2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：圖形的相似

2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)練習(xí)

圖形的相似

1.如圖，已知在RtZSABC中，ZACB=90°,AD平分4MC,CDVAD,垂足為點(diǎn)DE//AB,交邊BC于點(diǎn)E,tanB4,

求學(xué)的值.

2.如圖，VABC中，NBAC為鈍角,NB=45。，點(diǎn)尸是邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)，CP為邊,在射線BP下

方作4CF=ZB.

⑴在射線CF上取點(diǎn)E,連接AE交線段BC于點(diǎn)D.

①如圖1,若AD=DE,請(qǐng)直接寫出線段AB與CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系;

②如圖2,若AD=0DE,判斷線段旗與CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;

(2)如圖3,反向延長(zhǎng)射線CF,交射線BA于點(diǎn)將ZPCF沿CC，方向平移，使頂點(diǎn)C落在點(diǎn)＜7處，記平移后的4CF

為NPCF,將NPCF繞點(diǎn)(7順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角以0。＜“＜45。)，C尸交線段BC于點(diǎn)“，CP交射線BP于點(diǎn)N,請(qǐng)直接寫

出線段BM"N與CN之間的數(shù)量關(guān)系

3.已知點(diǎn)E是矩形ABCD邊DA延長(zhǎng)上一點(diǎn)，且AE=AC,。是對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn).連接CE,交AB于F,交BD

于G,連接。F,如圖1.

(1)求證：CE平分—ACB.

⑵若AB=3,AD=4,求tanZAOF的值.

⑶若=如圖2,求緇的值.

4.如圖，在矩形ABCD中，AD=4,AB=5，點(diǎn)E,尸分別在邊BC,CD上，滿足ZAEB=NFEC.

⑴求證：AABESAFCE.

(2)若AFE=90°,DF=2,求AE的長(zhǎng).

5.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)。，AB=10cm,BD=4布cm.動(dòng)點(diǎn)/從點(diǎn)A出發(fā)，沿4?方向勻

速運(yùn)動(dòng)，速度為kni/s；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s.以釬，A。為鄰邊的平行

四邊形APMQ的邊與AC交于點(diǎn)E.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r(s)(0<rV5),解答下列問(wèn)題：

⑴當(dāng)點(diǎn)D在0M的垂直平分線上時(shí)，求r的值；

(2)連接班，是否存在某一時(shí)刻r,使￡阿：5啦啾8=1：8?若存在，求出f的值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)是否存在某一時(shí)刻，使點(diǎn)P在，ACB的平分線上？若存在，求出r的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.如圖1,在VMC中，ZACB=90°,AC=BC,點(diǎn)D在邊BC上，連接AD,作ZADE=2NC4Z)交線段AB于點(diǎn)E.

(2)如圖2,連接CE,若CD=BD,求證：AD=CE+DE；

(3)如圖3,若AD=2DE=2M,求VADE的面積.

7.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90,AC=6,AB=10.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AC-CB方向向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P

在邊AC上的速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，在邊CB上的速度為每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)P不與點(diǎn)A和點(diǎn)B重合.過(guò)點(diǎn)

戶向邊AB作垂線段PQ,垂足為點(diǎn)2,以"、A2為鄰邊作平行四邊形他依，連結(jié)CM.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒("0).

(備用圖)

(1)用含，的代數(shù)式表示PC的長(zhǎng)度

⑵當(dāng)點(diǎn)P在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

①當(dāng)點(diǎn)M落在BC邊上時(shí)，求出r的值；

②若△PMC是以加為腰的等腰三角形，求出r的值；

⑶作直線C。，當(dāng)直線C。將平行四邊形A2卯分成面積比為2：3的兩部分時(shí)，直接寫出，的值.

8.如圖1,四邊形AB8的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,OA=OC,OB=OD+CD.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

(1)在圖1中，過(guò)點(diǎn)A作的〃DC交BD于點(diǎn)E,求證：BE=AE；

(2)如圖2,將沿AB翻折得到△題.

①求證：D'B//DC-

②若皿〃BC,0D=\,求。的長(zhǎng).

9.宣紙是中國(guó)獨(dú)特的手工藝品，具有質(zhì)地綿韌、光潔如玉、不蛀不腐、墨韻萬(wàn)變之特色，享有“千年壽紙”的

美譽(yù)，被譽(yù)為“國(guó)寶”.宣紙制作包括108道工序，其中“打漿”這一工序需要使用工具“碓”(圖1),圖2是其

示意圖.。為轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)，CD1AB,AB與水平線跖V的夾角ZAOM=30。，OA=BD=40cm,OB=160cm,當(dāng)。點(diǎn)繞。點(diǎn)旋

轉(zhuǎn)下落到MN上時(shí)，線段AB,BD旋轉(zhuǎn)到線段AX,位置，那么點(diǎn)A在豎直方向上上升了多少？

圖1圖2

10.如圖，在RtZSABC中，ZACB=90。，AC=6,AB=V).動(dòng)點(diǎn)?從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AC-CB方向向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)

P在邊AC上的速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，在邊CB上的速度為每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)?不與點(diǎn)A和點(diǎn)B重合.過(guò)點(diǎn)

P向邊AB作垂線段PQ,垂足為點(diǎn)2,以釬、為鄰邊作平行四邊形A0MP,連結(jié)CM.設(shè)點(diǎn)戶的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒

(f>0).

(1)邊BC的長(zhǎng)度為;

⑵當(dāng)點(diǎn)P在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí).

①若△卬?:與VABC相似，求出，的值；

②若△外紇是以RW為腰的等腰三角形，求出f的值；

⑶作直線C。，當(dāng)直線C。將平行四邊形AQMP分成面積比為2:3的兩部分時(shí)，直接寫出「的值.

11.在矩形ABCQ中，點(diǎn)E,尸分別在邊A￡>,8C上，將矩形ABC?沿EF折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸落在邊8上,

點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G,PG交BC于點(diǎn)H.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求證：ADEP^ACPH；

(2)如圖2,當(dāng)P為。的中點(diǎn)，AB=2,A￡>=3時(shí)，求GH的長(zhǎng)；

(3)如圖3,連接BG,當(dāng)尸，//分別為CD,BC的中點(diǎn)時(shí)，探究BG與AB的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

12.在VABC中，AC=BC,ZACB=90°,D,E分別是AB,BC上的動(dòng)點(diǎn)，AE與CD交于點(diǎn)F,連接DE.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若NABEWCBD,求證：BD=DE;

⑵已知CD，A￡.

(i)如圖2;求證：BDAF=ADCF；

(ii)如圖3,若龐〃4C,AC=1,求tanNCAF的值.

13.如圖，。是V"C的邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)E在VABC外部，且ZS4￡=NC4D,ZACD=ZADC=ZADE,DE交AB于點(diǎn)、F.

(1)求證：AB=AE-

⑵如果=求證:

①△ABO^\AEF；

?EF2=BFAB.

14.如圖，E是矩形ABC。中CD邊上一點(diǎn)，將BCE沿BE折疊得到ABFE,點(diǎn)F落在邊AD上.

⑵若sinZDFE=1,求tan/EBC的值.

15.如圖三角形ABC中，點(diǎn)。在線段BC上，點(diǎn)E在線段AB上，連接A￡),CE交于點(diǎn)F.

⑴如圖1,ADJ.BC,

(2)如圖2,AB=BC,4=45。，AD且BC,點(diǎn)M,N在線段AB上，且AW=BN,連接CM,CN分別交線段AD于點(diǎn)2,

P,若點(diǎn)P為線段CN的中點(diǎn)，求證：AQ+^2CD=AB；

(3)如圖3,AD1BC,CE/AB,且NABC=45。，CD=3,禁=5.點(diǎn)P,。是平面內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且々PC=；NBEC,BQ=DF,

DC,3Z

當(dāng)尸。最大時(shí)，請(qǐng)直接寫出三角形尸。。面積的最小值.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

《2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)練習(xí)：圖形的相似》參考答案

4

1.

13

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，平行線的性質(zhì)，

角平分線的定義，先證明-GWREW,得AC=",CD=DF,再運(yùn)用tanB*,得出AC=AF=5x,CB=12x,結(jié)合

勾股定理列式計(jì)算=再證明△CDES^CFB,得出學(xué)=*=1則DE=4X,所以學(xué)=等=1，即可作答.正

FBCF2AB13%13

確掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)CD交A3于點(diǎn)尸，

C

AD平分ZBAC,

AFB

ZCAD=ZFADf

CD±AD,

ZCDA=ZFDA=9O°,

*.*AD=ADf

△C4￡^Z\E4D（ASA）,

AC=AF,CD=DF,

在RtzMBC中，tan5=^4，

￡）CIN

???設(shè)AC=AF=5%,貝UCB=12%,

**.AB=-JC^+CB2=13x,

FB^AB-AF=13x-5x=Sx,

*.*DE//AB,

ZCDE=ZCFBfNCED=ZB,

/\CDEs/\CFB,

,DECDCD1

**~FB~~CF~2CD~2，

貝（JDE=^FB=4x,

?DE_4x_4

**AB-13X-T3，

2.⑴①鉆=C￡,AB八CE；②AB=?CE,AB^CE,理由見(jiàn)解析

（2）MN2=BM2+CN2

【分析】（1）①作即〃明交族于“，證明出，得至1」至=石”，然后得到EC=EH,進(jìn)而求解即可；

②作EH〃BA交BP于H,證明出“ABD-CHD,得到第=黑=應(yīng)，然后結(jié)合“CF=NB=NSE=ZBCG=45。即可求解；

tL.nLJtL,

（2）首先得到/CC'是等腰直角三角形，然后證明出QAWMA0GN（SAS）,得到肱V=GN,然后利用勾股定理求解

即可.

【詳解】（1）①結(jié)論：AB=CE,AB、CE,

理由：如圖1中，作團(tuán)〃BA交EP于H,

答案第1頁(yè)，共26頁(yè)

A

圖I

EH//BA,

ZB=ZDHEf

VAD=DEfZBDA=ZEDHf

???一BD4一印組(AAS),

AB=EHf

丁ZPCF=ZB=NCHE,

：.EC=EH,

：.AB=CEfZECH=ZEHC=45°f

：.NCEH=90。,

CE1EHf

〈AB//EH,

ABACE；

②結(jié)論：AB=y/2CE.

理由：如圖2中，作EH//BA交BP于H,延長(zhǎng)及1,用交于點(diǎn)G,

圖2

*EH//BA,

."AB4~EHD,

?四=處=3,

EHDE

?AB=41EH,

?ZPCF=ZB=ACHE,

?EC=EHf

?AB=42CE;

*NPCF=/B=NBCG=45。

?NG=90。

?ABACE；

222

(2)結(jié)論：MN=BM+CN9理由：如圖3中，

答案第2頁(yè)，共26頁(yè)

ZB=ZPCF=ZBCC'=45°,

???ICC是等腰直角三角形，將繞點(diǎn)U逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得至kCCG,連接GN,

NCCG=/B=45。,

ZGCB=ZCCG+ZCCB=90°,

ZGCN=90°f

*.*ZMCG=90°,ZMCN=45°,

ZNCM=ZNCG,

VCM=CG,C'N=CNf

I..CMV絳CGV(SAS),

MN=GN,

222

在R'GCV中，VGN=CG+CNfCG=BM,MN=GN,

MN2=BM2+CN2.

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，

解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形.

3.(1)見(jiàn)解析

(2)|

(3)T

【分析】(1)平行得到ZE=4CF,等邊對(duì)等角，得至!!ZE=ZACF,進(jìn)而得到ZBCF=ZACF,即可得證；

(2)過(guò)尸作切J_AC于H,勾股定理求出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AEQC的長(zhǎng)，角平分線的性質(zhì)，得至!=證明

BCES.AEF,求出FB的長(zhǎng)，進(jìn)而得到FH的長(zhǎng)，證明,BCF&HCF(HL),推出OH的長(zhǎng)，再根據(jù)正切的定義，進(jìn)行

求解即可；

(3)易證矩形ABCD是正方形，設(shè)AB=BC=CD=AD=a,進(jìn)而得至!JAE=AC=缶，證明BCF^.AEF,推出FA,FB的

長(zhǎng)，勾股定理求出。產(chǎn)，證明，"CjBGC,列出比例式進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)證明：J?矩形

AD//BC,

ZE=ZBCF

AE=ACf

：.ZE=ZACF,

ZBCF=ZACF

答案第3頁(yè)，共26頁(yè)

CE平分ZACB.

(2)過(guò)尸作W_LAC于”.

在矩形ABCD中，CD=AB=3fBC=AD=4fZABC=90°

22

FB1BCfAC=>jAB+BC=5,

AE=AC=5OC=-AC=-

f22f

由(1)得C￡平分上4C3,

???FB=FHf

BC//AD,

:.“BCFs；AEF,

,FBBC_4

"~FA~~AE~~5

又FB+FA=AB=3f

44

..FB=3x-=-

93t

:.FH=~,

3

BF=FH,CF=CF,NFHC=/FBC=90。,

.BCF^HCF(HL),

,-.CH=BC=4,

153

OH=CH-OC=CH——AC=4——

222

FH8

tanZAOF==一?

OH9,

(3)AB=ADf

矩形ABC。是正方形，

貝UAE

BC

￡區(qū)ID

由(2)知：.BCF。.AEFf

.FBBC1

'E4-AE-V?

FB=Y^AB=(6--1)?,FA=a-^y/2-^a=(2-y/2^af

...FC2=BF2+BC2={A-2⑹a2,

尸平分

ZFAC=ZCBG=45°fCZBC4,

ZACF=ZBCG=22.5°,

答案第4頁(yè)，共26頁(yè)

.?.AAFCSBGC,

AFCF

?茄一節(jié)’

AFBG

,CF-CG*

222

.BG_AF_(6-4^)tz_2-A/2

,,改—不L(S/—2?

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，

解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵.

4.(1)見(jiàn)解析

⑵半

【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

(1)利用矩形的性質(zhì)和已知條件即可證明AABESAFCE；

(2)證明..ABES.ADF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出答案.

【詳解】(1)證明：???四邊形是矩形，

ZB=ZC=90°

*.?ZAEB=ZFEC

/\ABE^/\FCE.

(2)在尸中，AF=y]Ab2+DF2=742+22=245

*.*ZC=ZEFA=90°,

，NCEF+NCFE=ZAFD+NCFE=90。

ZAFD=ZCEFf

*.*ZAEB=NFEC

ZAFD=ZAEB

AABES^ADF.

,AB_AE

**~AD~~AF'

.5A石

??丁南，

AE=-.

2

u小40

5.⑴飛

(2)存在，當(dāng)，=5時(shí)，S&PEB：S四邊形ABCD=1：8

(3)存在，當(dāng).若警時(shí),點(diǎn)P在一ACB的平分線上

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)F,交加于點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)D在2"的垂直平分線上時(shí)，2G=口”，用等面積法

求出。尸，再用含1的式子表示。。、QG,再利用MOGs-DA尸可求出片

(2)連接BE,過(guò)點(diǎn)E作EV_LAB于點(diǎn)N,先用含f的式子表示A￡,再利用..AEVs的。，將EN用含，的式子表示，

通過(guò)面積關(guān)系可求出，；

答案第5頁(yè)，共26頁(yè)

(3)點(diǎn)P在4C5的平分線上，過(guò)點(diǎn)尸作用_LAC于點(diǎn)H,PS1BC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S,得到尸R=PS,用等面

積法求出網(wǎng)，再利用求出初，即可求解.

【詳解】(1)解：如圖，當(dāng)點(diǎn)。在QM的垂直平分線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作D/FAB于點(diǎn)/，交QM于點(diǎn)G,

四邊形加。是菱形，對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)0,

OA±OBf=gBD=2小加,AD=AB=BC=CD=10cm,

OA=4AB2-OB1=J102_R⑹2=46cm,

???AC=2OA=85/5001,

.??菱形ABC。的面積為|AC-BD=AB-DF,即gx8/x46=10-DF,

DF=8cm,

AF=y/AD2-DF2=V102-82=6cm,

由題意得：AQ=2Acm,AP=tCmf四邊形APM0是平行四邊形，

DQ=AD-AQ=(10-2t)cmfQM=AP=tcm,

點(diǎn)。在QM的垂直平分線上，

/.QG=gQM=g/cm,

QM//ABf

“DQGs.DAF,

10—2110

DQAD

,BPl="6,

~QG~~AFr

2

解得：￡;

(2)存在,

如圖，連接BE,過(guò)點(diǎn)E作硒_LM于點(diǎn)N,

PE//BC,AP=tcm,AB=10cm,AC=85/5cm,

.AEP^ACB,

.AE_APpn—=—

'AC-AB*即8省—10，

.人口_4卮

?AE=———t,

ZANE=ZAOB=9Q°,ZEAN=ZBAOf

AENSLABO,

45/5

AE_EN

即MEN,

102y/5

4

EN=-5t，,

3尸=AB-”=(10T)cm,

答案第6頁(yè)，共26頁(yè)

???SpEB=g8P￡N=；(l°T)*=(—|?+’42,

2

S4PEB：S四邊形ABCD=1：8,S四邊形4sa=AB-DF=lOx8=80cm,

2),1“

—t+4/=-x80,

58

整理得：r2-10r+25=0,

解得：t=5,

'?當(dāng)t=5時(shí),S&PEB;S四邊形ABCD=1：8；

(3)存在，

如圖，點(diǎn)尸在NAC3的平分線上，過(guò)點(diǎn)尸作m_LAC于點(diǎn)￡,PS±BCf交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S,

PR=PSf

S.ABC=S.APC+S^=^PR-AC+^PSBC=^PR(AC+BC)=h

Kellll形ABCD，

1p/?-(8^+10)=ix80,

.326-40

■-PpRp=------------cm,

11

ZARP=ZAOB=90°fZPAR=ZBAOf

APR^ABO,

."Y,

.當(dāng),J60；：06時(shí),點(diǎn)戶在4cB的平分線上.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾

股定理，掌握相關(guān)知識(shí)并正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

6.⑴見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

⑶6

【分析】(1)三角形的外角的性質(zhì)結(jié)合直角三角形的兩銳角互余，即可得證；

(2)在AD上截取OF=DE,先證明.CDFgBOE,得到NB=NDCF,CF=BE,,ACF^CBE,得至?。軦F=CE,根據(jù)

線段的和差關(guān)系即可得出結(jié)論；

(3)過(guò)點(diǎn)E作EG_LBC于點(diǎn)G,證明二A3..EGD,得至!jEG=gAC.DG=：CD,證明ABGE為等腰直角三角形，推出

答案第7頁(yè)，共26頁(yè)

EG=3DG,在RtADGE中，勾股定理定理，求出DG的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AC,BC,EG.BG,C￡＞的長(zhǎng)，分割法求出三角形的

面積即可.

【詳解】(1)證明：VZADB=ZADE+ZEDB=ZCAD+ZACB,

又丁ZADE=2ZCAD,

，ZEDB=ZCAD+ZACB-ZADE=ZCAD+ZACB-2ZCAD=ZACB-ZCAD,

ZACD=90°,

，ZADC=ZACB-ZCAD,

ZADC=ZEDB；

(2)在AD上截取方=￡>￡,由(1)知：ZADC=ZEDB,

：.CDF￡BDE,

I.ZB=ZDCF,CF=BEf

*；ZACB=90°,AC=BC,

4=45。，

/DCr=45。，

I.ZACF=ZACB-ZDCF=45°,

ZACF;ZB,

ACF^CBE,

AF=CE,

AD=AF+DF=CE+CE；

(3)VAD=2DE=2y/iOf

DE=M,

過(guò)點(diǎn)E作EG_L3C于點(diǎn)G,貝|J：ZDGE=9O0=ZACB,

由(1)知：ZADC=ZBDEf

/.-ACD^^EGD,

.EGDGDE

..益一而一罰一5，

答案第8頁(yè)，共26頁(yè)

EG=-AC,DG=-CD,

22

*/AC=BC,ZACB=90。,

ZB=45。，

???ABGE為等腰直角三角形,

BG=EG=-AC=-BC,

22

：.CG=BG=CD+DG=3DG,

EG=3DG,

???在RtZWGE中，DE=7DG2+EG=MDG=M，

DG=lf

/.CD=2,BG=EG=3,

，AC=BC=2EG=6f

?,?uQ.ADE-=qa.ABC_^c.ACD_c.BEGa.DGE

=-x6x6—x6x2——x3x3——x3xl

2222

=6.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定

和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形，是解題的關(guān)鍵.

6-3r(O<r<2)

7PC

-d)=|5f-10(2<,<^

(2)①條②，或1

⑶I或葭

【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)P在AC、CB上的運(yùn)動(dòng)速度和時(shí)間3以及AC、8的長(zhǎng)度，分兩種情況表示PC的長(zhǎng)度.

(2)①，當(dāng)點(diǎn)M落在CB邊上時(shí)，利用平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定證明進(jìn)而可得

進(jìn)而證明“A°Ps,ACB,列出比例式即可求出f的值.

②分PM=PC和PM=MC兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和相關(guān)線段關(guān)系求出t的值.

(3)根據(jù)直線C。將>分成面積比為2:3的兩部分，分兩種情況：點(diǎn)P在AC上時(shí)，設(shè)CQ與交于點(diǎn)M,得

PM1

出就點(diǎn)P在。上時(shí)，設(shè)。。與”交于點(diǎn)“2,延長(zhǎng)交。。于4,結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形

的性質(zhì)求出，的值.

【詳解】(1)解：在RtAABC中，根據(jù)勾股定理=而乜

點(diǎn)P在邊AC上的速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，

當(dāng)0<Y2時(shí)，AP=3tf貝！]PC=AC—AP=6—3%；

當(dāng)2<，<]+?=￡時(shí)，點(diǎn)P在上，

此時(shí)PC=5?-2).

答案第9頁(yè)，共26頁(yè)

6-3r(0<r<2)

綜上所述，PC=z"；

5r-iol2</<yI

(2)解：①當(dāng)點(diǎn)尸在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)"落在比邊上時(shí)，如圖:

C

/四邊形AQM尸是平行四邊形，

--'B

???PM//AB.

貝ijQMsCAB,

.CPCM

"~CA~~CB*

又因?yàn)锳P=3g

CP=6-3t.

QZAQP=ZACB=90°,ZA=ZA,

^AQP^^ACB,

.絲="即箜=2

"ACAB"即610'

解得AQ=|r,

那么P"=4。=，.

cCPPM

Q—=---?

CAAB

9

即6-3r：：丁,

610

o

10(6-3z)=6x-z,

25

t=-?

17'

②當(dāng)點(diǎn)P在邊4c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若是以加為腰的等腰三角形，

當(dāng)PM=PC時(shí)：如圖所示：

當(dāng)PM=MC時(shí)：如圖所示:

過(guò)“作M4,_LPC于4,則C\=AP=1cP=1(6-3f).

答案第10頁(yè)，共26頁(yè)

PM//AB,

：.ACPM=ZA,

QNPaM=NACB=90。，

/.V%PM爾CAB,

—r,日MPA.P

4EABCA

Q1

即丁5（6一%）,

106

50

"r=43-

（3）解：當(dāng)點(diǎn)?在AC上時(shí)，如圖所示:

「直線C。將分成面積比為2:3的兩部分,

.S^MMIQ__2

設(shè)SVMM?=4",貝|JS四邊形AW/=6a,SYAQMP=1°”,

-S、APQ=S^MPQ=5a,

??SvpM|Q=",

Qa=~PMX-PQ,4a=YMXM-PQ,

??i_1

"MM,~4f

QAC//MQ,

/PCM】=NMQMJCPMi=NQMM1,

:XPCMi^VMQMl,

.PM,PC

9

"MMX

?1=6—3,

"4~3t9

8

?"二S；

當(dāng)點(diǎn)P在8上時(shí)，如圖：

設(shè)C。與AP交于點(diǎn)M,延長(zhǎng)MP,交。。于4,

直線C。將.AQMP分成面積比為2:3的兩部分,

.^VAM2Q_2

答案第11頁(yè)，共26頁(yè)

PM1

0向上r—可T4B得甌2-="

QPM//AQ,

.PA2_PM2_1尸4_PC

"~AQ~AM2'

.-.PA.^AQ,

，?點(diǎn)尸在CB上時(shí)，PC=5Z-1O,

:.BP=BC-PC=18-5t,

小BCBQ4

QcosBD=---=---=—,

ABBP5

4472

BQ=-BP=-(lS-5t)=--4tf

22

AQ=AB-BQ=4t--—,

1R

.\AQPC

即&5Z-10

72,

BQ---4?8

5

解得

綜上所述，直線C。將AQMP分成面積比為2:3的兩部分時(shí),

「的值為|或

【點(diǎn)睛】本題主要涉及直角三角形的勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及等腰三角

形的性質(zhì)等數(shù)學(xué)概念和定理.熟知相關(guān)性質(zhì)定理，正確畫出圖形，結(jié)合圖形分類討論是正確解答此題的關(guān)鍵.

8(1)證明見(jiàn)解析

(2)①證明見(jiàn)解析；②CD=l+布

【分析】(1)由題意易得AAOES^COD,貝IJ有簧=器=/=1,然后可得AE=CD,OE=8,進(jìn)而問(wèn)題可求解;

(2)①過(guò)點(diǎn)A作AFDC交BD于E,交BC于尸，由題意易得=,NABE=NABD',則有=然

后問(wèn)題可求證;

②由題意易得四邊形AFB”是平行四邊形，則有ZBO4=*4,然后可得.皿-BEF,進(jìn)而可得告=警，*除

D匕t,rErCD

最后根據(jù)方程華=華薩進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)證明：如圖1,

AE//DC,

圖1

AOE^,COD,

AEOE_OAi

~CD~~OD~~OC~'

:.AE=CD,OE=ODf

OB=OD+CD,

:.OE+BE=OE+AE,

:.BE=AE；

答案第12頁(yè)，共26頁(yè)

（2）①證明：過(guò)點(diǎn)A作AL,DC交皿于E,交BC于F,如圖2,

由（1）知，BE=AE.

:.ZABE=ZBAE,

△ABD是翻折得到的,

:.ZABE=ZABD,

:.ZABE=ZBAE,

:.ZABiy=ZBAEf

r

:.DB//AF9

D'B//DC；

②解：.AF//DC,D'A//BC,

???四邊形A尸5D是平行四邊形，

:.Ziy=ZBFA,

ZD=ZBDA,

:.ZBDA=ZBFAf

又.ZAED=ZBEF,

..dAED^dBEF,

AEDE口nAEBE

BEEF1DEEF

AF//DC,

BEEFHnBEBD

BDCD1EFCD

.AEBD

"DE-CD*

OE=OD=\,BE=AE=CD,

:.DE=2fBD=BE+DE=CD+2,

.CDCD+2

?萬(wàn)一CD'

解得CD=1+不（負(fù)值舍去）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)及判定及折疊的

性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)及判定及折疊的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

答案第13頁(yè)，共26頁(yè)

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換，矩形判定和性質(zhì)，含30度直角三角形性質(zhì)，勾股定理，相似三角形判定

和性質(zhì)，位似三角形性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

連接。。，過(guò)點(diǎn)B作BE_LMN于點(diǎn)E,過(guò)F作B7UAW于點(diǎn)F,笈G_LBE于點(diǎn)G,則四邊形笈FEG是矩形，則EG=FB-

ZBCW=30。，得BE=80,求出OD=40后，證明二。匠。』0匹笈，得黑=黑，得/=單也，得BG=(80-任乎］,根

DrUD17I1/j

據(jù)3黑，即得嚇。-瞎］

【詳解】解：設(shè)A上升的高度為〃，

連接OD,過(guò)點(diǎn)B作BEJ_MW于點(diǎn)E,過(guò)3作笈/_LMZV于點(diǎn)尸，B，G_LBE于點(diǎn)G,則四邊形BFEG是矩形，

A

/BON=30°,OB=160cm,

B￡=i(?B=80cm,

2，

a)_LM于點(diǎn)3,3。=40cm,

:.OD=^OB2+BD2=40>/17cm,

:.OD'=40y/11cm,

NOBD=ZOBD=90°,

ZOB'D=NOFB=90°,

.NB'OD'=NFOB',

??.OB'D'^OFB'.

D'B'OD'日口4040歷

,,fff=160^7cm

17

”160后

..EG=------cm,

17

5G=BE—￡G=(80—160a］加.

答：點(diǎn)A在豎直方向上上升了［20-黃卜m.

10.(1)8

(2)①r=l或H；②〃或.

/O、8—tx13

(3),或二

【分析】(1)在RtZXABC中，由勾股定理即可求解;

答案第14頁(yè)，共26頁(yè)

(2)①第一種情況，如圖所示，若々MC=90。時(shí)，則△CPMMAR4。，得"=PC=：AC=3,3/=3；第二種情況，如

圖所示，ZPCM=ZACB=90°,則點(diǎn)M在線段BC上，證設(shè)AQ=P"=3x,AP=5x,貝！]CP=4C-AP=6-5x,再

證△PUCSAABC,得到x*,則”=5x=5x于:所以3”澤由此即可求解；

②第一種情況，如圖所示，PM=PC,第二種情況，如圖所示，PM=CM,過(guò)點(diǎn)M作MN_LPC于點(diǎn)N,運(yùn)用相似

三角形的判定和性質(zhì)求解即可；

⑶第一種情況，當(dāng)點(diǎn)?在AC上時(shí)，由題意得至貝4A°,證△。叫必62,得鬻=9隼=厚；

D3/1VJ/IL-o

第二種情況，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)尸在BC上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為a秒，設(shè)”與C0交于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)尸作PT〃相,

交CQ于點(diǎn)、T,過(guò)點(diǎn)H作HR_LAB于點(diǎn)R,同理得到BQ=PBcosZB=巴與㈣，AQ=10-小丁"),HR=2PQ,即黑=

55Jnr1

1s1TPCP

貝lJPT=：AQ=3-1(8-5a),得至4被=春，代入求解即可.

【詳解】(1)解：在RtZXABC中，ZACB=90°fAC=6fAB=10f

BC=^AB2-AC2=V102-62=8,

故答案為：8；

(2)解：???四邊形AQMP是平行四邊形，

.??AQ=PM,AP=QM,

①第一種情況，如圖所示，若/PMC=90。時(shí)，貝(]△awg△尸A。，

.?.AP=PC=-AC=39

2

3%=3,

解得，/=1；

第二種情況，如圖所示，ZPCM=ZACB=90°f則點(diǎn)M在線段上,

C

：PQ-LABf

\ZAQP=90°=ZACBf且ZA=ZA,

APQsABC,

.AQ_AP

*~AC~~ABf

,AQAC3

*~AP~~AB~~59

\^AQ=PM=3x,AP=5xf則CF=AC_”=6_5%,

.PCPMpn6-5%=3%

*~AC~~AB"I6一歷,

答案第15頁(yè)，共26頁(yè)

解得，x哈，

AP=5X=5X"=9

1717

???比3L—匹"，

解得，，喑；

綜上所述，』或，喑;

②第一種情況，如圖所示，PM=PC,

同理，^AQ=PM=3x,AP=5xf貝jjCP=AC_AP=6_5x,

/.3%=6—5%,

解得，，=；，

I.AP=5x=5x-=—,

44

解得，r=(;

第二種情況，如圖所示，PM=CM,過(guò)點(diǎn)Af作肱V_LPC于點(diǎn)N,

c

,/ZMPN=4A/MNP=ZPAQ=90°,

/.AMPNS&AQ,

.PN_PM3-—°

..而=正，即4=亙，

3x5x

解得，x=3

I.AP=5x=5x—=—,

4343

?3?呦

??43，

解得，Y；

綜上所述，〃或「W；

（3）解：第一種情況，當(dāng)點(diǎn)?在AC上時(shí)，

44「a

在RtZXABC中，sinZA=——=-=cosZB.cosZA=——=-=sinZB,

1丁AB5AB5

如圖所示，設(shè)與尸河交于點(diǎn)”，

答案第16頁(yè)，共26頁(yè)

Ct

???直線C2將平行四邊形AQ即分成面積比為2:3的兩部分,

12

：.-MH-PQ=-AQ-PQ,

：.MH=^AQf貝

PM//AQ,

/.XCPHsXCAQ,

.PHPC_6-3t

..而"一就一6'

解得，"g；

第二種情況，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)尸在3C上時(shí)，設(shè)點(diǎn)尸在BC上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為。秒，設(shè)"與02交于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)尸作打〃

交。。于點(diǎn)丁，過(guò)點(diǎn)"作依_LAB于點(diǎn)火，

.CP=5af貝?。?尸=8—5a,

?直線。。將平行四邊形AOM尸分成面積比為2:3的兩部分,

?同理可得，HR^^PQ,即嗡■=：,

3nr1

?PT//AB,

.△PmsAAQH,

PT_PH

.而一而一"

,pr=lAe=|-l（8-5fl）,

*PT//AB,

./\CPT^ACBQ,

TPCP

9^Q~~CB'

X"）5a

4（8-5。）-E

解得，"I,

313

/.t=6^3+a=2+-=—-

綜上所述，「［或”葭.

【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握

答案第17頁(yè)，共26頁(yè)

相似三角形的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合分析，分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

11.(1)見(jiàn)解析

3

⑵

G)BG彎AB,見(jiàn)解析

6

【分析】(1)證明對(duì)應(yīng)角相等，即可得到AED2&S；

(2)根據(jù)AEE~APS,求得PH的長(zhǎng)度，從而得出GH長(zhǎng)度；

(3)延長(zhǎng)AB,PG交于一點(diǎn)“，連接”，先證明AMBH/PCH,得到相等的邊，再根據(jù)BMG^iMAP,得出大小

關(guān)系.

【詳解】(1)證明：如圖，

四邊形的8是矩形,

.\ZA=ZD=ZC=90°,

.-.Zl+Z3=90°,

E,F分別在AD,EC上，將四邊形ABfE沿EF翻折，使A的對(duì)稱點(diǎn)P落在DC上,

:.ZEPH=ZA=90°f

.-.Zl+Z2=90°,

.\Z3=Z2,

??.△EDPS/\PCH；

(2)解：四邊形"8是矩形，

:.CD=AB=2,AD=BC=3fZA=ZD=ZC=90°,

.P為CD中點(diǎn)，

：.DP=CP=-x2=\,

2，

設(shè)EP=AE=%,

:.ED=AD—X=3—X9

222

在Rt△及陰中，EP=ED+DPf

22

gpx=(3-x)+l,

解得x=|,

EP=AE=x=—.

3'

4

:.ED=AD-AE=-,

3'

叢EDPs叢PCH,

答案第18頁(yè)，共26頁(yè)

:.PH=-

4

PG=AB=2f

3

:.GH=PG-PH=-.

4

（3）解：如圖，延長(zhǎng)AB,