北京某中學(xué)2025年中考數(shù)學(xué)零模試卷（含答案）

2025年北京理工大學(xué)附中中考數(shù)學(xué)零模試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.下列圖形，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）

2.如圖，直線48,CD相交于點(diǎn)。，OELAB,若乙4。。=34。，則乙。OE的度數(shù)是（）

尸

A.34°

B.56°

C.66°

D.146°

3.實(shí)數(shù)Q,b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）

1gI1?1_________L

-2-1012

A.a>—1B.6>1C.—a<bD.—b>a

4.已知關(guān)于久的方程第2一4%+九=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，貝1伍的取值范圍是（）

A.n<4B.n<4C.n>4D.n=4

5.一個(gè)不透明的口袋中有2個(gè)紅球和1個(gè)白球，這三個(gè)球除顏色外完全相同.搖勻后，隨機(jī)從中摸出一個(gè)小

球不放回，再隨機(jī)摸出一個(gè)小球，則兩次摸出小球的顏色相同的概率是（）

3ill

AjB-3C-4D-2

6.黨的二十大報(bào)告中指出，我國(guó)全社會(huì)研發(fā)經(jīng)費(fèi)支出達(dá)二萬八千億元，居世界第二位.“二萬八千億”用科

學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.28x1013B.2.8x1011C.2.8x1012D.28xIO11

7.已知NP4Q=36。，點(diǎn)B為射線AQ上一固定點(diǎn)，按以下步驟作圖：

第1頁(yè)，共17頁(yè)

①分別以4,B為圓心，大于，4B的長(zhǎng)為半徑畫弧，相交于兩點(diǎn)M,N；

②f乍直線MN交射線4P于點(diǎn)D,連接BD；

③以B為圓心，B力長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線2P于點(diǎn)C.

根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A./.CDB=72°B,△ADBs^ABC

C.CD-.AD=2:1D.Z.ABC=3/.ACB

8.如圖，在菱形4BCD中，AABC=60°,點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別在邊CD和上運(yùn)動(dòng)

（不與4C、。重合），滿足DP=AQ,連結(jié)4P、CQ交于點(diǎn)E,在運(yùn)動(dòng)過程中，

則下列四個(gè)結(jié)論正確的是（）

2

（DAP=CQ；②NAEC的度數(shù)不變；③4APD+乙CQD=iso0；@CP^AP-EP

A.①②B.③④C.①②④D.①②③④

二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分。

9.分解因式：x3-x=

10.方程$+工=0的解為

2x4-3x

11.某中學(xué)開展“讀書伴我成長(zhǎng)”活動(dòng),為了解八年級(jí)200名學(xué)生四月份的讀書冊(cè)數(shù)，對(duì)從中隨機(jī)抽取的20

名學(xué)生的讀書冊(cè)數(shù)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如表：

冊(cè)數(shù)/冊(cè)12345

人數(shù)/人25742

根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中的數(shù)據(jù)估計(jì)八年級(jí)四月份讀書冊(cè)數(shù)不少于3本的人數(shù)約有人.

12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y=§的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（2,m）,且在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨久的增大而減

小，則點(diǎn)P在第象限.

第2頁(yè)，共17頁(yè)

15.如圖，△力BC中，NA=90。，AB=AC,以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分A

別交B4BC于點(diǎn)M,N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩

弧交于點(diǎn)F,作射線BF交AC于點(diǎn)D.若點(diǎn)。到BC的距離為1,則AC=B）N------C

16.某市為進(jìn)一步加快文明城市的建設(shè)，園林局嘗試種植4、B兩種樹種.經(jīng)過試種后發(fā)現(xiàn)，種植力種樹苗a棵,

種下后成活了（：a+5）棵，種植B種樹苗b棵，種下后成活了（6-2）棵.第一階段兩種樹苗共種植了40棵，

且兩種樹苗的成活棵樹相同，則種植4種樹苗棵.第二階段，該園林局又種植4種樹苗根棵，B種樹苗n

棵，若m=2n,在第一階段的基礎(chǔ)上進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，則這兩個(gè)階段種植Z種樹苗成活棵數(shù)種植B種樹苗成

活棵數(shù)（填“>”或“="）.

三、解答題：本題共12小題，共68分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（本小題5分）

計(jì)算：（-1廠3+|V7-1|-（1）-2+2cos45。-78.

18.（本小題5分）

先化簡(jiǎn)，再求值：J—Z—（a+2-----）,其中a?+3a—1=0.

19.（本小題5分）

r4（x—2）<x—5

解不等式組：3計(jì)1

匕->久

20.（本小題6分）

如圖，在四邊形力BCD中，NDCB=90。，AD//BC,點(diǎn)E在BC上，AB//DE,AE平分N8AD.

（1）求證：四邊形ABED為菱形；

（2）連接BD,交力E于點(diǎn)。，若2E=6,sin^DBE=求CD的長(zhǎng).

21.（本小題6分）

某校在商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)2、8兩種品牌的籃球，購(gòu)買力品牌籃球花費(fèi)了2500元，購(gòu)買B品牌籃球花費(fèi)了2000元，

且購(gòu)買4品牌籃球的數(shù)量是購(gòu)買B品牌籃球數(shù)量的2倍，已知購(gòu)買一個(gè)B品牌籃球比購(gòu)買一個(gè)月品牌籃球多花

第3頁(yè)，共17頁(yè)

30元.

(1)問購(gòu)買一個(gè)月品牌、一個(gè)B品牌的籃球各需多少元？

(2)該校決定再次購(gòu)進(jìn)力、B兩種品牌籃球共50個(gè)，恰逢商場(chǎng)對(duì)兩種品牌籃球的售價(jià)進(jìn)行調(diào)整，4品牌籃球

售價(jià)比第一次購(gòu)買時(shí)提高了8%,8品牌籃球按第一次購(gòu)買時(shí)售價(jià)的9折出售，如果該校此次購(gòu)買A、B兩種

品牌籃球的總費(fèi)用不超過3060元，那么該校此次最多可購(gòu)買多少個(gè)B品牌籃球？

22.(本小題5分)

4月24日是中國(guó)航天日，某校初中部舉辦了“航天知識(shí)”競(jìng)賽，每個(gè)年級(jí)各隨機(jī)抽取10名學(xué)生.統(tǒng)計(jì)這部

分學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，并對(duì)成績(jī)進(jìn)行了收集、整理，分析.下面給出了部分信息.

a.初一、初二年級(jí)學(xué)生得分的折線圖

得分＜分

b.初三年級(jí)學(xué)生得分：10,9,6,10,8,7,10,7,3,10.

c.初一初二、初三，三個(gè)年級(jí)學(xué)生得分的平均數(shù)和中位數(shù)如下:

年級(jí)初一初二初三

平均數(shù)88m

中位數(shù)88.5n

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

⑴由折線圖可知，初一、初二兩個(gè)年級(jí)學(xué)生“航天知識(shí)”競(jìng)賽，成績(jī)更穩(wěn)定的是(填“初一”或“初

二”)；

(2)統(tǒng)計(jì)表中m=,n=；

(3)由于數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出現(xiàn)失誤，初三年級(jí)所調(diào)查的10名學(xué)生中有一名學(xué)生被記錄為6分，實(shí)際得分為9分，

將數(shù)據(jù)修正后，初三年級(jí)所調(diào)查的10名學(xué)生中以下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)發(fā)生變化的：(寫出符合題意的序號(hào)).

①平均數(shù)；②中位數(shù)；③眾數(shù)；④方差.

第4頁(yè)，共17頁(yè)

23.（本小題5分）

在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，函數(shù)y=ax+b（aW0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（一1,4）,與函數(shù)y=2%的圖象交于點(diǎn)

（1）求m的值和函數(shù)y=ax+b（aW0）的解析式；

（2）當(dāng)％>1時(shí),對(duì)于％的每一個(gè)值,函數(shù)y=kx-k+2（fcW0）的值大于函數(shù)y=ax+b的值，且小于函數(shù)y=

2%的值，直接寫出k的取值范圍.

24.（本小題6分）

如圖，4B為。。的直徑，BD=CD,過點(diǎn)力作。。的切線，交。。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：AC//DE-,

(2)若2C=2,tanE=求。E的長(zhǎng).

25.（本小題5分）

小明發(fā)現(xiàn)某乒乓球發(fā)球器有“直發(fā)式”與“間發(fā)式”兩種模式，在“直發(fā)式”模式下，球從發(fā)球器出口到

第一次接觸臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為一條拋物線；在“間發(fā)式”模式下，球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺(tái)面

的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為一條直線，球第一次接觸臺(tái)面到第二次接觸臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為一條拋物線.如圖1和

圖2分別建立平面直角坐標(biāo)系xOy.

圖I直發(fā)式圖2間發(fā)式

通過測(cè)量得到球距離臺(tái)面高度y（單位：dm）與球距離發(fā)球器出口的水平距離單位：dm）的相關(guān)數(shù)據(jù)，如表

所示:

表1直發(fā)式

x(dm)02468101620

y(dm)3.843.964m3.843.642.561.44

表2間發(fā)式

第5頁(yè)，共17頁(yè)

%(dm)0246810121416

y^dm)3.362.521.68n02.003.203.603.20

根據(jù)以上信息，回答問題：

(1)表格中小=，n-；

(2)直接寫出“直發(fā)式”模式下，球第一次接觸臺(tái)面前的運(yùn)動(dòng)軌跡的解析式；

(3)若“直發(fā)式”模式下球第一次接觸臺(tái)面時(shí)距離出球點(diǎn)的水平距離為四，“間發(fā)式”模式下球第二次接觸

臺(tái)面時(shí)距離出球點(diǎn)的水平距離為d2,則由d2(填或

26.(本小題6分)

在平面直角坐標(biāo)系久0y中，已知拋物線y=-x2+2mx—m2+m—2(m是常數(shù)).

(1)求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(用含稅代數(shù)式表示)；

(2)如果點(diǎn)4(a,乃)，8Q+2,丫2)都在該拋物線上，當(dāng)它的頂點(diǎn)在第四象限運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有為>力，求a的取值

范圍.

27.(本小題7分)

在△ABC中，AC=BC,乙4cB=90°,點(diǎn)D是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合)，^ACD=a(0<a<45°),

以。為中心，將線段OC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段DE,連接EB.

(1)依題意補(bǔ)全圖形；

(2)求NEDB的大小(用含a的代數(shù)式表示)；

(3)用等式表示線段BE,BC,AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

28.(本小題7分)

對(duì)于線段MN和點(diǎn)P給出如下定義：點(diǎn)P在線段MN的垂直平分線上，若以點(diǎn)P為圓心，PM為半徑的優(yōu)弧向前

上存在三個(gè)點(diǎn)4B,C,使得△ABC是等邊三角形，則稱點(diǎn)P是線段MN的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.例如，圖1中的點(diǎn)P

是線段MN的一個(gè)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.特別地，若這樣的等邊三角形有且只有一個(gè)，則稱點(diǎn)P是線段MN的“強(qiáng)關(guān)聯(lián)

點(diǎn)”.

第6頁(yè)，共17頁(yè)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)4的坐標(biāo)為(2,0).

⑴如圖2,在點(diǎn)的(1,一3),C2(l,0),C3Q，苧)，以(2,1)中，是線段。A的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的是;

(2)點(diǎn)B在直線丫=苧刀上.存在點(diǎn)P,是線段。力的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，也是線段。B的“強(qiáng)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

⑦直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

卷勵(lì)點(diǎn)。在第四象限且AD=2,記=a.若存在點(diǎn)Q,使得點(diǎn)Q是線段AD的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，也是。8的“關(guān)

聯(lián)點(diǎn)”，直接寫出a及線段4Q的取值范圍.

第7頁(yè)，共17頁(yè)

參考答案

l.D

2.B

3.D

4.A

5.B

6.C

7.C

8.D

9.x(x+1)(久-1)

10.x—1

11.130

12-

13.22°

1猾

15.1+72

16.22>

17.解：原式=-1+—1—4+y/~2,—2，^

=—6.

18.解：由于小+3a—1=0

???a2+3a=1

、

原e式I=礪a—百3十a(chǎn)不2—97

CL—3CL—2

---------------------\/_________________

3a(a—2)Q+3)(a—3)

_1

—3a(a+3)

_1

3(a2+3a)

_i

一3

第8頁(yè)，共17頁(yè)

40—2)<%-5?

19.解:

、Z

解不等式⑦得：%<1,

解不等式領(lǐng)：x>-l,

??.不等式組的解集是—1〈尤W1.

20.(1)證明：???AD//BC,AB//DE,

：.AD//BE,ADAE=4AEB,

???四邊形4BED為平行四邊形,

???4E平分N8/W,

/.DAE=Z-BAE,

Z.BAE=Z.AEB,

???BA—BE,

;平行四邊形ABED為菱形；

(2)解：?.?四邊形力BED為菱形，AE=6,

AO=0E=3,BO=DO,AE1BD,

^.RtABOE^,sin^DBE==f,

BE5

3

，BE=—=5,

5

BO=VBE2-OE2=A/52—32=4,

BD=8,

"S菱形ABED=yE-BD=BE-CD,

6x8_24

2x5—T'

21.解：(1)設(shè)購(gòu)買一個(gè)4品牌的籃球需久元，則購(gòu)買一個(gè)B品牌的籃球需(x+30)元,

由題意得：衣”=2X喘

xx+30

解得：%=50,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=50是原方程的解，且符合題意，

則％+30=80.

答：購(gòu)買一個(gè)月品牌的籃球需50元，購(gòu)買一個(gè)B品牌的籃球需80元.

(2)設(shè)該校此次可購(gòu)買a個(gè)B品牌籃球，則購(gòu)進(jìn)4品牌籃球(50-a)個(gè)，

第9頁(yè)，共17頁(yè)

由題意得：50x(1+8%)(50-a)+80x0.9a<3060,

解得：a<20,

答：該校此次最多可購(gòu)買20個(gè)B品牌籃球.

22.解：(1)由折線圖可知，初一學(xué)生得分的波動(dòng)比初二的小，所以成績(jī)更穩(wěn)定的是初一.

故答案為：初一；

(2)由題意得，m=^x(10x4+9+6+8+7x2+3)=8,

把初三年級(jí)學(xué)生得分從小到大排列，排在中間的兩個(gè)數(shù)分別是8、9,故中位數(shù)幾=竽=8.5,

故答案為：8,8.5；

(3)將其中的數(shù)據(jù)6改為9,則平均數(shù)、中位數(shù)和方差改變，眾數(shù)不變.

故答案為：①②④.

23.解：(1)把(l,zn)代入數(shù)y=2第得：m=2,

把(一1,4),(1,2)代入y=ax+b得:

(—a+b=4

ta+b=2'

解得

S=3

???y=—%+3；

(2)在丫=kr-々+2中，令第=1時(shí)，y=2,

?,?函數(shù)y=fcx-fc+2圖象過(1,2),

如圖：

//O

由圖可得，k的取值范圍是—l<k<2且kKO.

24.(1)證明：?.?第=比，

???Z-BAD=Z.CAD,

DO=DA,

第10頁(yè)，共17頁(yè)

???Z-ODA=Z.OAD,

Z.ODA=Z.CAD,

??.DE//AC；

(2)解：如圖，連接。C,過點(diǎn)。作。尸1AC于點(diǎn)F,

??.AOFA=90°,

由(1)知，DE//AC,

??.Z,OFA+(FOE=180°,

???乙FOE=AFOA+^AOE=90°,

??,ZB為。。的直徑，ZE為。。的切線，切點(diǎn)為4

???AB1AE,

???乙OAE=90°,

???/,AOE+ZE+/-OAE=180°,

???ZXOE+ZE=90°,

Z.FOA=乙E,

在△FOZZkZE。中，

AFOA=乙E,Z-OFA=A.EAO=90°,

??.△FZOSA/OE,

.OF_AF

AEOA

AF_OA

?t?—,

OFAE

,廠

,**tCLTlE—~1j

—OA——1,

AE2

AF1

.?.釜AE=2OA,

OF2

???OA=OC,OF1AC,

第11頁(yè)，共17頁(yè)

1

???AF=CF=^AC=1,

OF=2,

在Rt△。力F中，OA2=AF2+OF2,

.-.。弟=仔+22=i+4=5,

OA=

???AE=2A0=2<5,

OE=VOA2+AE2=J(<5)2+(2<5)2=725=5.

25.解：(1)由拋物線的對(duì)稱性及已知表1中的數(shù)據(jù)可知：m=3.96；

在“間發(fā)式“模式下，球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為一條直線，

設(shè)這條直線的解析式為曠=/?+/人力0),把(0,3.36)、(8,0)代入，得

解得：”不黑之,

lb=3.36

這條直線的解析式為y=-0.42%+3.36,

當(dāng)x=6時(shí)，y=-0.42X6+3.36=0.84,

表格2中，n=3.84；

故答案為:3.96,3.84；

(2)y=—0.01(%—4)2+4；理由如下：

由已知表1中的數(shù)據(jù)及拋物線的對(duì)稱性可知：“直發(fā)式"模式下，拋物線的頂點(diǎn)為(4,4),

???設(shè)此拋物線的解析式為y=a(x-4)2+4(a<0),

把(0,3.84)代入，得3.84=a(0—4)2+4,

解得：a=-0.01,

???"直發(fā)式”模式下，球第一次接觸臺(tái)面前的運(yùn)動(dòng)軌跡的解析式為y=-0.01(x-4)2+4；

(3)當(dāng)y=0時(shí)，0=—0.01(%-4)2+4,

解得：比1=一16(舍去)，￡2=24,

“直發(fā)式”模式下球第一次接觸臺(tái)面時(shí)距離出球點(diǎn)的水平距離為詢=24；”間發(fā)式”模式下，球第一次

接觸臺(tái)面到第二次接觸臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為一條拋物線，由已知表2中的數(shù)據(jù)及拋物線的對(duì)稱性可知：

“間發(fā)式”模式下，這條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(16,3.20),

設(shè)這條拋物線的解析式為y=m(x-16)2+3,2(m<0),

把(8,0)代入，得0=機(jī)(8-16)2+3.2,

第12頁(yè)，共17頁(yè)

解得：m0.05,

??.這條拋物線的解析式為y=-0.05(%-16)2+3.2,

當(dāng)y=0時(shí)，0=—0.05(x—16)2+3.2,

解得：xr=8,K2=24,

???d2=24dm,

?*?d]—d，2，

故答案為：=.

26.解：(1)y=—x2+2mx—m2+m—2=—(%—m)2+m—2,

???拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為Qn,血-2).

(2),?,拋物線頂點(diǎn)(m,TH—2)在第四象限，

fm>0

Vn-2<0'

解得。Vm<2,

???拋物線開口向下，

???x>血時(shí)，y隨工增大而減小，

???點(diǎn)4B在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，滿足題意，即。之機(jī)，

當(dāng)點(diǎn)”在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，設(shè)點(diǎn)4(a,yD關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)4,坐標(biāo)為(2zn-a,yi),

???點(diǎn)3在A/右側(cè)時(shí)，滿足題意，即2zn-aVa+2,

解得Q>m-1,

a>m—1,

0<m<2,

a>1.

27.解：(1)補(bǔ)全圖形如下：

???乙4=(ABC=45°,

???乙CDB=4/+匕ACD=45。+a,

第13頁(yè)，共17頁(yè)

???乙CDE=90°,

???LEDB=乙CDE-乙CDB=45°-a；

(3)BC=/L4D+BE,證明如下：

如圖1,過點(diǎn)。作DM148,交AC于點(diǎn)F,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,

貝lj4M08=乙CDE=90°,

???乙MDB-乙BDC=(CDE-乙BDC,

即4COM=乙EDB,

???乙MBD=45°,

???ZM=乙MBD=45°,

???DM=DB,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：DC=DE,

-.ADCM^ADEB(SAS)f

???CM=BE,

???4M=45°,Z.ACB=90°,

???乙CFM=90°-45°=45°,

???乙CFM=Z-M,

???CF=CM,

???CF=BE,

在中，=45°,

.AD<2

??,cosa—F

???AF=yJ~2AD,

???AC=AF+FC,

：?AC=y[2AD+FC，

第14頁(yè)，共17頁(yè)

???CF=BE,BC=AC,

BC=y/~2AD+BE-

28.解：⑴?.T(2,0),

0A的垂直平分線為x=1,CM=2,

??.C4不是“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，

-3),C2(l,0),C3Q苧),

oc1=/To,。。2=1,0c3=苧,

?.?^ox=^<7To,

??.C1，。3是線段。4的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，

故答案為：的，C3；

（2）⑦由（1）知，P在直線x=1上，

P是線段。B的“強(qiáng)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，

:.乙POB=30°,

8在直線y=上，

tanz.BOA=苧，

.-.