2025年河北省秦皇島市部分中學(xué)高考數(shù)學(xué)一模試卷+答案解析

2025年河北省秦皇島市部分中學(xué)高考數(shù)學(xué)一模試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合4=Zlr2-凝-340），則集合4的真子集個(gè)數(shù)為（）

A.4B.8C.32D.31

2.將顏色為紅、黃、白的3個(gè)小球隨機(jī)分給甲、乙、丙3個(gè)人，每人1個(gè)，則與事件“甲分得紅球，乙分得

黃球或甲分得黃球、乙分得紅球”互為對(duì)立事件的是（）

A.甲分得黃球B.甲分得白球

C.丙沒(méi)有分得白球D.甲分得白球，乙分得黃球

3.過(guò)拋物線(xiàn)vL-的焦點(diǎn)，且與直線(xiàn)/-2/,方=”垂直的直線(xiàn)方程為（）

A.2Jy10B.1/?1U

C.tly10D.HiJ-Sy1=（I

4.已知m,〃是兩條不同直線(xiàn)，，i,，.是兩個(gè)不同平面，則下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.若。，，垂直于同一平面，則。與，’可能相交

B.若加,〃平行于同一平面，則正與〃可能異面

C.若“，"不平行，則僅與"不可能垂直于同一平面

D.若，，，「不平行，則在。內(nèi)不存在與J平行的直線(xiàn)

5.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）

正視圖側(cè)面圖

6

他劃回

A.44B.32C.Ki-1；D.17

6.曲線(xiàn)v二.：“L-1?上的點(diǎn)到直線(xiàn)2，、U的最短距離是（）

A.、B.2^5D.0

7.在函數(shù)』“aj：的圖象上有一點(diǎn)/Lf.，"、，，若該函數(shù)的圖象與x軸、

直線(xiàn)，-圍成圖形I如圖陰影部分）的面積為S,則函數(shù)5"的圖象

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大致是（）

8.若存在正實(shí)數(shù)x,?使得等式L+“，」,-.「「」一,1口，U成立，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則a的

取值范圍為（）

A.（（L-,B..*x）

e*tr

C.|-x.俏D.⑴1“；人）

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分,

部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.函數(shù)小門(mén)同時(shí)滿(mǎn)足：①對(duì)于定義域上的任意x,恒有/I，|?/I;|=II；②對(duì)于定義域上的任意L,「一，

當(dāng)八工，，，恒有」-0.則稱(chēng)函數(shù)J，」，為“理想函數(shù)”，下列函數(shù)中，不是“理想函數(shù)”的有（）

A./"）=-2，B./（J-）=j-C./（j）=jD./lx）

10.公元1715年英國(guó)數(shù)學(xué)家布魯克?泰在他的著作中陳述了“泰勒公式”，如果滿(mǎn)足一定的條件，泰勒公式

可以用函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)這個(gè)函數(shù).泰勒公式將一些復(fù)雜函數(shù)近似地表

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示為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)，使得它成為分析和研究許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具，例如:

I其中““I”表示無(wú)窮小量，比給出的任何數(shù)都更接近于I

運(yùn)用上述公式，以下大小關(guān)系正確的是（）

A.n|,1B.'11,I

9

-311

C.?D.；-

2(1232023

11.已知直線(xiàn)/f與曲線(xiàn)“，和“r+j2分別交于5、C兩點(diǎn),點(diǎn)/的坐標(biāo)為0?*0）,則AABC

的面積可能為（）

A.1B.2C.3D.4

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.

諼目正在率較中.室清期將~

13.已知定義在R上的偶函數(shù)/：」，，當(dāng)廣II時(shí)，J，,-1,函數(shù)在R上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為a；

幕函數(shù)“門(mén)_-3i.r"'：中實(shí)數(shù)加的值等于6,則/|\八一（工-3尸+?’"d.r=.

14.有2個(gè)不同的紅球和3個(gè)不同的黃球，將這5個(gè)球放入4個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子至少放一個(gè)球,

且同色球不能放在同一個(gè)盒子中，則不同的放置方法有種.?用數(shù)字作答）

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.（本小題12分）

設(shè)△4W的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,,,八,且3為鈍角.

I若」二，」，求1〃「的面積；

，求卜山」…u”1的取值范圍.

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16.?本小題12分）

已知為等差數(shù)列，前一項(xiàng)和為5」“，.V」，｛，%」是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0,

%+b=12&=a.+a

11求|”：和仙：的通項(xiàng)公式;

?U,FI€A

IIII設(shè)數(shù)列｛，/滿(mǎn)足,,其中;

log「lofM=2\

，，求數(shù)列卜一｝的通項(xiàng)公式;

M求？

17.?本小題12分：i

已知函數(shù)：一，”?-.3，..，滿(mǎn)足心川?I,且曲線(xiàn)〃/；一在/1處的切線(xiàn)方程為「，"

11）求a,b,c的值；

;L設(shè)函數(shù),j，?.11-Gr-"?i/-in?//.*\i,若/1/<>iI”在11L-\上怛成立，求m的最大值.

18.

倭后正在.核中，室清期i等?

19.I本小題12分：i

已知函數(shù)，-1',其中（N-R,定義數(shù)列｛。｝如下：（I?,.1?f.1',n'\

II］當(dāng)川—|時(shí)，求L,"」，"I的值：

IIII是否存在實(shí)數(shù)冽，使，，，巴構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)冽的值；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由；

HI）求證:當(dāng)…時(shí)，總能找到AV,使得a‘>2021.

I

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：由集合

.4={JWZ\x~-2J-3<0}―{j,€Z|l/-：；*」,41）三（）}一{」,EZ|—1W3—{-1.0,1,2,3}，

所以集合/的真子集個(gè)數(shù)為個(gè).

故選：/>,

根據(jù)題意，求得.1-{-IJ.L2.：，）,結(jié)合真子集個(gè)數(shù)的計(jì)算方法，即可求解.

本題主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的真子集個(gè)數(shù)公式，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：甲分得紅球，乙分得黃球或甲分得黃球，乙分得紅球，即丙分得白球，與丙沒(méi)有分得白球互

為對(duì)立事件.

故選：4.

由對(duì)立事件的概念即可得解.

本題考查了對(duì)立事件的概念，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閽佄锞€(xiàn)“L可化為所以其焦點(diǎn)為

又直線(xiàn)/-3”的斜率為:，

所以與直線(xiàn)，入，Iu垂直的直線(xiàn)斜率為？，

所以所求直線(xiàn)方程為v?'?］，即1"

故選：1）.

求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，由兩直線(xiàn)垂直求得所求直線(xiàn)的斜率，進(jìn)而由點(diǎn)斜式方程求得答案.

本題考查拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：對(duì)于/,若《垂直于同一平面，則，?與《平行或相交，正確；

對(duì)于8,若〃平行于同一平面，則加與〃異面、平行或相交，正確；

對(duì)于C,根據(jù)垂直于同一平面的兩條直線(xiàn)平行，可知正確；

對(duì)于。，，，，?相交時(shí)，在。內(nèi)存在與3平行的直線(xiàn)，不正確.

故選：D.

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利用線(xiàn)面、面面位置關(guān)系，即可判斷.

本題考查線(xiàn)面、面面位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.

5.【答案】D

【解析】解：根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是底面為矩形四棱錐；

且矩形的長(zhǎng)為6,寬為2,四棱錐的高為4,如圖所示：

=22+6/17.

故選：/r

根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是底面為矩形四棱錐，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的表面積.

本題考查了利用空間幾何體的三視圖求表面積的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目.

6.【答案】B

【解析】解：設(shè)曲線(xiàn)“2.rTI上的一點(diǎn)是…，

則過(guò)尸的切線(xiàn)必與直線(xiàn)匕，“,、》平行.

解得HzI,"In，2-li

|2+8|

即:小到直線(xiàn)的最短距離是"..八八r

41-1)*

故選及

在曲線(xiàn)“M2」，-1)上設(shè)出一點(diǎn)，然后求出該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，由該導(dǎo)數(shù)值等于直線(xiàn)L-K=”的斜率

求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解.

本題考查了點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，關(guān)鍵是理解與直線(xiàn)平行且與曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)

和曲線(xiàn)的切點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，是中檔題.

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7.【答案】B

【解析】解：、:八仙-sJI/-si!|-1,，,「?》，

J—?幺/

故選及

利用定積分求出S關(guān)于f的函數(shù)即可得出答案.

本題考查了定積分的幾何意義，正弦函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解：由L--i1〔，L-li.r}-II得I『ti；,l<|In''-ii,

X

即I，.UI.iLJ—H',

XX

設(shè)/'，貝ibi),

x

則1?'.；1;Inf0,

即if.1-''有解，

a

設(shè)g(tI-It-Cfc*)Int,

則「七=Inf+'-"為增函數(shù),

,加2

9-

.〃I，?IIlir*1t213”，

?當(dāng)f'J時(shí)，；U,

當(dāng)ii.r.=時(shí)，“I;o,

?.當(dāng)［二J時(shí)，函數(shù).「?取得最小值用「?M-i”，

即“IfI??/7*1h?，

若if-;小ihH——±有解，

a

則」，即‘，-,

oa

…1

「_〃，?；颉?,,

故選：D.

令)」，分離參數(shù)得”“Uif—二，求出5n!f的值域，從而得出a的范圍

Xa

本題主要考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)有公共解問(wèn)題，利用構(gòu)造法和導(dǎo)

數(shù)法求出函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

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9.【答案】BCD

【解析】解：由函數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足：

①對(duì)于任意x,恒有-八,■”,即，//，可得/，，為奇函數(shù);

②對(duì)于定義域上的任意「，:，，當(dāng)心，「.，恒有'7"U,可得『，，遞減函數(shù)；

X|-七2

對(duì)于/中，函數(shù)3是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，符合題意；

對(duì)于3中，函數(shù)八”■是定義域R上的偶函數(shù)，不符合題意；

對(duì)于C中，函數(shù)十」，/是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)，但單調(diào)遞增，不符合題意；

對(duì)于。中，函數(shù),、，！的定義域?yàn)镮-II..x?,

X

且a「)在?\.山，-x?單調(diào)遞減，但在?-―/小ML■、?上不是單調(diào)遞減，不符合題意.

故選：BCD.

根據(jù)題意，得到函數(shù)/，，為奇函數(shù)，且為單調(diào)遞減函數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.

本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的判斷，屬于中檔題.

10.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于41^0.1+10.01^-2!)+(U.(K)I：；???I+"1+().()1+0.001+…二，/

正確;

對(duì)于8,--12?.-<12],B正確;

I,而，I,顯然。錯(cuò)誤;

對(duì)于Cfli?\1*I-?r2tI1

2112321”3211232H23hr)?

對(duì)于D,"J:,11'：,：'-'；'「，，：，。正確?

444444412H

故選：ABD.

根據(jù)泰勒公式展開(kāi)函數(shù)，進(jìn)而比較數(shù)的大小即可.

本題主要考查數(shù)的大小比較，利用泰勒公式進(jìn)行合理地放縮是解決本題的關(guān)鍵，屬中檔題.

11.【答案】CD

【解析】解：把f分別代入"，和“，「.一2,可得〃，，；，，「〃，?，

又八|，-2.01,-2-i>'+產(chǎn)一，+2)—/+/—f+2.

令“"，’+「-―3

則；-''--I-1,再令/”t\-r'>2'1,則“"?!??11,

則g為。上的單調(diào)遞增函數(shù),......即，「山0,

又"'”為增函數(shù)，-.當(dāng)，時(shí)，t:S單調(diào)遞減，

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當(dāng)，■\I時(shí)，/：?jiǎn)握{(diào)遞增,

9（，）-=9（。）=3.

即1八（'的面積可能為3,I

故選：「/）.

分別求出8、C的坐標(biāo)，寫(xiě)出三角形N3C的面積，再由導(dǎo)數(shù)求最值得答案.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

12.【答案】

道清期得

【解析】

讀愿正在審核中,鼓清期特~

13.【答案】:一I

【解析】解：因?yàn)槎x在R上的偶函數(shù)》，，當(dāng)J，II時(shí)，…

所以當(dāng)/?u時(shí)，"，_

而」I時(shí)，''>”，II，時(shí)，?”，

所以Jr在IX11上單調(diào)遞減，在II.W上單調(diào)遞增，

所以/，「，在I.山有1個(gè)極小值點(diǎn)，又函數(shù)》是偶函數(shù)，

所以：，在X也有1個(gè)極小值點(diǎn)，且/，，在「」.；1上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)/在/U時(shí)，取得極大值，所以函數(shù)/一，在R上有3個(gè)極值點(diǎn)，所以.，J;

因?yàn)槟缓瘮?shù)1，Irn-3i.r",所以…31,解得二1,所以八J,

所以J（-（才-3產(chǎn)+，''bl.'=-（JT-3），'+<''l<l.r

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故答案為：1=，-I

求函數(shù)/，，的導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得出函數(shù)/，，，的單調(diào)性，從面求出/，”在IX.山上的極值點(diǎn),

再根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，求得a的值；根據(jù)塞函數(shù)的定義求得從再由定積分計(jì)算公式求得答案.

本題考查定積分的求解，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題.

14.【答案】144

【解析】解：這5個(gè)球放入4個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，且同色球不能放在同一個(gè)盒

子中，

則一個(gè)盒子里有2個(gè)球，一定為1紅1黃，其余盒子每個(gè)盒子放一個(gè)，

故*有?>15種，

故答案為：144

有題意可得一個(gè)盒子里有2個(gè)球，一定為1紅1黃，其余盒子每個(gè)盒子放一個(gè)，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得.

本題考查了分步計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題

15.【答案】解：111」-；，5為鈍角，

由.二，八.川」，由正弦定理可得、in1--111/>?111'

conA

在，中，MHI0,

可得、in845.1,

又因?yàn)?為鈍角，所以〃I

212

所以一—一?V

又因?yàn)?2，由正弦定理可得：

smAanC

sinA~?3v2-v'6

即〃"-TV。=—%-2:————，

sinC3

I，由111可得、山。_-4」，

第10頁(yè)，共14頁(yè)

可得可得"-I，「

=富一.1//-*-X—(-1,

222

可得⑴.；，

.-訂

所以'in.1二」山\?-.ml2\?

，?5；.1-2>iir.1?、iu.1-1，

則，--I，/.?（?.'；?，

開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸,',

當(dāng)，I時(shí)，，,，!,

1<）

當(dāng)f時(shí)，4，，

4K

?退時(shí)，”漁，

2"2

所以=

2M

%/5Q

28’

所以?、ui「的范圍為~*

2'S''

【解析】I由題意及正弦定理可得角8的大小，進(jìn)而可得角C的大小，再由正弦定理可得。的值，進(jìn)而求

出三角形的面積；

」由小可得角/的范圍，由題意可得zi-1.、uM2-,ir1?■,：1.1-1,換元，由題意可得二次函數(shù)

的性質(zhì)可得>in.1-7“（’的范圍.

本題考查正弦定理及兩角和的正弦公式的應(yīng)用，換元法的應(yīng)用及二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題.

16.【答案】解：III有2+為212，即音+q-60>

解得：，/2或3

,:q>II,

.112,

AL=2".

有，、-il??U-,Jn?

>=I，

第11頁(yè)，共14頁(yè)

又有兒s；2,即IhL2tu,

<i<j6于是得d1,

則"

21r

?，

logjnJug?2^,n=2^

2'時(shí),f'unh2"ifhb：二P門(mén)?―卜i：?2',

.?.丁一-21，即5n2"，

設(shè),1,二匯…21.2?2-2-+n2"①，

則24,—I?匯-2.爐----+I”-1)x2--"x2*“②，

①-②得A-In-1?-2",'+2

?得Tr,-2-'':In1?2'

r-l

【解析】III直接利用遞推關(guān)系式和等比數(shù)列的應(yīng)用求出。和，.

nil利用乘公比錯(cuò)位相減法的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式，乘公比錯(cuò)位相減法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能

力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：1?由已知得j?」■-2〃-1」—辦+d

且函數(shù)心」的圖象過(guò)點(diǎn)11.??,/'<?'I,

/(0),c?1

/II:“一?，一，"“，

!/(1)=(。+b+cjf>=—e

解得"J,八7,r1；

I，由得人“UJ1.

若/i.，,小”在|1；」\上恒成立，

則IL』?I,7J,-*IIIIfr-在IM.?XI上恒成立,

即I/tIJ，I，17”在III.?XI上恒成立，

第12頁(yè)，共14頁(yè)

因?yàn)?，所以，II),從而可得…'’在-、，上恒成立，

(1-1

人，J'21

令〃I/1-11?Ui,則4I『I——------,―,

H-1{?'-IP

令.，1';II0),則Mr)t1>0恒成立;在(0.+0C)上為增函數(shù),

又「I11=，—1—2J",/121<-I-0,

所以存在…，使得.，一，?2u,

得，,1,，；=。,且當(dāng)(I-?、時(shí)，/八,；-u,/”一單調(diào)遞減；

當(dāng)」【時(shí)，『一II,"Irl單調(diào)遞增，

則〃"k"=/'：「一：?"I，

又，.2=。，所以，,2,代入上式，得力(W=孫+2,

又門(mén)€(1,2),所以〃(X?)€(3,4),

因?yàn)椤扒摇保?、，所以，，一，1,故機(jī)的最大值為3.

/(0)-c?1

f\1.1.......................解出a,b,c即可；

{/⑴■(a+b?c)r—一匕

廣，首先將原不等式參變分離轉(zhuǎn)化為“，,"'I"',再構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)最值即可.

(1-1

本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，及研究函數(shù)最值.

18.【答案】

敬清期待~

【解析】

該舞正在審樓中.電清朝恃~

19.