2025年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)專練：四邊形

四邊形

專題講練1四邊形(一)一平行四邊形性質(zhì)與判定

考點(diǎn)一平行四邊形的判定

【典例1】(2024武漢)如圖,在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊BC,AD上,AF=CE.

(1)求證:△ABE^ACDF;

(2)連接EF,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)與線段相關(guān)的條件，使四邊形ABEF是平行四邊形.(不需要說(shuō)明理由)

考點(diǎn)二菱形的判定

變式.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在BC,AD上,AC與EF相交于點(diǎn)O,且AO=CO.

⑴求證:△AOF^ACOE;

(2)連接AE,CF,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形AECF為菱形.(不需要說(shuō)明理由)

考點(diǎn)三矩形的判定

【典例2】如圖,E,F是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上兩點(diǎn),AF=CE.

(1)求證:4ADF^ACBE;

(2)連接BF,DE和BD,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：使得四邊形BEDF為矩形.

變式.如圖,AB〃DE,AB=DE,點(diǎn)C,F在AD上，且AC=FD,連接EC.BF.

(1)求證:4ABF^ADEC;F

(2)連接EF,BC,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形BCEF是矩形.(不需要說(shuō)明理由)

專題講練2四邊形（二）一四邊形與勾股定理＜45。角問題〉

考點(diǎn)一利用45。角構(gòu)全等，結(jié)合勾股定理計(jì)算

【典例1】（2023.麗水）如圖,在梯形ABCD中,AD〃B%/C=獰。,△ABE為等腰直角三角形,AB=AE,點(diǎn)E在CD

上,AD=1,求CE的長(zhǎng).

C

變式.（2022?七一）如圖在RtAABC中,/ABC=9（T,/DAC=2/ACB,/DCF=45o,DF_LAC交AC于點(diǎn)E,BF=2,AC

=13,則AB=

考點(diǎn)二結(jié)合半角模型、勾股列方程計(jì)算

【典例2】（2024.外校）如圖，在四邊形ABCD中,NBAD=9（r,/BCD=45o,NADB=乙CDB=60。,4c=3Vx則△

ABD的周長(zhǎng)=.

變式.如圖，在直角梯形ACME中，4ACM=LEMC=90。,4C=CM=6?B為CM的中點(diǎn)，Z.EAB=45。,EF

||CM交AB于點(diǎn)F,則EF的長(zhǎng)為（）

A.4B.5C.—D.5.5

3

E

M

專題講練3四邊形（三）——趙爽弦圖（1）

考點(diǎn)一弦圖與乘法公式、勾股定理

【典例1】（2023揚(yáng)州）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，

它是由4個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成（如圖所示）,直角三角形的直角邊長(zhǎng)為a、b,斜邊長(zhǎng)為c.

（1）若b-a=4,c=20,則每個(gè)直角三角形的面積為;

/

/勾a

⑵若大正方形的面積為10，小正方形的面積為2,求（a+b）2的值./寒、

變式1.如圖，有4個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形，若大正方形的面積是17，小正方

形的面積是5,直角三角形較長(zhǎng)直角邊為b,較短直角邊為a,則ab的值是（）公、

變式2.大約公元222年我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)介紹了“勾股圓方圖”，變稱“趙爽弦圖”，

如圖，四個(gè)全等的直角三角形拼成大正方形ABCD,中空的部分是小正方形EFGH,連接EG,點(diǎn)O是EG的中點(diǎn)，

記正方形ABCD的面積為Si,正方形EFGH的面積為S2，若BG+CG=V5GO,,則高的值是_____._____

考點(diǎn)二拼成趙爽弦圖

【典例2］已知有5個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，排列如圖所示，請(qǐng)把它分割后拼成一個(gè)大正方形.

變式1.若有10個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，排列如圖所示，把它分割后拼成一個(gè)大正方形.

變式2.（2024.洪山）如圖，有5塊正方形連在一起的鋼板余料，要求分割成若干小塊后能拼接成與原圖形面積相

等的正方形，試給出兩種分割方法.

丑丑

專題講練4四邊形（四）一趙爽弦圖（2）

考點(diǎn)一結(jié)合弦圖作垂線構(gòu)手拉手全等

【典例】如圖，四個(gè)全等的直角三角形拼成內(nèi)外兩個(gè)正方形，若AE=3BE,直線EG交AD于點(diǎn)M,交BC于

點(diǎn)N,求翳的值.

變式1.（2024.西安）如圖，正方形ABCD由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，連接HF交DE于點(diǎn)M若黑=1

AE2

求翳的值

A

考點(diǎn)二弦圖與相似，三角函數(shù)

變式2.（2024研口模擬）如圖，在正方形ABCD中,E,F分別在AB,BC邊（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，滿足AE=2BF,,正方形E

FGH的邊HG所在直線交AD于I,交BC于J,記四邊形AEHI的面積為S3的面積為S2ZBEF為a,用含

a的三角函數(shù)的式子表示餐的值是.

專題講練5四邊形（五）——趙爽弦圖（3）

考點(diǎn)一趙爽弦圖與相似

【典例】（2024.江漢模擬）如圖，在RtAABC中,/ACB=90。,以其三邊為邊向外作正方形，連接CF,過點(diǎn)G作GM

，CF于點(diǎn)M過點(diǎn)B作BJLGM于點(diǎn)J,過點(diǎn)A作AKLBJ于點(diǎn)K,交CF于點(diǎn)L得正方形JKLM.若AB=<SKL,CH

=2或，則CE的長(zhǎng)是____________

考點(diǎn)二越爽弦圖與方程組

變式1.（2024.江岸模擬）在認(rèn)識(shí)了勾股定理的趙爽弦圖后，一位同學(xué)嘗試將5個(gè)全等的小正方形嵌入長(zhǎng)方形AB

CD內(nèi)部，其中點(diǎn)M,N,P,Q分別在長(zhǎng)方形的邊AB,BC,CD和AD上，若AB=7,BC=8,則小正方形的邊長(zhǎng)為—

變式2.（2024.湖北模擬）如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，

設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊為a,較短直角邊長(zhǎng)為b,若（（a-6）2=4,大正方形的面積為20,現(xiàn)用一個(gè)半徑為r的圓

形紙片將陰影部分完全覆蓋，貝IIr的最小值是（）

.3c5

A.-yJ5B.-c

22->盛有

專題講練6四邊形（六）一趙爽弦圖（4）

考點(diǎn)一三角函數(shù)+勾股定理+趙爽弦圖

【典例1】（2023?杭州）第二十四屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)是1700多年前中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”.

如圖，在由四個(gè)全等的直角三角形(△DAE,AABF,ABCG,ACDH)和中間一個(gè)小正方形EFGH拼成的大正方形

ABCD中,NABF>NBAF,連接BE.設(shè)/BAF=a,NBEF=[3,若正方形EFGH與正方形ABCD的面積之比為l:n,tana=t

an?。,則n=()

A.5B.4C.3D.2

變式.(2023?樂山)我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個(gè)全等的直

角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形.如果大正方形面積為25，小正方形面積為1,則sin9=()

1

A.|B.|C.4D.

5

考點(diǎn)二三角函數(shù)+全等+相似

【典例2]如圖，用4個(gè)全等的直角三角形拼成內(nèi)外兩個(gè)正方形，直線EG交AB于點(diǎn)M,交CD于點(diǎn)N,BM=

3AM,則tanG的值為.

AD

BC

變式如圖，用8個(gè)全等的RtAABC(AOBC)分別拼成如圖1和圖2中的兩個(gè)正方形，中間的兩個(gè)小正方形的

面積分別記為Si和S2,且$2=3Si?則tanA的值為.

圖1圖2

專題講練7四邊形（七）——最值問題

考點(diǎn)一取中點(diǎn)求最值

【典例1】（2021.武漢四調(diào)）如圖，已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為1,P為正方形ABCD的邊BC上一動(dòng)點(diǎn),AE、AD

關(guān)于AP對(duì)稱，連接CE,點(diǎn)G為EC的中點(diǎn)，若P點(diǎn)從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)，則G點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.

變式如圖正方形ABCD,點(diǎn)E在直線BC上，連接AE,DE求差的最小值.

考點(diǎn)二拼接求和求最值

【典例2］如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，E是邊AB上一點(diǎn)，過C作CFXDE交AD于F,連接CE,則

CE+CF的最小值為.

變式.（2021中考改）如圖,/ACB=90>AC=BC=l點(diǎn)D在AB上點(diǎn)E在AC上,BD=AE,求CD+BE最小值.

考點(diǎn)三“將軍飲馬”圖求最值

【典例3］如圖.菱形ABCD中,AD=4,NA=6（r,E為AD的中點(diǎn),F為AB上一動(dòng)點(diǎn),將線段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)60。得EG,連接BG,CG,則BG+CG最小值為（）

A.3V3B.2V7C.4V3D.2+2V3

AFB

變式.（2022.山東）如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)E,F分別是BC,CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，并且滿足BE=CF,則AE+AF

的最小值為（）

A.6B.3V2C.3V5D.3+3V2

專題講練8四邊形（八）一菱形〈角度計(jì)算）

考點(diǎn)一從正方形到菱形

【典例】（2023?武漢澗題提出:如圖1,E是菱形ABCD邊BC上一點(diǎn),△AEF是等腰三角形,AE=EF,NAEF=NA

BC=a（a>90°）,AF交CD于點(diǎn)G,探究NGCF與a的數(shù)量關(guān)系.

問題探究：

⑴先將問題特殊化，如圖2,當(dāng)a=90。時(shí)，直接寫出/GCF的大小；

⑵再探究一般情形，如圖1,求/GCF與a的數(shù)量關(guān)系.

考點(diǎn)二從菱形到等腰三角形

變式.（2022?福建）已知△ABC=△DEC,AB=AC,AB>BC.

⑴如圖1,CB平分乙4CO,求證：四邊形ABDC是菱形；

(2)如圖2,將⑴中的ACDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于NB4C),BC,DE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F,用等式表示.

N4CE與MFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

⑶如圖3,將(1)中的ACDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于乙4BC),若NBAD=乙BCD,求乙的度數(shù).

四邊形

專題講練1四邊形(一)——平行四邊形性質(zhì)與判定

【典例1】⑴證明：；四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB=CD,BC=AD,/B=ND,

又；AF=CE,；.DF=BE,

/.AABE^ACDF(SAS);

(2)添加與線段有關(guān)的條件:AB〃EF(或AF=BE).

變式.(1)證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

AD〃BC,；.ZFAO=ZECO.

又VOA=OC,ZAOF=ZCOE,

△AOF^ACOE(ASA);

(2)EF±AC或AF=AE或AC平分NFAE等(答案不唯一).

【典例2】⑴證明：：在平行四邊形ABCD中,AD〃BC,AD=BC,；.ZDAF=ZBCE,

又AF=CE,△ADFgACBE(SAS).

(2)BD=EF

變式.(1)證明:：AB〃DE,；.ZA=ZD,

,/AC=DF,AC-CF=DF-CF,

即AF=DC,

AB=DE,

在^ABF與^DEC中，｛"=ZD,

AF=DC,

.,.△ABF^ADEC(SAS);

(2)添力口/FBC=90。,四邊形BCEF是矩形.

專題講練2四邊形(二)一四邊形與勾股定理＜45。角問題〉

【典例1］解作于N,M,延長(zhǎng)ME交BC于點(diǎn)F,

AABN"EAM,BN=AM,AN=EM,設(shè)DM=a,

BN=a+1,a+1=a+EFnEF=1,.*.CE=V2.

變式.5

解作CG±BC交AD的延長(zhǎng)線于G,作AM_LCG交CG于M,則CM=MG,易證△DCF絲△DCG(AAS),；.CG=C

F=2AB,設(shè).AB=x,x2+(2%+2)2=13?/=5(負(fù)值舍),AB=5.

【典例2】6

解：過點(diǎn)C向△ABD三邊所在直線作垂線交直線AB,AD,BD垂足分別為點(diǎn)E,F,M易知CE=CM=CF,由全等

知BE=BM,DM=DF,

/.AABD周長(zhǎng)=2AE=6.

變式.B

解:過點(diǎn)A作ANLAE交直線MC于點(diǎn)N,過點(diǎn)A作AGLEM交直線ME于點(diǎn)G,連接BE,

△ACN^△AGE,CN=EG,AE=AN,

.,.△AEB^AANB,

BE=BN=BC+EG,

設(shè)EG=x,BE=3+x,

(3+x)2=32+(6-x)2,

.?.x=2,；.EF=BE=5.

專題講練3四邊形(三)一趙爽弦圖(1)

【典例1】解：⑴由題意得(a2+b2=202b-a-4,--.^ab-96;

⑵由題意得

2ab=8,(a+b~)2=18.

變式I-B

解：a2+b2=17,(b—ci)2=5,ab=6.

變式2.7-

4

解：設(shè)OG=魚,CG=x,

???%+2+%=V5xy/2,

2%+2=V10,

BC2=/+(%+2)2

=%2+%2+4%+4

=2(x2+2%)+4=7,

,,——.

S24

【典例2】略變式1.略變式2.略

專題講練4四邊形(四)一趙爽弦圖(2)

【典例】解:過點(diǎn)C作CHLCG,交MN延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接BH,

.,.△CBH^ACDG,

；.BH_LCH,BH〃CG,

BN_BH_BE_1

CN-CG~CG-3’

變式1.解：延長(zhǎng)DE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,

△ADE^ABNE,

設(shè)AH=1,AE=2,

3_2

BN-1,

3

???BN=-

2，f

又?.?△DHMs/^NFM,

HM_2_4

"MF-3.5-7'

變式2.4cos2a—1

解:延長(zhǎng)AD,EH交于點(diǎn)P,

:四邊形ABCD,EFGH是正方形，

.,.△AEP^ABFE,

ppAF

■：AE=2BF,：.-=-=2,

即EP=2EF,

/.EH=HP=EF=FG,

.?.△IPH義△JFG(ASA),

???cosa=4PAP=EPcosa,

設(shè)EF=a,EP=2a,

/.AP=2acosa,

VAAEP^AHIP,

.S“EP_(AP\2

"SAHIP_1初，

.S1+S2_(2acosa、2

"S2~\a7'

S-t+S2.7S-1.7y

???------=4cosa,???—=4cosa—1.

S2S2

專題講練5四邊形(五)——趙爽弦圖(3)

【典例】V10+V2

解:設(shè)CF交AB于點(diǎn)P,過C作CNLAB于點(diǎn)N,設(shè)正方形JKLM邊長(zhǎng)為m,

AAFL^AFGM(AAS),Z.AL=FM,

設(shè)AL=FM=x^UFL=FM+ML=x+m,

在RtAAFL中，AL2+FL2=AF2,

x2+(x+m)2=(V5m)2,

解得x=m或x=-2m（舍去）,

；.AL=FM=m,FL=2m,

；.AP=BP,即P為AB中點(diǎn)

■.■^CB=^,.：CP=AP=BP=^,

'.,△CPN^AFPA,

CN=m,PN=-2m,

.■.AN=AP+PN=^m,

??.tan^BAC=—CNm_2_2

AN叵與i-V5+1-AC'

XC=V5+1,C￡=V10+V2.

故答案為：V10+V2.

變式1.V5

解：將每個(gè)小正方形按照如圖所示分成四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形,

設(shè)每個(gè)直角三角形的較大的直角邊為x,較小的直角邊為y,

./3z+y=7,

VAB=7,BC=8,"\^+2y=&.

解得c：l

...小正方形的邊長(zhǎng)為：V22+I2=Vs.

故答案為：V5

變式2.B

22

區(qū)r.a+b=20,.,c

解：｛r,?1a=4,b=2,

a—b=2,

；.D為AC中點(diǎn)，故圓心。在AC,AB垂直平分線交點(diǎn)，取AB的中點(diǎn)M作OMLAB交BD于點(diǎn)O,連接CO,

VAOBM^AABD,

.OB_BA

''BM~BD'

BM-BA2V5xV55

OB=----------=-------------=-

BD42

5

???T

2

專題講練6四邊形(六)一趙爽弦圖(4)

【典例1]C

解：設(shè)EF=1,BF=x,tana=,tanfi=x,-^——x2x2+x=l,n=(x+l)2+x2=2x2+2x+1=3.

-vJ-11v4-1

變式.A

解：設(shè)直角三角形短直角邊為X,長(zhǎng)直角邊為x+l,x2+(x+1)2=52,%=3或x=-4(舍)，sine=

【典例2】1

解:過點(diǎn)A作AKLAE交直線MN于點(diǎn)K,

AK〃BG,AMAK^>△MBG,

AK_1

,?=1■

BG3

又AAED^ACGB之ABFA,

???AK=AE二BF,BG=AF,

?land=—

??BF=3.

變式.亨

解:設(shè)AC=l,BC=x,

22

則Sj=（1-X'）,S2=1+x,

1+%2=3（1-久）2,X=2盧或X=巴盧（舍），

tanA=

2

專題講練7四邊形（七）一最值問題

【典例1臣

4

解:連接AC,取AC中點(diǎn)O,連接OG廁0G==九點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑是以拱]半徑，圓心角為90。的弧長(zhǎng)，路徑

長(zhǎng)為-x2TTx-=

424

變式.解作DH_LDE交AB于H,取DH的中點(diǎn)O,連接AO,EO,易證△DCE之△DAH,，DE=DH=2OA=2OD；

ZODE=90°,.\OE=V2DE,VOA+OEAE,.---DE+—DE>AE,：.—>—空的最小值為—.

22AE2AE2

【典例2】V5

解:延長(zhǎng)DA到點(diǎn)H,使AH=DA,連接EH易證△CDF0ZkDAE且△HAE,；.CF=DE=EH,則