2025年人教版八年級數(shù)學(xué)下冊第十八章綜合檢測試卷（提升卷）（解析版）

第十八章平行四邊形單元測試（提升卷）

滿分100分

選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.如圖，用平行四邊形紙條沿對邊AB、CD上的點(diǎn)E、尸所在的直線折成V字形圖案，已知圖中/1=56。,

則/2的度數(shù)為（）

A.56°B.66°C.68°D.112°

【解答】解：根據(jù)題意得：2N1+N2=18O。，

.*.Z2=18O°-2x56°=68°,

故選：C.

【小結(jié)】本題考查了折疊的性質(zhì)和平角的定義；熟練掌握折疊的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

2.張師傅應(yīng)客戶要求加工4個菱形零件.在交付客戶之前，張師傅需要對4個零件進(jìn)行檢測.根據(jù)零件的

檢測結(jié)果，圖中有可能不合格的零件是（）

【解答】解：A、四條邊相等的四邊形是菱形，能判定菱形，不符合題意；

8、有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，鄰邊相等的平行四邊形是菱形，能判定菱形，不符

合題意；

C、不能判定四邊形是平行四邊形，故不能判定形狀，符合題意；

。、兩組對邊平行，能判定平行四邊形，鄰邊相等的平行四邊形是菱形，則能判定菱形，不符合題意.

故選：C.

【小結(jié)】本題考查了菱形的判定定理，平行四邊形的判定，熟練掌握菱形的判定是解題的關(guān)鍵.

3.下列平行四邊形中，其圖中陰影部分面積不一定等于平行四邊形面積一半的是（）

【解答】解：4、無法判斷陰影部分面積是否等于平行四邊形面積一半，錯誤;

2、因?yàn)閮申幱安糠值牡着c平行四邊形的底相等，高之和正好等于平行四邊形的高，所以陰影部分的面

積等于平行四邊形的面積的一半，正確;

C、根據(jù)平行四邊形的對稱性，可知小陰影部分的面積等于小空白部分的面積，所以陰影部分的面積等

于平行四邊形的面積的一半，正確;

￡?、因?yàn)楦呦嗟?，三個底是平行四邊形的底，根據(jù)三角形和平行四邊形的面積可知，陰影部分的面積等

于平行四邊形的面積的一半，正確.

故選：A.

【小結(jié)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，并利用性質(zhì)結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行判斷，找出選項(xiàng).

4.小琦在復(fù)習(xí)幾種特殊四邊形的關(guān)系時整理如圖，(1)(2)(3)(4)處需要添加條件，則下列條件添

加錯誤的是()

AD

B

A.(1)處可填NA=90。B.(2)處可填A(yù)D^AB

(3)處可填。C=CBD.(4)處可填

【解答】解：4、有一個角是直角的平行四邊形是矩形,

(1)處可填N4=90。是正確的，故該選項(xiàng)不符合題意;

2、一組鄰邊相等的矩形是正方形,

(2)處可填是正確的，故該選項(xiàng)不符合題意;

C、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形,

(3)處可填。C=C2是正確的，故該選項(xiàng)不符合題意;

。、有一個角是直角的菱形是正方形,

，NB=ND無法判定兩角是不是直角，故該選項(xiàng)不符合題意；

故選：D.

【小結(jié)】本題主要考查了矩形的判定，正方形的判定和菱形的判定，熟練掌握特殊四邊形的關(guān)系是解題

的關(guān)鍵.

5.有長度分別為6cm,Scm,10cm的鐵絲三根，取其中一根作為邊，另外兩根作為對角線.下列取法中，

能搭成一個平行四邊形的是（）

A.取10cm長的鐵絲為邊

B.取8。機(jī)長的鐵絲為邊

C.取6cm長的鐵絲為邊

D任意取一根鐵絲為邊均可

【解答】解：A、取10cm長的鐵絲為邊時，

11

V-x6=3,-x8=4,3+4<10,不能構(gòu)成三角形,

22

則不能構(gòu)成平行四邊形，選項(xiàng)A不符合題意；

B、取8aw長的鐵絲為邊時，

11

V-x6=3,-xl0=5,3+5=8,不能構(gòu)成三角形，

22

則不能構(gòu)成平行四邊形，選項(xiàng)2不符合題意；

C、取6cMi長的鐵絲為邊時，

11

V-X8=4,-X1O=5,4+5>6,能構(gòu)成三角形，

22

則能構(gòu)成平行四邊形，選項(xiàng)C符合題意；

D,任意取一根鐵絲為邊時，不一定能構(gòu)成三角形，

則不一定能構(gòu)成平行四邊形，選項(xiàng)。不符合題意；

故選：C.

【小結(jié)】本題考查了平行四邊形的判定以及三角形的三邊關(guān)系；熟練掌握平行四邊形的判定和三角形的

三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，延長矩形ABC。的邊BC至點(diǎn)E,使CE=BD,連接AE,若/ADB=40。,則/E的度數(shù)為（）

A.35°B.30°C.25°D.20°

【解答】解：連接AC,交3D于點(diǎn)O,

???四邊形ABC。是矩形，

：.AD//BE,AC=BD,OA=OC,OB=OD,

：.OA=OD,

ZA￡)B=40°,

JZADB=ZCAD=40°,

：.ZE=ZDAE,

又,；BD=CE,

：.CE=CAf

：./E=/CAE,

???ZCAD=ZCAE+ZDAE,

：.ZE+ZE=40°,即NE=20。.

故選：D.

【小結(jié)】本題考查了矩形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.矩形的性質(zhì)：①平行四邊形的性

質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等.

7.如圖，四邊形A5CD是菱形，對角線AC、3。交于點(diǎn)O,于點(diǎn)E尸是線段AZ）的中點(diǎn)，連接

OF,若04=4,OF=L則OE的長為（）

【解答】解：???四邊形ABC。是菱形，對角線AC、BD交于點(diǎn)O,

C.ACLBD,OA=OC,OD=OB,

：.NAOD=90。，

?“是線段AD的中點(diǎn)，。/=尚，

???0F=1AD=I，

：.AB=AD=5,

??Q=4,

???AC=2OA=8,OD=yjAD2-OA2=V52-42=3,

:?BD=2OD=6,

,?*S菱形48c7）=5DE=gX8x6,

：.DE==24^,

故選：D.

【小結(jié)】此題重點(diǎn)考查菱形的性質(zhì)、勾股定理、根據(jù)面積等式求線段的長度等知識與方法，正確地求出

菱形ABC。的兩條對角線及邊AB的長是解題的關(guān)鍵.

9.已知如圖，在口A8CD中，AD>AB,NABC為銳角，將△ABC沿對角線AC邊平移，得到△49C,連

接49和CD,若使四邊形AB'C'D是菱形，需添加一個條件，現(xiàn)有三種添加方案，甲方案：AB'=DC；

乙方案：B'DLAC'-,丙方案：ZA'CB'=ZA'C'D；其中正確的方案是（）

A.甲、乙、丙B.只有乙、丙C.只有甲、乙D.只有甲

【解答】解：根據(jù)題意可知AD//B'C,

四邊形是平行四邊形.

方案甲，AB，=C。不能判斷四邊形AB9O是菱形；

方案乙，由B'DLAC,

平行四邊形AB'CD是菱形；

方案丙，由NACB'=/AC。，又AD//BC,

，ZDAC=ZA'CB',

：.ZDAC=ZACD,

：.AD=CD,

，平行四邊形ABC。是菱形.

所以正確的是乙和丙.

故選：B.

【小結(jié)】本題主要考查了菱形的判定及平移的性質(zhì)，靈活選擇判定定理是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，一張等腰直角三角形ABC紙片，已知AB=3C=20cm,先裁剪出①號長方形然后在剩

余的大紙片三角形AFD中剪出②號長方形GHMN,且滿足HM^DE,當(dāng)①號長方形的面積為64c7〃2時，

則②號長方形的面積為（）

C.(64V2-32)cm2D.(32V2-8)cm2

【解答】解：:△ABC是等腰直角三角形，

ZA=ZC=45°,

:四邊形8瓦甲，GHMN是長方形，

：.FD//BC,GH//AC,ZDEB=ZBFD=ZMNG=90°,HM=GN,FD=BE,

：.ZGDN=ZC=45°,ZHFG=/A=45°,

:ZDEC=ZDNG=NHFG=90°,

:.ADEC、ANDG、△尸HG是等腰直角三角形，

設(shè)DE=xcm,

'：HM=DE,

EC—HM—GN—xcm,

:.FD=BE=(20-x)cm,GD=y/2GN=y/2x(an),

FG=(20-x—y/2x')cm,

：.HG=V2FG=(2Ch/2-V2x-2x)cm,

:長方形BFDE的面積=BE?Z)E=(20-x)x=64,

...x=4或x=16(舍去),

，長方形MNGH的面積=GH?GN=(20V2-V2x-2x)x=20^2x-(2+V2)/=(64&-32)cm1.

故選：C.

【小結(jié)】本題考查矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形，關(guān)鍵是設(shè)由矩形的面積公式得到(20-x)

x=64,求出x的值，從而求出長方形MNG8的面積.

10.如圖，在正方形ABCQ的邊CQ上取一點(diǎn)E,連接AE,過點(diǎn)A作交CB的延長線于點(diǎn)尸，連

接跖，過點(diǎn)A作AGL所于點(diǎn)G,連接BG.若?！?1,CZ)=4,則線段GB的長度為()

A?金氏拶C.2V2D.當(dāng)

【解答】解：過點(diǎn)G作3c于點(diǎn)H,如圖所示：

???四邊形A3CO是正方形，且。。=4,

：.AB=BC=CD=AD=4fZD=ZBAD=ZABC=90°,

：.ZABF=ZD=90°,

I.ZEAF=ZBAD=90°,

：.ZEAF-ZEAB=ZBAD-NEAB,

：.ZBAF=ZDAE,

在^ABF和^ADE中,

Z.ABF=乙。=90°

AB=AD,

.Z.BAF=/.DAE

：.AABAADE（ASA）,

：.AF=AE,BF=DE=\,

.?.△A"是等腰直角三角形，CF=BC+BF=5,

VAG±EF,

???點(diǎn)G是E/的中點(diǎn)，

VGH±BC,ZABC=90°,

：.GH//CD,

???GH是△廠EC的中位線，

又?：CE=CD-DE=4-1=3,

1315

：.GH=-CE=-,CH=FH=-CF=

2222

：53

.BH=BC-CH=4--2=-2,

在放ASHG中，由勾股定理得：GB=yjBH2+GH2=J（|）2+（|/=苧.

故選：B.

【小結(jié)】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角

形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.如圖，在AABC中，D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)、F,G在邊BC上，＞DG=EF.只需添加一個

條件即可證明四邊形OBGE是矩形，這個條件可以是DE=FG（答案不唯一）.（寫出一個即可）

【解答】解：DE=FG,

理由：E分別是AB,AC的中點(diǎn),

C.DE//BC,

J.DE//FG,

,:DE=FG,

，四邊形DFGE是平行四邊形,

,:DG=EF,

，四邊形OFGE是矩形,

故答案為：DE=FG（答案不唯一）.

【小結(jié)】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練掌握矩形的判定

定理是解題的關(guān)鍵.

12.一種燕尾夾如圖①所示，圖②是在閉合狀態(tài)時的示意圖，圖③是在打開狀態(tài)時的示意圖（數(shù)據(jù)如圖，單

A28E35B

20

28|35

CFD

'JEFLAB,EFLCD,

：.ZAEF=ZCFE=90°,

J.AB//CD,

EB=FD=35mm,

???四邊形BDFE是平行四邊形，

ZBEF=1800-ZAEF=90°,

???四邊形相是矩形，

BD=EF=20mm.

故答案為：20.

【小結(jié)】本題考查矩形的判定，解答時涉及平行線的判定，平行四邊形的判定，掌握矩形的判定方法是

解題的關(guān)鍵.

13.已知：如圖，在長方形ABCD中，AB=4,AD=6,延長BC到點(diǎn)E,使CE=2,連接DE,動點(diǎn)P從

點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿BC-CD-DA向終點(diǎn)A運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動1或7秒時,△ABP

和^DCE全等.

【解答】解：設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動f秒時，△ABP和AOCE全等.

VAB=CD,ZABP=ZDCE=90°,BP=CE=2,根據(jù)SAS證得△AB尸絲△￡>CE,

由題意得：BP=2t=2,

??t=1,

,：AB^CD,若/BAP=NDCE=90。,AP=CE=2,根據(jù)SAS證得△BAPg/XOCE,

由題意得：AP=16-2r=2,

解得t=7.

即當(dāng)/的值為1或7秒時.AABP和ADCE全等.

故答案為：1或7.

【小結(jié)】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考

問題，屬于中考?？碱}型.

14.如圖，四邊形A2CD是個活動框架，對角線AC、2。是兩根皮筋.如果扭動這個框架（BC位置不變），

當(dāng)扭動到/A3C=90。時四邊形ABC。是個矩形，A'C和8。相交于點(diǎn)。.如果四邊形。。DC為菱形，

【解答】解：由題意得，CD'=CD,

?.?四邊形OCDC為菱形，

：.DD'=CD,

：.CD'=DD'=CD,

.?.△CD。是等邊三角形,

/QCD'=60°,

，ZD,CO=60°,

:四邊形A'BC。是個矩形,

/BCD'=90°,

故答案為：30

【小結(jié)】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握矩形

和菱形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，在正六邊形A2CDE/中，M,N是對角線BE上的兩點(diǎn).添加下列條件中的一個：①BM=EN；

②NFAN=/CDM；③AM=DN；④/AMB=/DNE.能使四邊形AMDN是平行四邊形的是①②④

（填上所有符合要求的條件的序號）.

A____________F

【解答】解：①連接A￡）,交BE于點(diǎn)、O,

O\N

'：正六邊形ABCDEF中，ZBAO=ZABO=ZOED=ZODE=60°,

/\AOB和小DOE是等邊三角形,

：.OA=OD,OB=OE,

又?：BM=EN,

：.OM=ON,

...四邊形4MDN是平行四邊形，故①符合題意；

②/FAN=ZCDM,ZCDA=ZDAF,

：.NOAN=ZODM,

J.AN//DM,

又,：/AON=/DOM,OA=OD,

:.AAON學(xué)ADOM(ASA),

：.AN=DM,

...四邊形AMLW是平行四邊形，故②符合題意；

③?.?AM=QN,AB=DE,NABM=NDEN,

；.AABM與ADEN不一定全等,不能得出四邊形AMDN是平行四邊形，故③不符合題意；

?VZAMB=ZDNE,ZABM=ZDEN,AB=DE,

:.AABM且ADEN(A4S),

：.AM=DN,

'：ZAMB+ZAMN=180°,ZDNM+NDNE=180°,

NAMN=NDNM,

C.AM//DN,

四邊形AMLW是平行四邊形，故④符合題意.

故答案為：①②④.

【小結(jié)】本題考查了平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，正六邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四

邊形的判定是解題的關(guān)鍵.

16.如圖所示的玩具，其主要部分是由六個全等的菱形組成，菱形邊長為3c/n,現(xiàn)將玩具尾部點(diǎn)的固定，

當(dāng)這組菱形形狀發(fā)生變化時，玩具的頭部Bi沿射線B7B1移動,整個過程中六個菱形始終全等.當(dāng)ZAiBtCi

【解答】解：如圖：連接4C1,歷歷相交于。,

當(dāng)/42iCi=120。時，

:菱形4BC1B2，CiBi=3cm,

1

'.A\B\=A\B2=3cm,AA\B\B2—'NAiBiCi=60°,

...△46歷是等邊三角形，即6歷=3,

：.B\,歷兩點(diǎn)間的距離為6BiB2=18cm；

當(dāng)NAWlCi=60。時,

丁菱形481cB2,CiBi=3cm,

i

'.A\B\=A\B2=3cm,2/4IBICI=30°,AiCi

.3

".A\O=呼7",

'.B\O=J&Bj-&。2=

...△4B1B2是等邊三角形，即814=3百，

：.Bi，劭兩點(diǎn)間的距離為6BiB2=18V3cm；

.?.點(diǎn)以移動了（188一18）cm.

【小結(jié)】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用菱形的

性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共7小題，滿分52分）

17.（6分）已知：如圖所示，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,BD=2AD,E、F、

G分別是OC、OD、AB的中點(diǎn).

求證：（1）BE±AC.

【解答】證明：（1）連接BE,

?/四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD=BC,OD=OB,

;BD=2AD,

：.OB=BC,

又是OC的中點(diǎn)，

：.BE±AC；

(2)由(1)知NBE4=90。，G是其斜邊的中點(diǎn),

:.GE=|AB,

,:E、F分別是OC、0。的中點(diǎn),

：.EF=1CZ>=-AB,

：.EG=EF.

【小結(jié)】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)，利用平行四邊形的性質(zhì)證

得小OBC為等腰三角形是解題的關(guān)鍵.

18.(6分)51.定義：至少有一組對邊相等的凸四邊形為等對邊四邊形.如圖，已知四邊形ABCZ),點(diǎn)E,

廠是對角線AC,8。的中點(diǎn)，G為BC的中點(diǎn)，連接EF,FG,EG,△EFG為等邊三角形.

(1)求證：四邊形A2C。是“等對邊四邊形”；

(2)若NBAC+NBDC=180。，求NDBC的度數(shù).

【解答】(1)證明：???△E/G為等邊三角形，

：.EG=FG,

；點(diǎn)、E,尸是對角線AC,的中點(diǎn)，G為BC的中點(diǎn),

EG是公CBA的中位線，/G是^BCD的中位線，

：.CD=2FG,AB=2EG,

：.CD=AB,

：.四邊形ABCD是“等對邊四邊形”；

(2)解：過5作3M_LC4交CA延長線于"，過C作CALLBD于N,

VZBAC+ZBDC=180°,ZBAC+ZBAM=180°,

ZBAM=ZCDN,

VZAMB=ZDNC=9009AB=DC,

：./\BAM^/\CDN(AAS),

:?BM=CN,

?；BC=CB,

：.RtLBCMQRmCBN(HL),

NDBC=NACB,

TEG是△CB4的中位線，F(xiàn)G是△BCD的中位線，

；.EG〃AB,FG//CD,

：.ZCEG=ZBAC,/BFG=/BDC,

ZBAC+ZBZ)C=180°,

AZCEG+ZBFG=180°,

???△EFG是等邊三角形，

.??ZEFG=ZFEG=60°,

?.?ZBFG+ZEFG+ZEFD+ZCEG+ZFEG+ZFEA=180°+180°,

JZEFD+ZFEA=6Q°,

：.ZDBC+ZACB=60°,

：.ZDBC=1x60°=30°.

【小結(jié)】本題考查三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由三角形中位線定理推出AB

=2EG,CD=2FG,由△(A4S),推出8M=CN,由RdBCM?RtACBN(HL),推出

ZDBC=ZACB.

19.（8分）如圖，在放△ABC中，NAC3=90。，過點(diǎn)C的直線MN〃A5,0為AB邊上點(diǎn)，過點(diǎn)。作OELBC

交直線MN與E,垂足為R連接CO,BE.

（1）求證：CE^AD；

（2）當(dāng)。在A8中點(diǎn)時，四邊形COBE是什么特殊四邊形？說明理由；

（3）在滿足（2）的條件下，當(dāng)AABC再滿足等腰直角三角形條件時,四邊形CD3E是正方形（直

接填寫答案）.

NDFB=9。。,

?.?ZACB=90°,

:.NACB=NDFB,

J.AC//DE,

,:MN〃AB,即CE//AD,

???四邊形ADEC是平行四邊形，

：.CE=AD；

(2)解：四邊形是菱形，理由如下:

???。為A3中點(diǎn)，

：.AD=BD,

9：CE=AD,

：.BD=CE,

■:BD//CE,

：.四邊形BECD是平行四邊形，

VZACB=90°9。為A3中點(diǎn)，

：.CD=-AB=BD,

2

四邊形BEC。是菱形；

（3）解：當(dāng)AABC是等腰直角三角形時，四邊形BECD是正方形；理由如下:

,?ZACB=90°,

當(dāng)AABC是等腰直角三角形，

為AB的中點(diǎn)，

：.CD±AB,

：.ZCDB=90°,

...四邊形BEC。是正方形，

故答案為：等腰直角三角形.

【小結(jié)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、正方形的判定、菱形的判定、直角三角形斜邊上的中線

性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵.

20.(8分)如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,于點(diǎn)2,AD=24cm,BC=26cm,點(diǎn)尸從點(diǎn)A

出發(fā)，以lc//s的速度向點(diǎn)。運(yùn)動，同時點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，以3a〃/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，其中一個動點(diǎn)

到達(dá)端點(diǎn)時另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為ts.

(1)當(dāng)t=6.5s時，四邊形APQB為矩形；

(2)若尸Q=CD,求/的值；

AD=24cm,BC=26cm,

.".DP=AD-AP—24-t(cm),BQ=26-3t(cm),

'：AD//BC,ZB=90°,

...當(dāng)AP=2。時，四邊形AB。尸是矩形，

?，=26-3f,

解得：t=6.5,

即當(dāng)t=6.5s時，四邊形ABQP是矩形；

故答案為：6.5；

(2)若尸。=C￡),分兩種情況：

①尸Q〃OC時，則四邊形POCQ是平行四邊形，PQ=CD,BP24-t=3t,

解得：t=6,

②尸。與DC不平行時，四邊形PQCD為等腰梯形，PQ=CD,

貝ijQC-PD=4cm,即3L(24-r)=4,

解得：t=l.

(3)若四邊形尸QCO為菱形，則CO=CQ=PD,

.".24-t=3t,解得:t=6,

ACD=C0=18,

作于M,如圖所示：

則AB=ZW,BM=AD=24,

：.CM=BC-BM=2,

在RtACDM中,DM=yJCD2-CM2=V182-22=8一,

AB—8y/5,即AB=84cm,

在點(diǎn)P、。運(yùn)動過程中，四邊形尸QCO能構(gòu)成菱形.

【小結(jié)】此題考查了直角梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、矩形的判定形的判定、等腰梯形的性質(zhì).熟

練掌握平行四邊形和矩形的判定，根據(jù)題意得出方程是解決問題的關(guān)鍵.

21.(8分)如圖，RtACEF中,ZC=90°,/CEF、/CFE外角平分線交于點(diǎn)A,過點(diǎn)A分別作直線CE,

CF的垂線，B,。為垂足.

(1)ZEAF=45°(直接寫出結(jié)果不寫解答過程)

(2)①求證：四邊形ABCD是正方形.

②若BE=EC=3,求AAEr的面積.

(3)如圖(2),在APQR中，ZQPR=45°,高PH=7,QH=3,則”R的長度是2.8(直接寫出

結(jié)果不寫解答過程).

圖1圖2

【解答】(1)解：：/C=90。，

ZCEF+ZCFE=9Q°,：.ZBEF+ZDFE=180°+180°-90°=270°,

\'AE^ZBEF,AB平分/QFE,

11

:.Z.AEF=-(BEF,^AFE=-乙DFE,

22

111i

：./-AEF+Z.AFE="EF+-/-DFE=±QBEF+乙DFE)=-x270°=135°,

222'72

:.ZEAF=180°-135°=45°,

故答案為：45；

(2)①證明：過點(diǎn)A作AG,所于G,

圖1

TAE平分N3E尸，ABLEB,AGLEF,

???A5=AG,

同理可得AD=AG,

：.AB=AD,

U：AB.LBC,ADLCD,

：.N3=N0=9O。，

???ZB=ZC=ZD=90°,

J四邊形ABC。是矩形,

*：AB=AD,

J四邊形ABC。是正方形；

?VAG±EF,

???ZAGE=ZAGF=90°,

在RtLABE和RtXAGE中,

(AB=AG

VAE=AE"

：.RtAABE^RtAAGE(HL),

：?BE=GE=3,

同理可得。尸=GR

設(shè)。F=GF=x,

.??￡F=3+x,

?;BE=EC=3,

.??3C=3+3=6,

：.CD=AB=AG=6f

.\CF=6-x,

在RtbCEF中，修+。產(chǎn)=麗，

32+(6-x)2=(3+x)2,

解得x-2f

.\EF=3+2=5,

**,^^AEF=，/G=|x5x6=15；

(3)解：如圖2所示，把△PQH沿尸Q翻折得△尸QD,把△尸R”沿尸R翻折得△PRM,延長。Q、MR

交于點(diǎn)G,

P

X?

G

圖2

由折疊可得尸O=PH=PM=7,QD=QH=3,MR=HR,NDPQ=NHPQ,NMPR=NHPR,ZD=ZPHQ

90°,ZM=ZPHR=90°,

AZDPM=2ZHPQ+2ZHPR=2(/HPQ+NHPR)=2ZQPR=90°,

：.ZD=ZDPM=ZM=9Q°,

，四邊形PMGO是矩形,

,:PD=PM,

：.四邊形PMGD是正方形，

：.DG=MG=PD=1,

：.GQ=DG-QD=7-3=4,

設(shè)MR=HR=a,貝IQR=