《微積分基本定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

18/181.6微積分基本定理(名師：朱俊)一、教學(xué)目標(biāo)1．核心素養(yǎng)通過微積分基本定理的學(xué)習(xí)，提高推理論證、抽象概括能力，體會由局部到整體、具體到一般的數(shù)學(xué)思想.2．學(xué)習(xí)目標(biāo)通過實(shí)例（如變速運(yùn)動物體在某段時間內(nèi)的速度與路程的關(guān)系），直觀了解微積分基本定理的含義，體會由局部到整體、具體到一般的思想.3．學(xué)習(xí)重點(diǎn)通過探究變速直線運(yùn)動的速度與位移的關(guān)系，直觀了解微積分基本定理的含義，并能正確應(yīng)用基本定理計(jì)算簡單的定積分.4．學(xué)習(xí)難點(diǎn)了解微積分基本定理的含義.二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1．預(yù)習(xí)任務(wù)閱讀課本1.6節(jié)，思考：（1）什么是微積分基本定理？（2）怎樣利用微積分基本定理求定積分的值？（3）當(dāng)曲邊梯形的位置位于軸下方時，怎樣求定積分的值？2．預(yù)習(xí)自測1．的值為()A．－2B．0C．5D.eq\f(1,2)答案：C．2．等于()A．－2ln2B．2ln2C．－ln2D．ln2答案：D．3．由曲線y＝x3，直線x＝0，x＝1及y＝0所圍成的曲邊梯形的面積為()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,4)答案：D．（二）課堂設(shè)計(jì)1．知識回顧1）定積分的幾何意義：如果在區(qū)間上連續(xù)且恒有，則定積分的幾何意義是由與所圍成的曲邊梯形的面積.2）定積分的性質(zhì)：（1）(k為常數(shù))（2）；（3）（其中）.2．問題探究活動一：探討導(dǎo)數(shù)與積分的關(guān)系我們講過用定積分定義計(jì)算定積分,但其計(jì)算過程比較復(fù)雜，所以不是求定積分的一般方法.有沒有計(jì)算定積分的更直接方法，也是比較一般的方法呢？下面以變速直線運(yùn)動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系為例：設(shè)一物體沿直線作變速運(yùn)動，在時刻t時物體所在位置為S(t),速度為v(t)（），則物體在時間間隔內(nèi)經(jīng)過的路程可用速度函數(shù)表示為.另一方面，這段路程還可以通過位置函數(shù)S（t）在上的增量來表達(dá)，即=而.活動二：證明微積分基本定理

對于一般函數(shù)，設(shè)，是否也有？若上式成立，我們就找到了的原函數(shù)（即滿足）的數(shù)值差來計(jì)算在上的定積分的方法.設(shè)則在上，⊿y=將分成n等份，在第i個區(qū)間[xi-1,xi]上，記⊿yi=F(xi)-F(xi-1),則⊿y=∑⊿yi如下圖，因?yàn)楱Shi=f(xi-1)⊿x而⊿yi≈⊿hi所以⊿y≈∑⊿hi=∑f(xi-1)⊿x故⊿y=lim∑⊿hi=∑f(xi-1)⊿x=即=所以有微積分基本定理：如果函數(shù)是上的連續(xù)函數(shù)的任意一個原函數(shù)，則為了方便起見，還常用表示，即該式稱之為微積分基本公式或牛頓—萊布尼茲公式.牛頓-萊布尼茨公式指出了求連續(xù)函數(shù)定積分的一般方法，把求定積分的問題，轉(zhuǎn)化成求原函數(shù)的問題，是微分學(xué)與積分學(xué)之間聯(lián)系的橋梁.它不僅揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時也提供計(jì)算定積分的一種有效方法，為后面的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).因此它在教材中處于極其重要的地位，起到了承上啟下的作用，不僅如此，它甚至給微積分學(xué)的發(fā)展帶來了深遠(yuǎn)的影響，是微積分學(xué)中最重要最輝煌的成果.例1．計(jì)算下列定積分：（1）；（2）.解：（1）因?yàn)?，所?（2））因?yàn)椋?點(diǎn)撥：準(zhǔn)確求出被積函數(shù)的原函數(shù)是求解本題的關(guān)鍵例2．計(jì)算下列定積分：.由計(jì)算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試?yán)们吿菪蔚拿娣e表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.解：因?yàn)?，所以，?

可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取負(fù)值，還可能是0:

（1）當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于x軸上方時（圖1.6一3)，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形的面積；圖1.6一3(2）（2）當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于x軸下方時（圖1.6一4），定積分的值取負(fù)值，且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)；(3）當(dāng)位于x軸上方的曲邊梯形面積等于位于x軸下方的曲邊梯形面積時，定積分的值為0（圖1.6一5)，且等于位于x軸上方的曲邊梯形面積減去位于x軸下方的曲邊梯形面積．

點(diǎn)撥：利用定積分的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵.例3．汽車以每小時32公里速度行駛，到某處需要減速停車.設(shè)汽車以等減速度=1.8米/秒2剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少距離？解:首先要求出從剎車開始到停車經(jīng)過了多少時間.當(dāng)t=0時，汽車速度=32公里/小時=米/秒8.88米/秒,剎車后汽車減速行駛,其速度為當(dāng)汽車停住時,速度,故從解得秒于是在這段時間內(nèi),汽車所走過的距離是=米,即在剎車后,汽車需走過21.90米才能停住.點(diǎn)撥：可以看出，求曲邊梯形的面積和求變速直線運(yùn)動的路程的過程就是求解定積分的過程，所以以后遇到類似的題就可以直接使用定積分來做.3．課堂總結(jié)【知識梳理】1.微積分基本定理：如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么.這個結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓—萊布尼茨公式.我們常常把定理中的稱為的原函數(shù).2．定積分的取值定積分的值可能取正值也可能為負(fù)值，還可能是：（1）當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于軸上方時，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形的面積；（2）當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于軸下方時，定積分的值取負(fù)值，且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)；（3）當(dāng)位于軸上方的曲邊梯形面積等于位于軸下方的曲邊梯形面積時，定積分的值為，且等于位于軸上方的曲邊梯形面積減去位于軸下方的曲邊梯形面積.【重難點(diǎn)突破】（1）微積分基本定理=1\*GB3①該定理揭示了導(dǎo)數(shù)與定積分之間的關(guān)系，即求積分與導(dǎo)數(shù)互為逆運(yùn)算.=2\*GB3②微積分基本定理提供了一種有效的求定積分的方法，且這種方法往往比利用定積分的定義求定積分簡單.利用微積分基本定理求定積分的關(guān)鍵是找到的函數(shù)，即找到的原函數(shù).通常，我們可以運(yùn)用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則從反方向上求出.=3\*GB3③被積函數(shù)的原函數(shù)有很多，即若F(x)是被積函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，那么F(x)＋C(C為常數(shù))也是被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)．但是在實(shí)際運(yùn)算時，不論如何選擇常數(shù)C(或者是忽略C)都沒有關(guān)系，事實(shí)上，以F(x)＋C代替微積分基本定理中的F(x)有eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝[F(b)＋C]－[F(a)＋C]＝F(b)－F(a)．（2）利用微積分基本定理計(jì)算定積分時：=1\*GB3①常常先對被積函數(shù)化簡，再求定積分；=2\*GB3②當(dāng)被積函數(shù)為分段函數(shù)時，常常分成幾段積分的和的形式求解；=3\*GB3③當(dāng)被積函數(shù)含有絕對值符號時，常常先去掉絕對值符號再求定積分.（3）求定積分的主要方法有：=1\*GB3①利用定積分的定義；=2\*GB3②利用定積分的幾何意義；=3\*GB3③利用微積分基本定理.4．隨堂檢測1.eq\i\in(0,1,)(ex＋2x)dx等于()A．1B．e－1C．eD．e＋1答案：C解析：【知識點(diǎn)：微積分基本定理】eq\i\in(0,1,)(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|eq\o\al(1,0)＝(e1＋1)－e0＝e.2．若S1＝eq\i\in(1,2,)x2dx，S2＝eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx，S3＝eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,)ex)dx，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為()A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S2＜S3＜S1D．S3＜S2＜S1答案：B解析：【知識點(diǎn)：微積分基本定理】S1＝eq\i\in(1,2,)x2dx＝eq\f(1,3)x3＝eq\f(1,3)×23－eq\f(1,3)＝eq\f(7,3)，S2＝eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx＝lnx＝ln2，S3＝eq\i\in(1,2,)exdx＝ex＝e2－e＝e(e－1)．ln2＜lne＝1，且eq\f(7,3)＜2.5＜e(e－1)，所以ln2＜eq\f(7,3)＜e(e－1)，即S2＜S1＜S3.3．若eq\i\in(0,k,)(2x－3x2)dx＝0，則k等于()A．0B．1C．0或1D．不確定答案：B解析：【知識點(diǎn)：微積分基本定理】eq\i\in(0,k,)(2x－3x2)dx＝(x2－x3)＝k2－k3＝0，∴k＝0(舍去)或k＝1.4．eq\i\in(0,2,)|1－x|dx＝()A．0B．1C．2D．－2答案：B解析：【知識點(diǎn)：微積分基本定理】eq\i\in(0,2,)|1－x|dx＝eq\i\in(0,1,)(1－x)dx＋eq\i\in(1,2,)(x－1)dx＝(x－eq\f(1,2)x2)＋(eq\f(1,2)x2－x)＝(1－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)×4－2)－(eq\f(1,2)－1)＝1.5．eq\i\in(-1,1,)(x2＋sinx)dx＝________.答案：eq\f(2,3)解析：【知識點(diǎn)：微積分基本定理】∵(eq\f(1,3)x3－cosx)′＝x2＋sinx，∴eq\i\in(-1,1,)(x2＋sinx)dx＝(eq\f(1,3)x3－cosx)＝eq\f(2,3).（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1．（）A．56B．28C.eq\f(56,3)D．14答案：C解析：【知識點(diǎn)：微積分基本定理】＝eq\f(1,3)(43－23)＋eq\f(1,4)(44－24)－30(4－2)＝eq\f(56,3).2．若F′(x)＝x2，則F(x)的解析式不正確的是（）A．F(x)＝eq\f(1,3)x3B．F(x)＝x3C．F(x)＝eq\f(1,3)x3＋1D．F(x)＝eq\f(1,3)x3＋c(c為常數(shù))答案：B解析：【知識點(diǎn)：微積分基本定理】3．若，則（）A．eq\f(3,2)B．2C．3D．4答案：B解析：【知識點(diǎn)：微積分基本定理】，解得4．直線過拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)且與y軸垂直,則與C所圍成的圖形的面積等于（）A．B．2C．D．答案：C解析：【知識點(diǎn)：定積分求面積】與圍成的圖形的面積為誒5．計(jì)算定積分___________.答案：解析：【知識點(diǎn)：微積分基本定理】6．計(jì)算下列定積分：（1）（2）（3）答案：見解析解析：【知識點(diǎn)：定積分的簡單應(yīng)用】（1）（2）（3）能力型師生共研7.若f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lgx，x＞0，,x＋\i\in(0,a,)3t2dt，x≤0，))f(f(1))＝1，則a的值為（）A.1B.2C.－1D.－2答案：A解析：【知識點(diǎn)：微積分基本定理】f(1)＝lg1＝0，，由f(f(1))＝1，得a3＝1，a＝1.8．若直線l1：x＋ay－1＝0與l2：4x－2y＋3＝0垂直，則積分eq\i\in(－a,a,)(x3＋sinx－5)dx的值為（）A．6＋2sin2B．－6－2cos2C．20D．－20答案：D解析：【知識點(diǎn)：微積分基本定理，兩直線垂直】由l1⊥l2，可得a＝2，∴原式＝9．已知f(x)是一次函數(shù)且，，則f(x)的解析式為（）A．4x＋3B．3x＋4C．－4x＋3D．－3x＋4答案：A解析：【知識點(diǎn)：微積分基本定理】設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則xf(x)＝ax2＋bx，①

②，聯(lián)立①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＋b＝5,\f(a,3)＋\f(b,2)＝\f(17,6)))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4,b＝3))，∴f(x)＝4x＋310.若函數(shù)f(x)，g(x)滿足eq\i\in(－1,1,)f(x)g(x)dx＝0，則稱f(x)，g(x)為區(qū)間[－1，1]上的一組正交函數(shù).給出三組函數(shù)：①f(x)＝sineq\f(1,2)x，g(x)＝coseq\f(1,2)x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中為區(qū)間[－1，1]上的正交函數(shù)的組數(shù)是________(填序號).答案：①③解析：【知識點(diǎn)：微積分基本定理】①中eq\i\in(－1,1,)f(x)g(x)dx＝eq\i\in(－1,1,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(1,2)xcos\f(1,2)x))dx＝eq\i\in(－1,1,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx))dx＝0；②中eq\i\in(－1,1,)f(x)g(x)dx＝eq\i\in(－1,1,)(x＋1)(x－1)dx＝eq\i\in(－1,1,)(x2－1)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x3,3)－x))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,－1))＝－eq\f(4,3)≠0；③中f(x)·g(x)＝x3為奇函數(shù)，在[－1，1]上的積分為0，故①③滿足條件.探究型多維突破11．定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)，如果存在x0∈[a，b]，使得f(x0)＝eq\f(\i\in(a,b,)f(x)dx,b－a)成立，則稱x0為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的“平均值點(diǎn)”，那么函數(shù)f(x)＝x3－3x在區(qū)間[－2,2]上“平均值點(diǎn)”的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4答案：C解析：【知識點(diǎn)：微積分基本定理】由已知得：f(x0)＝，即xeq\o\al(3,0)－3x0＝0，解得：x0＝0或x0＝±eq\r(3)，∴f(x)的平均值點(diǎn)有3個.12．已知函數(shù)的圖象是折線段，其中、、，函數(shù)（）的圖象與軸圍成的圖形的面積為___________.答案：解析：【知識點(diǎn)：定積分求面積】當(dāng)，線段的方程為；當(dāng)時，線段方程為，即函數(shù)，所以，函數(shù)與軸圍成的圖形面積為.自助餐1．定積分eq\i\in(0,1,)(2x＋ex)dx的值為()A．e＋2B．e＋1C．eD．e－1答案：C解析：【知識點(diǎn)：微積分基本定理】2．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x20≤x<1，,2－x1≤x≤2.))則eq\i\in(0,2,)f(x)dx等于()A．eq\f(3,4)B．eq\f(4,5)C．eq\f(5,6)D．不存在答案：C解析：【知識點(diǎn)：微積分基本定理】eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)x2dx＋eq\i\in(1,2,)(2－x)dx3．若eq\i\in(1,a,)(2x＋eq\f(1,x))dx＝3＋ln2且a>1，則實(shí)數(shù)a的值是()A．2B．3C．5D．6答案：A解析：【知識點(diǎn)：微積分基本定理】4．函數(shù)F(x)＝eq\i\in(0,x,)costdt的導(dǎo)數(shù)是()A．B．C．D．答案：A解析：【知識點(diǎn)：微積分基本定理】5．（）A．B．C．D．答案：C解析：【知識點(diǎn)：微積分基本定理】因?yàn)?3f(3x)′=f′(3x)，所以取F(x)=13f(3x)，則abf′(3x)dx=F(b)-F(a)[=136．已知分段函數(shù)f(x)=1+x2,x≤0,e-x,x>0,則1A．B．C．D．答案：C解析：【知識點(diǎn)：微積分基本定理】當(dāng)時，；當(dāng)時，；于是13f(x-2)dx=12f(x-2)dx+23f(x-2)dx=12[1+(x-2)2]dx+23e2-xdx=12(x7．____________________.答案：解析：【知識點(diǎn)：微積分基本定理】8．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若eq\i\in(－1,1,)f(x)dx＝2f(a)成立，則a＝_________.答案：－1或eq\f(1,3)解析：【知識點(diǎn)：微積分基本定理】，∴2f(a)＝4，∴f(a)＝2.即3a2＋2a＋1＝2.解得a＝－1或eq\f(1,3).9．eq\i\in(0,2,)|x2－1|dx＝_________.答案：2解析：【知識點(diǎn)：微積分基本定理】10．如圖，直線y＝kx分拋物線y＝x－x2與x軸所圍成圖形為面積相等的兩部分，則k的值為______．答案：解析：【知識點(diǎn)：定積分求面積】拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，，所以，拋物線與x軸所圍圖形的面積，拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，于是，所以，解得：11．（1）已知函數(shù)f(x)＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,x,))(at2＋bt＋1)dt為奇函數(shù)，且f(1)－f(－1)＝eq\f(1,3)，試求a，b的值．（2）求f(a)＝eq\i\in(0,1,)(6x2＋4ax＋a2)dx的最小值答案：見解析解析：【知識點(diǎn)：微積分基本定理】（1）f(x)＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,x,))(at2＋bt＋1)dt＝∵f(x)為奇函數(shù)，∴eq\f(b,2)＝0，即b＝0.又∵f(1)－f(－1)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(a,3)＋1＋eq\f(a,3)＋1＝eq\f(1,3)，∴a＝－eq\f(5,2).綜上：a＝－eq\f(5,2)，b＝0.（2）f(a)＝eq\i\in(0,1,)(6x2＋4ax＋a2)dx＝eq\i\in(0,1,)6x2dx＋eq\i\in(0,1,)4axdx＋eq\i\in(0,1,)a2dx＝2＋2a＋a2＝(a＋1)2∴當(dāng)a＝－1時，f(a)的最小值為1.12．設(shè).（1）求F(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）求F(x)在[1,3]上的最值．答案：見解析解析：【知識點(diǎn)：微積分基本定理】，定義域是(0，＋∞)．（1）＝x2＋2x－8＝(x＋4)(x－2)，∵當(dāng)x<－4或x>2時，F(xiàn)′(x)>0；當(dāng)－4<x<2時，F(xiàn)′(x)<0.又∵x>0，∴函數(shù)的增區(qū)間為(2，＋∞)，減區(qū)間為(0,2)．（2）由（1）知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又F(1)＝－eq\f(20,3)，F(xiàn)(2)＝－eq\f(28,3)，F(xiàn)(3)＝－6，∴F(x)在[1,3]上的最大