2025浙江中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：圓（含答案詳解）

專題16圓

,考情聚焦/

課標(biāo)要求考點(diǎn)考向

1.理解圓的有關(guān)概念和性質(zhì)，了解圓心角、弧、弦之間的考向一垂徑定理

關(guān)系.

考向二圓心（周）角、弧、弦

2.了解圓心角與圓周角及其所對(duì)弧的關(guān)系，掌握垂徑定理

圓的基

及推論.考向三圓的內(nèi)接四邊形、圓周角

本性質(zhì)

定理及推論

3,了解圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)及其應(yīng)用

探索并了解點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系.

4.考向四圓綜合

5.知道三角形的內(nèi)心和外心.

6.了解切線的概念，并掌握切線的判定和性質(zhì)，會(huì)過(guò)圓上

與圓有考向一點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系

一點(diǎn)畫圓的切線.

關(guān)的位

7.會(huì)計(jì)算圓的弧長(zhǎng)和扇形的面積.

置關(guān)系

8.會(huì)計(jì)算圓柱和圓錐的側(cè)面積和全面積.

及計(jì)算考向二圓、扇形等相關(guān)計(jì)算

9.了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系.

真題透視/

考點(diǎn)一圓的基本性質(zhì)

A考向一垂徑定理

易錯(cuò)易混提醒

垂徑定理及推論

1.垂徑定理

垂直于弦的直徑垂直這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

2.推論1

（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。唬?）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，

并且平分弦所對(duì)的兩條??；（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧.

3.推論2

圓的兩條平行弦所夾的弧相等.

4.（1）過(guò)圓心；（2）平分弦（不是直徑）；（3）垂直于弦；（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)??；（5）平分弦所

對(duì)的劣弧.若一條直線具備這五項(xiàng)中任意兩項(xiàng)，則必具備另外三項(xiàng).

1.（2023?湖州）如圖，0A是。。的半徑，弦BCLOA于點(diǎn)D連結(jié)02.若。。的半徑為5CM,BC的長(zhǎng)

【答案】3.

【分析】根據(jù)垂徑定理和勾股定理列方程即可.

【解答】解：:BCLOA,BC=8cm,

BD=CD=AfiC=4cm,BD1+OD1=OB1,

2

OB—5cm,

A42+OD2=52,

；.OD=3或0。=-3（舍去），

...OO的長(zhǎng)是3cm,

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理和勾股定理，解題關(guān)鍵是連接半徑，構(gòu)建直角三角形，列方程解決問(wèn)題.

A考向二圓心（周）角定理及推理

易錯(cuò)易混提醒

圓心角、弧、弦之間的關(guān)系

1.定理

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等.

2.推論

同圓或等圓中：（1）兩個(gè)圓心角相等；（2）兩條弧相等；（3）兩條弦相等.三項(xiàng)中有一項(xiàng)成立，則其余

對(duì)應(yīng)的兩項(xiàng)也成立.

四、圓心角與圓周角

1.定義

頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角；頂點(diǎn)在圓上，角的兩邊和圓都相交的角叫做圓周角.

2.性質(zhì)

（1）圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù).

（2）一條弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)圓心角的度數(shù)的一半.

（3）同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)的弧相等.

（4）半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

1.（2023?湖州）如圖，點(diǎn)A,B,C在O。上，連結(jié)AB,AC,OB,OC.若N54C=50°,則N80C的

B.90°C.100°D.110°

【答案】C

【分析】直接利用圓周角定理求解即可求得/BOC的度數(shù).

【解答】解：'：ZBAC=5Q°,ZBOC=2ZBAC,

：.ZBOC=100°.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理.注意在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧

所對(duì)的圓心角的一半.

2.（2023?溫州）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于OO,BC//AD,ACA.BD.若/AOD=120°,AD=，則

/C4O的度數(shù)與8c的長(zhǎng)分別為（）

A

S

A.10°,1B.10°,V2C.15°,1D.15°,V2

【答案】C

【分析】由平行線的性質(zhì)，圓周角定理，垂直的定義，推出/4?B=NCOD=90°,ZCAD=ZBDA=

45°,求出NBOC=60°,得到△BOC是等邊三角形，得至I]BC=OB,由等腰三角形的性質(zhì)求出圓的半

徑長(zhǎng)，求出/OAO的度數(shù)，即可得到BC的長(zhǎng)，/C4O的度數(shù).

【解答】解：連接。2,OC,

'：BC//AD,

：.ZDBC=ZADB,

?**AB=CD，

AZAOB=ZCOD,ZCAD=ZBDA,

u：DBA.AC,

：.ZAED=90°,

：.ZCAD=ZBDA=45°,

AZAOB=2ZADB=90°,ZCOD=2ZCAD=90°,

VZAOD=120°,

AZBOC=360°-90°-90°-120°=60°,

*：OB=OC,

???△OBC是等邊三角形，

:?BC=OB,

*：OA=OD,NAOD=120°,

???NO40=NOD4=3O°,

：.OA=1,

：.BC=\,

：.ZCAO=ZCAD-ZOAD=45°-30°=15°.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，平行線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是

由圓周角定理推出NAO3=NCOD=90°,ZCAD=ZBDA=45°,證明△05。是等邊三角形.

3.(2023?杭州)如圖，在。。中，半徑。4,03互相垂直，點(diǎn)C在劣弧A8上.若NA8C=19°,則N

BAC=()

A.23°B.24°C.25D.26°

【答案】D

【分析】連接OC,根據(jù)圓周角定理可求解NAOC的度數(shù)，結(jié)合垂直的定義可求解N30C的度數(shù)，再利

用圓周角定理可求解.

【解答】解：連接OC,

VZABC=19°,

；./AOC=2/ABC=38°,

?.?半徑。4,08互相垂直，

ZAOB=9Q°,

ZBOC=90°-38°=52°,

：.ZBAC=AZBOC=26°,

2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓周角定理，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?溫州）如圖，AB,AC是。。的兩條弦，于點(diǎn)。，OELAC于點(diǎn)E,連結(jié)。8,OC.若

ZDOE=130°,則/20C的度數(shù)為（）

A.95°B.100°C.105°D.130°

【答案】B

【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360。計(jì)算可得/BAC=50°,再根據(jù)圓周角定理得到/BOC=2NBAC,

進(jìn)而可以得到答案.

【解答】解：,：OD±AB,OELAC,

：.ZADO=90°,ZAEO=9Q°,

VZDO￡=130°,

AZBAC=360°-90°-90°-130°=50°,

AZBOC=2ZBAC=100°,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所

對(duì)的圓心角的一半.

5.（2022?湖州）如圖，已知A3是的弦，120°,OCLAB,垂足為C,0c的延長(zhǎng)線交。。

于點(diǎn)D若NAPD是向所對(duì)的圓周角，則NAPD的度數(shù)是30°

【答案】30°.

【分析】由垂徑定理得出俞=俞，由圓心角、弧、弦的關(guān)系定理得出NA0r>=N20D,進(jìn)而得出NAO。

=60°,由圓周角定理得出/APO=』/49￡>=30°,得出答案.

2

【解答】解：'：OC±AB,

AD=BD?

ZAOD=ZBOD,

VZAOB=120°,

ZAOD=ZB(9D=AZAOB=60O,

2

?.ZAPD=AZAOD=Ax60°=30°,

22

故答案為：30°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A周角定理，垂徑定理，

圓心角、弧、弦的關(guān)系定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

A考向三圓的內(nèi)接四邊形

,四邊形ABCD內(nèi)接于圓。，若/。=100°,則NB的度數(shù)是80°.

C

【答案】80°.

【分析】由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，即可得到答案.

【解答】解：：四邊形ABC。內(nèi)接于圓O,

:./8+/。=180°,

VZD=100°,

AZB=80°.

故答案為：80°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

2.（2024?浙江）如圖，在圓內(nèi)接四邊形4BCD中，AD<AC,ZADC<ABAD,延長(zhǎng)4D至點(diǎn)E,使AE

=AC,延長(zhǎng)BA至點(diǎn)尸，連結(jié)EF,^ZAFE=ZADC.

（1）若/AFE=60°,CO為直徑，求/ABD的度數(shù).

（2）求證：?EF//BC；

②EF=BD.

【答案】（1）30°；

（2）詳見解答.

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）①利用圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角以及平行線的判定方法即可得出結(jié)論;

②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，圓周角定理進(jìn)行解答即可.

【解答】（1）解：???”）為直徑，

AZCA￡>=90°,

VZAFE=ZADC=60Q,

：.ZACD=90°-60°=30°,

：.ZABD=ZACD=30Q；

（2）證明：①如圖，延長(zhǎng)AB,

"/四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

:./CBM=ZADC,

又；ZAFE=ZADC,

：.ZAFE=ZCBM,

J.EF//BC；

②過(guò)點(diǎn)。作DG〃2C交。。于點(diǎn)G,連接AG,CG,

'：DG//BC,

???BD=CG>

：.BD=CG,

四邊形ACGD是圓內(nèi)接四邊形，

：.ZGDE=ZACG,

"."EF//DG,

：.ZDEF=ZGDE,

：.ZDEF=ZACG,

"?ZAFE=ZADC,ZADC=ZAGC,

：.NAFE=ZAGC,

'：AE=AC,

：./\AEF^/\ACG(44S),

：.EF=CG,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及平行

四邊形的性質(zhì)是正確解答的關(guān)鍵.

A考向四圓綜合

1.(2023?杭州)如圖，在O。中，直徑垂直弦CD于點(diǎn)E,連接AC,AD,BC,作CFLAD于點(diǎn)F

交線段于點(diǎn)G(不與點(diǎn)。，8重合)，連接OP.

(1)若BE=l,求GE的長(zhǎng).

(2)求證：BC2=BG'BO.

(3)若FO=FG,猜想/CA。的度數(shù)，并證明你的結(jié)論.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)由垂徑定理可得/AEO=90°,結(jié)合CFLAO可得根據(jù)圓周角定理可得

ZDAE=ZBCD,進(jìn)而可得通過(guò)證明△BCE^^GCE,可得GE=BE=1；

(2)證明△ACBS^CEB,根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例可得8C2=BA?3E,再根據(jù)AB=2BO,BE=^BG,可證

2

BC2=BG-BO；

(3)方法一：設(shè)/D4E=/C4E=a,ZFOG=ZFGO=^,可證a=90°-p,ZOCF=90-3a,通過(guò)

SAS證明△COf'g/XAOR進(jìn)而可得NOCF=NOAF,即90°-3a=a,則/CAO=2a=45°.方法二：

延長(zhǎng)R9交AC于點(diǎn)H,連接0C,證明△人■：是等腰直角三角形，即可解決問(wèn)題.

［解答］(1)解：直徑AB垂直弦CD,

：.ZAED=90°,

：.ZDAE+ZD=90°,

\'CF±AD,

；./"￡>+/￡>=90°,

：.ZDAE=ZFCD,

由圓周角定理得/D4E=/BCD,

ZBCD^ZFCD,

在和△GCE中，

，ZBCE=ZGCE

<CE=CE，

ZBEC=ZGEC

:.△BCE"AGCE(ASA),

：.GE^BE=l；

(2)證明：是OO的直徑，

AZACB=90°,

：.ZACB=ZCEB=90°,

'：ZABC=ZCBE,

:.△ACBsXCEB,

.BC=BA

"BEBC'

：.BC2=BA'BE,

由(1)知GE=BE,

：.BE=^BG,

2

\'AB=2BO,

：.BC2=BA-BE=2BO-^BG=BG-BO；

2

(3)解：ZCAD=45°,證明如下:

解法一：如圖，連接OC,

*：FO=FG,

：.ZFOG=ZFGO,

???直徑AB垂直弦CD

ACE=DE,ZAED=ZAEC=90°,

\*AE=AE,

：.AACE^AADE(SAS),

???ZDAE=ZCAE,

設(shè)NZME=NCAE=a,NFOG=NFGO=B，

則/FCD=ZBCD=NDAE=a,

???O4=0C,

：.ZOCA=ZOAC=a,

VZACB=90°,

/.ZOCF=ZACB-ZOCA-ZFCD-ZBCD=90°-3a,

*：ZCGE=ZOGF=^f/GCE=a,NCGE+/GCE=90°,

AP+a=90°,

.*.a=90°-p,

,?/COG=NQAC+NOG4=a+a=2a,

：.ZCOF=ZCOG+ZGOF=2a+^=2(90°-0)+0=180°-p,

AZCOF=ZAOF,

在△CO尸和aAO尸中，

'CO=AO

<NCOF=NAOF，

OF=OF

/.△COF^AAOF(5A5),

：.ZOCF=ZOAF,

即90°-3a=a,

：.a=22.5°,

：.ZCAD=2a=45°.

解法二：

如圖，延長(zhǎng)尸。交AC于點(diǎn)“，連接OC,

?；FO=FG,

：.ZFOG=/FGO,

：.ZFOG=ZFGO=ZCGB=ZB,

：.BC//FH,

???A3是。。的直徑，

AZACB=90°,

ZACB=ZAHO=90°,

"：OA=OC,

：.AH=CH,

：.AF=CF,

"：CF±AD,

AAFC是等腰直角三角形,

AZCAD=45°.

【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，考查垂徑定理，圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判

定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，難度較大，解題的關(guān)鍵是綜合應(yīng)用上述知識(shí)點(diǎn)，特別是第3問(wèn)，需要

大膽猜想，再逐步論證.

2.（2023?寧波）如圖，在Rt^ABC中，NC=90°,E為AB邊上一點(diǎn),以AE為直徑的半圓。與BC相

切于點(diǎn)D連結(jié)ADBE=3,BD=3泥.尸是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ADP為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為6

或2面.

【答案】6或2屈.

【分析】連接。。，DE,根據(jù)切線的性質(zhì)和勾股定理求出。。=6,然后分三種情況討論：①當(dāng)AP=PD

時(shí)，此時(shí)P與0重合，②如圖2,當(dāng)AP=AO時(shí)，③如圖3,當(dāng)OP''=A￡>時(shí)，分別進(jìn)行求解即可.

【解答】解：如圖1,連接OZ),DE,

???半圓。與BC相切于點(diǎn)。，

：.OD±BC,

在中，OB=OE+BE=OD+3,BD=3疵.

：.OB1=BD1+OD1,

：.(OD+3)2=(3旄)2+OD2,

解得0D=6,

：.AO=EO=OD=6,

①當(dāng)AP=PO時(shí)，此時(shí)尸與O重合，

：.AP=AO=6；

②如圖2,當(dāng)AP=A。時(shí)，

在RtZXABC中，

VZC=90°,

：.AC±BC,

J.OD//AC,

：.ABODsABAC,

.OD=BD=BO

,,ACBCBA，

.6_3V5_3+6

"AC375VD3+6+6'

：.AC=W,CD=2低,

=Jioo+2O=2730，

/.AD=^AC24CD2

：.AP'=AD=2730;

③如圖3,當(dāng)Z>P'=AD時(shí)，

?：AD=2y[3Q,

：.DP'1=AD=2430<

'：OD=OA,

：.ZODA=ZBAD,

J.OD//AC,

：.ZODA=ZCAD,

：.ZBAD=ZCAD,

；.AD平分NA4C,

過(guò)點(diǎn)D作DH±AE于點(diǎn)H,

：.AH=P"H,DH=DC=2炳,

"：AD=AD,

.,.RtAADZ/^RtAADC(HL),

：.AH=AC=10,

：.AH=AC=P"”=10,

：.AP"=2AH=20(P為A3邊上一點(diǎn)，不符合題意，舍去)，

綜上所述：當(dāng)△ADP為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為6或2技.

故答案為：6或2板i.

圖1

【點(diǎn)評(píng)】此題屬于圓的綜合題，考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì),

全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，解決本題的關(guān)鍵是利用分類討論思想.

3.(2023?臺(tái)州)我們可以通過(guò)中心投影的方法建立圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，用直線上點(diǎn)的位置

刻畫圓上點(diǎn)的位置.如圖，AB是的直徑，直線/是。。的切線，8為切點(diǎn).P,。是圓上兩點(diǎn)(不與

點(diǎn)A重合，且在直徑AB的同側(cè))，分別作射線AP,AQ交直線/于點(diǎn)C,點(diǎn)。.

(1)如圖1,當(dāng)48=6,弧B尸長(zhǎng)為IT時(shí)，求BC的長(zhǎng)；

(2)如圖2,當(dāng)?shù)?A,BP=PQBt,求生的值；

AB4CD

(3)如圖3,當(dāng)sin/BAQ”^，BC=C。時(shí)，連接8尸，PQ,直接寫出粵的值.

圖1圖2圖3

【答案】(1)2c=2?；

(2)區(qū)=旦；

CD4

(3)PQ=VIo..

BP4

【分析】(1)連接。尸，設(shè)N20尸的度數(shù)為“，可得匚"”=60,即NBOP=60°,故/BAP

180

=30°,而直線/是。。的切線，有/ABC=90°,從而8C=￥>=2我；

V3

(2)連接2。，過(guò)點(diǎn)C作CFLAD于點(diǎn)R求出cos/BAQ—AQ-3,由BP=PQ>得NA4C=/mC,

AB4

<CF=BC,證明/尸即得里=3,故幽=旦；

CD4CD4

(3)連接BQ,證明SAOC得罵_=理■①，證明SAB得坦②，由BC=

△APQZ\,△APB/\C,

CDADBCAB

CD,將①②兩式相除得：-^=—,故曳=

BPADBP4

【解答】解：(1)如圖，連接OP,

BCD

設(shè)48。尸的度數(shù)為,

'：AB=6,BP長(zhǎng)為n，

?.n.-K-----X----3---71,

180

：.n=60,即N3O尸=60°,

AZBAP=30°,

???直線/是。。的切線，

AZABC=90°,

ABC=tan30°\45=2?；

(2)如圖，連接8Q,過(guò)點(diǎn)。作CRLAZ)于點(diǎn)R

???A3為。。直徑，

AZBQA=90°,

cosZBAQ=^-=—,

AB4

,--BP=PQ，

???ZBAC=ZDAC,

VCFLAD,ABLBC,

：.CF=BC,

VZBAQ+ZADB=90°,NFCD+NADB=90°,

???ZFCD=ZBAQ,

/.cosZFCD=cosZBAQ=^,

?.C?—F_3—,

CD4

.BC-3

??——;

CD4

(3)如圖，連接BQ,

A

：.ZABQ=90°-ZQBD=ZADC,

"：ZABQ=ZAPQ,

：.ZAPQ=ZADC,

ZPAQ=ZDAC,

：.△APQS/\AQC,

.?.曳=四①，

CDAD

VZABC=90°=ZAPB,ZBAC=ZPAB,

：.AAPB^AABC,

史龍■②，

BCAB

由BC=CD,將①②兩式相除得：

PQ=AB

BPAD，

■：cosZBAQ=-^-=J^-,

AD4

.PQ^A/10

"BP

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合應(yīng)用，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，圓的切線等知識(shí)，解

題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)及應(yīng)用.

4.（2023?寧波）如圖1,銳角△ABC內(nèi)接于O。，D為BC的中點(diǎn)，連結(jié)AD并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)E,連結(jié)

BE,CE,過(guò)C作AC的垂線交AE于點(diǎn)尸，點(diǎn)G在上，連結(jié)BG,CG,若3c平分NEBG且NBCG

ZAFC.

AA

(1)求NBGC的度數(shù).

(2)①求證：AF=BC.

②若AG=DF,求tan/GBC的值.

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。恰好在BG上且。G=1時(shí)，求AC的長(zhǎng).

【答案】(1)ZBGC=90°；

(2)①證明過(guò)程見解答；

②tan/GBC的值為H；

5

(3)AC的長(zhǎng)為，丞之.

2

【分析】(1)根據(jù)同弧圓周角相等得/EBC=/EAC,然后利用直角三角形兩個(gè)銳角互余即可解決問(wèn)題；

(2)①證明△AC歹名ABGC(ASA),即可解決問(wèn)題；

②過(guò)點(diǎn)C作CHLEG于點(diǎn)X,設(shè)AG=DP=2x,根據(jù)勾股定理和銳角三角函數(shù)即可解決問(wèn)題；

(3)過(guò)點(diǎn)。作OM_LBE于點(diǎn)M,連結(jié)OC交AE于點(diǎn)M分別證明△EBOgA/VCQ(ASA),△COGQ

/\OBM(A4S),得BM=OG=1,設(shè)02=0C=r,然后由△GONs^GBE,對(duì)應(yīng)邊成比例，求出r的

值，進(jìn)而可求AC的長(zhǎng).

【解答】(1)解：?.?BC平分/EBG,

ZEBC=ZCBG,

'：ZEBC=ZEAC,

：.ZCBG=ZEAC,

'：AC±FC,

：.ZAFC+ZEAC=9Q°,

*//BCG=NAFC,

：.ZBCG+ZCBG=90°,

：.ZBGC=90°；

(2)①證明：：/BGC=90°,。為BC中點(diǎn)，

:,GD=CD,

：./DGC=/DCG,

'：ZBCG=ZAFC,

：.ZDGC=ZAFC,

:?CF=CG,

VZACF=ZBGC=90°,

AAACF^ABGC(ASA),

：.AF=BC；

②解：如圖1,過(guò)點(diǎn)。作CH,EG于點(diǎn)m

圖1

設(shè)4G=0/=2x,

AACF^ABGC,

：.AF=BC=2DGf

：.CD=DG=AG+DF=4x,

■:CF=CG,

:?HG=HF=3x,

：.DH=x,AH=5xf

CH=VCD2-DH2=V(4X)2-X2=^X,

Z.tanZGBC=tanZCAF=^=,

AH5

：.tanZGBC的值為MIE；

5

(3)解：如圖2,過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)M,連結(jié)0C交AE于點(diǎn)N,

A

E

圖2

?：OB=OC,

：.ZCBE=ZOBC=ZOCB,

OC//BE,

■:BD=CD,ZBDE=ZCDN,

：./\EBD^/\NCD(ASA),

：?BE=CN,

OC//BE,

：.ZGOC=ZMBOf

ZCGO=ZOMB=90°,OC=OB,

??.△COG慫△OBM(AAS),

：.BM=OG=1,

*.*OMLBE,

:?CN=BE=2BM=2,

設(shè)O8=OC=r,

■:OC//BE,

:?叢GONs/\GBE,

?GO=ON

**GBBE，

???--1--_--r--2,

r+l2

解得r=或一百］(舍去)，

22

由(2)知：AACF^ABGC,

：.AC=BG=BO+OG=r+\=^.

2

：.AC的長(zhǎng)為+&.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的

判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)

題.

5.(2023?麗水)如圖，在。。中，是一條不過(guò)圓心。的弦，點(diǎn)C,。是篇的三等分點(diǎn)，直徑CE交

于點(diǎn)尸，連結(jié)交CF于點(diǎn)G,連結(jié)AC,過(guò)點(diǎn)C的切線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

(1)求證：AD//HC；

(2)若或=2,求tan/MG的值；

GC

(3)連結(jié)BC交于點(diǎn)N,若的半徑為5.

下面三個(gè)問(wèn)題，依次按照易、中、難排列.請(qǐng)根據(jù)自己的認(rèn)知水平，選擇其中一道問(wèn)題進(jìn)行解答.

①若。尸=9,求BC的長(zhǎng)；

2

②若求△A7V3的周長(zhǎng)；

③若HF?AB=88,求△①/C的面積.

(2)tanZFAG的值為

5

(3)①2c的長(zhǎng)為包巨.

2

②△ANB的周長(zhǎng)為坨叵淳.

53

③ABHC的面積為?!空.

5

【分析】(1)根據(jù)題意可得京=而=血，再由"C是。。的切線，即可求證.

(2)先證明△C4G絲△陽(yáng)G(ASA),設(shè)出CG,根據(jù)勾股定理即可求解.

(3)①根據(jù)題意，求出AG的長(zhǎng)，再由筋=而=加即可求解.

②根據(jù)題意可求得余=而=而，再由勾股定理及相似三角形的性質(zhì)即可求解.

③作出輔助線，設(shè)出CG,利用勾股定理及相似三角形的性質(zhì)可得方程10x+x(5-2x)=22,進(jìn)而可求

得SACH4=8,再證明△CHAsaBHC,即可解答.

【解答】(1)證明：?.?點(diǎn)C,。是窟的三等分點(diǎn)，

AC=CD=DB.

由CE是。。的直徑可得CE±AD,

是OO的切線，

：.HC±CE,

.'.AD//HC.

BD=CD，

：.ZBAD=ZCAD,

\'CE±AD,

：.ZAGC=ZAGF=90°,

：./\CAG^/\FAGCASA),

：.CG=FG,

設(shè)CG=a,貝ijBG=m

.?.-O--G---y°,

CG/

OG—2a,AO—CO—3a.

在RtZ\AOG中，AO2=AG2+OG2,

(3a)2=AG2+(2a)2,

AG=V5a，

?*,tan/FAG?

AG5

答：tan/朋G的值為近?.

5

(3)解：①如圖1,VQF=1-,OC=OA=5,

5

??CGf，

???OG噂

???AGWM-OG?二平,

VCE±AZ),

：.AD=2AG=^H-

2

VAC=CD=DB，

???AD=CB，

.5V7

??BC=AD=2iy-

答：3c的長(zhǎng)為旦旦.

2

：.AH=AF,

:/HCF=90°,

???AC=AH=AF=ViO-

設(shè)CG=x,則FG=x,OG=5-x,

由勾股定理得AG?5。？_QG2=AC2-CG2,

即25-(5-x)2=10-7,

解得尤=1,

.?.AG=3,AD—6,

VCD=DB-

:./DAC=/BCD,

?:/CDN=ZADC,

:?叢CDNs叢ADC,

.NDCD

"CD"AD

,//BAD=ADAC,ZABN=ZADC,

：.AANBSAACD,

.c"vAN-v13_13Vio2€

"1CAANB=CAACDx而(6+2V10)與

答：4ANB的周長(zhǎng)為1出萬(wàn)元

53

③如圖3,過(guò)點(diǎn)0作OM_LAB于點(diǎn)M,則AM=MB=、AB，

圖3

設(shè)CG=x,則FG=x,0G=5-x,0F=5-2x,

由勾股定理得AG2=AO2-OG2=25-(5-x)2,

AF1—AC^+FG1=1Ox-/+/=lOx,

U：AD//HC,FG=CG,

?■?AH=AF=yHF>

AG=yHC>

AF?AM=vHF-4AB-THF-AB=vX88=22-

2244

VZAGF=ZOMF=90°,ZAFG=ZOFM,

：./\AFG^/\OFM,

?.?-A-F--G-F,

OFFM

：.AF-FM=OF-GF,

：.AF-AM=AF*CAF+FM)=AF2+AF-FM=AF1+OF-GF=22,

可得方程lOx+x(5-2x)=22,

解得xi=2,X2=5.5(舍去)，

：?CG=FG=2,

：.OG=3,

???AG=4,

.\HC=8,AH=AF=2>/5,

*??S^CHA=8，

*：AD//HC,

：.ZCAD=ZACH,

VAC=CD-

???/B=/CAD,

：./B=/ACH,

/H=/H,

答：△BHC的面積為儂.

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造相似三角形解答.

6.(2022?寧波)如圖1,。。為銳角三角形4BC的外接圓，點(diǎn)。在前上，交BC于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在AE

上，滿足/AFB-/BFD=NACB,FG〃AC交.BC于點(diǎn)、G,BE=FG,連結(jié)BD,DG.設(shè)NAC3=a.

(1)用含a的代數(shù)式表示/BED.

(2)求證：ABDE2/XFDG.

(3)如圖2,A。為O。的直徑.

①當(dāng)篇的長(zhǎng)為2時(shí)，求々的長(zhǎng).

②當(dāng)OF：OE—4：11時(shí)，求cosa的值.

D

mi圖2

【答案】(1)90。；

2

(2)證明見解答過(guò)程；

(3)①3；

②互.

8

【分析】(1)聯(lián)立NAFB-NBFD=NACB=a.,ZAFB+ZBFD=180°,即可得出NBFD的度數(shù)；

(2)根據(jù)角的關(guān)系得出08=0凡推出又BE=FG,即可根據(jù)SAS證兩三角形全等；

(3)①用a表示出/ABC的度數(shù)，根據(jù)度數(shù)比等于弧長(zhǎng)比計(jì)算弧長(zhǎng)即可；

②證△BOGs/XBOF,設(shè)相似比為4,OF=4x,則可得出OE,DE,GE的長(zhǎng)度，根據(jù)比例關(guān)系得出方程

求出％的值，在用x的代數(shù)式分別表示出8。和AQ,即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)?.?/AFB-NBFZ>=/ACB=a，①

X??ZAFB+ZBFD=180°,②

②-①，得2/2尸。=180°-a,

/.ZBFD=90°-—；

2

(2)由(1)得N3Fr)=9(r--,

2

"?ZADB=ZACB=a,

：.ZFB￡)=180°-ZADB-NBFD=90°-―,

2

：.DB=DF,

,JFG//AC,

：.ZCAD=ZDFG,

?:/CAD=/DBE,

：.ZDFG=ZDBE,

在△BOE和△FOG中，

'DB=DF

-ZDFG=ZDBE>

BE=FG

:.△BDEm/\FDG(SAS)；

(3)①?：ABDE冬/XFDG,

：.ZFDG=ZBDE=a,

：.ZBDG=ZBDF+ZEDG=2a,

'：DE=DG,

：.ZDGE=^-(180°-ZFDG)=90°-—,

22

ZDBG=180°-ZBDG-ZDGE=90°-2

2

'：AD是OO的直徑，

AZAB￡)=90°,

ZABC=ZABD-ZDBG=^~,

2

,竟與會(huì)所對(duì)的圓心角度數(shù)之比為3：2,

二京與金的長(zhǎng)度之比為3：2,

VAB=2,

AC=3；

②如圖，連接30,

"：OB=OD,

：.ZOBD=ZODB=a,

：./BOF=ZOBD+ZODB^2a,

NBDG=2a,

：.ZBOF=ZBDG,

,：ZBGD=ZBFO=90°-—,

2

:.ABDGs^BOF,

設(shè)△BDG與ABOF的相似比為k,

?.D?-G-=--B-D--=|z,,

OFBO

.?.O=F------4-，

OE11

，設(shè)。尸=4x,則OE=llx,DE=DG=4kx,

：?OB=OD=OE+DE=llx+4kx,BD=DF=OF+OD15x+4Ax,

.?BD=15x+4kx=15+4k

OBllx+4kxll+4k

由15+4k=匕得4經(jīng)+7左-15=0,

ll+4k

解得左=5或-3（舍去）,

4

.??O￡）=nx+4fcr=16x,BD=15x+4fcx=20x,

：.AD=2OD=32x,

在Rtz^ABO中，cos/AOB=^=^^=5

AD32x8

...cosa=—5.

8

方法二：連接OB,作BM_LA。于M,

由題意知，△BDF和△BEP都是等腰三角形，

：.EM=MF,

設(shè)。E=U,0F=4,

設(shè)DE=m,則02=機(jī)+11,OM=3.5,BD=m+15,DM=m+1.5,

：.OB2-OM2=BEr-DM2,

即(川+11)2-3.52=(m+15)2-(m+7.5)2,

解得m=5或m=-12(舍去)，

BD8

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的綜合題，熟練掌握?qǐng)A周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似

三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)二與園有關(guān)的位置關(guān)系及計(jì)算

A考向一點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系

易錯(cuò)易混提醒

一、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外.

2.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的判斷

如果圓的半徑是r,點(diǎn)到圓心的距離為d,那么點(diǎn)在圓外Od>r；點(diǎn)在圓上=d=r；點(diǎn)在圓內(nèi)=d<r.

3.過(guò)三點(diǎn)的圓

(1)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓：①經(jīng)過(guò)在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓；②經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)圓.

(2)三角形的外心：經(jīng)過(guò)三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形，的外接圓；外接圓的圓心叫做三角形的外心；這個(gè)三

角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形.

二、直線與圓的位置關(guān)系

1.直線和圓的位置關(guān)系

相切、相離、相交.

2.概念

(1)直線和圓有兩個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)我們就說(shuō)這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線；(2)直線和圓有唯一公

共點(diǎn)，這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn)；(3)直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)，

這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相離.

3.直線和圓的位置關(guān)系的判斷

如果圓的半徑是r,直線1到圓心的距離為d,那么直線1和。。相交Qd<r；直線1和。。相切od=r；

直線1和。O相離=d>r.

L~(2024?浙江)如圖，A3是。。的直徑，AC與。。相切，A為切點(diǎn)，連接2C.已知NAC2=50°,則

/B的度數(shù)為40°.

【答案】40°.

【分析】由切線的性質(zhì)得到N54C=90°,由直角三角形的性質(zhì)求出NB=90°-50°=40.

【解答】解：:AB是O。的直徑，AC與相切，A為切點(diǎn)，

：.BA±AC,

：.ZBAC=90°,

,：ZACB=50°,

：.ZB=90°-50°=40°.

故答案為：40°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由切線的性質(zhì)得到NBAC=90°.

2.（2023?浙江）如圖，點(diǎn)A是。。外一點(diǎn)，AB,AC分別與O。相切于點(diǎn)8,C,點(diǎn)。在BDC上.已知/

A=50°,則/'的度數(shù)是65°.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】連接。C,OB,根據(jù)切線的性質(zhì)得到/ACO=NABO=90°,求得/COB=360°-ZA-ZACO

-ZABO=130°,根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：連接OC,OB,

'：AB,AC分別與。0相切于點(diǎn)2,C,

：.ZACO=ZABO=90°,

'：ZA=50°,

：.ZCOB=360°-ZA-ZACO-ZABO=130°,

ZD=yZC0B=65°，

故答案為：65°.

B

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?衢州）如圖是一個(gè)圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽A2CD是矩形.當(dāng)餐盤正立且

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】連接。4,過(guò)點(diǎn)。作OE_LBC,交BC于點(diǎn)、E,交AD于點(diǎn)、F,則點(diǎn)E為餐盤與BC邊的切點(diǎn),

由矩形的性質(zhì)得AD=2C=16。"，AZ）〃2C,ZBCD=ZADC=90°,則四邊形CAFE是矩形，OE±AD,

得CD=EF=4an,ZAFO=90°,AF=DF=8cm,設(shè)餐盤的半徑為xan,則。4=0E=_xcm,0F=(x

-4)cm,然后由勾股定理列出方程，解方程即可.

【解答】解：由題意得：BC=16cm,CD=4cm,

如圖，連接OA,過(guò)點(diǎn)。作OELBC,交BC于點(diǎn)E,交A￡)于點(diǎn)R

則/CEC=90°,

???餐盤與BC邊相切，

.?.點(diǎn)￡為切點(diǎn)，

?..四邊形ABCD是矩形,

：.AD=BC=16cm,AD//BC,ZBCD=ZADC=90°,

四邊形C￡>FE是矩形，OE_LA￡>,

；.CD=EF=4cm,ZAFO=90°,AF=DF=^-AD=^X16=8(cm),

22

設(shè)餐盤的半徑為xcm,

貝UOA=OE=xcm,

：.OF=OE-EF=(x-4)cm,

在RtZXAFO中，由勾股定理得：AF2+OF2=OA1,

即82+G-4)2=/,

解得:尤=10,

餐盤的半徑為10cm,

故答案為：10.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)

鍵.

4.(2023?紹興)如圖，AB是的直徑，C是。。上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作。。的切線C。，交AB的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)、D,過(guò)點(diǎn)A作AELCD于點(diǎn)E.

(1)若NEAC=25°,求/AC。的度數(shù);

(2)若OB=2,BD=1,求CE的長(zhǎng).

E

C

【答案】（1）115°；（2）］遙.

3

【分析】（1）由垂直的定義得到/AEC=90°,由三角形外角的性質(zhì)即可求出/4CO的度數(shù)；

（2）由勾股定理求出CO的長(zhǎng)，由平行線分線段成比例定理得到里代入有關(guān)數(shù)據(jù)，即可求出CE

CE0A

的長(zhǎng).

【解答】解：（1）于點(diǎn)E,

ZAEC=90°

ZACD=ZAEC+ZEAC=900+25°=115°；

（2）是。。的切線，

半徑OCLDE,

AZOCD=90°,

VOC=OB=2,BD=1,

：.OD=OB+BD=3,

:?CD=5/QD2-0C2=返?

"：ZOCD=ZAEC=90°,

：.OC//AE,

?.?CD二OD,

CEOA

.V53

??---=-,

CE2

/,CE=.

3

E

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)，垂線，平行線分線段成比例，勾股定理，三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是由

三角形外角的性質(zhì)求出/ACD的度數(shù)，由勾股定理求出C。的長(zhǎng)，由平行線分線段成比例定理即可求出

CE的長(zhǎng).

5.(2023?金華)如圖，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，OA與x軸相切于點(diǎn)B,與y軸相交于點(diǎn)C,D,連結(jié)AB,過(guò)

點(diǎn)A作A”,CD于點(diǎn)兄

(1)求證：四邊形為矩形.

(2)已知OA的半徑為4,OB=^7,求弦CD的長(zhǎng).

oBx

【答案】(1)見解析；

(2)6.

【分析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)得到48，》軸根據(jù)垂直的定義得到乙陽(yáng)0=/"。2=/0&1=90°,根

據(jù)矩形的判定定理得到四邊形AHOB是矩形；

(2)連接AD,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AH=OB=擊,根據(jù)勾股定理得到DH=^AD2_AH2=

442-(4)2=3,根據(jù)垂徑定理即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：?；OA與x軸相切于點(diǎn)2,

."88軸

又瓦LCD,HOLOB,

ZAHO=ZHOB=ZOBA=9Q°,

四邊形AHOB是矩形；

(2)解：連接A。，

「四邊形是矩形，

:.AH=0B=ypi,

"：AD=AB=4,

D//=22=

???VAD-AH"-(4)2=3,

AHLCD,

：.CD=2DH=6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查