北京市某中學2024-2025學年高二年級下冊開學考試數(shù)學試卷（含答案）

2024-2025學年北京市海淀區(qū)中關(guān)村中學高二（下）開學數(shù)學試卷

一、單選題：本題共10小題，每小題4分,,共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知直線過點4（1,0）,B（0,-73）,則苜［線的傾斜角為（）

囚

A6從R-3JC-D—3

2.圓心為（-1,2）且過原點的圓的方程是（)

A.(%+I)2+(y-2)2=5B.(x-I)2+(y+2)2=5

C.（%-I）2+（y-2）2=5D.(x+1)2+(y+2)2=5

3.焦點為（0,2）的拋物線標準方程是（）

A.x2=8yB.x2=4yC.y2=4xD.y2=8x

4.長方體ABCD—4181C1D1中，AAi=AD=2,AB=2/2,則異面直線DBi與44i所成角的大小為（）

A.30°B,45°C.60°D.90°

5.已知a,￡是兩個不同的平面，直線lua,則是“al￡”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知橢圓1+產(chǎn)=1上一點/和焦點廠,AF1久軸，若雙曲線1-器=1的一條漸近線經(jīng)過點力,那么

雙曲線的離心率0為（）

A.273B.1

。C—2UD'-2

7.已知圓(x—2)2+(y+1)2=9,直線XT-y+m=0,若圓上至少有3個點到直線的距離為2,則%可以

是()

A.3B.—3C.2D.-2

8.已知數(shù)列｛a｝的前n項和為%,且5=n2,則數(shù)歹ij｛」一｝的前2025項的和為（）

nnanan+l

A2024B4050c20252025

20254051C，4051D4053

9.記等差數(shù)列｛冊｝的前n項和為％,若+a7=13,貝Ui。=()

A.13B.45C.65D.130

10.已知數(shù)列｛冊｝的通項公式冊=n2-2an,則根據(jù)下列說法選出正確答案是（）

①若a=—則數(shù)歹U｛*｝的前n項和S九=:1———.

九十1'

1/13

②若a=：,數(shù)列&｝的前〃項和為配,則〃是遞增數(shù)列；

③若數(shù)列｛時｝是遞增數(shù)列，則a6(-oo,l].

A.①②B.②③C.①③D.①②③

二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分。

11.雙曲線C：。一。=1的焦點到頂點的最小距離是.

12.經(jīng)過點P(l,0),且與直線Z：y=2x-1平行的直線方程是.

13.拋物線y=2px(p>0)上一點M到焦點尸(1,0)的距離等于3,則點M的坐標為.

14.已知等差數(shù)列｛冊｝的前〃項和為Sn，若。2=—3,43+。4=—3，則an=;Sn的最小值為.

15.生活中一些常見的漂亮圖案不僅具有藝術(shù)美，其中也有數(shù)學的對稱、和諧、簡潔美.曲線C：4-|%|=

尸了，下面是關(guān)于曲線C的四個結(jié)論：

①曲線C關(guān)于原點中心對稱；

②曲線。上點的橫坐標取值范圍是[-4,4]:

③曲線C上任一點到坐標原點的最小距離為2；

④若直線y=kx與曲線C無交點，則實數(shù)k的取值范圍是(—%—苧)U(苧,+8).

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題：本題共4小題，共40分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.(本小題8分)

如圖，在正方體486-4/心。1中，點E,尸分別是棱BBi，皿。的中點.求證：

(I)BD〃平面AEF；

(II)EF1平面力

17.(本小題12分)

已知在四棱錐P—ABCD中，底面N8CD是邊長為4的正方形，△P4D是正三角形，E、/分別為尸C、PD

的中點，過跖的平面EFG交3c于點G,平面EFG〃平面P4B.

2/13

(I)證明：G為BC的中點；

(II)取40的中點。，連接OC,OE,OG,再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求:

到平面所G的距離；

(〃)二面角G-0E-C的余弦值.

條件①：PC=4/2；

條件②：CD，平面PAD

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

18.(本小題8分)

已知直線/過點P(3,0),且與橢圓1+產(chǎn)=1相交于不同的兩點N.

(1)若“，N中點的縱坐標為苧，求直線/的方程；

(II)若弦長MN=門，求左的值.

19.(本小題12分)

已知橢圓C：捻+營=1(。>6>0)的短軸的兩個端點分別為4(0,2),5(0,-2),離心率為苧.

(I)求橢圓C的標準方程及焦點的坐標；

(II)若直線y=fcx+4與橢圓￡交于不同的兩點M,N,直線y=l與直線BM交于點、G,求證：kAN=kAG.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：直線過點力(1,0),B(0,-73),則可得直線的斜率k=*9=6,

設(shè)直線的傾斜角為仇0G[0,71),

可得”熱

故選；B.

由直線過的兩點的坐標，可得直線的斜率，進而可得直線的傾斜角.

本題考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：由題意可知，該圓的圓心為J(—1—0)2+(2—0)2=，虧,

故圓心為(一1,2)且過原點的圓的方程是(x+I)2+(y-2)2=5.

故選：A.

結(jié)合兩點之間的距離公式，求出圓的半徑，即可求解.

本題主要考查圓的標準方程的求解，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：焦點為(0,2)的拋物線標準方程是：%2=8y.

故選：A.

通過拋物線的焦點坐標求解標準方程即可.

本題考查拋物線的標準方程的求法，拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，DA.DC,西兩兩互相垂直，可得耐?配=方?西=比?西=0,

因為西=DA+AB+西=DA+DC+西，

所以西2=(DA+DC+西/=\DA\2+\DC\2+|西『+2JJA-DC+2DA?西+2DC-西

22

=\DA\+\DC\+|西『=4+8+4=16,可得|西|=J西2=4,

西■標=DA■標+~DC■標+西-AA1=兩-AA^=\AAi\2=4.

設(shè)異面直線DBi與441所成角為a,

則cosa=|cos<DB；,AA[>[=結(jié)合0。<a<90°,可得a=60°.

故選：C.

4/13

根據(jù)長方體的結(jié)構(gòu)特征，利用空間向量的數(shù)量積與夾角公式算出西與可的夾角余弦值，進而求出異面直

線DBi與A4所成角的大小.

本題主要考查長方體的結(jié)構(gòu)特征、利用空間向量研究異面直線所成角等知識，屬于中檔題.

5.【答案】A

【解析】解：①因為直線Zua,且Zip,

根據(jù)面面垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.

所以由判斷定理得a1小.??充分性成立，

②若a，夕，直線2ua,則直線2,0,或直線"/0,或直線/與平面￡相交不垂直，.??必要性不成立，

所以11S是a1S的充分不必要條件.

故選：A.

根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合面面垂直的判定定理進行判斷即可.

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用空間面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵.

6.【答案】C

2一

【解析】解：因為橢圓的方程為ar+必=1,

所以a=M,b=c=1,

設(shè)橢圓的焦點F（1,O）,

因為4尸lx軸,

所以2+產(chǎn)=1,

解得y=±苧，

令4（1，苧）,

2y,2h

易知雙曲線aY―力=1的漸近線方程為y=±（比，

若雙曲線的一條漸近線y=^x經(jīng)過點A,

所以〒=1

解得a=yj~2b,

則雙曲線的離心率e=；=J1+,=苧.

故選：C.

5/13

由題意，設(shè)出力,廠的坐標，結(jié)合雙曲線的漸近線方程和離心率公式進行求解即可.

本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查了邏輯推理和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：圓(乂—2)2+(y+l)2=9,

則圓心為(2,—1),半徑為3,

圓上至少有3個點到直線的距離為2,

則圓心到直線的距離小于等于1,

故d=與"野V1,解得——1W血W—1，故。選項符合題意.

故選：D.

根據(jù)已知條件，推得圓心到直線的距離小于等于1,再結(jié)合點到直線的距離公式，即可求解.

本題主要考查圓上的點到直線的距離，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：數(shù)列｛冊｝的前〃項和為Sn,且S九=/，

當71=1時，的=Si=1,

22

n>2Bf,an=Sn-Sn_i=n—(n—l)=2n—1,

上式對n=1也成立，???an=2n—

.1_1_1(_v______1、

"anan+i(2n—l)(2n+l)22n—1271+1)'

'.數(shù)列｛就7｝的前2°25項的和S=；[(1后)+*—/)+(*；)+…+(2x20^5-1—2x20^5+1)】="

12025

2x2025+1)―4051.

故選：C.

根據(jù)%=/,利用退位作差得到演=2n-L從而占-』)，裂項相消法求和.

vy

“〃anan+i22n-12n+l

本題考查數(shù)列的通項與求和的關(guān)系，以及數(shù)列的裂項相消求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于中檔題.

9.【答案】C

【解析】解：等差數(shù)列｛%｝的前n項和為Sn,a4+a7=13,

10

則Sio=—(%+a10)=5(a4+a?)=5x13=65.

故選：C.

利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解.

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

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10.【答案】A

【解析】解：數(shù)列｛an｝的通項公式冊=*一2a?i,

對于①：當a=—1■時a九=層+九，則=L----~Tf

n

2ann(n+l)nn+i

數(shù)列｛工｝的前〃項和S=y—y+1—------F77=1----"p故①正確；

Jn,L

an1223nn+1n+1

21

對于②：當a=3時,an=n—n=n(n—1),

則冊+1—冊=(九+1)2—(九+1)—層+幾=2幾>0,所以｛冊｝單調(diào)遞增，

數(shù)列｛冊｝的前幾項和為7n,

則〃+1=冊+1=九(九+1)>。，所以〃是遞增數(shù)列，故②正確；

對于③：若數(shù)列｛冊｝是單調(diào)遞增數(shù)列，則an+i>an,即(n+-2ao+1)>*一2cm,

所以27i+l>2a,所以?！磶资f，

因為nCN*,所以aVl+.=|>即a€(—8)),故③錯誤.

故選：A.

利用裂項相消法求和判斷①，根據(jù)〃+i-〃=冊+i=n(n+l)>0判斷②，根據(jù)冊+i>列即可得到a<

n+1,從而求出。的取值范圍，即可判斷③.

本題考查數(shù)列的單調(diào)性和裂項相消求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于中檔題.

11.【答案】1

【解析】解：己知雙曲線C：1的焦點坐標為(3,0),(—3,0),

頂點的坐標為(2,0),(-2,0),

則焦點到頂點的最小距離是3-2=1.

故答案為：1.

結(jié)合雙曲線的性質(zhì)及方程求解.

本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

12.【答案】y=2%-2

【解析】解：設(shè)經(jīng)過點P(l,0),且與直線/：丫=2%-1平行的直線方程為)/=2刀+6,

將點P的坐標代入可得0=2xl+b,解得b--2,

所以所求直線的方程為y=2久-2.

故答案為：y=2x—2.

7/13

由題意設(shè)所求的直線方程，將點尸的坐標代入，可得參數(shù)的值，即求出直線的方程.

本題考查與已知直線平行的直線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】（2,±271）

【解析】解：已知拋物線=2px的焦點尸（1,0），

則*1，

即p=2,

即拋物線方程為y2=4x,

貝！+當=3，

則碗=3=2,

貝WM=±272,

則點M的坐標為（2,±2，1）,

故答案為：（2,±2、巨）.

由拋物線的定義，結(jié)合拋物線的方程求解.

本題考查了拋物線的定義，屬基礎(chǔ)題.

14.【答案】71—5-10

【解析】解：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為力

=3,。3+。4=3，

則償：：二；2一，解得伊二；4,

+。4—2。］+5d——3Id—1

所以a九—71—5,

所以（-4+n-5）n=如2_9m=》―十—果

所以當n=4或幾=5時％取得最小值，且5n的最小值為54=—10.

故答案為：n-5；-10.

設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,根據(jù)所給條件得到%=2、4的方程組，解得即可求出通項公式，再根據(jù)求和

公式及二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.

本題主要考查等差數(shù)列的前〃項和，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】①③④

【解析】解：由曲線C：4—|x|=y/4-y2,將x

方程不變，則曲線C關(guān)于原點對稱，故①正確;

由0W4—|x|W2,可得一4WxW-2或2WKW4,故②錯誤；

當2WXW4時，曲線。為（無-4）2+產(chǎn)=4；當一4WxW—2時，曲線C為（x+4/+/=生作出曲線

。的圖形，

可得曲線C上任一點到坐標原點的最小距離為2,故③正確；

若直線y=kx與曲線C相切，可得要%=2,解得k=±f,

可得，若直線y=kx與曲線C無交點，則實數(shù)后的取值范圍是（—8,—苧）u（苧,+8）,故④正確.

故答案為：①③④.

將原方程中的x換為一x,y換為一y,方程不變，可判斷①；?0<4-\x\<2,可判斷②；作出曲線。的

圖形，可判斷③；由直線y=kx與曲線C相切，求得斜率公可判斷④.

本題考查直線與圓的方程、直線和圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題.

16.【答案】證明：（I）???在正方體4BCD-久當?shù)膬?nèi)中，點E,尸分別是棱SB。的中點，

.-.BE//DF,BE=DF,

.?.四邊形BEFD為平行四邊形，

?-.BD//EF,

又BD，平面AEF,EFu平面AEF,

：.8。//平面AEF.

（II）,?,在正方體4BCD—4/1的小中，4411平面/BCD,

ZZ]J.BD,

???四邊形45CD為正方形，

AC1BD,

由（/）知BD//EF,

??EF1AA1,EF±AC,

又力CCl441=a,ACu面力CC141，AAtcjl]ACC1A1,

???EF_L平面ACC^.

【解析】（I）易判斷四邊形BEFD為平行四邊形，可得BD//EF,再由線面平行的判定即可得證；

（II）證明EF1EF1AC,再由線面垂直的判定即可得證.

B

EFG=EG,平面PBCC平面P4B=PB,

所以EG〃PB,

又E是尸。的中點，

所以G為的中點.

(II)解：選擇條件①：

因為PC=4VI,PD=CD=4,所以P￡12+cz)2=pc2,gpPD±CD)

因為正方形/BCD,所以AD_LCD,

y.PDCyAD=D,PD、ADu平面PAD,

所以CD_L平面尸NO,

因為。，G分別為ND,3c的中點，所以。G〃CD,

所以。G_L平面P4D,

因為△PAD是正三角形，且。為40的中點，所以。PJ_4D,

故以。為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

則。(0,0,0),A(2,0,0),F(—1,0,6),￡(-1,2,73),G(0,4,0),C(—2,4,0),

%

(i)￡T=(0,-2,0)，前=(1,2,—6)，AG-，

=(

而0)

-2,142y-O

-

設(shè)平面EFG的法向量為沅=(x,y,z),貝,4O

[m?PG+22V-Z-

取z=l,貝U比=門，y=0,所以而=

所以/到平面EFG的距離為隼整=七愛=g.

\m\2

(ii)0E=(-1,2,6),OC=(-2,4,0)，

設(shè)平面OEC的法向量為詁=(a,b,c),則憶?匹=-a+2匕+6c=°

m-OC=—2a+4b=0

取b=L貝ija=2,c=0,所以元=(2,1,0),

因為EF〃CD〃OG,所以。，G,E,尸四點共面，

所以平面OEG的法向量為記=(73,0,1)-

所以cos<m,n>=而而=云赤=丁'

由圖知，二面角G—OE—C為銳角，

所以二面角G-OE-C的余弦值為噂.

選擇條件②：

因為。，G分別為的中點，所以。G〃CD,

10/13

又CD1平面PAD,所以。G_L平面PAD,

因為△PAD是正三角形，且。為/。的中點，所以。力。，

故以。為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

則0(000),4(2,0,0),F(?1,0,73),Eg1,2,g,G(0,4,0),C(—2,4,0),

(i)￡T=(0,-2,0)，EG=(1,2,—6)，XG=(-2,4,0),

設(shè)平面EFG的法向量為訪=Q,y,z),則竺=_2>=0,

(m-EG=x+2y-=0

取z=l,貝=y=0,所以而=

所以/到平面EFG的距離為率裂=七孚1=g.

\m\2

(ii)OE=(-1,2,<3)，擊=(-2,4,0),

設(shè)平面OEC的法向量為元=(a,b,c),則憶?匹=-a+2匕+Cc=0,

m-OC=—2a+4b=0

取6=1,貝I]a=2,c=0,所以元=(2,1,0),

因為EF〃CD〃OG,所以O(shè),G,E,尸四點共面，

所以平面OEG的法向量為沅=(73,0,1)?

Rr-|>r,—f、m-n2<3，T5

所以cos<m,n>=-=-=_,

由圖知，二面角G—OE—C為銳角，

所以二面角G-OE-C的余弦值為唱.

【解析】(I)利用面面平行的性質(zhì)定理可得EG〃PB,再結(jié)合E是尸。的中點，即可得證；

(II)選擇條件①：利用勾股定理可得PDCD,結(jié)合ADJ.CD,可證CD1平面P4D,進而知。1,OG,

OP兩兩垂直，建立空間直角坐標系，(i)利用向量法求點到平面的距離即可；(ii)利用向量法求二面的余弦

值即可；

選擇條件②：由CD1平面尸/￡>,結(jié)合中位線的性質(zhì)與等邊三角形的性質(zhì)可得O/,OG,OP兩兩垂直，建

立空間直角坐標系，⑷利用向量法求點到平面的距離即可；俗)利用向量法求二面的余弦值即可.

本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握面面平行的性質(zhì)定理，線面垂直的判定定理，以及利用向量法求

點到平面的距離、二面角是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理鞫能力和運算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(I)易知直線/的斜率存在且不為0,

設(shè)直線/的方程為y=k(x—3),Mgyi),JV(x2,y2),

y=k(x—3)

聯(lián)立心，消去y并整理得(1+41)/—241%+36/一4=0,

匕+y2=]

11/13

此時△=(-24/)2_4(1+4fc2)(36/c2-4)>0,

解得H<I，

由韋達定理得/+支2=9捺，

24"3

所以為+為=做工1+%2)-6卜=彳后一6匕

若M,N中點的縱坐標為苧，

止匕時需一6憶二，1,

解得k=—苧或k=—苧，

4Z

因為后V、

所以k=—苧，

則直線I的方程為y=-苧(久一3)；

(II)由(I)知/+久2=?盤，久62=餐會'

22

所以|MN|=V1+k\x1—x2\=V1+/c-J(%i+%2尸一4%1汽2

r~\~;~~ryI,2452、?-36/^2—4/—■

=百;—(由)2-4.向好門，

解得/=1(負值舍去)，

o

又/<I>

所以/=3滿足條件.

故k=±,

【解析】(I)由題意，設(shè)出直線/的方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)判別式大于0