2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：旋轉(zhuǎn)模型

旋轉(zhuǎn)模型

1如圖，P為等邊三角形ABC內(nèi)的一點，且P到三個頂點A,B,C的距離分別為34,5,則4ABC的面積為（

C.18+25V3D.18+等

2如圖，平面內(nèi)三點A、B、C,AB=5,AC=3,以BC為對角線作正方形BDCE,連接AD,則AD的最大值是（

X.2V2B.4V2C.4D.8

3如圖在矩形ABCD中，點E是AB的中點點F是BC的中點連接EF,G是EF的中點，連接DG.在4

BEF中.BE=2,ZBFE=30°,若將△BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，線段DG長的最大值是（）

X.V67B.2V17C.10D.12

4如圖，點P是正方形ABCD內(nèi)一點，且點P到點A、B、C的距離分別為2b，魚、4,則正方形ABCD的

面積為.

5如圖，在正方形ABCD外取一點E,連接DE,AE,CE,過點D作DE的垂線交AE于點P若］DE=DP=1

,PC=訪下列結(jié)論：?AAPD^ACED;?AE±CE;③點C到直線DE的距離為V3;@S正方形ABCD=5+2

四,其中正確結(jié)論的序號為.

6如圖，在Rt△ABC中，4CAB=90°,XC=2,NB=30。,將△2BC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120。得到△AB'C,若

P為CB上一動點，旋轉(zhuǎn)后點P的對應(yīng)點為點P',則線段PP長度的最小值是.

7如圖，△ABC是等邊三角形，點D為BC邊上一點，BD=\DC=2,以點D為頂點作正方形DEFG,且D

E=BC,連接AE,AG.若將正方形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)AE取最小值時，AG的長為.

8如圖1,在RSABC中，ZABC=90°,AB=8,BC=6,D是AB上一點，且.AD=2,過點D作DE〃BC交A

C于E,將4ADE繞A點順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置.則圖2中差的值為________.

CE

9如圖，已知點A(3,0),點B在y軸正半軸上，將線段AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120。到線段AC,若點C的坐

標(biāo)為(7,h),則仁

10如圖，邊長為8小的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上的一個動點，連接EC,將線段EC繞點C逆

時針旋轉(zhuǎn)（60。得到FC,連接DF,則在點E運動過程中，DF的最小值是.

11如圖，等邊三角形ABC內(nèi)有一點P,分別連接AP、BP、CP,若AP=6,BP=8,CP=10,則SAABP+SABPC=

12如圖，已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,NBAC=45。，點D在AC邊上，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45。

得到△ACD',且點D、D、B三點在同一條直線上，則乙鉆。的度數(shù)是

13如圖，等腰梯形ABCD中，AD\\BC,AD=AB=CD=2,AC=60°,根是直的中點將學(xué)習(xí)筆記：△MDC

繞點M旋轉(zhuǎn)，當(dāng)MD（即與AB交于一點E,MC（即ML）同時與AD交于一點F時點EF和點A構(gòu)成△2EF

廁△AEF周長的最小值為.

14如圖將力BCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到ABC。的位置使點次落在BC上，夕L與CD交于點E.若AB=3

,BC=4,BB'=1,則CE的長為,

15在△ADE中，BA=BC,DA=DE.且/ABC=NADE=a,點E在△ABC的內(nèi)部，連接EC,EB和B

D,并且.NACE+AABE=90°.

⑴如圖①，當(dāng)（a=60。時，線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系為,線段EA,EB,EC的數(shù)量關(guān)系為:

⑵如圖②，當(dāng)（a=90。時，請寫出線段EA,EB,EC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

⑶在⑵的條件下，當(dāng)點E在線段CD上時，若BC=2逐，請直接寫出△BDE的面積.

16在RtAABC中,ZACB=90°,AB=5,BC=3,將△4BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到△ABC,其中點A,C的對

應(yīng)點分別為點.A',C.

⑴如圖1,當(dāng)點A落在AC的延長線上時，求AA，的長；

⑵如圖2,當(dāng)點C落在AB的延長線上時，連接9,交AB于點M,求BM的長

⑶如圖3,連接AA；CC,直線CC交AA,于點D,點E為AC的中點連接DE在旋轉(zhuǎn)過程中，DE是否存在

最小值?若存在，求出DE的最小值；若不存在，請說明理由.

17【問題解決】一節(jié)數(shù)學(xué)課上，老師提出了這樣一個問題：如圖1,點P是正方形ABCD內(nèi)一點，PA=1,PB=

2,PC=3.你能求出/APB的度數(shù)嗎？

小明通過觀察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：將^BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△BP'A,連接PP,求出/APB的度數(shù)；

思路二：將小APB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△CP'B,連接PP',求出/APB的度數(shù)

請參考小明的思路，任選一種寫出完整的解答過程.

【類比探究】如圖2,若點P是正方形ABCD外一點，PA=3,PB=1,PC=VH球/APB的度數(shù).

18已知.△AOB和△MON都是等腰直角三角形＜OM=ON)/AOB=乙MON=90".

(1)如圖1:連AM,BN,求證：i^AOM=^BON;

⑵若將△MON繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，

①如圖2,當(dāng)點N恰好在AB邊上時，求證：BN2+AN2=2ON2;

②當(dāng)點A,M,N在同一條直線上時，若。8=4,ON=3,請直接寫出線段BN的長.

19如圖1,若四邊形ABCD、四邊形GFED都是正方形，顯然圖中有AG=CE.AG^CE.

(1)當(dāng)正方形GFED繞D旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時，AG=CE是否成立?若成立，請給出證明；若不成立，請說

明理由；

(2)當(dāng)正方形GFED繞D旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，延長CE交AG于H,交AD于M.

①求證：XG0CH;

②當(dāng)AD=8,DG=2應(yīng)時，求CH的長.

20已知在△4BC中，。為BC邊的中點，連接AO,將△40C繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角為鈍角)，得到

AEOF,連接AE,CF.

⑴如圖1,當(dāng)NBAC=90。且AB=AC時廁AE與CF滿足的數(shù)量關(guān)系是;

(2)如圖2,當(dāng)ABAC=90。且AB#：AC時，⑴中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請寫出證明過程；若不成立，

請說明理由.

⑶如圖3,延長AO到點D,使OD=OA,連接DE,當(dāng)AO=CF=5,BC=6時，求DE的長.

21在4ABC中，AB=AC,D是邊BC上一動點，連接AD,將AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至AE的位置，使得/DAE

+ZBAC=180°.

⑴如圖1,當(dāng)NBAC=90。時,連接BE,交AC于點F.若BE平分/ABC,BD=2,求AF的長;

⑵如圖2,連接BE,取BE的中點G,連接AG.猜想AG與CD存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接DG,CE,若NBAC=120。，當(dāng)BD>CD,/AEC=150。時，請直接寫出力薩的值.

CE

22在△4BC中,AB=AC,ACDE中,CE=CD(CE>CA),BC=CD,3=a,Z.ACB+乙ECD=180。，，點B,

C,E不共線，點P為直線DE上一點，且PB=PD.

⑴如圖1,點D在線段BC延長線上，則.Z.ECD=_.^ABP=_.(用含a的代數(shù)式表示)；

(2)如圖2,點A,E在直線BC同側(cè)，求證：BP平分Z71BC;

(3)若乙ABC=60。,BC=V3+1,將圖3中的△CDE繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)BPXDE時,直線PC交B

D于點G,點M是PD中點請直接寫出GM的長.

圖D

1圖2圖3

D

23已知AABC=60。,點F在直線BC上，以AF為邊作等邊三角形AFE,過點E作EDmAB于點D.請解答下

列問題：

(1)如圖①，求證：AB+BF=2BD;

(2)如圖②、圖③，線段AB,BF,BD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想，不需要證明.

24如圖1,在AABC中，ZC=90°,ZABC=30°,AC=1,D為△ABC內(nèi)部的一動點(不在邊上),連接BD,將

線段BD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)(60。,，使點B到達點F的位置；將線段AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60。，，使點A到達點E

的位置，連接AD,CD,AE,AF,BF,EF.

(1)求證：△BDA^ABFE;

(2)①CD+DF+FE的最小值為;

②當(dāng)CD+DF+FE取得最小值時，求證：AD〃:BF.

(3)如圖2,M,N,P分別是DF,AF,AE的中點連接MP,NP,在點D運動的過程中，請判斷/MPN的大小是

否為定值.若是，求出其度數(shù)；若不是，請說明理由.

25如圖，在^ABC中,AB=AC.^BAC=a(0。<a<180"),,過點A作射線AM交射線BC于點D,將AM

繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a得到AN,過點C作CF〃AM交直線AN于點F,在AM上取點E,使NAEB=/ACB.

(1)當(dāng)AM與線段BC相交時，

①如圖1,當(dāng)a=60。時，線段AE,CE和CF之間的數(shù)量關(guān)系為.

②如圖2,當(dāng)a=90。時，寫出線段AE,CE和CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

⑵當(dāng)tana=$48=5時，若△CDE是直角三角形，直接寫出AF的長.

1解：MABC為等邊三角形,.BA=BC,可將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得ABEA,連EP,且延長BP,

作4FI3BP于點F.如圖，

.?.△BPE為等邊三角形,...PE=PB=4,/BPE=60o在AAEP中,AAE=5,AP=3,PE=4,；.AE2=PE2+PA2,

：.AAPE為直角三角形,且.^APE=90°,

ZAPB=90°+60°=150°.；./APF=30°,

222

.?.在RtAAPF中，AF=^AP=1,PF=~AP=?.在RtAABF中，AB=BF+AF=(4+|V^f+

(I?=25+128則△ABC的面積是=-(25+128)=9+竽.故選：A.

2解：如圖，WABDA繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90。得到ACDM,由旋轉(zhuǎn)不變性可知：AB=CM=5,DA=DM,ZADM

=90。，.?.△ADM是等腰直角三角形，；.AD=￥2M,...當(dāng)AM的值最大時，AD的值最大，；AMWAC+CM,.”乂現(xiàn)

；.AM的最大值為8,；.AD的最大值為4V2.故選:B.

3解：連接BG,ABEF中，BE=2,ZBFE=30°,EF=2BE=4,BF=WBE=2b,：G是EF的中點，???BG

==2,；.G在。B上，且半徑為2,

.?.當(dāng)G在DB的延長線上時，DG最大，

VBE=2,BF=28，點E是AB的中點，點F是BC（的中點，；.AB=4,BC=4V3

BD=7AB2+BC2=8,

，DG的最大值為8+2=10,故選：C.

4解：如圖，將△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△CBM,連接PM,???.BP=BM=版/PBM=90。,

PM=V2PB=2,PC=4,PA=CM=2①

.\PC2=CM2+PM2,ZPMC=90°,

???乙BPM=乙BMP=45°,4CMB=AAPB=135°,

:./APB+/BPM=180。，A,P,M共線，連接AC,在RtAAMC中，AM=AP+PM=2+2V3,CM=2百

22

AC2=AP2+CM2=（2+2V3）+（2V3）=28+8百

:?正方形ABCD的面積為|XC2=14+4V3.

5.解：①：DP_LDE,；.NPDE=90。.

；./PDC+/CDE=90。，：在正方形ABCD中,ZADC=ZADP+ZPDC=90°,AD=CD,AZCDE=ZADP.

AD=CD

SAAPD和^CED中，｛乙4DP=LCDE

PD=DE

A△APDCED（SAS）,故①正確：

②：AAPD^ACED,ZAPD=ZCED,

又：NAPD=ZPDE+ZDEP,ZCED=ZCEA+ZDEP,

ZPDE=ZCEA=90°.即AE±CE,故②正確;

③過點C作CF,DE的延長線于點F,如圖,

VDE=DP,ZPDE=90°,AZDPE=ZDEP=45°.

又?；NCEA=90°,.\ZCEF=ZFCE=45°.

DP=DE=1,.-.PE=>JDP2+DE2=V2.

CE=VPC2-PE2=2,.-.CF=EF=^-CE=VI即點C到直線DE的距離為VX故③錯誤；

@???CF=EF=V2,DE=1,在RtACDF中，CD2=CF2+DF2=(V2)2+(1++3+2V2=5+2<2,

s=5+2夜，故④正確.

形ABCD

綜上所述，正確結(jié)論的序號為①②④，故答案為：①②④.

6解：...將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)12(T,.?.NPAP=120。，AP=AP,.;△APP是頂角為120。的等腰三角形，

PP'=V3PX,當(dāng)PA最小時，PP有最小值。即當(dāng)PAXBC時,PA有最小值，即PP有最小值，此時,PA=W

PC==V3,

線段PP長度的最小值=V3xV3=3,

239解連接AD,在ADE中，AE>DE-AD.

VDE和AD都是固定值，如下圖，當(dāng)點E在DA延長線上時，AE=DE-AD,此時AE最小.

過點A作AMXBC于M,?BD=1DC=2,

；.DC=4,；.BC=BD+DC=2+4=6,

AABC是等邊三角形，，AB=AC=BC=6,

???AM1BC,：.BM=-BC=-x6=3,

22’

.*.DM=BM-BD=3-2=1,在RtAABM中，AM=<AB2-BM2=3百，當(dāng)點E在DA延長線上時，AE=DE-A

D.此時AE取最小值，

在RtAADM中"D=yjDM2+AM2=2中,

.?.在RtAADG中，AG=y/AD2+DG2=8;

故答案為：8.

7.解：：NABC=90。，AB=8,BC=6,

AC=7AB2+BC2=V82+62=10.

AnAF

VDE/7BC,.".AADE^AABC,

ABAC

?.?將△ADE繞A點順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，

ZDAB=ZEAC,A△ADBs^AEC,...\=*=)=.故答案為：!

8.解：WAAOB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120度，得到三角形ACD,延長DC交x軸于點E,

在直角三角形ADE中，ADAE=60。,

/.ZDEA=30°,貝?。軦E=2AD=2OA=6,

過點C作CFLx軸于點F,則CF=h,AF=7-3=4,

EF=6-4=2,

在直角三角形CEF中，ZCEF=30°,

9解：如圖，連接BF,由旋轉(zhuǎn)可得，CE=FC,ZECF=60°,^.^△ABC是等邊三角形，.^.AC=BC,/ACB=60。，.^./A

CE=ZBCF,

AC=BC

在4ACE和4BCF中，億4CE=乙BCF,

CE=CF

：.AACE^ABCF(SAS),AZCBF=ZCAE,

:邊長為8的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上的一個動點，，ZCAE=30°,BD=4V3

ZCBF=30°,即點F的運動軌跡為直線BF,

當(dāng)DF_LBF時.DF最短，DH即為所求,此時，OH==|X4V3=2V3,DF的最小值是28，故答案為

10.解：如圖，將ABPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。后得△APB,連接PP,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，旋轉(zhuǎn)角NPBP=

ZCAB=60°,BP=BP,.,.△BPP為等邊三角形,；.BP=BP=8=PP;由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AP'=PC=10,^ABPP'

中,PP=8,AP=6,由勾股定理的逆定理得,△APP是直角三角形，

,,,SMBP+S"PC-$加/彩APRP=SABPB+^LAPP=%BP?+-XPP'XAP=24+168.

故答案為：24+16V3.

11.解：：將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45。得到△ACD,NBAC=/CAD'=45。，AD=AD',

ZAD'D=67.5°,ZD'AB=90°AZABD=22.5°

故答案為：22.5°

245.解：連接AM,過點D作DPJ_BC于點P,過點A作AQLBC于點Q,即AQ〃DP,：AD〃BC,.?.四邊

形ADPQ是平行四邊形，；.AD=QP=AB=CD,

VZC=ZB=60°,.,.ZBAQ=ZCDP=30°,.*.CP=BQ=得48=1,即BC=l+l+2=4,：點M是BC的中點,；.BM

=2=AD,...四邊形ABMD是平行四邊形，

VZC=60°,.,.ZCDP=30°,VCD=2,.\CP=1,

.,?由勾股定理得：DP=V3,

連接AM,；AB=AD,.?.平行四邊形ABMD是菱形,△MAB,AMAD和△MCD,是等邊三角形，ZBMA=Z

BME+ZAME=60°,ZEMF=ZAMF+ZAME=60°,

/.ZBME=ZAMF,

Z-B=Z.FAM

在^BME與工AMF中，｛BM=AM,BME=

乙BME=Z.AMF

△AMF(ASA),.*.BE=AF,ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB,VZEMF=ZDMC=60°,故AEMF是等邊三角形，EF=

MF,：MF的最小值為點M到AD的距離等于DP的長，即是百，即EF的最小值是b，4AEF的周長=AE+A

F+EF=AB+EF,AAEF的周長的最小值為2+故答案為：2+V3.

12解:由旋轉(zhuǎn)可知,/：6人8，=/口人/八8，=人8=3人》=人口=4,；.ABAB'^>ADAD',

AB:BB'=AD:DD'=3:1,ZAD'D=ZAB'B=AD'D=ZB=ZAB'B,AZAD'C'=ZAD'D,即點D',D,C'在同

一條直線上，??.DC，=3—；|,

又/C'=NECB',ZDEC'=ZB'EC,

/.△CEB'^ACED,AB'E:DE=CE:C'E=B'C:DC,即B'E:DE=CE:CE=3:|設(shè)CE=x,B'E=y,x:(4

-y)=y;(3-%)=3：I，.,.x=》故答案為：I

ooo

13.解：(1)：BA=BC,DA=DE,且/ABC=/ADE=60。，.'.△ABC,△ADE者口是等邊三角形，

；.AD=AE,AB=AC,ZDAE=ZBAC=60°,

ZDAB=ZEAC,.,.△DAB^AEAC(SAS),

.\BD=EC,ZABD=ZACE,

,/ZACE+ZABE=90°,AZABD+ZABE=90°,

.-.乙DBE=90°,DE2=BD2+BE2,

VEAA=DE,BD=EC,：.EA2=BE2+EC?.故答案為BD=EC,EA2=EB2+EC2.

(2)結(jié)論：EA2=EC2+2叱.理由：如圖②中,VBA=BC,DA=DE.且.^ABC=^ADE=90。,??.△ABC,AAD

E都是等腰直角三角形，???ZDAE=ZBAC=45°,ADAB=?.噂=￡*=噌??噂=.必DAB-A

AtNAC/NACAL

EAC,假=箓=V2,ZACE=ZABD,VZACE+ZABE=90°,.\ZABD+ZABE=90°,AZDBE=90°,：.DE2=B

D2+BE2,???EA=42DE,BD=y￡C,???^EA2=^EC2+BE2,.-.EA2=EC2+2BE2.

(3)如圖，：ZAED=45°,D,E,C共線,

/.ZAEC=135°,VAADB^AAEC,

/.ZADB=ZAEC=135°,

VZADE=ZDBE=90°,/.ZBDE=ZBED=45°,

BD=BE,：.DE=V2BD,vEC=aBD,

；.AD=DE=EC,設(shè)AD=DE=EC=x,

在RtAABC中，???4B=BC=2小，:.AC=2V10,

在RtAADC中，；AD2+DC2=AC2,x2+4x2=40,

x=2V負(fù)木艮已舍),AD=DE=2Vx

BD=BE=2,?1.SABDE=|X2X2=2.

13.解：(1),/ZACB=90°,AB=5,BC=3,

AC=y/AB2-BC2=4,Z.ACB=90°,A48c繞點B

順時針旋轉(zhuǎn)得到4A1BC,點A，落在AC的延長線上,

ZA'CB=90°,A'B=AB=5,

RtAA'BC中,A'C=7A'B2-BC?=4,

/.AA'=AC+A'C=8;

(2)過C作CE〃AB交AB于E,過C作CD±AB于D,如圖2:；AABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到AA'BC,

AZA'BC=ZABC,BC=BC=3,：CE〃A'B,；.NA'BC=NCEB,；.NCEB=/ABC,；.CE=BC=3,RtAABC中，

S^ABC=~AC-BC=-AB-CD,AC=4,BC=3,AB=5,.?>CD=Rt△CED中，DE=VCE2-CD2=

22AB55

同理BD=l，.-.BE=DE+BD=9,CE=BC+BE=3+?=伺,:CE\\A'B,翳=的...等=BM審

5b55CECco—11

（3）DE存在最小值，最小值是1,理由如下：如圖3左，連接A'C,則DE是4A'AC的中位線，，DE=趙匕當(dāng)

A'C最小時，DE有最小值.

如圖3右，當(dāng)A運動到BC延長線上時，A'C有最小值是AB-BC=5-3=2,DE的最小值是1

14解：（問題解決）思路一：如圖1,將ABPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得至IUBP'A,連接PP,

.?.△ABP'之Z\CBP,.?.NPBP'=90°,BP'=BP=2,AP'=CP=3,在RtAPBP'中,BP=BP=2,；.NBPP'=45°，根據(jù)勾股定

理得，PP'=&BP=2V2,

???AP=1,AP2+PP'2=1+8=9,AP'2=32=9,

...AP2+PP'2=AP'2,.?.△APP'是直角三角形，且/APP'=90°ZAPB=ZAPP'+ZBPP'=90o+45o=135o;

（思路探究）如圖2,將^BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△BP'A,連接PP',AAABP'^ACBP,

.?./PBP'=90。，BP'=BP=1,AP'=CP=VTT在RSPBP'中，BP=BP=1,NBPP'=45。，根據(jù)勾股定理彳導(dǎo)，PP'=

V2BP=VX；AP=3,

AP2+PP'2=9+2=11,

____o

???AP'2=(VTl)=11,.-.AP2+PP'2=AP'2,

:.△APP是直角三角形，且NAPP=90。，

???乙APB=乙APP'-乙BPP'=90°-45°=45°.

15(1)證明：如圖中，：/AOB=/MON=90o,；./AOM=/BON,

VAO=BO,OM=ON,/.AAOM^ABONCSAS).

⑵①證明：如圖2中，連接AM.

同法可證△A0M絲ZXBON,；.AM=BN,ZOAM=ZB=45°,VZOAB=ZB=45°,/.ZMAN=ZOAM+乙OAB

=90°,MN2=AN2+AM2,-.-AMON是等腰直角三角形，MN2=2ON2,NB2+AN2=2ON2.

②如圖1中，設(shè)OA交BN于J,過點O作OHLMN于H.

VAAOM^ABON,AAM=BN,ZOAM=ZOBN,

VZAJN=ZBJO,/.ZANJ=ZJOB=90°,

VOM=ON=3,ZMON=90°,OH±MN,

.：MN=3V2,MH=HN=OH=^,

???陽='OA?一慚二手,

工BN=AM=MH+AH=『.

如圖2中，同法可證AM=BN='宇.

16(1)解：AG=CE,證明如下:

:四邊形ABCD,四邊形EFGD是正方形，；.DA=DC,DG=DE,ZADC=ZGDE=90°,ZGDA=ZEDC,AA

DG^ACDE(SAS),.\AG=CE.

(2)①證明：VAADG^ACDE,ZGAM=ZECD,VZAMH=ZCMD,AZAHN=ZMDC=90°,.'.AG±CH.

②解：如圖3,連接GE交AD于點N,連接AE,V四邊形EFGD是正方形,DG=2V2,GE±DF,GE=DF=4,

；.GN=NE=ND=NF=2,：AD=8,

/.AN=AD-ND=8-2=6,

AG=y/AN2+NG2=2V10,CE=HG=2V10,

1?,SMGE=IXGEXAN=IxAGxHE

|x4x6=|x2V10xHE,HE=甯

:.CH=CE+HE=2V10+噂=

17.?:(1)結(jié)論：AE=CF.理由:

VAB=AC,ZBAC=90°,OC=OB,.,.OA=OC=OB,AO±BC,VZAOC=ZEOF=90°,ZAOE=ZCOF,,.,0A=

OC,OE=OF,

AAAOE^ACOF(SAS),.\AE=CF.

(2)結(jié)論成立.理由：：NBAC=90。，OC=OB,

OA=OC=OB,：ZAOC=ZEOF,ZAOE=ZCOF,

VOA=OC,OE=OF,.?.△AOE^ACOF(SAS),

；.AE=CF.

(3)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知OE=OA,???OA=OD,

.*.OE=OA=OD=5,Z.ZAED=90°,

".,OA=OE.OC=OF.ZAOE=ZCOF,/.—=OEOF,

'''04'

AOE?△COF,—=—,

CFOC

■：CF=CM=5,.-.-=AE=—,

533

???DE=VXD2-AE2=

3

18解⑴如圖1,過點F作FQLBC于Q,

；BE平分/ABC,ZBAC=90°,；.FA=FQ,

VAB=AC,.\ZABC=ZACB=45°,.\FQ=博uF,

VZBAC+ZDAE=180°,ZDAE=ZBAC=90°,

/.ZBAD=ZCAE,由旋轉(zhuǎn)知，AD=AE,

AABD^AACE(SAS),

.\BD=CE=2,ZABD=ZACE=45°,

ZBCE=90°,.,.ZCBF+ZBEC=90°,

BE平分/ABC,ZABF=ZCBF,

AZABF+ZBEC=90°,ZBAC=90°,

/ABF+NAFB=90。，

ZAFB=ZBEC,ZAFB=ZCFE,/.ZBEC=ZCFE,：.CF=CE=2,：..AF=FQ=,F=V2;

圖1圖2

⑵力G=|CD,理由：如圖2,延長BA至點M，使AM=AB,連接EM,:?G是BE的中點

BAC+ZDAE=ZBAC+ZCAM=180°,

ZDAE=ZCAM,.\ZDAC=ZEAM,VAB=AM,AB=AC,；.AC=AM,??AD=AE,AADC絲AAEM(SAS)

,/.CD=EM,.*.AG=|CD;

*

o

圖3

⑶如圖3,連接DE,AD與BE的交點記作點N,

VZBAC+ZDAE=180°,ZBAC=120°,

：.ZDAE=60°,VAD=AE,AADE是等邊三角形，

AE=DE,ZADE=ZAED=60°,VZAEC=150°,

AZDEC=ZAEC-ZAED=90°，在△ABC中,AB=AC,ZBAC=120°,ZACB=ZABC=30°,

VZAEC=150°,???NABC+NAEC=180。，

???點A,B,C,E四點共圓，???NBEC=NBAC=120。，

AZBED=ZBEC-ZDEC=30°,

：.ZDNE=180°-ZBED-ZADE=90°,

?「AE=DE,「.AN=DN,「.BE是AD的垂直平分線，

AAG=DG,BA=BD=AC,

???乙ABE=乙DBE=-/.ABC=15°,

2

AZACE=ZABE=15°,：.ZDCE=45°,

ZDEC=90°,???ZEDC=45°=ZDCE,

二?DE二CE,???AD=DE,

設(shè)AG=a,見|DG=a,由⑵知，AG=\CD,

：.CD=2AG=2a,■.CE=DE=*D=V2cz,

AD=V2a,DN==彳a,

過點D作DH_LAC于H,RtzxDHC中，ZACB=30°,CD=2a,.,.DH=a,根據(jù)勾股定理得，CH=V3a,SRtAAH

D中，根據(jù)勾股定理得，AH=VXD2-DW2=a,；.AC=AH+CH=a+V3a,

Dp.BD-DGQ.+yf3CL-CL

??DD—CLiv3a,,,—十—■

CEV2a2

19(1)W：VCE=CD,/.ZD=ZE=a,AZECD=180^-2a,AZECB=ZE+ZD=2a,

VAB=AC,.\ZABC=ZACB=2a,:PB=PD,

...NPBD=ND=a,.?.NABP=NABC-/PBD=a,故答案為：180°-2a,a.

(2)證明：如圖2中，連接BD.；CB=CD,PB=PD,

；./CBD=/CDB,ZPBD=ZPDB,

ZPBC=ZPDC=a,*/ZABC=2a,

ZABP=ZPBC=a,；.PB平分NABC.

A

E

EA

⑶解：分兩種情況討論，①.如圖3-1,VBPXPD,BP=PD,「?△PBD是等月要直角三角形，VCB=CD,PB=PD,

.,.PG垂直平分線段BD,??.BG=DG,,.,PM=MD,???GM是△PBM的中位線，??.GM=

VZABC=ZACB=60°,

???乙ECD=180°-60°=120。公ACB是等邊三角形，

VCE=CD,.\ZCDE=30o,

AZPBC=ZPDC=30°,：.ZBHC=90°,

CH=-BC=—=V3CH=—,

222

???ZCPD=乙CPH=45",PH=HC=—,

2

PB=BH+PH=y/3+2,GM=等.

②.如圖3-2中，同法可證GM=|PB.VZPBC=30°,ZGPB=ZPBC+ZPCB=45°,

/.ZPCB=ZPCD=15°,

???乙HCE=120°-15°-15°=90°,

???乙E=30。,CE=CB=皆+1,CH=,=1+苧，

HB=BC—CH=PH=-BH=—

323

PB=V3PH=1,.-.GM=^PB=］綜上所述,GM的長為等或|

255.(1)證明：如圖①中，連接BE,在BC的延長線上截取BT,使得BT=BA,連接AT.

"?BA=BT,/ABT=60。，/.△ABT是等邊三角形「「△ABT,△AEF是等邊三角形，；.AT=AB,AF=AE,ZTAB

=ZFAE=60°,.\ZTAF=ZBAE,

ATAB

在4ATF與4ABENO尸△中,ABE(SAS),ATF=BE,ZATB=ZABE=60°,

AF=AE

VED1AB,AZDEB=30°,/.BD=|BE,

.\TF=2BD,VBT=AB,AAB+BF=2BD.

(2)①如圖②，結(jié)論：AB-BF=2BD.

理由：連接BE,在BC的延長線上截取BT，使得BT=BA,連接AT.：AABT,△AEF是等邊三角形，

；.AT=AB,AF=AE,ZTAB=ZFAE=60°,

ZTAF=ZBAE,

在△ATF與△ABE中,(4)HEF=6ABEAATF^A

ABE(SAS),；.TF=BE,ZATF=ZABE=60°,

ZEBD=60°，:EDJ_AB,；./DEB=30。,

BD=^BE,：.TF=2BD,

VBT=AB,.\AB=2BD,AB-BF=2BD.

②如圖③，結(jié)論：BF-AB=2BD.理由：連接BE,在BC上截取BT,使得BT=BA,連接AT.

「△ABT,AAEF是等邊三角形，.,.AT=AB,AF=AE,

/.ZTAF=ZBAE,在△ATF與^ABE中，

AT=AB

^TAF=乙BAE,：.4ATF=△ABE(SAS),

；.TF=BE,ZATF=ZABE=120°,AZEBD=60°

VEDXAB,.'.ZDEB=30°,.\BD=|BE,

；.TF=2BD,VBT=AB,/.BF-AB=2BD

21解：(1)證明：VZDBF=ZABE=60°,.\ZDBF-ZABF=ZABE-ZABF,NABD=/EBF,在△BDA與△BF

BD=BF

E中，｛/.ABD=/-EBF：.ABDA^ABFE(SAS);

AB=BE

(2)①???兩點之間，線段最短，即C、D、F、E共線時CD+DF+FE最小，CD+DF+FE最小值為CE,

VZACB=90°,ZABC=30°,AC=1,；.AB=2,

；.BC=V3,VZCBE=ZABC+ZABE=90°,

CE=^BC2+BE2=V7,故答案為：V7;

E

②如圖1：證明：VBD=BF,ZDBF=60°,

4BDF為等邊三角形.即/BFD=60。，VC.D、F、E共線時CD+DF+FE