2025年中考數(shù)學三輪復(fù)習之銳角三角函數(shù)

2025年中考數(shù)學三輪復(fù)習之銳角三角函數(shù)

選擇題（共10小題）

1.（2025?烏魯木齊一模）第14屆國際數(shù)學教育大會（JCME-14）會標如圖Q）所示，會標中心的圖案

來源于我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”，如圖S所示的“弦圖”是由四個全等的直角三角形（△A2E,

△BCF,ACDG,ADAH）和一個小正方形ER3X拼成的大正方形ABCD若EF：AH=1：3,則cos

ZABE（）

D

其.「暗,

B

（a）（b）

V52V534

A.—B.-----C.一D.-

5555

2.（2025?常州模擬）在RtZkABC中,2c=90°,2c=5,BC=12,則tanB等于（）

512125

A.—B.—C.—D.—

1351312

3.（2025?紅橋區(qū)模擬）如圖，在中，ZBAC=90°,AD±BC,垂足為。，則下列結(jié)論中正確的

是（）

A

BDC

A.sinB=器B.cosB=黑C.tanC=ABrr_AD

~BCD，tanC~~CD

4.（2025?廣東模擬）如圖，在A處測得點尸在北偏東60°方向上，在B處測得點尸在北偏東30°方向

上，若AB=2米，則點尸到直線AB距離PC為（）

ARC示T

A.3米B.V5米C.2米D.1米

5.（2025?平陸縣模擬）如圖，在正方形網(wǎng)格中，A,B,C,。為格點（網(wǎng)格線的交點），交CD于點。,

則tan/AOC的值為)

6.（2025?深圳模擬）一座樓梯的示意圖如圖所示，BC是鉛垂線，CA是水平線，54與CA的夾角為*現(xiàn)

要在樓梯上鋪一條地毯，已知C4=4米，樓梯寬度3米，則地毯的面積至少需要（）

B.(4+4tan0)米2

C3(4+熹)米2D.3(4+4tan0)米2

7.（2025?沈陽模擬）如圖，在離地面高度為1.5米的A處放風箏，風箏線AC長8米，用測傾儀測得風箏

線與水平面的夾角為9,則風箏線一端的高度。為（）

A.(1.5+8sin0)米B.(1.5+8COS0)米

D

C.(1.5+8tan0)米-(I“焉米

8.（2025?南通模擬）圖1是某款自動旋轉(zhuǎn)遮陽傘，傘面完全張開時張角呈180°,圖2是其側(cè)面示意圖.為

實現(xiàn)遮陽效果最佳，傘面裝有接收器，可以根據(jù)太陽光線的角度變化，自動調(diào)整手柄。沿著移動,

以保證太陽光線與。F始終垂直，已知支架A8長為2.5米，且垂直于地面BC,某一時刻測得1.7

米，懸托架AE=DE,點E固定在傘面上，當傘面完全張開時，太陽光線與地面的夾角設(shè)為a,當tcma=五

時，此時懸托架AE的長度為（）米.

圖1

A.0.5B.0.6

9.（2025?深圳模擬）某數(shù)學興趣小組用無人機測量園博園“福塔”AB的高度，測量方案如圖：先將無人

機垂直上升至距水平地面142機的P點，測得“福塔”頂端A的俯角為37°,再將無人機面向“福塔”

沿水平方向飛行210機到達。點，測得“福塔”頂端A的俯角為45。，則“福塔”的高度約為（）

QQA

（參考數(shù)據(jù)：tan37°為，sm37°cos37°?1）

A.48mB.50mC.51mD.52m

10.（2025?登封市一模）如圖所示，在矩形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1,△ABC的三個頂點都在格

V5V2

c.—D.—

54

二.填空題（共5小題）

11.（2025?浙江一模）如圖，已知AD//BC,BD1.AC,AC=4,BD=8,貝!IsinZDBC

A■D

-------------、C

12.（2025?蠡縣一模）如圖是一個港灣，A是碼頭，OA,。。是筆直的海岸，2是海島，。在點。的正東

方向上，點A在點。北偏東25°的方向上，點8在點。北偏東65°的方向上，OA=3km,點、O與點、

8的距離為現(xiàn)有一艘貨船按計劃從碼頭A出發(fā)后，先停靠海岸上任意點C處裝貨后再開往海

島B,則按此計劃，貨船行駛的水路最短為km.

OcD

13.（2025?廣東模擬）如圖,NMON=90°,OM=ON=6,以點。為圓心，0M為半徑作弧MN,點A

是0M中點，點尸是弧MN上的動點，以AP為直角邊作RtAAPQ,且tcm4PQ=連接NQ,則

NQ的最小值為二____________________

0AM

14.（2025?平陸縣模擬）如圖,在四邊形A8CD中，對角線AC,BD交于點、P,ZABC=ZADB=90°,

1

AB—BC,tan^CAD=于BP=5,則CD的長為___________________.

BC

15.（2025?深圳模擬）在等腰△ABC中，AB=AC,。是8C上一點，過點。作交AC延長線于

點、E,若tanNBAC=空，器=V，則好的值為?

E

三.解答題（共5小題）

16.（2025?鄭州模擬）小新的數(shù)學研學日記

課題：測量旗桿的高度

地點：操場

時間：2025月1月13日

昨天，晴.高老師要帶我們?nèi)ゲ賵鰷y量旗桿的高度，我們小組設(shè)計方案：小卓拿著標桿垂直于地面放置，

如圖1所示，標桿AB=a,影長BC=b,旗桿的影長DF=c,則可求得旗桿DE的高度

為.

今天，陰.設(shè)計方案：如圖2所示，高老師將升旗用繩子拉直，用儀器測得繩子與地面的夾角為37。，

然后又將繩子拉到一個0.3米高的平臺上，拉直繩子使繩子上的X點剛好觸到平臺時剩余的繩子長度為

5米，此時測得繩子與平臺的夾角為54°,利用這些數(shù)據(jù)能求出旗桿。E的高度嗎？

請你回答小新的問題.若能，請求出旗桿的高度；若不能，請說明理由.

（參考數(shù)據(jù)：sin37°-0.6,cos37°-0.8,tan37°"0.75,sin54°七0.8,cos54°仁0.58,tan54°21.45）

17.（2025?新鄉(xiāng)模擬）圖1是開封市龍亭大殿，龍亭大殿是公園內(nèi)整個清代建筑群中的主體.大殿坐北朝

南，殿前是用青石雕刻的蟠龍盤繞的御道.某數(shù)學活動小組到龍亭景區(qū)測量龍亭大殿的高度，如圖2,

他們選取的測量點B與大殿底部C在同一水平線上，72級蹬道平臺CD高度為13.7米，在B處測得平

臺。的仰角為30°,頂部A的仰角為48°.

（1）根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，請幫助該數(shù)學活動小組求出龍亭大殿A(yù)C的高度.（結(jié)果精確到0.1米；參考

數(shù)據(jù)：sin48°弋0.74,cos48°^0.67,tan48°^1.11,V3?1.73)

（2）在實際測量過程中，請你寫出一條減少誤差的措施.

圖1

18.（2025?和平區(qū)模擬）單擺是一種能夠產(chǎn)生往復(fù)擺動的裝置.某興趣小組利用單擺進行相關(guān)的實驗探

究.并撰寫實驗報告如下.

實驗主題探究擺球運動過程中高度的變化

實驗用具擺球，擺線，支架，攝像機等

實驗說明如圖1,在支架的橫桿點。處用擺線懸掛一個擺球，將擺

球拉高后松手，擺球開始往復(fù)運動.（擺線的長度變化忽略

不計）

如圖2,擺球靜止時的位置為點A,拉緊擺線將擺球拉至

點B處，于點。，ZBOA=64°,18.9cm；

當擺球運動至點C時，NCQ4=37°,CELOA于點E.（點

O,A,B,C,D,E1在同一平面內(nèi)）

實驗圖示

圖1

解決問題：根據(jù)以上信息，求AE的長.

(參考數(shù)據(jù)：sin37°心0.60,cos37°-0.80,tan37°20.75,sin64°七0.90,cos64°心0.44,tan64°

?2.05,結(jié)果精確到1cm）

19.（2025?天心區(qū)校級一模）熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟樓頂部的仰角為30°,看這棟樓樓底

的俯角為60°,熱氣球與樓的水平距離為120根，這棟樓有多高（g=1.73,結(jié)果取整數(shù)）？

B

20.（2025?碑林區(qū)校級二模）如圖，在側(cè)面示意圖中，遮陽棚AB長為6米，與墻面的夾角NABC

為74°,當太陽光線AD與地面CE的夾角為45°時,涼蔭處CD的長為2.76米,求墻面8C的高度.（結(jié)

果精確到0.1米;參考數(shù)據(jù)：sin74°心0.96,cos74°"0.28,tan74°-3.49）

2025年中考數(shù)學三輪復(fù)習之銳角三角函數(shù)

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號1234567891c)

答案CDDBBDAADB

選擇題（共10小題）

1.（2025?烏魯木齊一模）第14屆國際數(shù)學教育大會UCME-14）會標如圖Q）所示，會標中心的圖案

來源于我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”，如圖（6）所示的“弦圖”是由四個全等的直角三角形（AABE,

△BCF,ACDG,ADAH）和一個小正方形拼成的大正方形48CD若EF：AH=1：3,則cos

【考點】解直角三角形的應(yīng)用；勾股定理的證明.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)已知可設(shè)設(shè)EF=無，則A”=3尤，然后利用全等三角形的性質(zhì)可得AH=8E=3x,再根據(jù)

正方形的性質(zhì)可得EF=EH=x,從而可得AE=4x,最后在RtAABE中，利用勾股定理求出AB的長,

再利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答.

【解答】解：：斯：AH=1：3,

-gEF=x,則AH=3x,

LABE沿ADAH,

：.AH=BE=3x,

:四邊形所GH是正方形,

：.EF=EH=x,

AE=AH+EH=3x+x=4x,

在RtAABE中,AB=yjAE2+BE2=V（4%）2+（3x）2=5x,

?/人口口BE3x3

--COSZABE=AB=^=5'

故選：c.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理的證明，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵.

2.（2025?常州模擬）在Rt/XABC中,ZC=90°,AC=5,BC=12,則tanB等于（）

51212

A.—B.—C.—D.

1351312

【考點】銳角三角函數(shù)的定義.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)正切的定義即可求得答案.

【解答】解：?.?在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=5,BC=12,

.AC5

■■tanKB=BC=12'

故選：D.

【點評】本題考查銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵.

3.（2025?紅橋區(qū)模擬）如圖，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AD1BC,垂足為。，則下列結(jié)論中正確的

是（）

A.p.BC?cADc48n

A.SITIB=B.cosB-C.taYiC—D.tanC=器

【考點】解直角三角形.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)正弦，余弦及正切的定義對所給選項依次進行判斷即可.

【解答】解：由題知，

VZBAC=90°,ADLBC,

???ZB+ZC=ZB+ZBAD,

：.ZC=ZBAD.

同理可得，ZB=ZCAD.

在RtZXAB。中，

.口AD

smB=AB-

在RtAABC中，

。

s.innB=豆A不

在RtAACD中，

cn

sinZCAD=浣，

CD

：.sin8=sinNCA0=穿，

,l.ADACCD

則msiD"=^=就=衣?

故A選項不符合題意.

同理可得，cos8=器=黑=祟

故8選項不符合題意.

同理可倚，tanC=^=而=而?

故C選項不符合題意，D選項符合題意.

故選：D.

【點評】本題主要考查了解直角三角形，熟知正弦，余弦及正切的定義是解題的關(guān)鍵.

4.（2025?廣東模擬）如圖，在A處測得點尸在北偏東60°方向上，在8處測得點尸在北偏東30°方向

上，若A3=2米，則點尸到直線A2距離PC為（）

A.3米B.百米C.2米D.1米

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題；勾股定理的應(yīng)用.

【答案】B

【分析】設(shè)點尸到直線AB距離PC為x米，根據(jù)正切的定義用x表示出AC、BC,根據(jù)題意列出方程,

解方程即可.

【解答】解：設(shè)點P到直線AB距離PC為x米，

在Rt^APc中，AC=E^=居,

在RSPC中,BC=石糕阮=冬,

由題意得，遮x-亭%=2,

解得，x=V3（米），

故選：B.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義、正確標注方向角是解題的關(guān)鍵.

5.（2025?平陸縣模擬）如圖，在正方形網(wǎng)格中，A,B,C,。為格點（網(wǎng)格線的交點），AB交C￡＞于點。,

則tan/AOC的值為（）

【考點】解直角三角形；勾股定理的逆定理.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】B

【分析】先將A8平移至。咒所以NAOC=ND連接CR再判定不是直角三角形，根據(jù)C尸和

。產(chǎn)的值，即可求出答案.

【解答】解：如圖，將線段向右平移至陽處，使得點8與點。重合，連接CF.

BD

：.ZAOC=ZFDC.

設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為單位1,

：.AC=2,AF=1,CE=2,DE=4,FG=3,DG=4,

：.CF=V5,CD=2V5,DF=5.

??,(俑2+Q遮)2=52,

：.ZFCD=90°,

CFjc]

tan^AOC=tanDC=-^；——尸=弓.

CD2V52

故選：B.

【點評】本題考查了網(wǎng)格圖中求三角函數(shù)，勾股定理逆定理，解題關(guān)鍵是掌握所給示例中的方法，靈活

運用所學知識解決問題.

6.（2025?深圳模擬）一座樓梯的示意圖如圖所示，8c是鉛垂線，CA是水平線，區(qū)4與CA的夾角為0.現(xiàn)

要在樓梯上鋪一條地毯，已知CA=4米，樓梯寬度3米，則地毯的面積至少需要（）

B.(4+4tan0)米2

C3(4+急米2D.3(4+4tan0)米2

【考點】解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】D

【分析】由三角函數(shù)表示出BC,得出AC+8C的長度，由矩形的面積即可得出結(jié)果.

【解答】解：在RtaABC中，BC=AOtan0=4tan6（米），

.?.AC+BC=4+4tan0（:米），

，地毯的面積至少需要3義（4+4tan0）（米2）；

故選：D.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、矩形面積的計算；由三角函數(shù)表示出8C是解決問題的關(guān)鍵.

7.（2025?沈陽模擬）如圖，在離地面高度為1.5米的A處放風箏，風箏線AC長8米，用測傾儀測得風箏

線與水平面的夾角為e,則風箏線一端的高度CD為（）

B.(1.5+8cos0)米

C.(1.5+8tan0)米D-05+蔡迷

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】A

【分析】過點A作于E,根據(jù)正弦的定義求出CE,進而求出CD

【解答】解：如圖，過點A作于E,

則四邊形A8DE為矩形，

：.DE^AB=1.5米，

在RtZXAEC中，AC=8米，ZCA￡=0,

rp

VsinZCAE=^1,

.?.CE=AC?sin/CAE=8sine（米），

：.CD=CE+DE=（1.5+8sin0）米，

故選：A.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

8.（2025?南通模擬）圖1是某款自動旋轉(zhuǎn)遮陽傘，傘面完全張開時張角呈180°,圖2是其側(cè)面示意圖.為

實現(xiàn)遮陽效果最佳，傘面裝有接收器，可以根據(jù)太陽光線的角度變化，自動調(diào)整手柄。沿著移動,

以保證太陽光線與。尸始終垂直，已知支架長為2.5米，且垂直于地面BC,某一時刻測得3。=1.7

米，懸托架AE=DE,點E固定在傘面上，當傘面完全張開時，太陽光線與地面的夾角設(shè)為a,當tcma=五

時，此時懸托架AE的長度為（）米.

圖1

A.0.5B.0.6

【考點】解直角三角形的應(yīng)用；生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】A

【分析】過點E作EM，A。，垂足為根據(jù)題意可得：DG//EH,從而可得/OGB=Na,再根據(jù)垂

直定義可得：NABC=NFDG=90°,從而可得N3OG+/OGB=90°,ZADE+ZBDG^90°,然后

利用同角的余角相等可得/次"/?!。"①從而可得tan/ADE=梳，再根據(jù)已知易得：AD=0.8〃z,

再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得：AM=DM=OAm,最后在中，利用銳角三角函數(shù)的

定義求出EM的長，從而利用勾股定理求出。E的長，即可解答.

【解答】解：過點E作垂足為M,

：.ZDGB=Za,

VABXBC,

ZABC=90°,

；.NBDG+/DGB=90°,

■:DF工DG,

：.ZFDG=90°,

ZADE+ZBZ)G=180°-ZFDG=90°,

：?NDGB=/ADE=a,

?_3

?iCLTLCL—q~rf

3

tan^ADE=T

-q,

AB—2.5m,BD=1.7m,

：.AD=AB-BD=2.5-1.7=0.8(m),

?：AE=DE,EM±ADf

：.AM=DM=%。=0.4(m),

在RtZXOME中，EM=DMnmZADE=0Ax=0.3(m),

：.DE^VDM2+EM2=Jo.42+0.32=0.5(m),

DE=AE=0.5m,

故選：A.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適

當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

9.(2025?深圳模擬)某數(shù)學興趣小組用無人機測量園博園“福塔”AB的高度，測量方案如圖：先將無人

機垂直上升至距水平地面142根的尸點，測得“福塔”頂端A的俯角為37°,再將無人機面向“福塔”

沿水平方向飛行210機到達。點，測得“福塔”頂端A的俯角為45°,貝卜'福塔”42的高度約為()

(參考數(shù)據(jù)：tan37°?s譏37。=|,cos37°?

A.48mB.50mC.51mD.52m

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】D

【分析】延長8A交尸。于點C,根據(jù)題意可得：BC±PQ,BC=142m,然后設(shè)數(shù)=無小，則。。=(210

-x)m,從而分別在Rt^APC和Rt^ACQ中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長，進而列出關(guān)于

x的方程，進行計算即可解答.

【解答】解：延長BA交PQ于點C,

由題意得：BCLPQ,8c=142加，

設(shè)PC—xm,

'：PQ=210m,

：.CQ=PQ-CP=(210-x)m,

在RtZ\APC中，NAPC=37°,

：.AC=PC'\an310aJr(m),

在RtZXACQ中，ZAQC=45°,

.,.AC—CQ,tan45°—(210-x)m,

3

x=210-x,

4

解得：x=120,

.,.AC—210-x=90(m),

：.AB=BC-AC^142-90=52(m),

故選：D.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)?/p>

輔助線是解題的關(guān)鍵.

10.(2025?登封市一模)如圖所示，在矩形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1,AABC的三個頂點都在格

點上，則tanA的值為（)

【考點】解直角三角形.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】B

【分析】在中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答.

【解答】解:如圖：

在中，BD=2,AD=6,

一?BD21

??tanA==6=

故選：B.

【點評】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共5小題）

V5

11.（2025?浙江一模）如圖，已知AO〃BC,BD±AC,AC=4,BD=8,貝！Isin/Q8C=W

【考點】解直角三角形；平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力.

V5

【答案】y.

【分析】過。作。E〃AC,交BC延長線于點E,證明四邊形AOEC是平行四邊形，則AC=￡>E=4,

再由勾股定理求出BE=4V5,然后由sin/DBC=禺即可求解.

【解答】解：過。作。石〃AC,交8C延長線于點

\9AD//BC,

???四邊形AOEC是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）,

：.AC=DE=4f

VBD±AC,

:.BDLDE,

：.ZBDE=90°,

：.BE=7BD2+DE2=V82+42=4倔

..DE475

?"皿。=詼=砧=虧’

V5

故答案為：y.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正弦的定義，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)

鍵.

12.（2025?蠡縣一模）如圖是一個港灣，A是碼頭，OA,。。是筆直的海岸，B是海島,。在點。的正東

方向上，點A在點O北偏東25°的方向上，點B在點O北偏東65°的方向上，OA=3的?，點0與點

8的距離為現(xiàn)有一艘貨船按計劃從碼頭A出發(fā)后，先?？俊?。海岸上任意點C處裝貨后再開往海

島8,則按此計劃，貨船行駛的水路最短為5km.

,CD

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題；線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】5.

【分析】作點A關(guān)于直線。。的對稱點A',連接44',OA',由題意得到當A'、C、B三點共線

時，路線最短，即可得到答案.

【解答】解：作點A關(guān)于直線。。的對稱點A',連接A4',0A',連接A'B交直線0。于點C,

連接AC,

：.OA=OA',

則AC=A'C,ZAOD^ZA'0D,

：.A'C+BC^A'B,

BPAC+BC^A'B,

僅當A'、C、8三點共線時，路線最短，

VZAOD=9Q°-25°=65°,

AZAZ0D^65°,

NBOD=90°-65°=25°,

:./BOA'=65°+25°=90°,

則OA'=OA=3km,OB=4km,

：.A'B=70A'2+OB2=5km.

故答案為：5.

【點評】本題主要考查最短路徑問題，熟練掌握線段最短來解題是解題的關(guān)鍵.

13.（2025?廣東模擬）如圖，/MON=90°,0M=0N=6,以點。為圓心，0M為半徑作弧A/N,點A

是0M中點，點P是弧MN上的動點，以AP為直角邊作RtAAPg,^tan^APQ=會連接NQ,則

NQ的最小值為一8_.

0AM

【考點】解直角三角形；等腰直角三角形.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】V109-8.

【分析】將線段AO繞點A旋轉(zhuǎn)90°并延長至點使得過點。作DHJ_NO,交NO延長

線于點X,連接沏，DQ,OP,證明△OAPs^m。，求出。。=8,推出點。在以。為圓心，。。=8

為半徑的圓上運動，當N,Q,。三點共線時，N。由最小值，最小值為LW-易證四邊形AOHD

是矩形，再利用勾股定理求出DN=7NH2+DH2=V109，即可求解.

【解答】解：將線段A。繞點A旋轉(zhuǎn)90°并延長至點。，使得過點。作OHLNO,交N。

延長線于點H,連接NO,DQ,OP,

404

由條件可知而=?

4aD4

-即----

3。a3

'：ZPAQ+ZOAQ=ZOAD+ZOAQ,

：.ZPAQ=ZOAD,

：.AOAP^ADAQ9

.OPOA3

?,DQ~DA~4

???OP=OM=6,

**?DQ=8,

...點。在以。為圓心，。。=8為半徑的圓上運動，

當N,Q,。三點共線時，N。由最小值，最小值為。N-。。,

由條件可知四邊形AOHD是矩形，

：.DH=OA,OH=AD,

1

：.OA=^OM=3,

4

：.DH=0A=3,OH=AD=^0A=4,

：.NH=ON+OH=10,

.?.在RtAAWD中，DN=yJNH2+DH2=V109,

：.NQ的最小值為DN-DQ=V109-8,

故答案為：V109-8.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，正切的定義，勾股定理等，正確作

出輔助線，構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵.

14.(2025?平陸縣模擬)如圖，在四邊形ABCZ)中，對角線AC,BD交于點P,ZABC=ZADB=9Q°,

-1

AB=BC,tanAD=4，BP=5,則C￡)的長為2g.

L-------

【考點】解直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力.

【答案】2底.

【分析】過C點作CE_L2D于E點，如圖，先證明△A3。g△8CE得到BD=CE,再在Rt

△ADP中利用正切的定義得到tan/D4P=%=當則可設(shè)DP=x,AZ)=2x,所以BE=AD=2x,PE

1

=5-2羽CE=BP=5+x,接著證明NECP=NCA。得到tanNECP=tanNCAZ)=右然后在RtAECP

5—2%1

中利用正切的定義得到二一=則可求出

解得％=1,然后在RtAECD中利用勾股定理可計算出CD.

【解答】解：過C點作于E點，如圖，

VZABD+ZCBE=90°,NCBE+NBCE=90°,

ZABD=ZBCE,

在△A3。和△BCE中，

'NADB=/BEC

'乙ABD=乙BCE，

.AB=BC

:?AABD義ABCE(A4S),

：.AD=BEfBD=CE,

npi

在RtAADP中,??,tanZDAP=話=當

???設(shè)。尸=x,AD=2x,

；.BE=AD=2x,

?：BP=5,

：.PE=BP-BE=5-2x,CE=BP=BP+DP=5+x,

9：AD±BD,CELBD,

J.AD//CE,

：.ZECP=ZCAD,

1

tanZECP=tanZCAD=中

FP

在中，VtanZECP=

.5-2%1

??=一,

5+x2

解得x=l，

CE=5+x=6,DE=x+5-2x=5-x=4,

在RtAECD中，CD=<DE2+CE2=V42+62=2g.

故答案為：2g.

【點評】本題考查了解直角三角形，靈活應(yīng)用銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理，構(gòu)建Rt^CEP是解決

本題的關(guān)鍵.

15.（2025?深圳模擬）在等腰△A8C中，AB=AC,。是8C上一點，過點。作。交AC延長線于

24RD?AC13

點E,若tanZBAC=亍,/=G，則77的值為-7.

/HDDCE4

【考點】解直角三角形；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；解直角三角形及其應(yīng)用；幾何直觀；運算能力.

【答案】V-

4

【分析】過點A作APLBC于點P,過點2作出/LAC于點過點E作EPL3C交BC的延長線于點

F,在RCABH中，根據(jù)tan/BAC=瑞=竽，設(shè)BH=24a,AH=la,利用勾股定理分別求出AB=AC

=25a,CH=lSa,BC=30a,則8P=CP=15a,再求出80=10°,貝!]CD=20a,DP=5a,AP=20a,

4FFEF4

-

進而得tanZACP=西3tanZECF=根據(jù)NACP=NEC尸得一=一，設(shè)EF=4比CF=3k,則

CFCF3

r)piFF4”

CE=5k,DF=20a+3k,證明NEOb=ND4P,再根據(jù)tan/D4尸=弟=本tanNED/=法=蒲荻得

=解得k=1當，進而得CE=5k=，據(jù)此即可得出;的值.

20+3/C413W13CE

【解答】解：過點A作APLBC于點P,過點8作BXLAC于點孫過點E作斯，8C交BC的延長線

于點F,如圖所示：

則AP//EF,

在RtZ\ABH中，tan/A4C=^=竽，

.?.設(shè)BH=24a,AH=la,

由勾股定理得：AB=y/BH2+AH2=V(24a)2+(7a)2=25a,

.\AB=AC=25a,

：.CH=AC-AH=25a-7a=18m

在RtABCH中，由勾股定理得：BC=VBW2+CH2=7(24a)2+(18cz)2=30a,

VAPXBC,

：.BP=CP=15af

.BD2

??=一,

AB5

：.BD=|AB=Ix25a=10a,

：.CD=BC-BD=30a-]Qa=20a,DP=BP-BD=15a-10a=5a,

在Rt/XACP中，由勾股定理得：AP=ylAC2-CP2=7(25a)2-(15a)2=20a,

../“D4P20。4

在RtZkCEE中，tan/ECT=黑，

?/ZACP=ZECF,

.EF4

??—―,

CF3

設(shè)EF=4k,CF=3k,

由勾股定理的：CE='EF2+C-2=J(4k)2+(3k)2=54

DF=CD+CF^2Qa+3k,

在RtAAPD中,tmZDAP=%=篇=J,

FF4/z

在Rt△?；?中，/即尸=加=荻銃，

?：DE1AD,AP1BC,

：.ZEDF-^ZADP=90°,ZDAP+ZADP=90°,

：.ZEDF=ZDAP,

4k1

20d+3/c4

解得：卜=轡

100a

：.CE=5k=

.AC25a13

：'~CE=豆叵=I--

13

【點評】此題主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，靈活運用銳

角三角函數(shù)的定義及勾股定理進行計算是解決問題的關(guān)鍵，正確地添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解決問

題的難點.

三.解答題（共5小題）

16.(2025?鄭州模擬)小新的數(shù)學研學日記

課題：測量旗桿的高度

地點：操場

時間：2025月1月13日

昨天，晴.高老師要帶我們?nèi)ゲ賵鰷y量旗桿的高度，我們小組設(shè)計方案：小卓拿著標桿垂直于地面放置，

如圖1所示，標桿影長BC=6,旗桿的影長。尸=c,則可求得旗桿的高度為生.

今天，陰.設(shè)計方案：如圖2所示，高老師將升旗用繩子拉直，用儀器測得繩子與地面的夾角為37°,

然后又將繩子拉到一個0.3米高的平臺上，拉直繩子使繩子上的X點剛好觸到平臺時剩余的繩子長度為

5米，此時測得繩子與平臺的夾角為54°,利用這些數(shù)據(jù)能求出旗桿。E的高度嗎？

請你回答小新的問題.若能，請求出旗桿的高度；若不能，請說明理由.

(參考數(shù)據(jù)：sin37°心0.6,cos37°-0.8,tan37°-0.75,sin54°心0.8,cos54°-0.58,tan54°仁1.45)

【考點】解直角三角形的應(yīng)用；相似三角形的應(yīng)用.

【專題】等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；幾何直觀；應(yīng)用意識.

【答案】竽，111米.

【分析】證明△ABCsAE/m,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計算求出。E；過

點”作于Q,HPLGO于P,根據(jù)正弦的定義求出OE.

【解答】解：利用這些數(shù)據(jù)能求出旗桿。E的高度；理由如下：

'."AB//DE,標桿

△ABCS^EDF,

.BCAB

??—J

DFDE

???影長旗桿的影長OF=c,

.ba

??一二,

cDE

解得：DE避,

過點H作HQLDE于。，HPA.GD于P,

圖2

則QD=HP=Q3米，

：.EQ=(ED-0.3)米，

由題意可知：EH=EG-5,

在RtzXEQH中，/EHQ=54°,

則sin/EHQ=器，

:.EQ=EH?sin/EHQ,

：.ED-03^0.8(EG-5),

在Rt/XEDQ中，NEGD=37°,

FD

則sinZEGD=器，

:.ED=EG，sin/EGD,

:.ED6EG,

則-0.3=0.8(EG-5)

、IED=0.6EG

解得：｛北

.,?旗桿的高度約為H.1米.

故答案為弋

【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的應(yīng)用，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

17.（2025?新鄉(xiāng)模擬）圖1是開封市龍亭大殿，龍亭大殿是公園內(nèi)整個清代建筑群中的主體.大殿坐北朝

南，殿前是用青石雕刻的蟠龍盤繞的御道.某數(shù)學活動小組到龍亭景區(qū)測量龍亭大殿的高度，如圖2,

他們選取的測量點B與大殿底部C在同一水平線上，72級蹬道平臺CD高度為13.7米，在B處測得平

臺。的仰角為30°,頂部A的仰角為48°.

（1）根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，請幫助該數(shù)學活動小組求出龍亭大殿A(yù)C的高度.（結(jié)果精確到0.1米；參考

數(shù)據(jù)：sin48°弋0.74,cos48°^0.67,tan48°^1.11,V3?1.73）

（2）在實際測量過程中，請你寫出一條減少誤差的措施.

A

圖1圖2

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】（1）龍亭大殿A(yù)C的高度約為26.3米；

（2）減少誤差的建議：可多次測量，取測量數(shù)據(jù)的平均值.（答案不唯一，合理即可）.

【分析】（1）根據(jù)題意可得：0=13.7米，ZCBD=30°,ZABC=48°,然后在RtZ^CBD,利用銳

角三角函數(shù)的定義求出BC的長,再在Rt^ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長，即可解答；

（2）根據(jù)多次測量求平均值，即可解答.

【解答】解：（1）由題意得：C￡）=13.7米，NCBD=30°,/ABC=48°,

在RtZXCB。中，tan/CBD=器=號,

.?.BC=3CD?1.73X13.7=23.7（米），

CA

在RtAABC中，tanZABC=器，

.*.AC=BCnan48°*23,7X1.11^26.3（米）.

答：龍亭大殿A(yù)C的高度約為26.3米；

（2）減少誤差的建議：可多次測量，取測量數(shù)據(jù)的平均值.（答案不唯一，合理即可）.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

18.（2025?和平區(qū)模擬）單擺是一種能夠產(chǎn)生往復(fù)擺動的裝置.某興趣小組利用單擺進行相關(guān)的實驗探

究.并撰寫實驗報告如下.

實驗主題探究擺球運動過程中高度的變化

實驗用具擺球，擺線，支架，攝像機等

實驗說明如圖1,在支架的橫桿點。處用擺線懸掛一個擺球，將擺

球拉高后松手，擺球開始往復(fù)運動.（擺線的長度變化忽略

不計）

如圖2,擺球靜止時的位置為點A,拉緊擺線將擺球拉至

點8處，于點。，ZBOA=64°,BD=18.9cm；

當擺球運動至點C時，ZCOA=31°,CELOA于點E.（點

O,A,B,C,D,E在同一平面內(nèi)）

實驗圖示

解決問題：根據(jù)以上信息，求AE的長.

（參考數(shù)據(jù)：sin37°心0.60,cos37°-0.80,tan37°-0.75,sin640-0.90,cos64°"0.44,tan64°

55a2.05,結(jié)果精確到