第三章空間向量與立體幾何導(dǎo)學(xué)案

第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運(yùn)算（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)：㈠知識(shí)目標(biāo)：⒈空間向量；⒉相等的向量；⒊空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律；㈡能力目標(biāo)：⒈理解空間向量的概念，掌握其表示方法；⒉會(huì)用圖形說明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運(yùn)算律；⒊能用空間向量的運(yùn)算意義及運(yùn)算律解決簡(jiǎn)單的立體幾何中的問題．㈢情感目標(biāo)：學(xué)會(huì)用發(fā)展的眼光看問題，認(rèn)識(shí)到事物都是在不斷的發(fā)展、進(jìn)化的，會(huì)用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待事物．學(xué)習(xí)重點(diǎn)：空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律．學(xué)習(xí)難點(diǎn)：應(yīng)用向量解決立體幾何問題．學(xué)習(xí)方式：討論式．學(xué)習(xí)過程：Ⅰ.復(fù)習(xí)［師］在必修四第二章《平面向量》中，我們學(xué)習(xí)了有關(guān)平面向量的一些知識(shí)，什么叫做向量？向量是怎樣表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向線段表示；②用字母a、b等表示；③用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：．［師］數(shù)學(xué)上所說的向量是自由向量，也就是說在保持向量的方向、大小的前提下可以將向量進(jìn)行平移，由此我們可以得出向量相等的概念，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下．［生］長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.［師］學(xué)習(xí)了向量的有關(guān)概念以后，我們學(xué)習(xí)了向量的加減以及數(shù)乘向量運(yùn)算：⒈向量的加法：⒉向量的減法：⒊實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作λa，其長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a同向；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a反向；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0.［師］關(guān)于向量的以上幾種運(yùn)算，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，有哪些運(yùn)算律呢？［生］向量加法和數(shù)乘向量滿足以下運(yùn)算律加法交換律：a＋b＝b＋a加法結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）數(shù)乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb［師］今天我們將在必修四第二章平面向量的基礎(chǔ)上，類比地引入空間向量的概念、表示方法、相同或向等關(guān)系、空間向量的加法、減法、數(shù)乘以及這三種運(yùn)算的運(yùn)算率，并進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用．請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真閱讀課本P26～P27內(nèi)容。Ⅱ.學(xué)習(xí)新課［師］如同平面向量的概念，我們把空間中具有大小和方向的量叫做向量．例如空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量．那么我們?cè)鯓颖硎究臻g向量呢？相等的向量又是怎樣表示的呢？［生］與平面向量一樣，空間向量也用有向線段表示，并且同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等的向量．［師］由以上知識(shí)可知，向量在空間中是可以平移的．空間任意兩個(gè)向量都可以用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示．因此我們說空間任意兩個(gè)向量是共面的．［師］空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量各是怎樣定義的呢？［生］空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量的定義與平面向量的運(yùn)算一樣：=a+b，（指向被減向量），λa［師］空間向量的加法與數(shù)乘向量有哪些運(yùn)算律呢？請(qǐng)大家驗(yàn)證這些運(yùn)算律．［生］空間向量加法與數(shù)乘向量有如下運(yùn)算律：⑴加法交換律：a+b=b+a；⑵加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)；⑶數(shù)乘分配律：λ(a+b)=λa+λb．［師］空間向量加法的運(yùn)算律要注意以下幾點(diǎn)：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量．即：因此，求空間若干向量之和時(shí)，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量．⑵首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量．即：．⑶兩個(gè)向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立．因此，求始點(diǎn)相同的兩個(gè)向量之和時(shí)，可以考慮用平行四邊形法則．例１已知平行六面體（如圖），化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量：說明：平行四邊形ABCD平移向量a到A’B’C’D’的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體．記作ABCD—A’B’C’D’．平行六面體的六個(gè)面都是平行四邊形，每個(gè)面的邊叫做平行六面體的棱．解：（見課本P27）說明：由第2小題可知，始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量，這是平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣．Ⅲ.鞏固練習(xí)課本P92練習(xí)Ⅳ.小結(jié)：平面向量?jī)H限于研究平面圖形在它所在的平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移，它們的共同點(diǎn)都是指“將圖形上所有點(diǎn)沿相同的方向移動(dòng)相同的長(zhǎng)度”，空間的平移包含平面的平移．關(guān)于向量算式的化簡(jiǎn)，要注意解題格式、步驟和方法．Ⅴ.課后作業(yè)預(yù)習(xí)課本P92～P96，預(yù)習(xí)提綱：⑴怎樣的向量叫做共線向量？⑵兩個(gè)向量共線的充要條件是什么？⑶空間中點(diǎn)在直線上的充要條件是什么？⑷什么叫做空間直線的向量參數(shù)表示式？⑸怎樣的向量叫做共面向量？⑹向量p與不共線向量a、b共面的充要條件是什么？⑺空間一點(diǎn)P在平面MAB內(nèi)的充要條件是什么？空間向量及其運(yùn)算（2）一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．理解共線向量定理和共面向量定理及它們的推論；2．掌握空間直線、空間平面的向量參數(shù)方程和線段中點(diǎn)的向量公式．二、學(xué)習(xí)重、難點(diǎn)：共線、共面定理及其應(yīng)用．三、學(xué)習(xí)過程：（一）復(fù)習(xí)回顧：空間向量的概念及表示；（二）新課學(xué)習(xí)：1．共線（平行）向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。讀作：平行于，記作：．2．共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使（唯一）．推論：如果為經(jīng)過已知點(diǎn)，且平行于已知向量的直線，那么對(duì)任一點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)，滿足等式①，其中向量叫做直線的方向向量。在上取，則①式可化為或②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，此時(shí)③①和②都叫空間直線的向量參數(shù)方程，③是線段的中點(diǎn)公式．3．向量與平面平行：已知平面和向量，作，如果直線平行于或在內(nèi)，那么我們說向量平行于平面，記作：．通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．說明：空間任意的兩向量都是共面的．4．共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)使．推論：空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使或?qū)臻g任一點(diǎn)，有①上面①式叫做平面的向量表達(dá)式．（三）例題分析：例1．已知三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外任一點(diǎn)，滿足條件，試判斷：點(diǎn)與是否一定共面？解：由題意：，∴，∴，即，所以，點(diǎn)與共面．說明：在用共面向量定理及其推論的充要條件進(jìn)行向量共面判斷的時(shí)候，首先要選擇恰當(dāng)?shù)某湟獥l件形式，然后對(duì)照形式將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算．【練習(xí)】：對(duì)空間任一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，問滿足向量式（其中）的四點(diǎn)是否共面？解：∵，∴，∴，∴點(diǎn)與點(diǎn)共面．例2．已知，從平面外一點(diǎn)引向量，（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）平面平面．解：（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴共面；（2）∵，又∵，∴所以，平面平面．四、練習(xí)：課本第96頁(yè)練習(xí)第1、2、3題．五、小結(jié)：1．共線向量定理和共面向量定理及其推論；2．空間直線、平面的向量參數(shù)方程和線段中點(diǎn)向量公式．七、補(bǔ)充練習(xí)：1．已知兩個(gè)非零向量不共線，如果，，，求證：共面．2．已知，，若，求實(shí)數(shù)的值。3．如圖，分別為正方體的棱的中點(diǎn)，求證：（1）四點(diǎn)共面；（2）平面平面．4．已知分別是空間四邊形邊的中點(diǎn)，（1）用向量法證明：四點(diǎn)共面；（2）用向量法證明：平面．3.1.3．空間向量的數(shù)量積（1）學(xué)習(xí)學(xué)目標(biāo)：1．掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法；2．掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積的計(jì)算方法，并能利用兩個(gè)向量的數(shù)量積解決立體幾何中的一些簡(jiǎn)單問題。學(xué)習(xí)重、難點(diǎn)：空間數(shù)量積的計(jì)算方法、幾何意義、立體幾何問題的轉(zhuǎn)化。學(xué)習(xí)過程（一）復(fù)習(xí)回顧：空間向量基本定理及其推論；（二）新課學(xué)習(xí)：1．空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：；2．向量的模（長(zhǎng)度）：設(shè)，則有向線段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模，記作：；3．向量的數(shù)量積：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即．已知向量和軸，是上與同方向的單位向量，作點(diǎn)在上的射影，作點(diǎn)在上的射影，則叫做向量在軸上或在上的正射影；可以證明的長(zhǎng)度．4．空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：（1）．（2）．（3）．5．空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：（1）．（2）（交換律）．（3）（分配律）．（三）例題分析：例1．用向量方法證明：直線和平面垂直的判定定理。已知：是平面內(nèi)的兩條相交直線，直線與平面的交點(diǎn)為，且求證：．證明：在內(nèi)作不與重合的任一直線，在上取非零向量，∵相交，∴向量不平行，由共面定理可知，存在唯一有序?qū)崝?shù)對(duì)，使，∴，又∵，∴，∴，∴，所以，直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，即得．例2．已知空間四邊形中，，，求證：．證明：（法一）．（法二）選取一組基底，設(shè)，∵，∴，即，同理：，，∴，∴，∴，即．說明：用向量解幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通過向量運(yùn)算取計(jì)算或證明。例3．如圖，在空間四邊形中，，，，，，，求與的夾角的余弦值。解：．注意：由圖形知向量的夾角時(shí)易出錯(cuò)，如易錯(cuò)寫成補(bǔ)充練習(xí)：已知向量，向量與的夾角都是，且，試求：（1）；（2）；（3）．3.1.5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示課題向量的坐標(biāo)教學(xué)目的要求1．理解空間向量與有序數(shù)組之間的1-1對(duì)應(yīng)關(guān)系2．掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐標(biāo)表示主要內(nèi)容與時(shí)間分配1．投影與投影定理25分鐘2．分向量與向量的坐標(biāo)30分鐘3．模與方向余弦的坐標(biāo)表示35分鐘重點(diǎn)難點(diǎn)1．投影定理2．分向量3．方向余弦的坐標(biāo)表示教學(xué)方法和手段啟發(fā)式教學(xué)法，使用電子教案一、向量在軸上的投影1．幾個(gè)概念(1)軸上有向線段的值：設(shè)有一軸，是軸上的有向線段，如果數(shù)滿足，且當(dāng)與軸同向時(shí)是正的，當(dāng)與軸反向時(shí)是負(fù)的，那么數(shù)叫做軸上有向線段的值，記做AB，即。設(shè)e是與軸同方向的單位向量，則設(shè)A、B、C是u軸上任意三點(diǎn)，不論三點(diǎn)的相互位置如何，總有兩向量夾角的概念：設(shè)有兩個(gè)非零向量和b，任取空間一點(diǎn)O，作，，規(guī)定不超過的稱為向量和b的夾角，記為空間一點(diǎn)A在軸上的投影：通過點(diǎn)A作軸的垂直平面，該平面與軸的交點(diǎn)叫做點(diǎn)A在軸上的投影。向量在軸上的投影：設(shè)已知向量的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B在軸上的投影分別為點(diǎn)和，那么軸上的有向線段的值叫做向量在軸上的投影，記做。2．投影定理性質(zhì)1：向量在軸上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦：性質(zhì)2：兩個(gè)向量的和在軸上的投影等于兩個(gè)向量在該軸上的投影的和，即性質(zhì)3：向量與數(shù)的乘法在軸上的投影等于向量在軸上的投影與數(shù)的乘法。即二、向量在坐標(biāo)系上的分向量與向量的坐標(biāo)1．向量在坐標(biāo)系上的分向量與向量的坐標(biāo)通過坐標(biāo)法，使平面上或空間的點(diǎn)與有序數(shù)組之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，同樣地，為了溝通數(shù)與向量的研究，需要建立向量與有序數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 設(shè)a=是以為起點(diǎn)、為終點(diǎn)的向量，i、j、k分別表示圖7－5沿x，y，z軸正向的單位向量，并稱它們?yōu)檫@一坐標(biāo)系的基本單位向量，由圖7－5，并應(yīng)用向量的加法規(guī)則知：i+j+k或 a=axi+ayj+azk上式稱為向量a按基本單位向量的分解式。 有序數(shù)組ax、ay、az與向量a一一對(duì)應(yīng)，向量a在三條坐標(biāo)軸上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐標(biāo)，并記為 a＝{ax，ay，az}。上式叫做向量a的坐標(biāo)表示式。 于是，起點(diǎn)為終點(diǎn)為的向量可以表示為特別地，點(diǎn)對(duì)于原點(diǎn)O的向徑 注意：向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量在坐標(biāo)軸上的投影有本質(zhì)區(qū)別。 向量a在坐標(biāo)軸上的投影是三個(gè)數(shù)ax、ay、az， 向量a在坐標(biāo)軸上的分向量是三個(gè)向量axi、ayj、azk.2．向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 設(shè)，即，則加法： 減法： 乘數(shù)： 或 平行：若a≠0時(shí)，向量相當(dāng)于