2025浙江中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：四邊形（含答案詳解）

專題15四邊形

考情聚焦

課標(biāo)要求考點考向

1.了解多邊形的有關(guān)概念，掌握多邊形的內(nèi)角和與外角和

考向一四邊形概念性質(zhì)

公式，并會進(jìn)行有關(guān)的計算與證明.平行四

2.掌握平行四邊形的概念及有關(guān)性質(zhì)和判定，并能進(jìn)行計邊形

考向二平行四邊形性質(zhì)判定

算和證明.

3.了解鑲嵌的概念，會判斷幾種正多邊形能否進(jìn)行鑲嵌.

考向一矩形

4.掌握平行四邊形與矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系.特殊平

5.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性質(zhì).行四邊考向二菱形

6.靈活運(yùn)用特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的計算形

考向三正方形

和證明.

真題透視A

考點一平行四邊形

A考向一四邊形概念性質(zhì)

易錯易混提醒

1.多邊形的概念

定義：在平面內(nèi)，由一些不在同一直線上的線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.

正多邊形：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.

2.性質(zhì)

n邊形過一個頂點的對角線有(n-3)條，共有l(wèi)/2?n(n-3)條對角線；n邊形的內(nèi)角和為180。(n-2),

外角和為360°.

1.(2022?舟山)正八邊形一個內(nèi)角的度數(shù)為135°.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】首先根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理：(?-2)-180°(“23,且〃為正整數(shù))求出內(nèi)角和，然后再計

算一個內(nèi)角的度數(shù).

【解答】解：正八邊形的內(nèi)角和為：(8-2)X1800=1080°,

每一個內(nèi)角的度數(shù)為工義1080°=135°.

8

故答案為：135°.

【點評】此題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是熟練掌握計算公式：（?-2）-180°（wN3,且〃

為整數(shù)）.

2.（2022?湖州）為慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某校用紅色燈帶制作了一個如圖所示的正五角星（A,

B,C,D,E是正五角星的五個頂點），則圖中/A的度數(shù)是36度.

【分析】正五角星中，五邊形是正五邊形，根據(jù)正多邊形及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，即可求得NAFN=

NANF=12。，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得/A的度數(shù).

??,正五角星中，五邊形是正五邊形，

ZGFN=ZFNM=（5-2）X180_=108?,

5

:.NAFN=NANF=180°-NGFN=180°-108°=72°,

/.ZA=180°-ZAFN-ZANF=180°-72°-72°=36°.

故答案為：36.

【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，正確理解五邊形PG8MN是正五邊形是解題關(guān)鍵.

3.（2022?麗水）一個多邊形過頂點剪去一個角后，所得多邊形的內(nèi)角和為720。，則原多邊形的邊數(shù)是6

或7.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】首先求得內(nèi)角和為720。的多邊形的邊數(shù)，過頂點剪去一個角后邊數(shù)不變或減少1,即可確定原

多邊形的邊數(shù).

【解答】解：設(shè)內(nèi)角和為720°的多邊形的邊數(shù)是小則（?-2）-180=720,

解得：n=6.

?..多邊形過頂點截去一個角后邊數(shù)不變或減少1,

原多邊形的邊數(shù)為6或7,

故答案為：6或7.

【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟知一個多邊形過頂點截去一個角后它的邊數(shù)不變或減少1

是解題的關(guān)鍵.

4.(2023?衢州)如圖，在正五邊形ABCDE中，連結(jié)AC,BD交于點、F,則乙4尸8的度數(shù)為72°.

【答案】72°.

【分析】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和公式求出NA8C,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出N2C4和根據(jù)三角

形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和進(jìn)行計算即可.

【解答】解：???五邊形ABC0E是正五邊形，

/.ZBCD=ZABC="-2)X180_=]08。,

5

'：BA=BC,

：.ZBAC=ZBCA^36°,

同理NC8￡>=36°,

NAFB=/BCA+/CBD=72°,

故答案為：72°.

【點評】本題考查的是正多邊形的內(nèi)角，熟練掌握正多邊形的內(nèi)角的計算公式和等腰三角形的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

A考向二平行四邊形性質(zhì)判定

易錯易混提醒

平行四邊形的定義和性質(zhì)

1.定義

兩組對邊分別平行?的四邊形叫做平行四邊形.

2.性質(zhì)

(1)平行四邊形的對邊相等.

(2)平行四邊形的對角相等.

(3)平行四邊形的對角線互相平分.

(4)平行四邊形是中心對稱圖形.

平行四邊形的判定

1.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

2.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

3.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

4.對角線相互平分的四邊形是平行四邊形.

5.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.

1.(2024?浙江)尺規(guī)作圖問題:

如圖1,點E是團(tuán)ABC。邊上一點(不包含A,D),連接CE.用尺規(guī)作AF〃CE,歹是邊上一

點.

小明：如圖2.以C為圓心，AE長為半徑作弧，交BC于點、F,連接AF,則A/〃CE.

小麗：以點A為圓心，CE長為半徑作弧，交BC于點、F,連接AR則A尸〃CE.

小明：小麗，你的作法有問題.

小麗：哦…我明白了！

(1)證明A尸〃CE；

(2)指出小麗作法中存在的問題.

圖1圖2

【答案】(1)證明見解答過程；

(2)以A為圓心，EC為半徑畫弧，交BC于點F,此時可能會有兩個交點，只有其中之一符合題意.

【分析】(1)根據(jù)小明的作法知，CB=AE,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出AD〃2C,根據(jù)“一組對邊平

行且相等的四邊形是平行四邊形”求出四邊形APCE是平行四邊形，根據(jù)“平行四邊形的對邊互相平行”

即可得證；

(2)以A為圓心，EC為半徑畫弧，交BC于點尸,此時可能會有兩個交點，只有其中之一符合題意.

【解答】(1)證明：根據(jù)小明的作法知，CF=AE,

?；四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AD//BC,

又,：CF=AE,

四邊形AFCE是平行四邊形，

：.AF//CE；

(2)解：以A為圓心，EC為半徑畫弧，交3c于點尸，此時可能會有兩個交點，只有其中之一符合題

故小麗的作法有問題.

【點評】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟記平行四邊形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

2.(2021?浙江)如圖，在回ABCD中，對角線AC,3。交于點O,AB±AC,于點若AB=2,

BC=26,則AH的長為22巨

【答案】2巨.

3

【分析】在RtZ^ABC和中，分別利用勾股定理可求出AC和08的長，又AH_L0B,可利用等

面積法求出AH的長.

【解答】解：如圖，

VAB1AC,AB=2,BC=26,

?■?AC=V(273)2-22=2^2，

在EIABC。中，OA=OC,OB=OD,

：.0A=0C=?

在RtZkOAB中，

0B=A/22+(V2)2=&，

又AHLBD,

：.^OB'AH=^OA'AB,即/乂五-AH=yX2X^2)

解得AH=221_.

3

故答案為：2巨.

3

【點評】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等面積思想等，熟知等面積法是解題關(guān)鍵.

3.(2023?杭州)如圖，平行四邊形48CO的對角線AC,8。相交于點。，點E,尸在對角線8。上，且

BE=EF=FD,連接AE,EC,CF,FA.

(1)求證：四邊形4ECF是平行四邊形.

(2)若△ABE的面積等于2,求△CF。的面積.

AD

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得AO=CO,BO=DO,再證?！?。/，即可得出結(jié)論；

(2)由平行四邊形的性質(zhì)可求解.

【解答】(1)證明：：四邊形A2CD是平行四邊形，

：.AO=CO,BO=DO,

;BE=DF,

：.EO=FO,

...四邊形AECF是平行四邊形；

(2)解：:BE=EF,

??S&ABE=S/^AEF=2,

V四邊形AECF是平行四邊形，

SAAEF=SACEF=2,EO=FO,

...△€:/。的面積=1.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

4.(2022?溫州)如圖，在△ABC中，AO_L3C于點。，E,尸分別是AC,A2的中點，。是OF的中點，

￡。的延長線交線段2。于點G,連結(jié)。E,EF,FG.

(1)求證：四邊形。所G是平行四邊形.

(2)當(dāng)4。=5,tan/EZ)C=S時，求FG的長.

2

⑵耍

【分析】（1）由三角形中位線定理得所〃BC,則NE/O=NG￡）。，再證△（?￡/思△OG。（ASA）,得

EF=GD,然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；

（2）由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得DE=、AC=CE,則NC=NEDC,再由銳角三角函數(shù)定義得

2

CD=2,然后由勾股定理得4。=收，則?！?工人。=運(yùn)，進(jìn)而由平行四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

22

【解答】（1）證明：尸分別是AC,A8的中點，

是△ABC的中位線，

.,.EF//BC,

:.NEFO=/GDO,

?.?。是。產(chǎn)的中點，

OF=OD,

在△OE尸和△OGZ）中，

，ZEF0=ZGD0

<OF=OD>

ZE0F=ZG0D

；.4OEF沿AOGD（ASA）,

：.EF=GD,

四邊形DEFG是平行四邊形.

（2）解："：AD.LBC,

：.ZADC=90°,

是AC的中點，

：.DE=^AC=CE,

2

：.ZC=ZEDC,

/.tanC=-^5.=tanZEDC=—,

CD2

：.CD=2,

：.AC=VAD24CD2=752+22=^^29，

；.DE=、AC=J^~,

22

由（1）可知，四邊形DEFG是平行四邊形，

:.FG=DE=^^.

2

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、直角三

角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及銳角三角函數(shù)定義等知識，熟練掌握平行四

邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?舟山）如圖，在△ABC中，A8=AC=8.點E,F,G分別在邊48,BC,AC上，EF//AC,GF

//AB,則四邊形AEFG的周長是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)E尸〃AC,GF//AB,可以得到四邊形4EFG是平行四邊形，ZB=ZGFC,ZC=ZEFB,

再根據(jù)AB=AC=8和等量代換，即可求得四邊形AEFG的周長.

【解答】解：'：EF//AC,GF//AB,

，四邊形AEFG是平行四邊形，NB=/GFC,NC=NEFB,

"：AB=AC,

:.NB=NC,

：.ZB=ZEFB,ZGFC=ZC,

：.EB=EF,FG=GC,

,/四邊形AEFG的周長是AE+EF+FG+AG,

：.四邊形AEFG的周長是AE+EB+GC+AG=AB+AC,

'：AB=AC=8,

：.四邊形AEFG的周長是AB+AC=8+8=16,

故選：C.

【點評】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，將平行

四邊形的周長轉(zhuǎn)化為AB和AC的關(guān)系.

6.（2024?浙江）如圖，在12ABe。中，AC,8。相交于點O,AC=2,BD=2愿.過點A作AE_LBC的垂

線交BC于點E,記BE長為x,8C長為y.當(dāng)x,y的值發(fā)生變化時，下列代數(shù)式的值不變的是（）

AD

/

BEC

A.x+yB.x-yC.xyD.x^+y2

【答案】C

【分析】過。作。H_L3C,交3C延長線于H,由平行四邊形當(dāng)性質(zhì)推出A3=DC,AD//BC,得到AE

=DH,判定RtADCH^RtAABE(HL),得到CH=BE=x,由勾股定理得到22-(y-x)2=(小巧)2

-(y+x)之，得到孫=2.

【解答】解：過。作交延長線于H,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB^DC,AD//BC,

VAE±BC,DHLBC,

；?AE=DH,

RtADCH^RtAABE(HL),

：.CH=BE=x,

^BC=y,

/.EC=BC-BE=y-x,BH=BC+CH=y+x,

,：AE1=AC2-EC2,DH1=BD1-BH1,

22-(y-x)2=(2>/3)~(>+工)?，

??xy—l.

故選：C.

【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是由Rt^DCH0天△

ABE（.HL）,得到CH=BE,由勾股定理得到22-（y-%）2=（2>/3）2-3彳）

7.（2023?紹興）在平行四邊形ABC。中（頂點A,B,C,。按逆時針方向排列），AB=12,40=10,Z

B為銳角，且sinB=4.

5

（1）如圖1,求AB邊上的高CH的長;

(2)尸是邊AB上的一動點，點C,。同時繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得點C,D,,

①如圖2,當(dāng)。落在射線CA上時，求BP的長；

②當(dāng)△ACO是直角三角形時，求的長.

②6或8土

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)對邊相等，和三角函數(shù)可求得結(jié)果；

(2)①由三角形全等和三角形相似可得出結(jié)論；

②三角形的直角頂點不確定，故要分類討論，分三種情況討論，求出結(jié)論.

【解答】解：(1)在EIABC。中，2C=AO=10,

在RtABCH中，HC=BCsinB=^QX—=8.

一「5

(2)①如圖，作CH±BA于點H,

由(1)得，BH=TBC^-CH^=V102-82=6,

作CQLBA交BA延長線于點Q,則/CHP=NPQC=90°,

：.ZCPQ+ZPCQ=90°,

'：ZCPQ+ZCPH^90°,

：.ZPCQ=ZCPH,

由旋轉(zhuǎn)知PC=PC,

:.△PQC'^/\CHP(44S).

設(shè)則尸。=5=8,CQ=PH=6-x,QA=PQ-PA=x-4.

'：CQLAB,CHLAB,

：.CQ//CH,

：.AAQCsA4"c,

?.?-C-'--Q=QA,

CHHA

???6~x-x-4,

86

：.BP=^,

7

②由旋轉(zhuǎn)得△PCDg/sPC'D',CD=CD

CDLCD'

5L,：AB//CD,

：.CD'±AB

情況一：當(dāng)以C'為直角頂點時，如圖.

D*

CDLAB,

：.C落在線段BA延長線上.

'JPCLPC,

J.PCLAB,

由（1）知，PC=8,

：.BP=6.

情況二：當(dāng)以A為直角頂點時，如圖,

圖1

設(shè)CD與射線BA的交點為T,

作SLAB于點H.

VPC±PC,

：.ZCPH+ZTPC=90°,

,?,點C,。同時繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得點C,D,

：.ZCPD=ZCPD'=90°,PC=PD,PC=PD\

；?/CPD=/CPD;

J△尸COdPS(SAS),

：.ZPCD=ZPCD\

9：AB//CD,

：.NBPC=ZPCD=/PCD,

u：ZCPT+ZCPB=90°,

：.ZCPT+ZPCT=90°,

：.ZPTC=90°=/CHP,

:?△CPH"APC'T(A4S),

：.CT=PH,PT=CH=8.

設(shè)C'T=PH=t,貝ljAP=6-f,

：.AT=PT-PA=2+t.

VZCA￡>'=90°,CD'LAB,

：.AATD'sXC9，

.AT/'T

^TD7=TA

(2+D2=t(12-/),

化簡得F-4/+2=0,

解得t=2+V2.

BP=BH+HP=8±&,

情況三：當(dāng)以。為直角頂點時，

點尸落在BA的延長線上，不符合題意.

綜上所述，BP=6或8土我.

②方法二：

動靜互換：將C、?？闯伸o止的，點A繞P點順時針旋轉(zhuǎn)90°,

...△ABh是等腰直角三角形，

點軌跡是在/BAE=45°的射線AE上，

當(dāng)△A1C。為直角三角形時，

(z)當(dāng)NA1C￡)=9O°時，

：.ZBPlAi=90°,

.,.BP1=寸io2_g2=6；

(ii)當(dāng)點4為直角時，

則△AOE為等腰直角三角形，

；AO=8,

:.AE=S42,OF=4?

.\A2F=A3F=2,AF=4yf2,

.,.AA2=4-\[2+2,

/.AP2=4+V2

BP2=12-(4+&)=8-V2>

Ciii)AA3=4"^2-2,

.*.AA3=4-

：.BP3^12-(4-V2)=8+料,

綜上所述：BP=6或8土&.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)等知

識，熟練掌握這些知識點是解題的關(guān)鍵.

考點二特殊平行四邊形

A考向一矩形

易錯易混提醒

矩形的性質(zhì)與判定

1.定義

有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

2.性質(zhì)

⑴矩形的四個角都是直角.

(2)矩形的對角線相等.

(3)矩形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸；它的對稱中心是對角線交點.

3.判定

(1)有三個角是直角的四邊形是矩形.

⑵對角線相等的平行四邊形是矩形.

1.(2023?寧波)如圖，以鈍角三角形ABC的最長邊為邊向外作矩形連結(jié)AE,A。，設(shè)△AE。,

△ABE,△AC。的面積分別為S,Si,S2,若要求出S-Si-S2的值，只需知道()

A.△ABE的面積B.△ACD的面積

C.△ABC的面積D.矩形BCOE的面積

【答案】C

【分析】作于點G,交8c于點R可證明四邊形BFGE是矩形，AF±BC,可推導(dǎo)出S-SL

S2=—ED'AG-^BE'EG-^-CD-DG=^-ED-AG-工8c乂尸=5^8。,所以只需知道&ABC,

222222

就可求出S-SI-S2的值，于是得到問題的答案.

【解答】解：作AGLE。于點G,交于點R

?..四邊形BCDE是矩形，

:.NFBE=/BEG=NFGE=90°,BC//ED,BC=ED,BE=CD,

四邊形BPGE是矩形，/AFB=/FGE=90°,

：.FG=BE=CD,AF±BC,

：.S-Si-S2=~ED'AG-—BE-EG--CD-DG=—ED-AG-—FG-ED=—BC'AF=SAABC,

222222

，只需知道SAABC,就可求出S-Si-52的值，

故選：C.

【點評】此題重點考查矩形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式、矩形的面積公式、根據(jù)轉(zhuǎn)化思想求圖形

的面積等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

2.(2023?杭州)如圖，矩形的對角線AC,8。相交于點O.若/AOB=60°,則姻■=()

BC

A.—B.M-]C.近D.近

2223

【答案】。

【分析】先證△ABO是等邊三角形，可得NBAO=60°,由直角三角形的性質(zhì)可求解.

【解答】解：：四邊形ABC。是矩形，

：.AO=BO=CO=DO,

VZAOB=60°,

：./\ABO是等邊三角形，

：.ZBAO=60°,

...NAC2=30°,

:.BC=MAB,

.AB_V3

??---------,

BC3

故選：D.

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

3.(2023?臺州)如圖，矩形ABC。中，AB=4,AD=6.在邊A。上取一點E,使BE=BC,過點。作。尸

±BE,垂足為點尸，則BF的長為_2遙

【答案】275.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出NAM=NFBC,結(jié)合已知BE=BC,利用AAS證得△ABE和△FCB全

等，得出FC=A2=4,再根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BC=A￡>=6,從而在RtAFCB中利用勾股定理求出BF

的長.

【解答】解：；四邊形ABCD是矩形，

：.AD//BC,ZA=90°,

：.NAEB=ZFBC,

'JCFLBE,

：.ZCFB=9Qa,

：.ZCFB=ZA,

在AABE和△FCB中，

，ZA=ZCFB

"ZAEB=ZFBC-

BE=CB

.,.△ABEgAFCB(AAS),

：.FC=AB^4,

???四邊形ABC。是矩形，

：.BC=AD=6,

在RtAFCB中，由勾股定理得BFWBCZ-FC2={62-42=2>/5，

故答案為：275.

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟知矩形的對邊平行且相等，

四個角都是直角.

4.(2022?麗水)如圖，標(biāo)號為①，②，③,④的矩形不重疊地圍成矩形PQMN.己知①和②能夠重合，

③和④能夠重合，這四個矩形的面積都是5.AE=a,DE=b,且a>A.

(1)若a,b是整數(shù)，則PQ的長是a-b；

(2)若代數(shù)式cr-2ab-b2的值為零，則-(邊形的值是3+2料.

S矩形PQMN

①

P

Q

③

④

N

M

②

BC

【答案】（1）a-b；

（2）3+2V2.

【分析】（1）直接根據(jù)線段的差可得結(jié)論；

（2）先把b當(dāng)常數(shù)解方程：a2-2ab-b2=0,a=b+42b（負(fù)值舍），根據(jù)四個矩形的面積都是5表示

小矩形的寬，最后計算面積的比，化簡后整體代入即可解答.

【解答】解：（1）由圖可知：尸。=a-6,

故答案為：a-b；

（2）???〃2一2小。2=0,

：,&-序=2ab,（〃一。）2=2/?2,

：.a=b+42b（負(fù)值舍），

?..四個矩形的面積都是5.AE=a,DE=b,

：.EP=^-,EN="

ab

555b+5a

則S四邊形ABCP='a7）='）ab=a2+2ab+b2_a2_（加+1以2

=3+2A/2

5a5b2222

S矩形P2MNQ-b）3苴）（a-b）>~a~2ab+bbb

baab

故答案為：3+2?

【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，矩形的面積，并結(jié)合方程進(jìn)行解答，正確通過解關(guān)于。的方程表

示a與b的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.

A考向二菱形

易錯易混提醒

菱形的性質(zhì)與判定

1.定義

一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

2.性質(zhì)

⑴菱形的四條邊都相等.

⑵菱形的對角線互相垂直且平分，并且每一條對角線平分一組對角.

3.判定

(1)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

(2)四條邊都相等的四邊形是菱形.

1.(2023?麗水)如圖，在菱形A8CD中，AB=1,ZDAB=60°,則AC的長為()

D

A.AB.1C.2^3.D.M

22

【答案】。

【分析】連接2。交AC于點。，由菱形的性質(zhì)得。4=OC,ZBA(9=30°,AC±BD,再由含30°角的

直角三角形的性質(zhì)得。8=工，然后由勾股定理得。4=返，即可得出結(jié)論.

22

【解答】解：如圖，連接8。交AC于點O,

:四邊形ABCD是菱形，ZDAB=6Q°,

：.OA=OC,ZBAO=^ZDAB=30°,AC±BD,

2

ZA(9B=90o,

；.OB=—AB=—,

22

0A=22

-,-VAB-0B=l2-(y)2=隼,

；.AC=2OA=V^,

故選：D.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的

性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

2.(2022?麗水)如圖，已知菱形ABC。的邊長為4,E是BC的中點，AF平分NEAQ交CD于點FFG

〃A。交AE于點G.若cosB=』，則EG的長是()

4

A,D

/GY-----羋

BEC

A.3B.—C.2AD.—

332

【答案】B

【分析】方法一：過點A作于點〃，過點尸作尸。，4。于點。，根據(jù)cosB=；^=[,可得BH

=1,所以AH=J1E，然后證明AH是BE的垂直平分線，可得AE=AB=4,設(shè)GA=GF=x,根據(jù)S梯

形CEAD=S梯形CEGF+S梯形GFZM,進(jìn)而可以解決問題.方法二：作AFZ垂直BC于//,延長AE和。C交于點

M由已知可得8H=EH=1,所以AE=AB=EM=CM=4設(shè)GP=尤，貝I]AG=x,GE=4-x,由三角形

MG尸相似于三角形MEC即可得結(jié)論.方法三：作ANL2C,延長BG交于X,易證AABE為等腰三

角形，易得HF=BC=4及AAHGs^ABE設(shè)AG=GF=a,得a的值，進(jìn)而可以解決問題.

【解答】解：方法一，如圖，過點A作于點H,過點尸作尸。，于點。,

:菱形ABCD的邊長為4,

：.AB=AD=BC=4,

二AH=VAB2-BH2=山2_]2=5/15'

是8c的中點，

：.BE=CE=2,

；.EH=BE-BH=1,

.?.48是BE的垂直平分線，

.??AE=A3=4,

??工廠平分/￡4。，

：.ZDAF=ZFAGf

'：FG//AD,

：.ZDAF=ZAFG,

：.ZFAG=ZAFG,

:?GA=GF,

設(shè)GA=GF=x,

\9AE=CD=4,FG//AD,

/.DF=AG=x,

cos。=cosB=,

DF4

：.DQ=^X,

4

-,^2=VDF2-DQ2=-JX2-(-1x)2=^p-x,

,**S梯形CEAD=S梯形CEGF+S梯形GFDA，

/.Ax(2+4)X-\/75=—(2+X)X(Vl5-+A(x+4)xJ^-x,

22424

解得x=B,

3

則FG的長是包.

3

或者：VAE=CD=4,FG//AD,

四邊形AG如為等腰梯形，

：.GA=FD=GF,

貝Ux+—x+—x=4,

44

解得x=&，

3

則FG的長是

3

方法二：如圖，作垂直BC于H,延長AE和DC交于點

A

/pt------------4F

BH邑C

I?

)?

(?

I?

???:

???

\/

??*?

???

?..菱形ABC。的邊長為4,

：.AB=AD=BC=4,

；.BH=L

是BC的中點，

:.BE=CE=2,

：.EH=BE-BH=1,

是BE的垂直平分線，

：.AE=AB=4,

所以AE=AB=EM=CM=4,

設(shè)GF=x,

則AG=尤，GE=4-x,

由GF//BC,

:.△MGFsdMEC,

?.?-2-_---4---,

X8-X

解得x=B.

3

方法三：作AALL3C,延長FG交A3于H,

：.BN=1,

???￡為5C中點，

：.BE=2,

；?BN=EN=1,

:.AN是BE的垂直平分線，

：.AB=AEf

???△ABE為等腰三角形，

YAb平分NE4O,GF//AD,

：.ZGAF=ZDAF,NDAF=NAFG,

：./AFG=NGAF,

：.AG=GF,

又四邊形ADFH是平行四邊形，

:.HF=BC=4,XAHGsXABE,

設(shè)AG=GF=〃，

:,HG=4-a,

??d\4^(4-a)：2,

解得a=&.

3

3

故選：B.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì).

3.(2023?紹興)如圖，在菱形ABC。中，ZDAB=40°,連接AC,以點A為圓心，AC長為半徑作弧,

交直線AD于點E,連接CE,則ZAEC的度數(shù)是1交或80°.

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得/D4c=20°,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NAEC的度數(shù).

【解答】解：以點A為圓心，AC長為半徑作弧，交直線A。于點E和E',如圖所示，

在菱形ABC￡>中，ZDAC=ZBAC,

VZ￡?AB=40°,

AZDAC=20°,

'：AC=AE,

：.ZAEC^(180°-20°)+2=80°,

"：AE'=AC,

ZAE'C=ZACE'=10°,

綜上所述，ZAEC的度數(shù)是10°或80°,

故答案為：10°或80°.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?溫州）如圖，在菱形A8CZ）中，A2=l,ZBAD=60°.在其內(nèi)部作形狀、大小都相同的菱形

AENH和菱形CGMR使點E,F,G,X分別在邊AB,BC,CD,D4上，點M,N在對角線AC上.若

AE=3BE,則MN的長為近.

—2—

【答案】

2

【分析】方法一：根據(jù)菱形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)，可以求得AC、AM和MN的長，然后即可計算出

的長.

方法二:根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可以得到所和的關(guān)系，然后解直角三角形可以求得OA的長，

從而可以得到的長.

【解答】解：方法一：連接。3交AC于點。，作于點/,作交的延長線于點J,如

圖1所示，

:四邊形ABCD是菱形，ZBAD=60°,AB=l,

.?.A2=BC=C￡）=￡）A=1,N2AC=30°,AC±BD,

?..△A3。是等邊三角形，

2

/=22=

MOVAD-DO-J12-（7）2=2y

：.AC=2AO=yf3,

"：AE^3BE,

；.AE^—,BE=L,

44

,/菱形AENH和菱形CGMF大小相同，

:.BE=BF=LZFBJ^60°,

4

：.FJ=BF'sin60°=1X返=返，

428

:.MI=FJ=A,

8

—ML

sin301T

2

同理可得，CN=Y2,

4

：.MN=AC-AM-CN=M-近_^=返，

442

故答案為：返.

2

方法二：連接。B交AC于點0,連接ER

由題意可得，四邊形AMFE是平行四邊形，四邊形ERSN是平行四邊形,

：.EF=AM=CN,

'：EF//AC,

:.△BEFS/\BAC,

.EF_BE

,?而京，

；AE=3BE,AB=1,

：.AB=4BE,

.EF_BE_1

*'AC'BAW，

：.AM=CN=^AC,

4

：.MN=—AC=OA,

2

'：ZBAD^6Q°.AB=AD=1,AO垂直平分BD,

/.(9￡)=A,

2

-,-0A=VAD2-OD2=yjl2-(y)2=與，

2

故答案為：返.

2

圖2

【點評】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是作出合適的輔助線，求出

AC、AM和MN的長.

A考向三正方形

易錯易混提醒

正方形的性質(zhì)與判定

1.定義

一組鄰邊相等的矩形叫做正方形.

2.性質(zhì)

⑴正方形的四條邊都相等，四個角都是相等.

(2)正方形的對角線相等，且互相垂直平分；每條對角線平分一組對角.

(3)正方形是軸對稱圖形，兩條對角線所在直線，以及過每一組對邊中點的直線都是它的對稱軸；正方形是

中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心.

3.判定

(1)一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形.

(2)一組鄰邊相等的矩形是正方形.

(3)對角線互相垂直的矩形是正方形.

(4)有一個角是直角的菱形是正方形.

⑸對角線相等的菱形是正方形.

T.(2023?杭州)在邊長為1的正方形中，點E在邊4。上(不與點與。重合)，射線BE與射線

CD交于點F.

(1)若屈□=」,求。尸的長.

3

(2)求證：AE-CF=1.

(3)以點8為圓心，BC長為半徑畫弧，交線段8E于點G.若EG=ED,求ED的長.

【答案】(1)=工；

2

(2)見解析過程；

(3)DE=工.

4

【分析】(1)通過證明由相似三角形的性質(zhì)可求解;

(2)通過證明△ABES/XCFB,可得膽可得結(jié)論；

CFBC

(3)設(shè)EG=ED=x,貝l|AE=l-x,BE=l+x,由勾股定理可求解.

【解答】(1)解：；四邊形ABC。是正方形，

C.AD//BC,AB=AD=BC=CD=1,

:.△DEFs/\CBF,

.DEDF

??--------------

BCCF

1_

，7DF

??--------,

1DF+1

2

(2)證明：\AB//CD,

：./ABE=NF,

又；/4=/20)=90°,

：.LABEsACFB,

?ABAE

??-----f

CFBC

：.AE"CF=AB'BC=1；

(3)解：設(shè)EG=ED=x,貝ijAE=A。-OE=1-x,BE=BG+GE=BC+GE=1+x,

在RtZXABE中，AB2+AE2=BE2,

1+(1-x)2=(1+x)2,

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題

是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?杭州）在正方形中，點M是邊的中點，點E在線段AM上（不與點A重合），點、F

在邊8C上，且AE=2BF,連接EF,以EF為邊在正方形ABCD內(nèi)作正方形EFGH.

（1）如圖1,若AB=4,當(dāng)點￡與點M重合時，求正方形EFGH的面積.

（2）如圖2,已知直線8G分別與邊A。，BC交于點I,J,射線即與射線交于點K.

①求證：EK=2EH；

$2?

②設(shè)NAEK=a,和四邊形AEH/的面積分別為Si,S2.求證:-=4sinz-a-1.

S1

(2)①見解答過程；

②見解答過程.

【分析】(1)由點M是邊AB的中點，若AB=4,當(dāng)點E與點M重合，得出AE=8E=2,由AE=2BR

得出2尸=1,由勾股定理得出￡#=5,即可求出正方形EFG/f的面積；

(2)①由“一線三直角”證明得出巡4,由AE=2BF,得出巡進(jìn)而

EFBFEFBF

證明EK=2EH；

s

②先證明△KH/也△FGJ,得出SAKHI=SAFGJ=S\,再證明△必ES^K/〃，得出冷里邑=(壁.)2=

SAKHIKH

（-產(chǎn)）2=4（邈?）4由正弦的定義得出sina=5^-,進(jìn)而得出sin2a=（皿■）2,得出—―=4sin2a,

k

1KE*'KEJKEKE[

即可證明---=4sin2a-1.

S1

當(dāng)點E與點M重合,

:?AE=BE=2,

■:AE=2BF,

；?BF=L

22222

在Rt△砂月中，EF=EB+BF=2+l=5f

，正方形EFGH的面積=EW=5；

(2)如圖2,

圖2

①證明：

.四邊形ABCD是正方形，

AZA=ZB=90°,

ZK+ZAEK=90°,

四邊形EFGH是正方形，

AZKEF^90°,EH=EF,

：.ZAEK+ZBEF=9Q°,

NAKE=ZBEF,

：.LAKESABEF,

.EKAE

??--——f

EFBF

,:AE=2BF,

.EK2BF

??-=----二力

EFBF

：.EK=2EF,

：?EK=2EH；

②證明：???四邊形ABC。是正方形，

J.AD//BC,

:?/KIH=/GJF,

丁四邊形EFGH是正方形，

JZIHK=ZEHG=ZHGF=ZFGJ=90°,EH=FG,

?；KE=2EH,

:?EH=KH,

:?KH=FG,

在〃和中，

，ZKIH=ZFJG

，ZKHI=ZFGJ>

KH=FG

：.4KHI色AFGJ(AAS),

S/\KHI=S/\FGJ=Slf

*：/K=/K,ZA=ZIHK=90°,

:?叢KAEs叢KHI,

.SAKAE,KA、2_,KA、2

??c-----=(而)—%)—其請)，

b

AKHIKH-￡KEKB

So2

/.=4sin2a-1.

Si

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)，勾股定

理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵.

3.（2023?紹興）如圖，在正方形A2C。中，G是對角線8。上的一點（與點8,。不重合）,GELCD,

GFVBC,E,尸分別為垂足.連接ERAG,并延長4G交EF于點

（1）求證：/DAG=/EGH；