結(jié)果與實際情況誤差較大的是（）A．第一次用小網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚，第二次用小網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚 B．第一次用小網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚，第二次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚 C．第一次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚，第二次用小網(wǎng)眼點漁網(wǎng)捕魚 D．第一次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚，第二次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚2．（2025?鶴壁一模）哈希表（HashTable）是一種利用鍵值的映射關(guān)系，將數(shù)據(jù)存儲在特定位置的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)．常用的方法之一是“除留余數(shù)法”．例如，當(dāng)除數(shù)為3時，鍵值為13的數(shù)據(jù)因13÷3余1，應(yīng)存放于位置1中，從而可直接依據(jù)鍵值快速定位數(shù)據(jù)位置，多個數(shù)據(jù)可映射到同一位置（如鍵值10和13均映射到同一位置）．現(xiàn)有一個容量為7個位置（編號0～6）的哈希表，以除留余數(shù)法（除數(shù)為7）進(jìn)行映射，需要存儲22個數(shù)據(jù)．設(shè)這7個位置存放的數(shù)據(jù)個數(shù)分別為a0，a1，a2，a3，a4，a5，a6，則下列說法中正確的是（）A．至少有1個位置存放了不少于5個數(shù)據(jù) B．若這22個數(shù)據(jù)的鍵值恰好是0～44間的所有奇數(shù)，則a0～a6的中位數(shù)為2 C．若a0～a6的方差為s2，則s2的最小值為0，最大值為290449D．若a0～a6的極差為5，則最多有2個位置沒有存放數(shù)據(jù)3．（2024秋?寶山區(qū)校級期末）下列關(guān)于散點圖的說法中，正確的是（）A．任意給定統(tǒng)計數(shù)據(jù)，都可以繪制散點圖 B．從散點圖中可以看出兩個量是否具有一定的關(guān)系 C．從散點圖中可以看出兩個量的因果關(guān)系 D．從散點圖中無法看出數(shù)據(jù)的分布情況4．（2024秋?廣東校級期末）某工廠生產(chǎn)了500件產(chǎn)品，質(zhì)檢人員測量其長度（單位：厘米），將測量數(shù)據(jù)分成6組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．如果要讓90%的產(chǎn)品長度不超過a厘米，根據(jù)直方圖估計，下列最接近a的數(shù)是（）A．93.5 B．94.1 C．94.7 D．95.55．（2024秋?官渡區(qū)期末）為了調(diào)研某工業(yè)新區(qū)的空氣質(zhì)量狀況，某課題組對甲地、乙地、丙地3地的空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)查，按地域特點分別在三地設(shè)置空氣質(zhì)量觀測點．已知甲、乙、丙三地區(qū)內(nèi)觀測點的個數(shù)分別為2，y，z，且依次構(gòu)成等差數(shù)列，而2，y﹣1，z成等比數(shù)列，若用分層抽樣的方法抽取觀測點的30個數(shù)據(jù)，則丙地應(yīng)抽取的數(shù)據(jù)個數(shù)為（）A．18 B．16 C．10 D．46．（2024?射洪市校級三模）某調(diào)查機(jī)構(gòu)對某地快遞行業(yè)從業(yè)者進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，得到快遞行業(yè)從業(yè)人員年齡分布餅狀圖（圖1）、“90后”從事快遞行業(yè)崗位分布條形圖（圖2），則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，“90后”占一半以上 B．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20% C．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事運營崗位的“90后”的人數(shù)比“80前”的多 D．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)比“80后”的多7．（2024春?汕尾月考）某公司為了調(diào)查員工的健康狀況，由于女員工所占比重大，按性別分層，用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本，已知所抽取的所有員工的體重的方差為120，女員工的平均體重為50kg，標(biāo)準(zhǔn)差為6，男員工的平均體重為70kg，標(biāo)準(zhǔn)差為4．若樣本中有21名男員工，則女員工的人數(shù)為（）A．28 B．35 C．39 D．488．（2023秋?江西期末）根據(jù)3對數(shù)據(jù)A（1，7），B（3，m），C（5，16）繪制的散點圖知，樣本點呈直線趨勢，且線性回歸方程為Y＝2.25X+4.25，則m＝（）A．11 B．10 C．9 D．8二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?安慶二模）某市為了了解一季度居民的用水情況，隨機(jī)抽取了若干居民用戶的水費支出（單位：元）進(jìn)行調(diào)查，將所得樣本數(shù)據(jù)分為4組：[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，整理得頻率分布直方圖如圖所示，則（）A．樣本中水費支出位于區(qū)間[50，60]的頻率為0.03 B．按分層抽樣，從水費支出位于區(qū)間[20，30）和[50，60]的用戶中共抽取16戶，則應(yīng)從水費支出在[20，30）的用戶中抽4戶 C．水費支出的中位數(shù)的估計值為45 D．若從該市全體居民用戶中隨機(jī)抽取5戶，以事件發(fā)生的頻率作為概率，則水費支出位于區(qū)間[30，50）的用戶數(shù)的估計值為3（多選）10．（2025?合肥二模）從某校高一和高二年級分別隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行知識競賽，按得分（滿分：100分）繪制如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)頻率分布直方圖，并用頻率估計概率．記高一年級學(xué)生得分平均數(shù)的估計值為x，高二年級學(xué)生得分中位數(shù)與平均數(shù)的估計值分別為y，z．從高一和高二年級各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，記事件M＝“高一年級學(xué)生得分不低于60分，高二年級學(xué)生得分不低于80分”，事件N＝“高一年級學(xué)生得分不低于80分，高二年級學(xué)生得分不低于60分”，則（）A．x＜z B．y＞z C．事件M，N互斥 D．P（M）＝P（N）（多選）11．（2025?柳州三模）下列說法正確的是（）A．有一組數(shù)1、2、3、5，這組數(shù)的第75百分位數(shù)是3 B．在α＝0.01的獨立性檢驗中，若χ2不小于α對應(yīng)的臨界值x0.01，可以推斷兩變量不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過0.01 C．隨機(jī)變量X～B（n，p），若E（X）＝60，D（X）＝20，則n＝180 D．以y?=cekx擬合一組數(shù)據(jù)時，經(jīng)z＝lny代換后的經(jīng)驗回歸方程為z?=0.2x+0.3（多選）12．（2025?遼寧一模）有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，其平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差分別記為a1，b1，c1，d1，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi＝kxi+2025（i＝1，2，…，n），其平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差分別記為a2，b2，c2，d2，則（）A．a(chǎn)2＝ka1+2025 B．b2＝kb1+2025 C．c2=k2c1 D三．填空題（共4小題）13．（2025春?臨泉縣校級月考）某單位有男職工450人，女職工300人，若根據(jù)性別采取分層抽樣的方法，從中抽取一個容量為50的樣本，則女職工應(yīng)抽取的人數(shù)為．14．（2025?南崗區(qū)校級一模）由樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，3，?，10），求得回歸直線方程為y?=2x-1，且x=3，若去除偏離點（4，10）后，得到新的回歸直線方程為y?=52x15．（2025春?南陽校級月考）某單位為了調(diào)查性別與對工作的滿意程度是否具有相關(guān)性，隨機(jī)抽取了若干名員工，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表所示，其中x∈N*，且x＜16，若有90%的把握可以認(rèn)為性別與對工作的滿意程度具有相關(guān)性，則x的值是．對工作滿意對工作不滿意男5x5x女4x6x附：K2=n(ad-bc)2(aP（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82816．（2024?江蘇模擬）寰宇巨星知更鳥的新專輯《空氣蛹》發(fā)布在某平臺后，其一周內(nèi)的累計播放量如表所示，其中，yi（i＝1，2，3，4，5，6，7）為該專輯發(fā)布后截至第x天的累計播放量．若將表中數(shù)據(jù)用經(jīng)驗回歸方程y?=a?eb?x進(jìn)行擬合，則x/天1234567y萬次12024034051076012001730參考數(shù)據(jù)及公式，在回歸直線y?=b?x+a?中，b?四．解答題（共4小題）17．（2024秋?嘉定區(qū)校級期末）2022年我國各省級行政區(qū)（表中簡稱“區(qū)域”）普通高等學(xué)校本科招生人數(shù)（單位：萬人，表中簡稱“人數(shù)”）如表所示．區(qū)域人數(shù)區(qū)域人數(shù)區(qū)域人數(shù)區(qū)域人數(shù)北京14.00上海10.04湖北23.71云南12.36天津9.15江蘇30.01湖南22.48西藏0.70河北22.91浙江16.76廣東31.09陜西18.14山西12.49安徽18.19廣西14.62甘肅7.55內(nèi)蒙古6.44福建13.74海南3.08青海1.23遼寧18.10江西17.27重慶12.27寧夏2.53吉林12.95山東28.01四川26.21新疆7.22黑龍江14.17河南31.52貴州8.99（數(shù)據(jù)來源：國家統(tǒng)計局；本表不含港澳臺地區(qū)數(shù)據(jù)）（1）上表數(shù)據(jù)是否足以反映2022年我國各省行政區(qū)高等教育普及情況？若足以，請說明理由；若不足以，請舉一例需要補(bǔ)足的數(shù)據(jù)．（2）若根據(jù)2022年我國各省級行政區(qū)普通高等學(xué)校本科招生人數(shù)數(shù)據(jù)繪制頻率分布直方圖，組距為10，且第一組下限為0，求數(shù)據(jù)在第二組的頻率；（3）計算2022年我國各省級行政區(qū)普通高等學(xué)校本科招生人數(shù)的第85百分位數(shù)；（4）計算2022年我國各省級行政區(qū)普通高等學(xué)校本科招生人數(shù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差．（計算結(jié)果保留至0.01萬人）參考數(shù)據(jù)：根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算，2022年我國各省級行政區(qū)普通高等學(xué)校本科招生人數(shù)之和∑x=467.93、平方和參考資料：在統(tǒng)計實驗中，為了消除系統(tǒng)性誤差，往往使用樣本標(biāo)準(zhǔn)差表征數(shù)據(jù)的離散程度；樣本標(biāo)準(zhǔn)差s018．（2025?齊齊哈爾二模）北海艦隊開放日活動中，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生參加繩子打結(jié)計時的趣味性比賽，并對學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢的相關(guān)性進(jìn)行分析，得到數(shù)據(jù)如下表：性別繩子打結(jié)速度合計快慢男生45女生3590合計（1）完成列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，判斷繩子打結(jié)速度快慢是否與學(xué)生性別有關(guān)聯(lián)，并說明理由；（2）現(xiàn)有n（n∈N*）根繩子，共有2n個繩頭，每個繩頭只打一次結(jié)，且每個結(jié)僅含兩個繩頭，所有繩頭打結(jié)完畢視為結(jié)束．（i）現(xiàn)在有4根繩子，求恰好能圍成兩個圈的概率；（ii）這n根繩子恰好能圍成一個圈的不同的連接方法數(shù)為an，求Tn附：χ2=n(ad-bc)2(aα0.050.010.001xα3.8416.63510.82819．（2025?長安區(qū)二模）某校為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展水平，組織本校2000名學(xué)生進(jìn)行針對性檢測（檢測分為初試和復(fù)試），并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計值；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）（2）根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本的80%分位數(shù)（四舍五入精確到整數(shù)）；（3）若所有學(xué)生的初試成績X近似服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ為樣本平均數(shù)的估計值，σ≈14．初試成績不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計能參加復(fù)試的人數(shù)（四舍五入精確到整數(shù)）．附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973．20．（2025?開福區(qū)校級模擬）某綠色水果生態(tài)園在某種水果收獲的．隨機(jī)摘下該水果100個作為樣本，其質(zhì)量分別在[100，150），[150，200），[200，250），[250，300），[300，350），[350，400]（單位：克）中，經(jīng)統(tǒng)計，樣本的頻率分布直方圖如圖所示：（1）求圖中a的值；（2）現(xiàn)按分層抽樣的方法從質(zhì)量為[250，300），[300，350）的水果中隨機(jī)抽取6個，再從6個中隨機(jī)抽取3個，求這3個水果中恰有1個質(zhì)量在[300，350）內(nèi)的概率；（3）某經(jīng)銷商來收購水果時，該生態(tài)園有水果約10000個要出售．經(jīng)銷商提出如下兩種收購方案：方案A：所有水果以10元/千克收購；方案B：對質(zhì)量低于250克的水果以2元/個收購，不低于250克的以3元/個收購．假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點值代替，請估算該生態(tài)園選擇哪種方案獲利更多？

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之統(tǒng)計（2025年4月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案DDBCBDCB二．多選題（共4小題）題號9101112答案BDABBDABC一．選擇題（共8小題）1．（2025?上海模擬）標(biāo)志重捕法是指的是在一定范圍內(nèi)，對活動能力強(qiáng)、活動范圍較大的動物種群進(jìn)行粗略估算的一種生物統(tǒng)計方法，是根據(jù)自由活動的生物在一定區(qū)域內(nèi)被調(diào)查與自然個體數(shù)的比例關(guān)系對自然個體總數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)推斷．在被調(diào)查種群的生存環(huán)境中，捕獲一部分個體，將這些個體進(jìn)行標(biāo)志后再放回原來的環(huán)境，經(jīng)過一段時間后進(jìn)行重捕，根據(jù)重捕中標(biāo)志個體占總捕獲數(shù)的比例來估計該種群的數(shù)量．標(biāo)志重捕法估算種群密度是基于以下幾種假設(shè)：①標(biāo)記個體與未標(biāo)記個體在重捕時被捕獲的概率相等；②在調(diào)查期內(nèi)標(biāo)記的個體沒有死亡，沒有遷出，標(biāo)記物沒有脫落；③標(biāo)記個體在種群中均勻分布．若應(yīng)用標(biāo)志重捕法調(diào)查魚的種群密度，則下列捕魚過程會導(dǎo)致估算結(jié)果與實際情況誤差較大的是（）A．第一次用小網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚，第二次用小網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚 B．第一次用小網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚，第二次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚 C．第一次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚，第二次用小網(wǎng)眼點漁網(wǎng)捕魚 D．第一次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚，第二次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚【考點】簡單隨機(jī)抽樣．【專題】應(yīng)用題；轉(zhuǎn)化思想；優(yōu)選法；概率與統(tǒng)計；邏輯思維；運算求解．【答案】D【分析】先計算出理論數(shù)量N=M?nm，分別分析四個選項，結(jié)合公式，得到ABC選項，采用標(biāo)志重捕法【解答】解：理論計算公式為NM=nm，其中n為一段時間后，在原來的捕獲點再次捕獲的個體數(shù)，m為二次捕獲的個體中有標(biāo)記的數(shù)量，轉(zhuǎn)換后得N=Mn假設(shè)池塘中的魚分為大魚和小魚，大魚是指用大網(wǎng)和小網(wǎng)均能捕獲的魚，小魚指僅能用小網(wǎng)能捕獲的魚，對于A，第一次用小網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚，第二次用小網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚，第一次用小網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚，M＝M1+M2，其中M1為捕獲并標(biāo)記的大魚，M2為捕獲并標(biāo)記的小魚，設(shè)N1為池塘中實際的大魚數(shù)，N2為池塘中實際的小魚數(shù)，N0為池塘中實際的魚條數(shù)，則N0＝N1+N2，標(biāo)記后全部放回池塘后，池塘中被標(biāo)記的大魚占全部大魚比例為M1N1假設(shè)每條魚被捕獲的概率相等，則M1第二次捕獲的大魚n1條中，理論上含標(biāo)記的大魚有n1第二次捕獲的小魚n2條中，理論中含標(biāo)記的小魚有n2所以n＝n1+n2，故總的標(biāo)記條數(shù)為m≈n所以N0≈nMm，又N=nMm，所以N結(jié)論：若兩次捕魚都用小網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚，采用標(biāo)志重捕法估算出的種群數(shù)量與實際種群數(shù)量大致相等；對于B，第一次用小網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚，第二次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚，第一次用小網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚，M＝M1+M2，其中M1為捕獲并標(biāo)記的大魚，M2為捕獲并標(biāo)記的小魚，設(shè)N1為池塘中實際的大魚數(shù)，N2為池塘中實際的小魚數(shù)，標(biāo)記后全部放回池塘后，池塘中被標(biāo)記的大魚占全部大魚比例為M1N1假設(shè)每條魚被捕獲的概率相等，則M1N1=第二次用大網(wǎng)眼漁網(wǎng)捕魚，捕獲的全部是大魚，即n1＝n，理論上，m≈n1MN0=nMN0，所以N0≈結(jié)論：第一次用小網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚，第二次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚，采用標(biāo)志重捕法估算出的種群數(shù)量與實際種群數(shù)量大致相等；對于C，第一次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚，第二次用小網(wǎng)眼點漁網(wǎng)捕魚，第一次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚，M＝M1，標(biāo)記后將魚全部放回到池塘后，池塘中被標(biāo)記的大魚占全部大魚比例為M1第二次用小網(wǎng)眼漁網(wǎng)捕魚，捕獲的魚中既有大魚也有小魚，n＝n1+n2，由于第一次用大網(wǎng)眼漁網(wǎng)捕魚，標(biāo)記的均為大魚，故第二次捕獲的魚中，只有大魚也有可能被標(biāo)記，理論上，m≈n其中N=nMm≈nM因為每條魚捕獲的概率相等，所以第二次用小網(wǎng)眼漁網(wǎng)捕獲的魚中，大魚和小魚的比例與池塘中的大魚和小魚的比例相等，即n1所以N＝N1+n2N1n1≈N1+N2結(jié)論：第一次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚，第二次用小網(wǎng)眼點漁網(wǎng)捕魚，采用標(biāo)志重捕法估算出的種群數(shù)量與實際種群數(shù)量大致相等；D選項，第一次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚，第二次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚，第一次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚，M＝M1，標(biāo)記后將魚全部放回到池塘后，池塘中被標(biāo)記的大魚占全部大魚比例為M1第二次用大網(wǎng)眼漁網(wǎng)捕魚，捕獲的全部是大魚，即n1＝n，理論上，m≈n1MN1=nMN1，所以N1≈nMm，又結(jié)論：第一次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚，第二次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚，采用標(biāo)志重捕法估算出的種群數(shù)量約等于種群中大魚數(shù)量，與實際種群數(shù)量相比小，誤差大．故選：D．【點評】本題考查了抽樣方法的應(yīng)用問題，也考查了推理與判斷能力，是中檔題．2．（2025?鶴壁一模）哈希表（HashTable）是一種利用鍵值的映射關(guān)系，將數(shù)據(jù)存儲在特定位置的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)．常用的方法之一是“除留余數(shù)法”．例如，當(dāng)除數(shù)為3時，鍵值為13的數(shù)據(jù)因13÷3余1，應(yīng)存放于位置1中，從而可直接依據(jù)鍵值快速定位數(shù)據(jù)位置，多個數(shù)據(jù)可映射到同一位置（如鍵值10和13均映射到同一位置）．現(xiàn)有一個容量為7個位置（編號0～6）的哈希表，以除留余數(shù)法（除數(shù)為7）進(jìn)行映射，需要存儲22個數(shù)據(jù)．設(shè)這7個位置存放的數(shù)據(jù)個數(shù)分別為a0，a1，a2，a3，a4，a5，a6，則下列說法中正確的是（）A．至少有1個位置存放了不少于5個數(shù)據(jù) B．若這22個數(shù)據(jù)的鍵值恰好是0～44間的所有奇數(shù)，則a0～a6的中位數(shù)為2 C．若a0～a6的方差為s2，則s2的最小值為0，最大值為290449D．若a0～a6的極差為5，則最多有2個位置沒有存放數(shù)據(jù)【考點】方差；極差．【專題】分類討論；定義法；概率與統(tǒng)計；邏輯思維；運算求解；新定義類．【答案】D【分析】設(shè)ai為數(shù)據(jù)除以7的余數(shù)為i（i＝0，1，2，3，4，5，6）的數(shù)的個數(shù)，利用特例法可判斷A選項；求出a0～a6這7個數(shù)的值，結(jié)合中位數(shù)的定義可判斷B選項；利用方差的定義可求出s2的最大值和最小值，可判斷C選項；對7個位置是否存在空位進(jìn)行討論，結(jié)合極差的定義可判斷D選項．【解答】解：設(shè)ai為數(shù)據(jù)除以7的余數(shù)為i（i＝0，1，2，3，4，5，6）的數(shù)的個數(shù)，對于A，22＝7×3+1，不妨假設(shè)這7個位置存放的數(shù)據(jù)個數(shù)分別為3、3、3、3、3、3、4，所以選項A錯誤；對于B，由題意可知，這些奇數(shù)分別為1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27、29、31、33、35、37、39、41、43，這些數(shù)據(jù)除7的余數(shù)分別為1、3、5、0、2、4、6、1、3、5、0、2、4、6、1、3、5、0、2、4、6、1，所以a0＝3，a1＝4，a2＝3，a3＝3，a4＝3，a5＝3，a6＝3，將a0～a6這7個數(shù)由小到大排列依次為3、3、3、3、3、3、4，中位數(shù)為3，選項B錯誤；對于C，由題意知，a0～a6這7個數(shù)的平均數(shù)為x=227，且3＜22因為ai∈N（i＝0，1，2，3，4，5，6），s2當(dāng)a0～a6這7個數(shù)中有6個3，1個4時，s2取最小值，即(s當(dāng)a0～a6這7個數(shù)中有6個0，1個22時，S2取最大值，即(s2)對于D，不妨設(shè)a0～a6這7個數(shù)依次為1、6、3、3、3、3、3，滿足極差為5，此時，所有位置都有數(shù)據(jù)，若存在一些位置沒有數(shù)據(jù)，則a0～a6這7個數(shù)據(jù)中的最大值為5，最小值為0，因為22＝5×4+2，此時，至少需要5個位置存放數(shù)據(jù)，則至多有2個位置沒有存放數(shù)據(jù)，選項D正確．故選：D．【點評】本題考查了新定義的應(yīng)用問題，也考查了理解與運算能力，是難題．3．（2024秋?寶山區(qū)校級期末）下列關(guān)于散點圖的說法中，正確的是（）A．任意給定統(tǒng)計數(shù)據(jù)，都可以繪制散點圖 B．從散點圖中可以看出兩個量是否具有一定的關(guān)系 C．從散點圖中可以看出兩個量的因果關(guān)系 D．從散點圖中無法看出數(shù)據(jù)的分布情況【考點】散點圖；變量間的相關(guān)關(guān)系．【專題】對應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】B【分析】根據(jù)散點圖的概念判斷即可．【解答】解：散點圖不適合用于展示百分比占比的數(shù)據(jù)，另外數(shù)據(jù)量較少的數(shù)據(jù)也不適合用散點圖表示，故A錯誤；散點圖能看出兩個量是否具有一定關(guān)系，但是并一定是因果關(guān)系，故B正確，C錯誤；散點圖中能看出數(shù)據(jù)的分布情況，故D錯誤．故選：B．【點評】本題考查散點圖的定義，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024秋?廣東校級期末）某工廠生產(chǎn)了500件產(chǎn)品，質(zhì)檢人員測量其長度（單位：厘米），將測量數(shù)據(jù)分成6組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．如果要讓90%的產(chǎn)品長度不超過a厘米，根據(jù)直方圖估計，下列最接近a的數(shù)是（）A．93.5 B．94.1 C．94.7 D．95.5【考點】頻率分布直方圖的應(yīng)用．【專題】對應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】C【分析】由頻率分布直方圖計算頻率可得可解a∈（94，95），從而可解．【解答】解：由圖可得1﹣（0.05+0.15）×1＝0.80，1﹣0.05×1＝0.95，又0.80＜0.9＜0.95，所以a∈（94，95），且（a﹣94）×0.15+0.8＝0.9，得a＝94.67．故選：C．【點評】本題考查頻率分布直方圖相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024秋?官渡區(qū)期末）為了調(diào)研某工業(yè)新區(qū)的空氣質(zhì)量狀況，某課題組對甲地、乙地、丙地3地的空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)查，按地域特點分別在三地設(shè)置空氣質(zhì)量觀測點．已知甲、乙、丙三地區(qū)內(nèi)觀測點的個數(shù)分別為2，y，z，且依次構(gòu)成等差數(shù)列，而2，y﹣1，z成等比數(shù)列，若用分層抽樣的方法抽取觀測點的30個數(shù)據(jù)，則丙地應(yīng)抽取的數(shù)據(jù)個數(shù)為（）A．18 B．16 C．10 D．4【考點】分層隨機(jī)抽樣．【專題】方程思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】B【分析】利用三縣內(nèi)觀測點的個數(shù)分別為2，y，z，依次構(gòu)成等差數(shù)列，且2，y﹣1，z成等比數(shù)列，求出y，z，根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系求解即可．【解答】解：因為甲、乙、丙三地區(qū)內(nèi)觀測點的個數(shù)分別為2，y，z且依次構(gòu)成等差數(shù)列，而2，y﹣1，z成等比數(shù)列，2y解得y＝5，z＝8，若用分層抽樣抽取取觀測點的30個數(shù)據(jù)，則丙地應(yīng)抽取的數(shù)據(jù)個數(shù)為30×82+5+8故選：B．【點評】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查分層抽樣的應(yīng)用，屬于中檔題．6．（2024?射洪市校級三模）某調(diào)查機(jī)構(gòu)對某地快遞行業(yè)從業(yè)者進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，得到快遞行業(yè)從業(yè)人員年齡分布餅狀圖（圖1）、“90后”從事快遞行業(yè)崗位分布條形圖（圖2），則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，“90后”占一半以上 B．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20% C．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事運營崗位的“90后”的人數(shù)比“80前”的多 D．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)比“80后”的多【考點】統(tǒng)計圖表獲取信息．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】D【分析】利用快遞行業(yè)從業(yè)人員年齡分布餅狀圖、“90后”從事快遞行業(yè)崗位分布條形圖，分析數(shù)據(jù)能求出結(jié)果．【解答】解：由快遞行業(yè)從業(yè)人員年齡分布餅狀圖、“90后”從事快遞行業(yè)崗位分布條形圖得：由題圖可知，快遞行業(yè)從業(yè)人員中，“90后”占總?cè)藬?shù)的56%，超過一半，故A正確；快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比為56%×39.6%＝22.176%，超過20%，∴快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90”后的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%，B正確；快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事運營崗位的“90后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比為56%×17%＝9.52%，超過“80前”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比，故C正確；快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比為22.176%，小于“80后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比，但“80后”從事技術(shù)崗位的人數(shù)占“80后”人數(shù)的比未知，故D錯誤．故選：D．【點評】本題考查餅狀圖、條形圖等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．7．（2024春?汕尾月考）某公司為了調(diào)查員工的健康狀況，由于女員工所占比重大，按性別分層，用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本，已知所抽取的所有員工的體重的方差為120，女員工的平均體重為50kg，標(biāo)準(zhǔn)差為6，男員工的平均體重為70kg，標(biāo)準(zhǔn)差為4．若樣本中有21名男員工，則女員工的人數(shù)為（）A．28 B．35 C．39 D．48【考點】分層隨機(jī)抽樣；用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)；用樣本估計總體的離散程度參數(shù)．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】C【分析】設(shè)女、男員工的權(quán)重分別為ω（ω＞0.5）和1﹣ω，根據(jù)方差公式計算，即可得到本題的答案．【解答】解：由題意，記樣本中女員工的平均體重和標(biāo)準(zhǔn)差分別為x1=50，s1＝6，所占權(quán)重為ω（ω＞男員工的平均體重和標(biāo)準(zhǔn)差分別為x2=70，s2＝4，所占權(quán)重為1﹣所以樣本中全部員工的平均體重為x=s2＝ω[36+（20﹣20ω）2]+（1﹣ω）[16+（﹣20ω）2]＝﹣400ω2+420ω+16＝120，化簡得100ω2﹣105ω+26＝0，即（20ω﹣13）（5ω﹣2）＝0，解得ω＝0.65或ω＝0.4（舍），所以女員工的人數(shù)為：211-0.65故選：C．【點評】本題主要考查平均數(shù)與方差的計算、分層抽樣等知識，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（2023秋?江西期末）根據(jù)3對數(shù)據(jù)A（1，7），B（3，m），C（5，16）繪制的散點圖知，樣本點呈直線趨勢，且線性回歸方程為Y＝2.25X+4.25，則m＝（）A．11 B．10 C．9 D．8【考點】經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線．【專題】對應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】B【分析】根據(jù)線性回歸方程的定義可解．【解答】解：由題意3對數(shù)據(jù)A（1，7），B（3，m），C（5，16）繪制的散點圖知，樣本點呈直線趨勢，得x=3，y=23+m3，又Y＝2.25X所以23+m解得m＝10．故選：B．【點評】本題考查線性回歸方程的定義，屬于中檔題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?安慶二模）某市為了了解一季度居民的用水情況，隨機(jī)抽取了若干居民用戶的水費支出（單位：元）進(jìn)行調(diào)查，將所得樣本數(shù)據(jù)分為4組：[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，整理得頻率分布直方圖如圖所示，則（）A．樣本中水費支出位于區(qū)間[50，60]的頻率為0.03 B．按分層抽樣，從水費支出位于區(qū)間[20，30）和[50，60]的用戶中共抽取16戶，則應(yīng)從水費支出在[20，30）的用戶中抽4戶 C．水費支出的中位數(shù)的估計值為45 D．若從該市全體居民用戶中隨機(jī)抽取5戶，以事件發(fā)生的頻率作為概率，則水費支出位于區(qū)間[30，50）的用戶數(shù)的估計值為3【考點】頻率分布直方圖的應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】BD【分析】根據(jù)頻率之和為1即可求解A，根據(jù)抽樣比即可求解B，根據(jù)中位數(shù)的計算即可求解C，根據(jù)二項分布的期望公式即可求解D．【解答】解：因為1﹣（0.01+0.024+0.036）×10＝0.3，所以在[50，60]的頻率為0.3，所以A選項錯誤；又0.10.3所以按分層抽樣，從水費支出位于區(qū)間[20，30）和[50，60]的用戶中共抽取16戶，則應(yīng)從水費支出在[20，30）的用戶中抽4戶，所以B選項正確：因為0.5﹣（0.1+0.24）＝0.16，所以中位數(shù)的估計值為40+0.160.36×10≈44.4設(shè)抽出的5戶中一季度水費支出位于區(qū)間[30，50）的用戶數(shù)為X，又0.24+0.36＝0.6，則根據(jù)題意可知X～B（5，0.6），所以E（X）＝5×0.6＝3，所以D選項正確．故選：BD．【點評】本題考查頻率分布直方圖的綜合應(yīng)用，屬中檔題．（多選）10．（2025?合肥二模）從某校高一和高二年級分別隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行知識競賽，按得分（滿分：100分）繪制如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)頻率分布直方圖，并用頻率估計概率．記高一年級學(xué)生得分平均數(shù)的估計值為x，高二年級學(xué)生得分中位數(shù)與平均數(shù)的估計值分別為y，z．從高一和高二年級各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，記事件M＝“高一年級學(xué)生得分不低于60分，高二年級學(xué)生得分不低于80分”，事件N＝“高一年級學(xué)生得分不低于80分，高二年級學(xué)生得分不低于60分”，則（）A．x＜z B．y＞z C．事件M，N互斥 D．P（M）＝P（N）【考點】頻率分布直方圖的應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】AB【分析】由頻率分布直方圖求出對應(yīng)x，y，z的值，即可判斷AB選項；由互斥事件的定義求M∩N來判斷C選項；求出P（M），P（N）來判斷D選項．【解答】解：根據(jù)題意可得高一年級學(xué)生得分平均數(shù)的估計值為：x＝（35×0.01+45×0.02+55×0.03+65×0.02+75×0.01+85×0.005+95×0.005）×10＝58.5，高二年級學(xué)生得分平均數(shù)的估計值分別為：z＝（35×0.005+45×0.01+55×0.015+65×0.02+75×0.03+85×0.015+95×0.005）×10＝67.5，因為高二年級學(xué)生得分的頻率分布直方圖的前幾組的頻率依次為：0.05，0.1，0.15，0.2，所以y＝70，所以x＜z，所以A選項正確；因為y＞z，所以B選項正確；因為M∩N＝“高一年級學(xué)生得分不低于80分，高二年級學(xué)生得分不低于80分”≠?，所以C選項錯誤；由評率估計概率得：P（M）＝（0.2+0.1+0.05+0.05）×（0.15+0.05）＝0.08，P（N）＝（0.05+0.05）×（0.2+0.3+0.15+0.05）＝0.07，D選項錯誤．故選：AB．【點評】本題考查頻率分布直方圖的綜合應(yīng)用，屬中檔題．（多選）11．（2025?柳州三模）下列說法正確的是（）A．有一組數(shù)1、2、3、5，這組數(shù)的第75百分位數(shù)是3 B．在α＝0.01的獨立性檢驗中，若χ2不小于α對應(yīng)的臨界值x0.01，可以推斷兩變量不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過0.01 C．隨機(jī)變量X～B（n，p），若E（X）＝60，D（X）＝20，則n＝180 D．以y?=cekx擬合一組數(shù)據(jù)時，經(jīng)z＝lny代換后的經(jīng)驗回歸方程為z?=0.2x+0.3【考點】經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線；獨立性檢驗；二項分布的均值（數(shù)學(xué)期望）與方差；百分位數(shù)；樣本相關(guān)系數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】BD【分析】利用百分位數(shù)的定義可判斷A選項；利用獨立性檢驗可判斷B選項；利用二項分布的期望和方差公式可判斷C選項；利用回歸分析可判斷D選項．【解答】解：A選項，因為4×0.75＝3，所以，這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是3+52=4，故B選項，在α＝0.01的獨立性檢驗中，若χ2不小于α對應(yīng)的臨界值x0.01，可以推斷兩變量不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過0.01，故B項正確；C選項，隨機(jī)變量X～B（n，p），若E（X）＝np＝60，D（X）＝np（1﹣p）＝20，解得p=23，n＝90D選項，以y?=cekx擬合一組數(shù)據(jù)時，經(jīng)z即lny?=0.2x+0.3，可得y?=e0.2x+0.3=故選：BD．【點評】本題考查了經(jīng)驗回歸方程，獨立性檢驗，二項分布的期望和方差公式，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．（2025?遼寧一模）有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，其平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差分別記為a1，b1，c1，d1，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi＝kxi+2025（i＝1，2，…，n），其平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差分別記為a2，b2，c2，d2，則（）A．a(chǎn)2＝ka1+2025 B．b2＝kb1+2025 C．c2=k2c1 D【考點】平均數(shù)；中位數(shù)；方差；極差．【專題】分類討論；定義法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】ABC【分析】利用平均數(shù)的性質(zhì)可判斷A選項；利用中位數(shù)的性質(zhì)可判斷B選項；利用方差的性質(zhì)可判斷C選項；分k＞0、k＜0兩種情況討論，可判斷D選項．【解答】解：對于A，由平均數(shù)的定義與性質(zhì)得，a2＝ka1+2025，選項A正確；對于B，不妨設(shè)x1≤x2≤?≤xn，若n為奇數(shù)，設(shè)n＝2m+1（m∈N），則數(shù)據(jù)x1、x2、?、x2m+1的中位數(shù)為xm+1，若k＞0，新樣本數(shù)據(jù)由小到大依次為y1、y2、?、y2m+1，則中位數(shù)為b2＝y(tǒng)m+1＝kxm+1+2025＝kb1+2025；當(dāng)k≤0，新樣本數(shù)據(jù)由小到大依次為y2m+1、y2m、?、y1，則中位數(shù)為b2＝y(tǒng)m+1＝kxm+1+2025＝kb1+2025；若n為偶數(shù)，同理，b2＝kb1+2025，選項B正確；對于C，由方差的定義與性質(zhì)得，c2＝k2c1，選項C正確；對于D，若xi、xj（1≤i，j≤n）是x1、x2、?、xn中最大值、最小值，當(dāng)k＞0時，yi＝kxi+2025為y1、y2、?、yn中的最大值，yj＝kxj+2025為y1、y2、?、yn中的最小值，此時，d2＝y(tǒng)i﹣yj＝k（xi﹣xj）＝kd1；當(dāng)k≤0時，yi＝kxi+2025為y1、y2、?、yn中的最小值，yj＝kxj+2025為y1、y2、?、yn中的最大值，此時，d2＝y(tǒng)j﹣yi＝﹣k（xi﹣xj）＝﹣kd1，選項D錯誤．故選：ABC．【點評】本題考查了平均數(shù)與中位數(shù)和方差、極差的計算問題，是中檔題．三．填空題（共4小題）13．（2025春?臨泉縣校級月考）某單位有男職工450人，女職工300人，若根據(jù)性別采取分層抽樣的方法，從中抽取一個容量為50的樣本，則女職工應(yīng)抽取的人數(shù)為20．【考點】分層隨機(jī)抽樣的比例分配與各層個體數(shù)及抽取樣本量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】20．【分析】依據(jù)題意求出分層比，再得到抽取的人數(shù)即可．【解答】解：男職工450人，女職工300人，則男女職工分層比為3：2，而抽取一個容量為50的樣本，則女職工應(yīng)抽取的人數(shù)為50×故答案為：20．【點評】本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14．（2025?南崗區(qū)校級一模）由樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，3，?，10），求得回歸直線方程為y?=2x-1，且x=3，若去除偏離點（4，10）后，得到新的回歸直線方程為y?=52x【考點】經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線；殘差及殘差圖．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】-2【分析】求出y的值，求出去除偏離點（4，10）后，剩余數(shù)據(jù)的樣本中心點的坐標(biāo)，代入新的回歸直線方程，求出b?的值，將x＝2【解答】解：回歸直線方程為y?=2x當(dāng)x=3時，y去除偏離點（4，10）后，剩余數(shù)據(jù)的中心點為(x則x'=10將點(269，409)的坐標(biāo)代入回歸直線方程所以，新的回歸直線方程為y?當(dāng)x＝2時，y?所以，去除偏離點后，相應(yīng)于樣本點（2，2）的殘差值為2-故答案為：-2【點評】本題主要考查線性回歸方程的應(yīng)用，屬于中檔題．15．（2025春?南陽校級月考）某單位為了調(diào)查性別與對工作的滿意程度是否具有相關(guān)性，隨機(jī)抽取了若干名員工，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表所示，其中x∈N*，且x＜16，若有90%的把握可以認(rèn)為性別與對工作的滿意程度具有相關(guān)性，則x的值是14或15．對工作滿意對工作不滿意男5x5x女4x6x附：K2=n(ad-bc)2(aP（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828【考點】獨立性檢驗．【專題】對應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】14或15．【分析】根據(jù)獨立性檢驗思想可解．【解答】解：根據(jù)獨立性檢驗思想可得，K2得x＞13.3947，因為x∈N*且x＜16，所以x＝14或x＝15，則x的的取值為14或15．故答案為：14或15．【點評】本題考查獨立性檢驗思想，屬于中檔題．16．（2024?江蘇模擬）寰宇巨星知更鳥的新專輯《空氣蛹》發(fā)布在某平臺后，其一周內(nèi)的累計播放量如表所示，其中，yi（i＝1，2，3，4，5，6，7）為該專輯發(fā)布后截至第x天的累計播放量．若將表中數(shù)據(jù)用經(jīng)驗回歸方程y?=a?eb?x進(jìn)行擬合，則x/天1234567y萬次12024034051076012001730參考數(shù)據(jù)及公式，在回歸直線y?=b?x+a?中，b?【考點】經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】4.927．【分析】利用線性回歸方程即可求解．【解答】解：y=a?eb?x，則lny=b?x+lna，設(shè)z＝x=17（1+2+3+4+5+6＝7），i=17x2i=12+22+32+42+52∴b?=lna?=z-b?x=∴b?+lna?=故答案為：4.927．【點評】本題考查線性回歸方程，屬于中檔題．四．解答題（共4小題）17．（2024秋?嘉定區(qū)校級期末）2022年我國各省級行政區(qū)（表中簡稱“區(qū)域”）普通高等學(xué)校本科招生人數(shù)（單位：萬人，表中簡稱“人數(shù)”）如表所示．區(qū)域人數(shù)區(qū)域人數(shù)區(qū)域人數(shù)區(qū)域人數(shù)北京14.00上海10.04湖北23.71云南12.36天津9.15江蘇30.01湖南22.48西藏0.70河北22.91浙江16.76廣東31.09陜西18.14山西12.49安徽18.19廣西14.62甘肅7.55內(nèi)蒙古6.44福建13.74海南3.08青海1.23遼寧18.10江西17.27重慶12.27寧夏2.53吉林12.95山東28.01四川26.21新疆7.22黑龍江14.17河南31.52貴州8.99（數(shù)據(jù)來源：國家統(tǒng)計局；本表不含港澳臺地區(qū)數(shù)據(jù)）（1）上表數(shù)據(jù)是否足以反映2022年我國各省行政區(qū)高等教育普及情況？若足以，請說明理由；若不足以，請舉一例需要補(bǔ)足的數(shù)據(jù)．（2）若根據(jù)2022年我國各省級行政區(qū)普通高等學(xué)校本科招生人數(shù)數(shù)據(jù)繪制頻率分布直方圖，組距為10，且第一組下限為0，求數(shù)據(jù)在第二組的頻率；（3）計算2022年我國各省級行政區(qū)普通高等學(xué)校本科招生人數(shù)的第85百分位數(shù)；（4）計算2022年我國各省級行政區(qū)普通高等學(xué)校本科招生人數(shù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差．（計算結(jié)果保留至0.01萬人）參考數(shù)據(jù)：根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算，2022年我國各省級行政區(qū)普通高等學(xué)校本科招生人數(shù)之和∑x=467.93、平方和參考資料：在統(tǒng)計實驗中，為了消除系統(tǒng)性誤差，往往使用樣本標(biāo)準(zhǔn)差表征數(shù)據(jù)的離散程度；樣本標(biāo)準(zhǔn)差s0【考點】百分位數(shù)；頻率分布表的應(yīng)用．【專題】計算題；整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】（1）不足以，答案見解析；（2）0.45（或45.16%）；（3）24.59；（4）8.73．【分析】（1）絕對數(shù)值無法體現(xiàn)相對普及程度，需補(bǔ)充人口數(shù)據(jù)；（2）第二組包含14個省份，頻率為14/31≈0.45；（3）第85百分位數(shù)通過線性插值得出24.59；（4）利用給定∑x和∑x2計算標(biāo)準(zhǔn)差為8.73萬人．【解答】（1）不足以，需要補(bǔ)充各省人口數(shù)據(jù)或高等教育毛入學(xué)率；（2）組距為10，第一組下限為0，分組區(qū)間為：0﹣10、10﹣20、20﹣30、30﹣40，統(tǒng)計第二組（10﹣20）的頻數(shù)為14，總數(shù)據(jù)量31個，頻率為：1431≈0.4516，保留兩位小數(shù)為（3）數(shù)據(jù)排序后，第85百分位數(shù)位置計算為：0.85×31＝26.35通過線性插值，第26和27個數(shù)據(jù)分別為23.71和26.21，計算得：23.71+0.35×（26.21﹣23.71）＝24.59；（4）樣本標(biāo)準(zhǔn)差計算：s=【點評】本題考查百分位數(shù)，屬于中檔題．18．（2025?齊齊哈爾二模）北海艦隊開放日活動中，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生參加繩子打結(jié)計時的趣味性比賽，并對學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢的相關(guān)性進(jìn)行分析，得到數(shù)據(jù)如下表：性別繩子打結(jié)速度合計快慢男生45女生3590合計（1）完成列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，判斷繩子打結(jié)速度快慢是否與學(xué)生性別有關(guān)聯(lián)，并說明理由；（2）現(xiàn)有n（n∈N*）根繩子，共有2n個繩頭，每個繩頭只打一次結(jié)，且每個結(jié)僅含兩個繩頭，所有繩頭打結(jié)完畢視為結(jié)束．（i）現(xiàn)在有4根繩子，求恰好能圍成兩個圈的概率；（ii）這n根繩子恰好能圍成一個圈的不同的連接方法數(shù)為an，求Tn附：χ2=n(ad-bc)2(aα0.050.010.001xα3.8416.63510.828【考點】獨立性檢驗；相互獨立事件的概率乘法公式．【專題】計算題；整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有關(guān)聯(lián)；（2）（i）P=44105；（ii【分析】（1）補(bǔ)充列聯(lián)表，再計算卡方值即可；（2）（i）利用組合公式和古典概型公式計算即可；（ii）利用累乘法得n!【解答】解：（1）女生打結(jié)慢有90﹣35＝55人，男生總計200﹣90＝110人，男生打結(jié)快共110﹣45＝65，補(bǔ)充列聯(lián)表：性別繩子打結(jié)速度合計快慢男生6545110女生355590合計100100200零假設(shè)H0：繩子打結(jié)速度快慢與學(xué)生性別無關(guān)聯(lián)，χ2根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為繩子打結(jié)速度快慢與學(xué)生性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01；（2）（i）4根繩子所有的打結(jié)方式共有C8圍成2圈的情況共有C4恰好能圍成兩個圈的概率P=（ii）n＝1，a1＝1，n≥2，an＝（2n﹣2）an﹣1，∴an當(dāng)n＝1時，也適合上式，∴n!∴Tn=∴12T①﹣②整理得12∴12∴Tn【點評】本題考查了獨立性檢驗和錯位相減法求和，屬于中檔題．19．（2025?長安區(qū)二模）某校為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展水平，組織本校2000名學(xué)生進(jìn)行針對性檢測（檢測分為初試和復(fù)試），并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計值；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）（2）根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本的80%分位數(shù)（四舍五入精確到整數(shù)）；（3）若所有學(xué)生的初試成績X近似服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ為樣本平均數(shù)的估計值，σ≈14．初試成績不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計能參加復(fù)試的人數(shù)（四舍五入精確到整數(shù)）．附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973．【考點】頻率分布直方圖的應(yīng)用；百分位數(shù)；正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】（1）62；（2）73；（3）46．【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的求法計算即可；（2）根據(jù)80%分位數(shù)的求法計算即可；（3）根據(jù)3σ原則以及正態(tài)分布的對稱性計算．【解答】解：（1）設(shè)樣本平均數(shù)的估計值為x，則x=10(40×0.01+50×0.02+60×0.03+70×0.024+80×0.012+90×0.004)=62（2）因為前幾組的頻率依次為0.1，0.2，0.3，0.24，所以樣本的80%分位數(shù)為65+0.8-0.6（3）由（1）可知樣本平均數(shù)的估計值μ＝62，σ≈14，所以90＝μ+2σ，則P(所以估計能參加復(fù)試的人數(shù)為2000×0.02275≈46．【點評】本題考查頻率分布直方圖的綜合應(yīng)用，屬中檔題．20．（2025?開福區(qū)校級模擬）某綠色水果生態(tài)園在某種水果收獲的．隨機(jī)摘下該水果100個作為樣本，其質(zhì)量分別在[100，150），[150，200），[200，250），[250，300），[300，350），[350，400]（單位：克）中，經(jīng)統(tǒng)計，樣本的頻率分布直方圖如圖所示：（1）求圖中a的值；（2）現(xiàn)按分層抽樣的方法從質(zhì)量為[250，300），[300，350）的水果中隨機(jī)抽取6個，再從6個中隨機(jī)抽取3個，求這3個水果中恰有1個質(zhì)量在[300，350）內(nèi)的概率；（3）某經(jīng)銷商來收購水果時，該生態(tài)園有水果約10000個要出售．經(jīng)銷商提出如下兩種收購方案：方案A：所有水果以10元/千克收購；方案B：對質(zhì)量低于250克的水果以2元/個收購，不低于250克的以3元/個收購．假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點值代替，請估算該生態(tài)園選擇哪種方案獲利更多？【考點】頻率分布直方圖的應(yīng)用；古典概型及其概率計算公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】（1）a＝0.008；（2）35（3）該生態(tài)園選擇方案B獲利更多．【分析】（1）由頻率分布直方圖面積為1，即可求解；（2）先根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)求出質(zhì)量在[250，300）和[300，350）內(nèi)的分別有4個和2個，然后列舉法結(jié)合古典概型概率公式求解即可；（3）算出兩種方案的利潤，比較大小即可判斷．【解答】解：（1）根據(jù)題意可得（0.002+0.002+0.003+0.004+a+0.001）×50＝1，解得a＝0.008；（2）因為[250，300）和[300，350）的頻率之比為2：1，所以在[250，300）和[300，350）內(nèi)的分別抽有4個和2個，設(shè)在[250，300）內(nèi)的4個水果分別為A，B，C，D，在[300，350）內(nèi)2個水果分別為a，b，則再從6個中隨機(jī)抽取3個所得樣本空間為：Ω＝{{A，B，C}，{A，B，D}，{A，B，a}，{A，B，b}，{A，C，D}，{A，C，a}，{A，C，b}，{A，D，a}，{A，D，b}，{A，a，b}，{B，C，D}，{B，C，a}，{B，C，b}，{B，D，a}，{B，D，b}，{B，a，b}，{C，D，a}，{C，D，b}，{C，a，b}，{D，a，b}}，所以n（Ω）＝20，記E：其中恰有一個在[300，350）內(nèi)，則E＝{{A，B，a}，{A，B，b}，{A，C，a}，{A，C，b}，{A，D，a}，{A，D，b}，{B，C，a}，{B，C，b}，{B，D，a}，{B，D，b}，{C，D，a}，{C，D，b}}，所以n（E）＝12，所以P（E）=n（3）方案A：收益＝（125×0.002+175×0.002+225×0.003+275×0.008+325×0.004+375×0.001）×50×0.001×10×10000＝25750元；方案B：低于250克獲利（0.002+0.002+0.003）×50×10000×2＝7000元，不低于250克獲利（0.008+0.004+0.001）×50×10000×3＝19500元，總計7000+19500＝26500元．因為25750＜26500，所以該生態(tài)園選擇方案B獲利更多．【點評】本題考查頻率分布直方圖的綜合應(yīng)用，屬中檔題．

考點卡片1．古典概型及其概率計算公式【知識點的認(rèn)識】1．定義：如果一個試驗具有下列特征：（1）有限性：每次試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個；（2）等可能性：每次試驗中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱這種隨機(jī)試驗的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個重要特征，所以求事件的概率就可以不通過大量的重復(fù)試驗，而只要通過對一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計算即可．2．古典概率的計算公式如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是1n如果某個事件A包含的結(jié)果有m個，那么事件A的概率為P（A）=m【解題方法點撥】1．注意要點：解決古典概型的問題的關(guān)鍵是：分清基本事件個數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個方面：（1）本試驗是否具有等可能性；（2）本試驗的基本事件有多少個；（3）事件A是什么．2．解題實現(xiàn)步驟：（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解題方法技巧：（1）利用對立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．2．相互獨立事件的概率乘法公式【知識點的認(rèn)識】﹣對于相互獨立事件A和B，P(【解題方法點撥】﹣應(yīng)用乘法公式計算獨立事件的聯(lián)合概率，確保事件的獨立性．【命題方向】﹣重點考察獨立事件的概率計算及獨立性證明．3．二項分布的均值（數(shù)學(xué)期望）與方差【知識點的認(rèn)識】二項分布：一般地，在n次獨立重復(fù)的試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則P（X＝k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此時稱隨機(jī)變量X服從二項分布，記作X～B（nCnkpk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，﹣均值（數(shù)學(xué)期望）：E(X)=n×﹣方差：D(【解題方法點撥】﹣使用二項分布的均值和方差公式來計算相關(guān)概率分布的期望和方差．【命題方向】﹣重點考察二項分布的期望和方差計算，常用于統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析和預(yù)測問題．4．正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義【知識點的認(rèn)識】1．正態(tài)曲線及性質(zhì)（1）正態(tài)曲線的定義函數(shù)φμ，σ（x）=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈（﹣∞，+∞），其中實數(shù)（2）正態(tài)曲線的解析式①指數(shù)的自變量是x定義域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有兩個常數(shù)：π和e，這是兩個無理數(shù)．③解析式中含有兩個參數(shù)：μ和σ，其中μ可取任意實數(shù)，σ＞0這是正態(tài)分布的兩個特征數(shù)．④解析式前面有一個系數(shù)為12πσ，后面是一個以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式，冪2．正態(tài)分布（1）正態(tài)分布的定義及表示如果對于任何實數(shù)a，b（a＜b），隨機(jī)變量X滿足P（a＜X≤b）=abφμ，σ（x）dx，則稱X的分布為正態(tài)分布，記作N（μ，（2）正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線φμ，σ（x）=12πσe（1）曲線位于x軸上方，與x軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱；（3）曲線在x＝μ處達(dá)到峰值12（4）曲線與x軸圍成的圖形的面積為1；（5）當(dāng)σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；（6）當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．4．三個鄰域會用正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值結(jié)合正態(tài)曲線求隨機(jī)變量的概率．落在三個鄰域之外是小概率事件，這也是對產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測的理論依據(jù)．【解題方法點撥】正態(tài)分布是高中階段唯一連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，這個考點雖然不是高考的重點，但在近幾年新課標(biāo)高考中多次出現(xiàn)，其中數(shù)值計算是考查的一個熱點，考生往往不注意對這些數(shù)值的記憶而導(dǎo)致解題無從下手或計算錯誤．對正態(tài)分布N（μ，σ2）中兩個參數(shù)對應(yīng)的數(shù)值及其意義應(yīng)該理解透徹并記住，且注意第二個數(shù)值應(yīng)該為σ2而不是σ，同時，記住正態(tài)密度曲線的六條性質(zhì)．【命題方向】題型一：概率密度曲線基礎(chǔ)考察典例1：設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f（x）的圖象，且f（x）=18πA．10與8B．10與2C．8與10D．2與10解析：由18πe-(x-10)答案：B．典例2：已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，則P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故選C．典例3：已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，則P（X＞4）等于（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正態(tài)曲線性質(zhì)知，其圖象關(guān)于直線x＝3對稱，∴P（X＞4）＝0.5﹣12P（2≤X≤4）＝0.5-12×0.6826＝題型二：正態(tài)曲線的性質(zhì)典例1：若一個正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為14（1）求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式；（2）求正態(tài)總體在（﹣4，4]的概率．分析：要確定一個正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求解析式中的兩個參數(shù)μ，σ的值，其中μ決定曲線的對稱軸的位置，σ則與曲線的形狀和最大值有關(guān)．解（1）由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對稱，即μ＝0．由12πσ=1φμ，σ（x）=142πe-（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．點評：解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)解析式與正態(tài)曲線的關(guān)系，掌握函數(shù)解析式中參數(shù)的取值變化對曲線的影響．典例2：設(shè)兩個正態(tài)分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：根據(jù)正態(tài)分布N（μ，σ2）函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于直線x＝μ對稱，在x＝μ處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；σ越大，曲線的最高點越低且較平緩；反過來，σ越小，曲線的最高點越高且較陡峭，故選A．答案：A．題型三：服從正態(tài)分布的概率計算典例1：設(shè)X～N（1，22），試求（1）P（﹣1＜X≤3）；（2）P（3＜X≤5）；（3）P（X≥5）．分析：將所求概率轉(zhuǎn)化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正態(tài)密度曲線的對稱性求解．解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），∴P（3＜X≤5）=12[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3=12[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2=12[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ=12×（0.9544＝0.1359．（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），∴P（X≥5）=12[1﹣P（﹣3＜X≤5=12[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4=12[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ=12×（1﹣0.9544求服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在某個區(qū)間取值的概率，只需借助正態(tài)曲線的性質(zhì)，把所求問題轉(zhuǎn)化為已知概率的三個區(qū)間上．典例2：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，則P（ξ＜2）＝．解析：由題意可知，正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．答案：0.7．題型4：正態(tài)分布的應(yīng)用典例1：2011年中國汽車銷售量達(dá)到1700萬輛，汽車耗油量對汽車的銷售有著非常重要的影響，各個汽車制造企業(yè)積極采用新技術(shù)降低耗油量，某汽車制造公司為調(diào)查某種型號的汽車的耗油情況，共抽查了1200名車主，據(jù)統(tǒng)計該種型號的汽車的平均耗油為百公里8.0升，并且汽車的耗油量ξ服從正態(tài)分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率為0.7，那么耗油量大于9升的汽車大約有輛．解析：由題意可知ξ～N（8，σ2），故正態(tài)分布曲線以μ＝8為對稱軸，又因為P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽車大約有1200×0.15＝180輛．點評：服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在一個區(qū)間上的概率就是這個區(qū)間上，正態(tài)密度曲線和x軸之間的曲邊梯形的面積，根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性，當(dāng)P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）時必然有x1+典例2：工廠制造的某機(jī)械零件尺寸X服從正態(tài)分布N（4，19），問在一次正常的試驗中，取1000個零件時，不屬于區(qū)間（3，5]解∵X～N（4，19），∴μ＝4，σ=∴不屬于區(qū)間（3，5]的概率為P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，∴1000×0.003＝3（個），即不屬于區(qū)間（3，5]這個尺寸范圍的零件大約有3個．5．簡單隨機(jī)抽樣【知識點的認(rèn)識】1．定義：一般地，設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本（n≤N），如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機(jī)會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣．2．特點：（1）有限性：總體個體數(shù)有限；（2）逐個性：每次只抽取一個個體；（3）不放回：抽取樣本不放回，樣本無重復(fù)個體；（4）等概率：每個個體被抽到的機(jī)會相等．（如果從個體數(shù)為N的總體中抽取一個容量為n的樣本，則每個個體被抽取的概率等于nN3．適用范圍：總體中個數(shù)較少．4．注意：隨機(jī)抽樣不是隨意或隨便抽取，隨意或隨便抽取都會帶有主觀或客觀的影響因素．【解題方法點撥】1．抽簽法（抓鬮法）一般地，從個體總數(shù)為N的總體中抽取一個容量為k的樣本，步驟為：（1）編號：將總體中所有個體編號（號碼可以為1﹣N）；（2）制簽：將編號寫在形狀、大小相同的號簽上（可用小球、卡片、紙條等制作）；（3）攪勻：將號簽放在同一個箱子中進(jìn)行均勻攪拌；（4）抽簽：每次從箱中取出1個號簽，連續(xù)抽取k次；（5）取樣：從總體中取出與抽到號簽編號一致的個體．2．隨機(jī)數(shù)表法．〇隨機(jī)數(shù)表：由0﹣9十個數(shù)字所組成，其中的每個數(shù)都是用隨機(jī)方法產(chǎn)生的，這樣的表稱為隨機(jī)數(shù)表．〇隨機(jī)數(shù)表法：按一定的規(guī)則到隨機(jī)數(shù)表中選取號碼的抽樣方法叫做隨機(jī)數(shù)表法．實現(xiàn)步驟：（1）編號：對總體中所有個體編號（每個號碼位數(shù)一致）；（2）選數(shù)：在隨機(jī)數(shù)表中任選一個數(shù)作為開始；（3）取數(shù)：從選定的起始數(shù)沿任意方向取數(shù)（不在號碼范圍內(nèi)的數(shù)、重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)不?。钡饺M為止；（4）取樣：根據(jù)所得的號碼從總體中抽取相應(yīng)個體．【命題方向】以基本題（中、低檔題）為主，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，以實際問題為背景，綜合考查學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識、應(yīng)用基礎(chǔ)知識、解決實際問題的能力．（1）考查簡單隨機(jī)抽樣的特點例：用簡單隨機(jī)抽樣的方法從含有100個個體的總體中依次抽取一個容量為5的樣本，則個體m被抽到的概率為（）A.1100B.120C.199分析：依據(jù)簡單隨機(jī)抽樣方式，總體中的每個個體被抽到的概率都是一樣的，再結(jié)合容量為5，可以看成是抽5次，從而可求得概率．解答：一個總體含有100個個體，某個個體被抽到的概率為1100∴以簡單隨機(jī)抽樣方式從該總體中抽取一個容量為5的樣本，則指定的某個個體被抽到的概率為1100×5故選：B．點評：不論用哪種抽樣方法，不論是“逐個地抽取”，還是“一次性地抽取”，總體中的每個個體被抽到的概率都是一樣的，體現(xiàn)了抽樣方法具有客觀公平性．（2）判斷抽樣方法是否為簡單隨機(jī)抽樣常見與分層抽樣、系統(tǒng)抽樣對比，注意掌握各種抽樣方法的區(qū)分．例：下面的抽樣方法是簡單隨機(jī)抽樣的是（）A．在某年明信片銷售活動中，規(guī)定每100萬張為一個開獎組，通過隨機(jī)抽取的方式確定號碼的后四位為2709的為三等獎B．某車間包裝一種產(chǎn)品，在自動包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產(chǎn)品，稱其重量是否合格C．某學(xué)校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解學(xué)校機(jī)構(gòu)改革的意見D．用抽簽法從10件產(chǎn)品中選取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗．分析：從所給的四個選項里觀察因為抽取的個體間的間隔是固定的；得到A、B不是簡單隨機(jī)抽樣，因為總體的個體有明顯的層次，C不是簡單隨機(jī)抽樣，D是簡單隨機(jī)抽樣．解答：A、B不是簡單隨機(jī)抽樣，因為抽取的個體間的間隔是固定的；C不是簡單隨機(jī)抽樣，因為總體的個體有明顯的層次；D是簡單隨機(jī)抽樣．故選D．點評：本題考查簡單隨機(jī)抽樣，考查分層抽樣，考查系統(tǒng)抽樣，是一個涉及到所學(xué)的所有抽樣的問題，注意發(fā)現(xiàn)各種抽樣的特點，分析清楚抽樣的區(qū)別．（3）考查簡單隨機(jī)抽樣的抽樣方法操作例：利用隨機(jī)數(shù)表法對一個容量為500編號為000，001，002，…，499的產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢驗，抽取一個容量為10的樣本，若選定從第12行第5列的數(shù)開始向右讀數(shù)，（下面摘取了隨機(jī)數(shù)表中的第11行至第15行），根據(jù)下圖，讀出的第3個數(shù)是（）A.841B.114C.014D.146分析：從隨機(jī)數(shù)表12行第5列數(shù)開始向右讀，最先讀到的1個的編號是389，再向右三位數(shù)一讀，將符合條件的選出，不符合的舍去，繼續(xù)向右讀取即可．解答：最先讀到的1個的編號是389，向右讀下一個數(shù)是775，775它大于499，故舍去，再下一個數(shù)是841，舍去，再下一個數(shù)是607，舍去，再下一個數(shù)是449，再下一個數(shù)是983．舍去，再下一個數(shù)是114．讀出的第3個數(shù)是114．故選B．點評：本題主要考查了抽樣方法，隨機(jī)數(shù)表的使用，在隨機(jī)數(shù)表中每個數(shù)出現(xiàn)在每個位置的概率是一樣的，所以每個數(shù)被抽到的概率是一樣的，屬于基礎(chǔ)題．6．分層隨機(jī)抽樣【知識點的認(rèn)識】1．定義：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時，為了使樣本更客觀地反映總體的情況，常將總體按不同的特點分成層次比較分明的幾部分，然后按各部分在總體中所占的比例進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其中所分的各部分叫“層”．2．三種抽樣方法比較類別共同點各自特點相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機(jī)抽樣抽樣過程中每個個體被抽取的概率是相同的從總體中逐個抽取總體中的個體數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均勻分成幾個部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取在起始部分抽樣時采用簡單隨機(jī)抽樣總體中的個體數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取各層抽樣時采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成【解題方法點撥】分層抽樣方法操作步驟：（1）分層：將總體按某種特征分成若干部分；（2）確定比例：計算各層的個體數(shù)與總體的個體數(shù)的比；（3）確定各層應(yīng)抽取的樣本容量；（4）在每一層進(jìn)行抽樣（各層分別按簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法抽?。?，綜合每層抽樣，組成樣本．【命題方向】（1）區(qū)分分層抽樣方法例：某交高三年級有男生500人，女生400人，為了解該年級學(xué)生的健康情況，從男生中任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進(jìn)行調(diào)查．這種抽樣方法是（）A．簡單隨機(jī)抽樣法B．抽簽法C．隨機(jī)數(shù)表法D．分層抽樣法分析：若總體由差異明顯的幾部分組成時，經(jīng)常采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣解答：總體由男生和女生組成，比例為500：400＝5：4，所抽取的比例也是5：4．故選D點評：本小題主要考查抽樣方法，屬基本題．（2）求抽取樣本數(shù)例1：某校高三一班有學(xué)生54人，二班有學(xué)生42人，現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從兩個班抽出16人參加軍訓(xùn)表演，則一班和二班分別被抽取的人數(shù)是（）A.8，8B.10，6C.9，7D.12，4分析：先計算每個個體被抽到的概率，再用每層的個體數(shù)乘以每個個體被抽到的概率，即得到該層應(yīng)抽取的個體數(shù)．解答：每個個體被抽到的概率等于1654+42=16，54×16故從一班抽出9人，從二班抽出7人，故選C．點評：本題考查分層抽樣的定義和方法，用每層的個體數(shù)乘以每個個體被抽到的概率等于該層應(yīng)抽取的個體數(shù)．例2：某單位有職工750人，其中青年職工350人，中年職工250人，老年職工150人，為了解該單位職工的健康情況，用分層抽樣的方法從中抽取樣本，若樣本中的青年職工為7人，則樣本容量為（）A.35B.25C.15D.7分析：先計算青年職工所占的比例，再根據(jù)青年職工抽取的人數(shù)計算樣本容量即可．解答：青年職工、中年職工、老年職工三層之比為7：5：3，所以樣本容量為7715故選C．點評：本題考查分層抽樣的定義和方法，求出每個個體被抽到的概率，用個體的總數(shù)乘以每個個體被抽到的概