北京市順義區(qū)2025屆高三年級下冊統(tǒng)一測試（一模）數(shù)學(xué)試卷（含答案與解析）

機(jī)密★啟用前

北京市順義區(qū)2025年高三統(tǒng)一測試試卷

數(shù)學(xué)

本試卷共6頁，150分.考試時(shí)長120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

-t%生人。+,A=(x|-2<x<2)A=、

1.已知集合11兀集合11,，則①()

A.[-3,-2)u(2,+”)B.[-3,2)

C.[-3,-2]42,4w)D.[-2,3)

2.已知平面向量8滿足卜|=2,Z?=(l,0),|2a-Z?|=5,則()

A.6B.3C.-4D.-2

3.下列函數(shù)中，單調(diào)遞增且值域?yàn)閇0,+8)的是()

2xl

A.y=xB.y=Jx+1C.y=3~D.y=log2x

4.復(fù)數(shù)z的共朝復(fù)數(shù)為z，且滿足2z+z=3+i，則z?z=()

A.2B.J2C.1D.—

2

5.在天文學(xué)中，天體明暗程度可以用視星等和絕對星等來描述.視星等機(jī)是在地球上看到的星體亮度等級,

視星等受恒星距離影響.絕對星等M是假設(shè)把恒星放在距離地球10秒差距(10秒差距x32.6光年)時(shí)的視星

d

等，這樣能比較不同恒星本身的亮度.視星等機(jī)和絕對星等M滿足m-"=51g,其中是與地球的

Tod

距離，單位為秒差距.若恒星A距離地球約32.6光年，恒星B距離地球約326光年，恒星A,8的視星等滿

足"%一根4=4,貝！1（）

A.%D=此+4UB.MBZi^MA+6C.M.D=A/s+1D.MA^MB+6

6.已知41,0）,5（0,1）,。（0,3）,點(diǎn)加滿足地.眥=0,貝的可能取值是（）

A.4B.72C.1D.1

7.六氟化硫是一種無機(jī)化合物，常溫常壓下為無色無味無毒不燃的穩(wěn)定氣體.化學(xué)式為SR,在其分子結(jié)構(gòu)

中，硫原子位于中心，六個(gè)氟原子均勻分布在其周圍，形成一個(gè)八面體的結(jié)構(gòu).如圖所示，該分子結(jié)構(gòu)可看

作正八面體，記為P—ABCD—Q,各棱長均相等，則平面P45與平面夾角的余弦值是（）

8.設(shè)｛%｝為等比數(shù)列,則“存在i>j>k,使得?,</<%”是“｛4｝為遞減數(shù)列”的（）

A,充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為/,過點(diǎn)尸的直線與c交于不同的兩點(diǎn)A,B,。為坐標(biāo)原

點(diǎn)，直線8。與/交于點(diǎn)跖若司=2|EB|,則一ABH的面積等于（）

A.B.372C.D.2

22

10.已知直線y=-x+4分別與函數(shù)丁=2"和y=log2X的圖象交于A（玉,%）,5（%,%），給出下列三個(gè)

Vl

結(jié)論：@2>x2；②2』+2*>8;③石log2X2-X21og2%>0.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.已知雙曲線C：y2=i的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,且過點(diǎn)M(2,6)，則雙曲線C的漸近線方

程為.

12.若=%++%尤4+%為5,則％=；ax+a3+a5=.

13.已知直線/：y=Ax-1與圓0：(x—l)2+(y—l)2=l有兩個(gè)交點(diǎn)，則左可以是.(寫出滿足條件

的一個(gè)值即可)

14.在VABC中，2b=3c,?A2?C,貝UcosC=.

15.己知函數(shù)/"(x)=<x'°(”一°,數(shù)列｛4｝滿足4=加(加>0),an+i=/(??).

x-l,x>l.

給出下列四個(gè)結(jié)論：

①若%=3,則加有3個(gè)不同的可能取值;

②若根=收一1，則見+3=a”(〃eN*)；

③對于任意相>2,存在正整數(shù)T,使得4+r=a”("eN*)；

④對于任意大于2的正整數(shù)T,存在m>1,使得a“+T=a"("eN*)；

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是菱形，ZBAD=12Q°,PA=AB=2,PB=2&-

(1)若平面ACE與棱尸。交于點(diǎn)E，且P5//平面ACE,求證：E是尸。中點(diǎn);

PF2

(2)若尸是棱尸。上一點(diǎn)，且滿足——=—,當(dāng)5。，尸。時(shí)，求尸。與平面ACb所成角的正弦值.

PD3

17.己知函數(shù)/(x)=sin10x-5j+6cosox(o〉0).

(1)求/(O)的值；

⑵再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個(gè)作為已知條件，使函數(shù)/(九)存在且唯一確定.當(dāng)八％)在區(qū)

間(O,a)(a>O)上僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求。的取值范圍.

條件①：/(%)在上是單調(diào)函數(shù)；

條件②：y=/(x)圖象一個(gè)對稱中心為膝,01；

條件③：對任意的xeR,都有/(力</\!］成立.

注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

18.A/智能閱卷是一種利用人工智能技術(shù)對試卷進(jìn)行批改和評估的技米，它可以幫助教師提高閱卷效率，并

為學(xué)生提供更快速更有針對性的反饋.某教師嘗試使用A/系統(tǒng)進(jìn)行閱卷，由甲、乙兩種系統(tǒng)進(jìn)行獨(dú)立閱卷評

分.如果兩個(gè)系統(tǒng)評分相差2分及以下，則以兩種系統(tǒng)評分的平均分作為最后得分；如果兩個(gè)系統(tǒng)評分相差

3分及以上，則人工進(jìn)行復(fù)核閱卷并給出最后得分.從兩種系統(tǒng)進(jìn)行閱卷的試卷中隨機(jī)抽取12份試卷作為樣

本，其評分情況如下表所示：

試卷序

123456789101112

號

系統(tǒng)甲

828876928766756990588684

評分

系統(tǒng)乙

808276908061716588548280

評分

最后得

818576918564746789568483

分

(1)從這12份試卷中隨機(jī)選取1份，求甲、乙兩種系統(tǒng)評分之差的絕對值不超過2分的概率;

（2）從這12份試卷中隨機(jī)選取3份，甲、乙兩種系統(tǒng)評分之差的絕對值不超過2分的份數(shù)記為X,求X

的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）從上述的12份試卷中隨機(jī)抽取1份，設(shè)甲系統(tǒng)對其評分為工，乙系統(tǒng)對其評分為丫2,最后得分為

Z.令4=弘-Z|,〃=Z],試比較方差和?！ǖ拇笮?（結(jié)論不要求證明）

19.己知橢圓E：5+/=1（?！?〉0）的一個(gè)頂點(diǎn)為4（—2,0）,離心率為白.

（1）求E的方程和短軸長；

（2）直線/：y=Ax+l與E相交于不同的兩點(diǎn)8,C,直線AB，AC分別與直線x=4交于點(diǎn)M,N.當(dāng)

|肱V|=6時(shí)，求左的值.

20已知函數(shù)/（X）=3sinx-xcosx.

（1）求曲線y=/（%）在點(diǎn)（0,/（0））處的切線方程；

（2）設(shè)g（x）=/'（x）,求證：g（九）是（0,兀）上的單調(diào)遞減函數(shù)；

（3）求證：當(dāng)尤>0時(shí)，f（x）<2x

21.已知數(shù)列P：4，%…之3）各項(xiàng)為正整數(shù).對任意正整數(shù)左，定義：SA（P）=card{n|??

（（P）=card{"|a〃之左},其中cardA表示有限集A中元素個(gè)數(shù)，規(guī)定card。=0.

⑴對于數(shù)列P：1,3,2,2,寫出￡（尸）,S2（P）,小尸），小。）的值；

（2）若數(shù)列P：4,42，一.，%0滿足《〈6+1〈40=加（1〈，〈9—1）.

若Sk（P）=2k（lWkWm^,令匕=。]+。2H—+an,當(dāng)時(shí)，求￡,；

（ii）求證：可+a；H---Fa%=（（P）+3T^（P）H---F（2W-1）7^"（P）.

參考答案

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

右心人。=1%卜+32。;生人A=[x]-2<x<21、

1.已知集合11集合11則％八（）

A.[-3,-2)u(2,+oo)B.[-3,2)

c.[-3,-2][2收）D.[-2,3）

【答案】C

【解析】

【分析】先確定集合U,再根據(jù)補(bǔ)集的定義運(yùn)算即可.

【詳解】因U=|x|x+3>O}=[—3,+oo）,A=|x|—2<x<2j=（—2,2）,

所以=[—3,-2]D[2,+8）.

故選：C

2.已知平面向量匕滿足卜|=2,6=（l,0）,|2。一0=5,貝必力二（）

A.6B.3C.-4D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，建立方程，可得答案.

【詳解】由6=（1,0）,則網(wǎng)="函=1,

由12a-4=J（2a—人）=44a~-4a-b+b~=5，

貝I」4X22—4a-b+l=25，解得。包=一2.

故選：D.

3.下列函數(shù)中，單調(diào)遞增且值域?yàn)閇0,+8）的是（）

A.丁=尤2B.y=y/x+lC.y=3"iD.y=log2x

【答案】B

【解析】

【分析】逐項(xiàng)分析函數(shù)的單調(diào)性和值域，可得正確答案.

【詳解】對A：函數(shù)在（7,0]上單調(diào)遞減，在（0,+。）上單調(diào)遞增，故A不滿足函數(shù)的單調(diào)性;

對B：函數(shù)在[-1,”）上單調(diào)遞增，且函數(shù)值域?yàn)閇0,+8）,故B滿足題意；

對C：函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且函數(shù)值域?yàn)椋?,+。），故C函數(shù)的值域不滿足條件；

對D：函數(shù)在（0,+。）上單調(diào)遞增，值域?yàn)镽,故D函數(shù)的值域不滿足條件.

故選：B

4.復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)為，且滿足2z+』=3+i，則z-5=()

A.2B.J2C.1D.—

2

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)2=。+歷，代入已知條件利用復(fù)數(shù)相等求解Z,再求出I，最后由復(fù)數(shù)的乘法求解即可.

【詳解】設(shè)2=。+歷，所以2z+w=3+i即為2(。+歷)+。—?dú)v=3+i,

3a=3[a=\

整理得：3。+歷=3+i,所以[?，解得「」

b-\[b=l

所以2=l+i,z=l-i?z?z=(l+i)(l-i)=l-i2=2.

故選：A

5.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用視星等和絕對星等來描述.視星等加是在地球上看到的星體亮度等級,

視星等受恒星距離影響.絕對星等M是假設(shè)把恒星放在距離地球10秒差距(10秒差距句2.6光年)時(shí)的視星

等，這樣能比較不同恒星本身的亮度.視星等加和絕對星等/滿足機(jī)-”=51g(K)，其中d是與地球的

距離，單位為秒差距.若恒星A距離地球約32.6光年，恒星8距離地球約326光年，恒星A,8的視星等滿

足"％~mA=4,貝!]()

A.MB^M.+4B.MB^M.+6C.MA=MB+1D.MA^MB+6

【答案】c

【解析】

32.6326

由題意得到m-M=51gm-M=51g

【分析】AA記BB,相減即可求解;

32.6

【詳解】由題意S4-"A=51g記

326

m-M=51g

BB而

32.6

兩式相減可得:m-M-m+M=51g-5,

AABB記

又mB-/%=4,

所以％-a=T，

所以a=%+1，

故選：C

6.已知41,。),5(0,1),。(0,3),點(diǎn)用滿足知6.知。=0,貝的可能取值是()

A.4B.72C.1D.1

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)點(diǎn)由條件求得點(diǎn)Af的軌跡為圓心在石(。,2),半徑為1的圓，將理解為圓外的點(diǎn)

A(LO)到圓E上的點(diǎn)的距離，結(jié)合圖形即得的范圍，即可判斷.

【詳解】設(shè)點(diǎn)M(x,y),由”B-"C=(—x,3—y)=0,整理得：x2+(y-2)2=1,

即點(diǎn)M的軌跡為圓心在E(0,2),半徑為1的圓，

因|AE|=臚+(_2)2=行＞］即點(diǎn)41,0)在圓外，

則表示圓外的點(diǎn)41,0)到圓E上的點(diǎn)的距離，如圖，有近-+

故選：B.

7.六氟化硫是一種無機(jī)化合物，常溫常壓下為無色無味無毒不燃的穩(wěn)定氣體.化學(xué)式為SR,在其分子結(jié)構(gòu)

中，硫原子位于中心，六個(gè)氟原子均勻分布在其周圍，形成一個(gè)八面體的結(jié)構(gòu).如圖所示，該分子結(jié)構(gòu)可看

作正八面體，記為P-A8CD-Q,各棱長均相等，則平面八旬與平面QAB夾角的余弦值是()

1

D.-

3

【答案】D

【解析】

【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法求平面與平面的夾角即可.

設(shè)正八面體的棱長為。，連接AC、6D相較于點(diǎn)。，連接OP,

根據(jù)正八面體的性質(zhì)可知ABCD為正方形，AC1BD,OP,平面ABCD,

建立如圖所示，以。為坐標(biāo)原點(diǎn),

分別以08、OC.OP為x、八z軸的空間直角坐標(biāo)系,

、/

A[O,—且,o1,B‘垃a0a、yflay

,0,0,P0,0,,Q0,0,-

I2J

7

所以心學(xué)之y/2ay[la、

PB=，u，

I22)

設(shè)平面E4B的法向量為4=（石,弘,4）,

yfla41a?

-----X1+—41=0

n1PA=022

所以《,令%=1,

nx-PB-0y/2ayjla

-------X-,H------------=(_)

2121

設(shè)平面QAB的法向量為%=（%2，%，Z2），

n2-QA-0

所以

n2,QB—0

%2=-1

則有：卜2=1，所以%=（一1,1,1），

“2=1

—1—1+11

設(shè)平面上48與平面QAB夾角為凡貝！Jcos6=4.%

|?1||?2|"6一§'

平面與平面QAB夾角的余弦值為1.

故選：D

8.設(shè)｛4｝為等比數(shù)列，貝U“存在，＞/＞左，使得4＜知＜。屋'是"｛為｝為遞減數(shù)列”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，舉出反例即可得到充分性不滿足，再由數(shù)列單調(diào)性的定義，即可驗(yàn)證必要性滿足，從而

得到結(jié)果.

【詳解】假設(shè)等比數(shù)列的公比4=-2,首項(xiàng)4=1,則數(shù)列的項(xiàng)依次為1,—2,4,—8,

當(dāng)，=4,/=2,左=1時(shí)，滿足％＜。2＜%，但是｛。“｝不是遞減數(shù)歹U，

故充分性不滿足；

若｛。“｝為遞減數(shù)列，則對于任意的i〉j＞左，必然有?,＜%＜ak,

故必要性滿足；

所以“存在，＞/＞左，使得q＜a產(chǎn)外”是“{an}為遞減數(shù)列”的必要而不充分條件.

故選：B

9.已知拋物線C：：/=4%的焦點(diǎn)為77,準(zhǔn)線為/,過點(diǎn)E的直線與。交于不同的兩點(diǎn)A,B,。為坐標(biāo)原

點(diǎn)，直線80與/交于點(diǎn)跖若|A同=2|EB|,則的面積等于（）

9&「372

B.3&D.2

F2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)|AE|=2|EB|以及拋物線定義可得直線的斜率，則可求以及河坐標(biāo)，即可得點(diǎn)〃

到直線A3的距離，最后利用面積公式即可.

【詳解】如圖，過點(diǎn)作44，/,5與，/,直線與x軸分別交/與點(diǎn)瓦〃，

設(shè)|=2m,貝U忸BJ=加,|,

\BE\BB1..

因則；&=lj1=]，得忸同=3機(jī)

\BB,1

貝ijcosNEBB]=――=-,貝UtanNEB4=20,

H乜3

6

故直線AB的斜率為20，直線AB的方程為了=?、+1，

與丁=4x聯(lián)立得/_后,_4=0,解得A（2,272）,fiQ,

則直線08：y=-2y[2x,|A5|=|,得知卜1,2行）

1-4-4-41r

故點(diǎn)M到直線AB的距離為?/-----?=2。2,

V16+2

故.的面積為工x2&x2=2互

222

故選：A

10.己知直線丁=—工+4分別與函數(shù)｝；=2,和丁=1082%的圖象交于4(無1，%),3(無2,%)，給出下列三個(gè)

X

結(jié)論：?2'>x2②2為+2為>8；③％110g2%-々log2石〉°?其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)y=2,和y=log2X的圖象關(guān)于丁=》對稱，直線y=-x+4與y=x垂直，可得

5(%，%)關(guān)于丁=%對稱，即可判斷①；利用基本不等式即可判斷②，構(gòu)造g(x)=火/(x>0),結(jié)合零

點(diǎn)的存在定理和對數(shù)的性質(zhì)，即可判斷③.

【詳解】由題意直線y=—x+4與y=x垂直，函數(shù)丁=2工和y=log2x的圖象關(guān)于y=x對稱，

所以4(%,%)關(guān)于丁=兀對稱，

又由得交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2),則%+%2=4,

對于①：因?yàn)?為=—七+4,且馬=4—七,所以2為=々，①錯(cuò)誤；

對于②：由2為+2*N2,2$+*=23,因xY^x2,則2再+2*>8；②正確；

對于③：直線y=-x+4與y=2'聯(lián)立，可得—x+4=23即2*+x—4=0，

設(shè)函數(shù)/(x)=2'+x—4,/(同是增函數(shù)，

又由/(1)=—1<0，/(|)=20+|—4>0,可得/'(1)-/(|)<0,

33

所以函數(shù)/(九)在區(qū)間(1,萬)上存在唯一零點(diǎn)，即i<%<5，

因?yàn)槭?%2=4,所以■|<%2<3,

構(gòu)造函數(shù)g(x)=回注(x>0),則g'(x)=g^*空衛(wèi)，

XX

當(dāng)g'(x)>0時(shí),可得xe(O,e),二函數(shù)g(x)在(0,函單調(diào)遞增;

當(dāng)g'(x)<0時(shí)，可得xw(e,+oo),二函數(shù)g(x)在(e,+oo)單調(diào)遞減；

39

cu11qTIn—ln3—In一

?35clog2^2log9xln324c丁一良

12

22%2罰3。3

2

故選：C

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

2

11.已知雙曲線C：9=1的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,且過點(diǎn)則雙曲線C的漸近線方

程為.

【答案】y=±x

【解析】

【分析】利用雙曲線c過點(diǎn)/(2,、月)，可求得6=1，進(jìn)而可求漸近線.

【詳解】因?yàn)殡p曲線C：三一/=1過點(diǎn)/(2,退)，所以2—3=1,解得「2=1，

av7a

2

所以雙曲線C的方程為V-y=lf所以雙曲線c的漸近線方程為y=±x.

故答案為：)=±%.

12.若(1-2町=%,貝U〃o=；ax+a3+a5=.

【答案】①.1②.-122

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)的展開式，利用賦值法令X=0可求第一空，令1=1、%=—1計(jì)算可求第二空.

234

【詳解】因?yàn)?1-2X)5=%+a^x+anx+a3x+a4x+a5x,

令x=0,得『=%,所以〃o=l,

令x=l,得％+q+%+q+%+"5=(1—2)=—1①，

令x=—1,得CLQ—q+%—%+%—%=(1+2)、=243②，

一②得2(q+/+%)=—244,解得。］+/+/=—122.

故答案為：1;-122

13.己知直線/：y=1與圓0：(x-l)2+(y-l)2=l有兩個(gè)交點(diǎn)，則左可以是.(寫出滿足條件

的一個(gè)值即可)

【答案】1(答案不唯一)

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式和題意列出關(guān)于左的不等式，求解即可.

【詳解】由圓0：(%—lF+(y—1)2=1,可知：圓心0(1,1),半徑廠=1.

直線/:y=Ax—l方程的一般式為/:Ax—y—l=0.

由點(diǎn)到直線距離公式和題意可得：

,3

d=I<1,解得：k>—.

“2+14

所以左可以是1.

故答案為：1(答案不唯一)

14.在VABC中，2b=3c,1A2?C,貝UcosC=.

【答案】叵##二加

44

【解析】

【分析】先根據(jù)正弦定理，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，把26=3c化成2sin(A+C)=3sinC,再結(jié)合？A2?C,

利用二倍角公式可得cos?。，再判斷角C的取值范圍，即可求得cosC.

【詳解】根據(jù)正弦定理，2/?=3cn2sinB=3sinC.

所以2sin(A+C)=3sinC,

又？A2?C,所以2sin(2C+C)=3sinC.

所以2(sin2ccosC+cos2CsinC)=3sinC,

所以2(2sinCeos?C+cos2csinC)=3sinC.

因?yàn)镃為三角形內(nèi)角，所以sinCwO,所以2(2COS2C+COS2C)=3,

所以2(2COS2°+2cos20—1)=3^cos2C=-.

8

又2Z?=3c,所以C<5,所以C為銳角，所以cosC=

故答案為：叵

4

15.已知函數(shù)y(x)=,，數(shù)列｛”"｝滿足q=加(加>0),an+1=/(an).

x-l,x>l.

給出下列四個(gè)結(jié)論：

①若%=3,則加有3個(gè)不同的可能取值;

②若m=0-l,則4+3=a"("eN*)；

③對于任意相>2,存在正整數(shù)T,使得a“+r=a”(〃eN*)；

④對于任意大于2的正整數(shù)T,存在m>1,使得4+7=a”("eN*)；

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②④

【解析】

—50<?<1

【分析】由已知得4+1=，4,若%=3,分別對％,4分類討論即可判斷；②若m=?-l，

an-l,an>l

求得4，%，%即可判斷.③當(dāng)加=3時(shí)，計(jì)算可判斷；④q=Z:+a/eN*,O<a<l,進(jìn)而可得

。=士［衛(wèi)€(0,1］，可判斷.

，/、—,0<%<1—,0<4Z<1

【詳解】①〃x)=x，所以4+1=4，若%=3,

x-1,尤>1［an-Van>1

當(dāng)。2>1時(shí)，g-1=〃3=3，解得出=4.

1,1

當(dāng)4="?>1時(shí)，則4-1=。2=4,解得4=5,當(dāng)％="7<1時(shí)，則*=%=4,解得q=a

1cl14

當(dāng)為<1時(shí)，—=%=3,解得4=—，當(dāng)4=7">1時(shí)，則囚一1=g=—,解得％=—,當(dāng)％=加<1

%333

11

時(shí)，則一=g=3,解得4=3(舍去)；

q3

14

綜上可得：機(jī)可以取3個(gè)不同的值：5,—,因此①正確.

43

②若m=則4=1=&］=亞+1,g=。2—1=拒，a4=a3-1=V2-1,可得

3=a〃(〃￡N*).數(shù)列是周期為3的數(shù)列，故②正確?

11

③當(dāng)m=3時(shí)，42=。1-1=2,a3=a2-l=lf=—=1f

所以不存在正整數(shù)T,an+T^an(n^\故③正確.

④先考慮數(shù)列｛4｝的周期性，

對于。］=左+。,左EN,0<6Z1,則。2=。1-1=左一1+〃，。3=。2—1=左—2+4，

，%+i=。，ak+2=—,要使｛a〃｝是周期數(shù)列，

則有工=左+a，解得。=士必衛(wèi)e(O,l］，

a2

從而存在m=k+。，使得數(shù)列｛?！埃侵芷跀?shù)列，周期為左+1,

從而要使周期為T,只需7=左+1,即左=T—1即可，故④正確.

故答案為：①②④.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.如圖，在四棱錐尸―ABCD中，底面ABCD是菱形，ZBAD=120°,PA=AB=2,PB=2亞.

p

（1）若平面與棱尸D交于點(diǎn)石，且尸5//平面ACE,求證：E是尸。中點(diǎn)；

PF?

（2）若尸是棱PD上一點(diǎn)，且滿足——=—,當(dāng)瓦），尸C時(shí)，求PC與平面AC/所成角的正弦值.

PD3

【答案】（1）證明見解析

⑵逅

4

【解析】

【分析】（1）利用線面平行的性質(zhì)，可得答案；

（2）由題意，利用線面垂直的性質(zhì)與判定，并建立空間直角坐標(biāo)，求得平面法向量，根據(jù)線面角的向量公

式，可得答案.

【小問1詳解】

記ACBD=O,連接EO,如下圖：

因?yàn)镻3//平面AEC,PBu平面PBD,平面P8D平面=所以PB//EO,

在△PBD中,由。為3D的中點(diǎn)，則E為PZ）的中點(diǎn).

【小問2詳解】

在菱形ABCD中，易知由AB=2,ZBAD=120＞則AO=1,BO=6，

因?yàn)榘啵綺LPC,ACPC=C,AC,尸Cu平面PAC,所以工平面PAC,

因?yàn)镼4u平面PAC，所以應(yīng)＞_LR1，由B42+AB2=PB2,則以上超，

因?yàn)锳BBD=B,AB,BDu平面ABC。，所以Q4J_平面ABC。，

取PC的中點(diǎn)為Q,易知AP//OQ,則OQ_L平面ABC。，則O5,OC,OQ兩兩垂直,

以。為原點(diǎn)，分別以O(shè)5,OC,OQ所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖:

貝|P（0,-1,2）,C（O,1,O）,4（0,-1,0），D（-A/3,0,0）

可得麗=卜君2）,PC=（0,2,-2）,AC=（0,2,0）,AP=（0,0,2）,

由”=2,則尸/==[—半，曰可得AP=AP+PP=[一半，弓，弓

PD33（333J（333）

’__2622_

/、TI?Ar--------XH—y—Z—0n

設(shè)平面ACV的法向量n=（x,y,z）,貝H33-3,

nAC=2y=0

令x=l,則y=0,z=石，所以平面ACE的一個(gè)法向量〃=（1,0,6），

\n-PC\|0+0-2V3|=A/6

設(shè)PC與平面AC5所成角為6,sin8=

|+|PC|V4+4X^+34

17.己知函數(shù)/（x）=sin|a）x--+V3cos<?x（<?>0）.

(1)求/(O)的值;

(2)再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個(gè)作為已知條件，使函數(shù)/(%)存在且唯一確定.當(dāng)/(九)在區(qū)

間(O,a)(a>O)上僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求。的取值范圍.

條件①：八％)在上是單調(diào)函數(shù)；

條件②：y=/(x)圖象的一個(gè)對稱中心為蹤,。｝

條件③：對任意xeR,都有成立?

注：如果選擇的條件不符合要求，得。分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】(1)B

2

(2)答案見解析

【解析】

【分析】(1)利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式即可求解；

(2)關(guān)于條件①，從函數(shù)的周期，以及單調(diào)區(qū)間兩方面限制。求出。的取值范圍；關(guān)于條件②求出函數(shù)

對稱中心表達(dá)式，將代入，確定。的取值；關(guān)于條件③根據(jù)已知條件確定從而確定

①的取值；再從選條件①②、①③、②③三種情況分別確定①的值，再利用函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【小問1詳解】

因?yàn)?(X)=sin^(wx-y^+^cos(z>x(<y>0),

所以f(x)=sincos~-cossiny+A/3COSCOX

1.G.(Tl\

=—SHiGxd-----coscox-sma)x+—,

22I

所以/(O)=sing=#.

【小問2詳解】

對于條件①：八％)在乙,號上是單調(diào)函數(shù)，

jr77c77rjrT

因?yàn)?(%)在石，石"上是單調(diào)函數(shù)，所以石"—五<5，

7T7T

所以一2一，又因?yàn)椤?gt;0,解得0<G<2,

co2

因?yàn)橐?+24］兀Kcox+—^—+24］兀(k［￡Z),

解得一包+生<x<2+型(Kez),

6coco6a)co

所以函數(shù)"X)=sin"+1的單調(diào)單調(diào)遞增區(qū)間為：

57i2km//兀2左兀/,

—十——<%<—+—2―(左eZ),

6a>co6a)CD

Q<co<2

717兀

若函數(shù)在—,—上單調(diào)遞增，貝卜-著手唱(心Z),

兀2左兀7兀

16。312

0<a><2

整理有《<^>-10+24^(^eZ),

224kl

a)<—+---L

77

0<a)<2

2

當(dāng)仁=0時(shí)，<co>—10,解得0<口<一,

7

2

a><—

7

0<刃<2

當(dāng)勺=1時(shí)，<^>14無解，占得其他值時(shí)不等式無解;

26

(D<——

7

ITIT41T

因?yàn)?+2&兀KGX+§■<；-+242兀優(yōu)2eZ),

A77ZH兀242兀J/7兀2k2兀/7F-yX

解得一+—^-<%<—+——(&￡Z),

6CDCD6a)co

兀

所以函數(shù)f(x)=sin0%+彳的單調(diào)單調(diào)遞減區(qū)間為:

3

兀2乂兀/,7兀2匕兀

—+——<%<—+——信2M，

6a)co6GCD

0<co<2

717兀］兀2koit,兀

若函數(shù)在石，五上單調(diào)遞減，貝卜——+——<——的eZ),

6coco12

7兀2怎兀7兀

6①co12

0<co<2

整理有《力22+24左2(左26Z),

c24k2

^<2+—

7

0<(T?<2

當(dāng)左2=0時(shí)，,解得a)=2,

a)<2

0<a)<2

當(dāng)左2=1時(shí)，,a)>26無解，42得其他值時(shí)不等式無解;

38

CD<—

17

對于條件②：y=/(x)圖象的一個(gè)對稱中心為］,o

因?yàn)?左3兀(&￡Z),解得冗=---+-^eZ),

33CDCD

所以函數(shù)f(x)=sin1Ox+g］的對稱中心為x=--三+且(匕eZ),

<3yseoa>

若,0J是y=/(x)圖象的一個(gè)對稱中心,

則巴=_三+皿，解得0=—1+3%；

33coco

對于條件③：對任意的xeR,都有成立，

則％=—時(shí)，函數(shù)取得最大值，有---1—=—!■244兀(aeZ),

121232v7

解得。=2+24%(&eZ)；

(0——1+3k4

若選條件①②，則有12

(ZeZ),方程無解,

0<。(一

17

co-—1+3ka/、

或<eZ),4二1時(shí)，€0=2,

CD—2

i7t)7C(7t7C

所以/(%)=sin[2x-\--\,因?yàn)橛取?0,a),所以2%+,+4

因?yàn)?(%)在區(qū)間(。,〃)(〃>。)上僅有一個(gè)零點(diǎn)，

c兀兀

2〃H—>兀a>一

33

所以《

/5兀

2〃H—工2兀a<——

36

co=2+24k4

若選條件①③，則有有Q2

(k4eZ),方程無解,

0＜。＜一

17

g=2+24左4

或＜(&eZ),&=。時(shí),(0=2,

(D-2

I7C)jr

所以/(x)=sin[2x+§J,因?yàn)閤e(O,a),所以2x+§G-,2a+-

3(33

因?yàn)?(x)在區(qū)間(0,a)(a＞0)上僅有一個(gè)零點(diǎn),

c兀兀

2a~\—>兀CL~>一

33解得**;

所以《

/5兀

2aH—工2兀a<——

36

刃=-1+3匕/、

若選條件②③，則有《cc,,(&,&eZ),

。=2+24左4)

即收-1=88(自，左4eZ),方程解不唯一，

此時(shí)。取值不唯一，所以函數(shù)/(%)不唯一，不合要求.

18.A/智能閱卷是一種利用人工智能技術(shù)對試卷進(jìn)行批改和評估的技米，它可以幫助教師提高閱卷效率，