2025年九年級數(shù)學(xué)中考三輪沖刺練習(xí)：一次函數(shù)中全等三角形和相似三角形存在性問題（含答案）

2025年九年級數(shù)學(xué)中考三輪沖刺練習(xí)一次函數(shù)中全等三角形和相似三角形存在性問題

1.如圖，一次函數(shù)y=-x+4的圖象與y軸交于點A,與x軸交于點8,過A2中點。的直

線CD交x軸于點C,且經(jīng)過第一象限的點E(6,4).

(1)求A,B兩點的坐標及直線CD的函數(shù)表達式；

(2)連接BE,求的面積；

(3)連接。。，在坐標平面內(nèi)找一點P,使得以點C,。，尸為頂點的三角形與△C。。

全等，請直接寫出點尸的坐標.

OB3

2.如圖，直線/：y=fcc+3與x軸、y軸分別交于A、8兩點，一=-,OM1AB,垂足為

OA4

點V,點尸為直線/上的一個動點(不與A、B重合).

(1)求直線>=依+3的解析式；

(2)當(dāng)點P運動到什么位置時△BOP的面積是6；

(3)在y軸上是否存在點Q,使得以。，P,。為頂點的三角形與△OMP全等，若存在，

請求出所有符合條件的點P的坐標，若不存在，請說明理由.

3.如圖，在平面直角坐標系中，直線A3與x軸、y軸分別交于點A、點、B,直線C￡)與x

軸、y軸分別交于點C、點。，AB與CO相交于點E,線段0c的長是一元二次方

程尤2-18X+72=0的兩根(OA>OC),BE=5,OB=^0A.

(1)求點A、點C的坐標；

(2)求直線CD的解析式；

(3)在x軸上是否存在點P,使點C、點E、點尸為頂點的三角形與△OCO相似？若存

在，請求出點尸的坐標；如不存在，請說明理由.

4.如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，已知點A(0,6),點、B(8,0).動點P從A開始在線段

AO上以每秒1個單位長度的速度向點。移動，同時動點。從點B開始在線段癡上以

每秒2個單位長度的速度向點A移動，設(shè)點P,Q移動的時間為f秒.

(1)求直線的解析式；

(2)當(dāng)f為何值時，△AP0與△AOB相似，并求出此時點P的坐標.

5.如圖，直線A8分別與兩坐標軸交于點A(4,0).B(0,8),點C的坐標為(2,0).

(1)求直線AB的解析式；

(2)在線段A2上有一動點P.

①過點P分別作x,y軸的垂線，垂足分別為點E,F,若矩形。￡尸尸的面積為6,求點尸

的坐標.

②連接CP,是否存在點尸，使△ACP與△AOB相似？若存在，求出點尸的坐標；若不

存在，請說明理由.

6.如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線A：y=x+2與x軸交于點A,直線及：y=3x-6

與尤軸交于點。，與/1相交于點C.

(1)求點D的坐標；

(2)在y軸上一點E,若SAACE=&ACD,求點E的坐標；

(3)直線/1上一點尸(1,3),平面內(nèi)一點凡若以A、P、尸為頂點的三角形與

全等，求點尸的坐標.

7.在平面直角坐標系中，直線y=x+2交無軸于點A,交y軸于點8,直線BC交無軸于

點C(1,0).

(1)先判斷△ABC的形狀，再說明理由；

(2)線段AC上取一點。，使得△28是以BC為腰的等腰三角形，求點。的坐標；

(3)若在x軸上有一點在直線BC上有一點N,滿足△MNC四△AOB,求點M的坐

標.

8.如圖，函數(shù)y=-x+2的圖象與x軸，y軸分別相交于點。，C,直線AB經(jīng)過點A(-2,

0)和點8(0,6),直線AB,C￡＞相交于點M.

(1)求點M的坐標；

(2)點、N在直線CD上，使得S&BMN=2SMMC,求N點的坐標；

(3)在直線C。上是否存在點P,使得8,M,P三點構(gòu)成的三角形與△AMC全等，若

存在求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

9.直線A3：y=x+b分別與尤，y軸交于A,8兩點,點A的坐標為(-3,0),過點2的直

線交無軸正半軸于點C,且。3：OC=3：1.

(1)求點8的坐標及直線BC的函數(shù)表達式；

(2)在x軸上方存在點￡?,使以點A,2,。為頂點的三角形與△ABC全等，畫出

并求出點。的坐標；

(3)在線段上存在點P,使點尸到點8,C的距離相等，求出點P的坐標.

備用圖

10.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知一次函數(shù)經(jīng)過點A(2,0)、點B(-1,3),點

D(1,-1).

(1)求一次函數(shù)的解析式；

(2)求的值；

(3)設(shè)線段8。與x軸交于點P,如果點C在無軸上，且△A2C與相似(相似比

不為1),求點C的坐標.

11.已知：在平面直角坐標系xOy中，直線y=-3x+機經(jīng)過點2(1,-1),并且與y軸交

于點C,點A在x軸正半軸上，且OC=OA.

(1)求直線BC的解析式以及點A的坐標；

(2)聯(lián)結(jié)A3、AC,求NA8C的余弦值；

(3)設(shè)直線3c交x軸于點E,問：在x軸上是否存在點P,使得與aABE相似，

若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由

12.如圖，直線/1：y=-2x+6與過點8(0,3)的直線及交于點C(1,加)，且直線人與

x軸交于點A,與y軸交于點D

(1)求直線/2的函數(shù)表達式；

(2)若點M是直線/2上的點，過點M作MNLy軸于點M要使以。、M、N為頂點的

三角形與△AOD全等，求所有滿足條件的點M的坐標.

13.如圖，在平面直角坐標系中，矩形。4BC的頂點A在y軸正半軸上，邊A3、OA(AB

＞。4)的長分別是方程/-llx+24=0的兩個根,。是AB上的一動點(不與A、8重合).

(1)填空：AB=,04=.

(2)若動點D滿足△BOC與△A。。相似，求直線OD的解析式.

14.如圖，在平面直角坐標系中，。是坐標原點，一次函數(shù)與x軸正半軸交于點A,與y軸

負半軸交于點2,OB=1,tan/0BA=3,點C是射線4?上的一個動點(點C不與點0,

A重合).把線段CO繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到的對應(yīng)線段為CO,點。是CO1的

中點，連接AD,設(shè)點C坐標為(n,0),△AC￡＞的面積為S.

(1)求點A坐標；

(2)求當(dāng)點C為。4中點時S的值；

(3)請求出S與”的函數(shù)表達式；

(4)當(dāng)以A、C、。為頂點的三角形與△AOB相似時，請直接寫出滿足條件的”的值.

15.如圖，平面直角坐標系中，已知直線丫=-x上一點M(-2,2),A為y軸正半軸上一

點，連接AM；過點加作￡河_14加，在EM上截取線段NM,使NM=AM,過點N作直

線8CU尤軸，垂足為&交直線y=-x于點C,連接AN,交直線y=-x于點D

(1)求證：OA-OB-,

(2)當(dāng)點A坐標為(0,5)時，求點。的坐標；

(3)當(dāng)0△CMW時，直接寫出點A的坐標.

參考答案

1.【解答】解：(1)一次函數(shù)y=-x+4,令x=0,則y=4；令y=0,則x=4,

AA(0,4),B(4,0),

:。是A8的中點，

：.D(2,2),

設(shè)直線CO的函數(shù)表達式為、=依+6,則

｛產(chǎn)黑獸,解得卜另,

(2=2k+b1

直線CD的函數(shù)表達式為》=%+1；

1

(2)y=ax+l,令y=0,貝!I尤=-2,

C(-2,0),

.?.BC=2=4=6,

1

.?.△Z5BE的面積=Z\8CE1的面積-△BCD的面積=2X6X(4-2)=6；

(3)如圖所示，當(dāng)點尸在第一象限時，點尸與點。重合，即點尸的坐標為(2,2)；

當(dāng)點尸在第二象限時，點p的坐標為(-4,2)；

當(dāng)點尸在第三象限時，點廠的坐標為(-4,-2)；

當(dāng)點尸在第四象限時，點廠的坐標為(2,-2).

2.【解答】解：(1):直線/：y=fcc+3與y軸交于點B

：.B(0,3),02=3

..OB3

?CM_4，

；.。4=4,即A(4,0)

:點A在直線/上，

.?.4k+3=0解得：k=-1

直線/的解析式為尸-泰+3

(2)過P作尸C_Ly軸于C,如圖1,

1

：.S^BOP=*O5?PC=6

.\PC=4

???點尸的橫坐標為4或-4

??,點尸為直線/上的一個動點且不與A、3重合

，橫坐標不為4,縱坐標為：-Jx(-4)+3=6

點尸坐標為(-4,6)時，△B。尸的面積是6；

(3)存在滿足條件的P、Q

,：OM1AB,AB=yJOB2+OA2=V32+42=5

Z0Mp=90°OM=0A.^B=

ADD

...以0,P,。為頂點的三角形與△OMP全等時，斜邊。尸為對應(yīng)邊，N。。尸=90°,

①△OMP之△PQO

：.PQ=OM=^-,即尸點橫坐標為一半或卷，如圖2和圖3,

3,12、~243126

一[X（-號）+3=寧一[X虧+3=5

1224—126

:.點、P（―y—）或（二，-

。555

②△OMP0ZXO。尸

217.4

一4%+3=可解得：x=耳

―3612—412

二.點尸(―,—-F-)或(=，-)

5355

3.【解答】解：(1)/-18x+72=0即(%-12)(x-6)=0,

則xT2=0,x-6=0,

解得：尤=12或x=6,

又；OA>OC,

；.。4=12,0c=6,

的坐標是(12,0),C的坐標是(-6,0).

4

2-

3

???0B=件4=16,

則8的坐標是(0,16).AB=y/OA2+OB2=V122+162=20.

作■，了軸于點K

則△AE/S/XABO,

#AF153

"OA-20-4’

.AF3

??=一,

124

：.AF^9,EF=12,

則0P=12-9=3,

則E的坐標是(3,12).

設(shè)直線CD的解析式是尸質(zhì)+6,貝1]{1屋：匕；；，

解得：卜=1,

則直線CD的解析式是y=3+8；

(3)設(shè)P的坐標是(p,0),則PC=p+6.

,,CDOCr106

當(dāng)△COOs^CEP時，一=—,即癡=

CPCE15,

解得：P=19,

則尸的坐標是(19,0)；

,,OCCD610

當(dāng)△COOs/^CPE時，一=—,則k

CPCE15,

解得：p=3,

則尸的坐標是(3,0).

總之，尸的坐標是(19,0)和(3,0).

y

B

x

4.【解答】解：（1）設(shè)直線A3的解析式為y=fcv+b,

由題意，得&T+6b=0，

解得卜=/

3=6

二?直線AB的解析式為y=-冬+6；

（2）在Rt^AOB中，AO=6,BO=8,根據(jù)勾股定理得，A3=10,

由運動知，AP=t,AQ=10-It,

'：NA=NA

???①當(dāng)NAPQ=NA05時，AAPQ^AAOB.

.t10-2t

.?一=,

610

.**t=普（秒）,

,,36

此時P（0,一）；

11

②當(dāng)NAQP=NAOB時，AAQP^AAOB.

.t10-2t

??—f

106

**?t—瑞（秒）；

28

此時尸（0,一）；

13

,5036、3028

，當(dāng)/為一秒，P（0,一）或一秒時，P（0,一）,AkAP。與△A03相似;

13111113

5.【解答】解：（1）設(shè)直線A5的解析式為>=丘+力，如圖1：

圖1

依題意，｛蕖L

.(k=-2

*ifo=8

?'?y=-2x+8；

(2)①設(shè)動點尸(x,-2x+8),貝PF=-2x+8,

S^OEPF—PE9PF=X(-2x+8)=6,

??XI=1,X2=3;

經(jīng)檢驗Xl=l,X2=3都符合題意，

...點P(1,6)或(3,2)；

②存在，分兩種情況

第一種：CP//OB,

：.△ACPS/XAOB,

而點C的坐標為(2,0),

...點P(2,4)；

第二種CP_LA3,

VZAPC^ZAOB^90°,ZPAC^ZBAO,

.APAC

??—,

OAAB

■絲2

??4―"+82'

：.AP=等

如圖2,過點尸作尸軸，垂足為H,

:?PH〃OB,

：.△APHsAABO,

?PHAPAH

??OB~AB~OA

2V5

.PH—AH

??8-4V5-4

42

:.PH.AH=j

；?OH=OA-AH=*

一184

???點尸的坐標為(2,4)或點尸(三，

6.【解答】解：(1),?,直線/2：丁=3%-6與工軸交于點。,

???令y=0,則3x-6=0,

??x=2,

：.D(2,0)；

(2)如圖1,

?直線/l：y=x+2與％軸交于點A,

???令y=0.

.*.x+2=0,

-2,

.'.A(-2,0),

由(1)知，D(2,0),

：.AD=4,

聯(lián)立直線A,/2的解析式得，E=：+2

(y=3x—6

解得，eu，

(y=6

：.C(4,6),

S^ACD=^AD'\yc\-3x4X6=12,

S^ACE—SMCD,

???%ACE=12,

直線/i與y軸的交點記作點B,

：.B(0,2),

設(shè)點E(0,m\,

BE—\m-2|,

11

S/\ACE—\xc-XA\-^\m-2|X|4+2|=3|m-2|=12,

??Hi——-2

.?.點E(0,-2)或(0,6)；

(3)如圖2,

①當(dāng)點尸在直線A上方時，

:以A、P、尸為頂點的三角形與△APO全等，

，I、當(dāng)△AP尸絲時，連接。尸，BD,

由(2)知，B(0,2),

由(1)知，A(-2,0),D(2,0),

：.OB=OA=OD,

：.ZABO^ZDBO^45°,

ZABD=90°,

：.DB±h,

AAPF^AAPD,

：.PF=PD,AF=AD,

直線/i是線段。尸的垂直平分線，

...點D,f關(guān)于直線Z1對稱，

J.DFYh,

斤過點8,且點2是。尸的中點，

：.F(-2,4),

II、當(dāng)△必尸也△從「￡(時，

：.PF^AD,ZAPF^ZPAD,

C.PF//AD,

;點D(2,0),A(-2,0),

...點。向左平移4個單位，

，點尸向左平移4個單位得，尸(1-4,3),

：.F(-3,3),

②當(dāng)點產(chǎn)在直線/1下方時，

,."△E4F'^AAPD,

由①n知，AR［金八APD,

.?.△E4F^AB4F",

C.AF^AF',PF=PF',

二點F與點/關(guān)于直線/1對稱，

AFF'XZi,

V￡)F±Zi,

：.FF,//DF,

而點尸(-2,4)先向左平移一個單位，再向下平移一個單位，

：.D(2,0),向左平移1個單位，再向下平移一個單位得尸’(2-1,0-1),

：.F'(1,-1),

當(dāng)點尸與點尸重合時，符合題意，即尸(2,0),

即：點尸的坐標為(-3,3)或(-2,4)或(1,-1)或(2,0).

7.【解答】解：(1)△ABC的形狀為直角三角形，理由：

1

對于丫=2尤+2，當(dāng)x=0時，y—2,令y=0,則x=-4,

即點A、8的坐標分別為：(-4,0)、(0,2),

由點A、B、C的坐標得，AB2=20,BC2=5,AC2=25,

貝UAC2=AB2+BC2,

即△ABC的形狀為直角三角形；

(2)△BCD是以BC為腰的等腰三角形，

當(dāng)BCnBD時，則點C、D關(guān)于y軸對稱，即點。(-1,0)；

當(dāng)BC=CZ)時，則。=而，則點。(1一瓶，0),

即。(-1,0)或(1-V5,0)；

(3)如下圖，當(dāng)點M在點C的右側(cè)時，

y

■:AMNC%AAOB,貝UCM=AB=2y，

則點M(1+2V5,0),

當(dāng)點M在點C的左側(cè)時，

同理可得，點M(1-2V5,0),

綜上，M(1+2V5,0)或(1-2V5,0).

8.【解答】解：(1)設(shè)直線解析式為〉=匕+6,把A(-2,0),B(0,6)代入得:

(—2k+力=0

lb=6'

解得憶:,

直線AB解析式為y=3x+6,

聯(lián)立

解得J

：.M(-1,3)；

(2)如圖：

在y=-x+2中，令％=0得y=2,令y=0得x=2,

：.C(0,2),D(2,0),

：.AD=2-(-2)=4,BC=6-2=4,

111

?'?S^AMC=S^AMD-S/xACD=工x4X3-x4X2=2,S^BCM=qx4X|-1|=2,

S=2SAAMC=4y

當(dāng)N在AB左側(cè)時,SABCN=SABCM+S^BMN=2+4=6,

1

x4*(-XN)=6,

2

解得硒=-3,

在＞=-x+2中，令％=-3得y=5,

：.N(-3,5)；

當(dāng)N在AB右側(cè)時，SABCN=SABMN,-S^BCM=4-2=2,

1

x4?項v*=2,

2

解得劉V*=l,

在y=-x+2中，令％=1得y=l,

:.N(1,1)；

綜上所述，N的坐標為(-3,5)或(1,1)；

(3)直線CL(上存在點P,使得2,M,尸三點構(gòu)成的三角形與△AMC全等，理由如下:

VA(-2,0),B(0,6),M(-1,3),

：.AM^V10，BM=VlO,

C.AM^BM,

,:B,M,尸三點構(gòu)成的三角形與△AMC全等，ZAMC^ZBMP,

：.MP=MC,

設(shè)P(x,-x+2),

(x+1)2+(-x+2-3)2=2,

解得尤=0(舍去)或x=-2,

：.P(-2,4).

9.【解答】解：(1);直線A3：y=_r+b過點A(-3,0),

.*.0=-3+b,

:.b=3.

當(dāng)x=0時，y=x+b=6=3,

.,.點B的坐標為(0,3),即02=3.

,/OB：0c=3：1,

；.OC=L

:點C在x軸正半軸，

.,.點C的坐標為(1,0).

設(shè)直線BC的解析式為y=fcv+c(左W0),

c=3

將8(0,3)、C(1,0)代入y=fcc+c,得:

fc+c=O'

解得：卜=13,

1c=3

直線BC的函數(shù)表達式為y=-3x+3.

(2)分△BA。之△ABC和△AB。絲ZVIBC兩種情況考慮(如圖1)：

①當(dāng)△BAO0ZXABC時，：OA=O2=3,

；.NBAC=45°.

VABAD^AABC,

ZABD=ZBAC=45°,BZ)=AC=4,

C.BD//AC,

.?.點。的坐標為(-4,3)；

②當(dāng)時，ZBAD^ZBAC^45°,AZ)=AC=4,

AZDAC=90°,

點。的坐標為(-3,4).

綜上所述，點D的坐標為(-4,3)或(-3,4).

(3)依照題意畫出圖形，如圖2所示.

?：PB=PC,

：.設(shè)OP=尤，貝！IPB=PC=3-x.

在RtZVYJC中，NPOC=90°,

：.OP2+OC2=PC2,即/+P=(3-x)2,

4

解得：x=w，

10.【解答】解：(1)設(shè)一次函數(shù)表達式為>=依+6,

將A(2,0)、B(-1,3)代入得，

(0=2k+b

13=-k+b>

:.一次函數(shù)表達式為y=-x+2；

(2)連接A。、BD,

AB=7(-l-2)2+(3-0)2=V18=3V2,BD=〃一1一1產(chǎn)+(3+1)2=V20=2V5,

AD=7(l-2)2+(-l-0)2=V2,

：.BD1=AD1+AB2,

.?.△A3。為直角三角形，

tunZ.ABD=-r-^=—y==5；

AB3723'

(3)設(shè)直線BD的解析式為y=kix+bi,

把點B(-1,3),點。(1,-1)代入得，

(k1+瓦=-1

t-k]+bI=3'

???直線BD的解析式為y=-2x+l,

令y=0,x=亍

1

?,?%,0),

^AABC^AABP時，ZABC=ZAPBf

如圖，過點5作軸于點Q,則5。=3,OQ=1,

,：AABC^AABP,

NABD=NBCQ,

i

由(2)得，tanZ-ABD=

B八v

1

tanZ.BCQ=*

?j??

.BQ31-----------------

?.————，

CQCQ3CJ

D

，CQ=9,

，OC=CQ+OQ=10,

.?.點C坐標為(-10,0)；

:相似比不為1,

.?.點C和點P不能重合，

故點C的坐標為(-10,0).

11.【解答】解：(1)將點B(1,-1)代入y—-3x+m可得，-1-3+m,

解得m—2,即y—-3x+2,

則C(0,2),從而0c=04=2,

則點A(2,0).

(2)如圖：AB=Vl2+I2=V2,BC=V32+I2=V10,

AC=V22+22=2V2,

,：AB2+AC2=BC2,

：.AABC為直角三角形COSN4BC=器=

^4~~5

2

(3)由題意可得：ZCAP^ZBAE=45°,0),

貝ME=g,BE=孚，

當(dāng)尸在A點的右側(cè)時，ZCAP=135°,此時與△4尸(7和4

AEB不可能相似；

則點尸在A點的左側(cè)，

設(shè)尸(30),則AP=2-f,

當(dāng)△APCS/XAEB時，—=—,即4^=解得t=-1,

AEAB-y/23

3

即P(W0).

當(dāng)△APCS^ABE時，—=—,即與」=-^2,解得t=-1,

ABAEv2-

3

即P(-1,0).

7

綜上點尸的坐標為(-1,0)或(―可，0).

12.【解答】解：(1)?.?直線A：y=-2x+6與直線/2交于點C(1,m),

.\m=-2X1+6=4,

：.C(1,4),

又：/2過點8(0,3),

故設(shè)直線h的函數(shù)表達式為y=^+3,

將C(1,4)代入，得/?+3=4,

解得6=1,

直線h的函數(shù)表達式為y=x+3；

(2)?.?直線/1：y=-2x+6與x軸交于點A,與y軸交于點D

AA(3,0),D(0,6),

軸于點N,

：.MN±ON,

...以0、M、N為頂點的三角形與△AOD全等，分兩種情況：

①如圖，當(dāng)時，MN=AO=3,

?.?直線h的函數(shù)表達式為>=尤+3,

當(dāng)x=3時，y=3+3=6,

...點M的坐標為(3,6)；

②如圖，當(dāng)△MN0咨△004時，MN=OD=6,

???直線h的函數(shù)表達式為y=x+3,

當(dāng)x=-6時，y=-6+3=-3,

...點Af的坐標為(-6,-3).

綜上所述，滿足條件的點M的坐標為(3,6)或(-6,-3).

13.【解答】解：(1)llx+24=0,

(x-3)(尤-8)=0,

??xi=3,X2=8,

'：AB,OA(AB>OA)的長分別是方程f-11無+24=0的兩個根,

.*.AO=3,A8=8,

故答案為：8；3；

(2)若△BOCSADOA,

…BCDA

貝!!—=—,

OCOA

即2=—

83

Q

所以AD=

O

若△BOCS^ODA,

同理可得AD=8(與題意不符，舍去).

9

：.D(-,3),

8

設(shè)直線0。解析式為〉=依，

則3=-全，

O

即k=—

直線OD的解析式為尸-皋.

14.【解答】解：(1)在RtZXCMB中，OB=1,tan/O2A=3,

：.OA^3OB=3,

...點A坐標為(3,0).

(2)為。4