《微積分基本定理》名師課件

名師課件0微積分基本定理名師:朱俊知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)1.定積分的幾何意義:如果在區(qū)間[a,b]上f(x)連續(xù)且恒有,則定積分的幾何意義是由與y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積.2.定積分的性質(zhì):（1）（k為常數(shù)）（2）（3）（其中a<b<c）知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)檢測(cè)下預(yù)習(xí)效果:點(diǎn)擊“隨堂訓(xùn)練”選擇“《微積分基本定理》預(yù)習(xí)自測(cè)”知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)0探究一：導(dǎo)數(shù)與積分的關(guān)系設(shè)一物體沿直線作變速運(yùn)動(dòng),在時(shí)刻t時(shí)物體所在位置為S(t),速度為v(t)(

),則物體在時(shí)間間隔內(nèi)經(jīng)過的路程可用速度函數(shù)表示為

.另一方面,這段路程還可以通過位置函數(shù)S(t)在上的增量來表達(dá),即=而.知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)探究二：證明微積分基本定理若上式成立,我們就找到了f(x)的原函數(shù)(即滿足)的數(shù)值差

F(b)-F(a)來計(jì)算f(x)在[a,b]上的定積分的方法.設(shè)則在[a,b]上,Δy=F(b)-F(a).將[a,b]分成n

等份,在第i個(gè)區(qū)間[xi-1,xi]上,記Δyi=F(xi)-F(xi-1),則Δy=∑Δyi

如下圖,因?yàn)棣i=f(xi-1)Δx而Δyi≈Δhi

所以Δy≈∑Δhi=∑f(xi-1)Δx故Δy=lim∑Δhi=∑f(xi-1)Δx=即=

F(b)-F(a).

對(duì)于一般函數(shù)f(x),設(shè),是否也有?知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)探究二:證明微積分基本定理所以有微積分基本定理:如果函數(shù)F(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f(x)的任意一個(gè)原函數(shù),則.為方便起見,還常用

表示F(b)-F(a),即,該式稱為微積分基本公式或牛頓——萊布尼茲公式.知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)探究三:強(qiáng)化提升,靈活應(yīng)用例1.計(jì)算下列定積分:（1）;（2）解析:（1）因?yàn)?所以（2）因?yàn)?

所以知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)探究三:強(qiáng)化提升,靈活應(yīng)用例2.計(jì)算下列定積分:解析:因?yàn)?所以知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)探究三:強(qiáng)化提升,靈活應(yīng)用總結(jié):（1）當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于x軸上方時(shí),定積分的值取正值,且等于曲邊梯形的面積;（2）當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于x軸下方時(shí),定積分的值取負(fù)值,且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù);知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)探究三:強(qiáng)化提升,靈活應(yīng)用（3）當(dāng)位于

x軸上方的曲邊梯形面積等于位于x軸下方的曲邊梯形面積時(shí),定積分的值為0,且等于位于

x軸上方的曲邊梯形面積減去位于x

軸下方的曲邊梯形面積．

點(diǎn)撥:利用定積分的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵.知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)探究三:強(qiáng)化提升,靈活應(yīng)用例3.汽車以每小時(shí)32公里速度行駛,到某處需要減速停車.設(shè)汽車以等減速度a

=1.8米/秒2剎車,問從開始剎車到停車,汽車走了多少距離?解析:首先要求出從剎車開始到停車經(jīng)過了多少時(shí)間.當(dāng)t=0時(shí),汽車速度=32公里/小時(shí)=米/秒8.88米/秒,剎車后汽車減速行駛,其速度為.當(dāng)汽車停住時(shí),速度v(t)=0,故從

v(t)=8.88-1.8t=0解得秒.于是在這段時(shí)間內(nèi),汽車所走過的距離是=米即在剎車后,汽車需走過21.90米才能停住.知識(shí)梳理知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)1.微積分基本定理:如果f(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù),并且,那么.這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理,又叫牛頓——萊布尼茨公式.我們常常把定理中的F(x)稱為f(x)的原函數(shù).知識(shí)梳理知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)2.定積分的取值:定積分的取值可能取正值也可能為負(fù)值,還有可能為0.當(dāng)f(x)對(duì)應(yīng)的曲線位于x軸上方時(shí),定積分的值為正,且等于曲邊圖形的面積;

當(dāng)f(x)對(duì)應(yīng)的曲線位于x軸下方時(shí),定積分的值為負(fù),且等于曲邊圖形的面積的相反數(shù);

當(dāng)f(x)對(duì)應(yīng)的曲線位于x軸上、下方時(shí),定積分的值為曲邊圖形的代數(shù)和,即等于x軸上方曲邊圖形的面積減去x軸下方曲邊圖形的面積.重難點(diǎn)突破知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)（1）微積分基本定理①該定理揭示了導(dǎo)數(shù)與定積分之間的關(guān)系,即求積分與導(dǎo)數(shù)互為逆運(yùn)算.②微積分基本定理提供了一種有效的求定積分的方法,且這種方法往往比利用定積分的定義求定積分簡單.利用微積分基本定理求定積分的關(guān)鍵是找到的函數(shù)F(x),即找到f(x)的原函數(shù).通常,我們可以運(yùn)用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則從反方向上求出F(x).③被積函數(shù)的原函數(shù)有很多,即若F(x)是被積函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù),那么F(x)＋C(C為常數(shù))也是被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)．但是在實(shí)際運(yùn)算時(shí),不論如何選擇常數(shù)C(或者是忽略C)都沒有關(guān)系,事實(shí)上,以F(x)＋C代替微積分基本定理中的F(x)有＝[F(b)＋C]－[F(a)＋C]＝F(b)－F(a)．重難點(diǎn)突破知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)（2）用微積分基本定理計(jì)算定積分時(shí):

常常先對(duì)被積函數(shù)化簡,再求定積分;②

當(dāng)被積函數(shù)為分段函數(shù)時(shí),常常分成幾段積分的和的形式求解;當(dāng)被積函數(shù)含有絕對(duì)值符號(hào)時(shí),常常先去掉絕對(duì)值符號(hào)再求定