北師大版五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第七單元 用方程解決問(wèn)題 （知識(shí)清單）

第七單元用方程解決問(wèn)題（知識(shí)清單）

（思維導(dǎo)圖+知識(shí)盤(pán)點(diǎn)+易錯(cuò)攻略+典例精講+鞏固培優(yōu)）

思維導(dǎo)圄0

解形如“ax+x=b"類(lèi)型的方程解法

郵票的張數(shù)

解形如“ax-x=b”類(lèi)型的方程解法

用方程解決問(wèn)題

用方程解相遇問(wèn)題

相遇問(wèn)題

MHR溟點(diǎn)團(tuán)

知識(shí)點(diǎn)一：形如“ax±x-b”類(lèi)型的方程解法

解形如“以±工=/'這樣的方程時(shí)，要根據(jù)乘法分配律和等式的性質(zhì)來(lái)解。

ax±x=b

(a±l)x=b

x=b-^-(a±l)

知識(shí)點(diǎn)二：用形如依±x=Z?類(lèi)型的方程解決問(wèn)題

找出等量關(guān)系，列出方程，一般先設(shè)1倍量為x,另一個(gè)未知量用含有x的式子

表

知識(shí)點(diǎn)三：相遇問(wèn)題

常用等量關(guān)系：甲行的路程+乙行的路程二總路程；甲、乙速度和X相遇時(shí)間二總

路程。

易錯(cuò)康儡團(tuán)

1.解方程步驟錯(cuò)誤：忘記兩邊同時(shí)操作（如：解3x=15寫(xiě)成3x4-3=15）；合并

同類(lèi)項(xiàng)錯(cuò)誤（如：2+3x=5x）

2.等量關(guān)系建立錯(cuò)誤：混淆“甲比乙多5”與“甲是乙的5倍”之類(lèi)的錯(cuò)誤。

3.未知數(shù)設(shè)錯(cuò)。在解已知兩個(gè)量的和或差，還知到一個(gè)量是另一個(gè)量的幾倍時(shí)，

在設(shè)未知數(shù)時(shí)設(shè)錯(cuò)，從而導(dǎo)致算式出錯(cuò)。

4.相遇問(wèn)題誤將路程和與路程差混淆。

典例情講臼

考點(diǎn)一：列方程解和差倍問(wèn)題

【典例一】公園里有菊花和月季花一共560盆，菊花的盆數(shù)是月季花的7倍。那么月季花

有多少盆？（用方程解答）

【分析】根據(jù)題意，將月季花的盆數(shù)設(shè)為x盆，菊花的盆數(shù)是月季花的7倍，則菊花的盆數(shù)

可以表示為7x盆，列出等量關(guān)系：月季花的盆數(shù)+菊花的盆數(shù)=560盆，據(jù)此列方程解答

即可。

【詳解】由分析可得：

解：設(shè)月季花的盆數(shù)為x盆，

x+7x=560

8x=560

8x+8—560-8

x=70

答：月季花有70盆。

【典例二】學(xué)校買(mǎi)來(lái)籃球和足球若干個(gè)，籃球個(gè)數(shù)是足球的4倍，已知足球比籃球少12

個(gè)，籃球和足球各有多少個(gè)？（列方程解答）

【分析】設(shè)足球有x個(gè)，則籃球有4x個(gè)，根據(jù)等量關(guān)系：籃球個(gè)數(shù)-足球的個(gè)數(shù)=12個(gè),

列方程解答即可。

【詳解】解：設(shè)足球有X個(gè)，則籃球有4x個(gè)。

4x-x=12

3x=12

3x-3=12-3

x=4

4+12=16（個(gè)）

答：籃球有16個(gè)，足球有4個(gè)。

考點(diǎn)二：列方程解年齡問(wèn)題

【典例一】小明今年8歲，爸爸今年42歲，若干年后，爸爸的年齡比小明年齡的4倍少

11歲，那時(shí)爸爸的年齡是多少歲？

【分析】根據(jù)題意，爸爸今年比小明大42-8=34（歲），那么若干年后，爸爸仍然比小明

大34歲。設(shè)若干年后小明x歲，則爸爸（4X-11）歲，根據(jù)“爸爸的年齡-小明的年齡=

34歲”列方程求出若干年后小明的年齡，再求出爸爸那時(shí)的年齡。

【詳解】解：設(shè)若干年后小明x歲，則爸爸（4X-11）歲。

4x-11-x=42-8

3x-ll-34

3x=45

x=45+3

x=15

爸爸：15x4-11

=60-11

=49（歲）

答：那時(shí)爸爸的年齡是49歲。

【典例二】李老師今年38歲，比笑笑年齡的4倍少6歲，笑笑今年幾歲？（先寫(xiě)出等量

關(guān)系式，再列方程解答）

【分析】假設(shè)笑笑今年有x歲，求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少用乘法，所以等量關(guān)系式可表示為：

笑笑今年的年齡*4-6=李老師今年的年齡，已知李老師今年38歲，把已知的數(shù)據(jù)和未知

數(shù)代入到等量關(guān)系式中，列出方程，解方程即可求出笑笑的年齡。

【詳解】等量關(guān)系式：笑笑今年的年齡x4-6=李老師今年的年齡

解：設(shè)笑笑今年有X羅

XX"6=38

4x=38+6

4x=44

x=44：4

x=ll

答：笑笑今年11歲。

【典例三】小聰今年多少歲？

【分析】求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，用乘法，假設(shè)小聰?shù)哪挲g是x歲，則爸爸年齡是5x歲,

根據(jù)爸爸比小聰大32歲，列方程解答。

【詳解】解：設(shè)小聰今年x歲，則爸爸年齡是5x歲。

5x-x=32

4x=32

4x+4=32+4

x=8

答：小聰今年8歲。

考點(diǎn)三：列方程解相遇問(wèn)題

【典例一】一輛客車(chē)和一輛貨車(chē)同時(shí)從相距1320千米的兩地相向而行，客車(chē)每時(shí)行駛60

千米，貨車(chē)每時(shí)行駛50千米。幾時(shí)后兩車(chē)相遇？

【分析】根據(jù)題意可得出等量關(guān)系：(客車(chē)的速度+貨車(chē)的速度)x相遇時(shí)間=兩地的距離，

據(jù)此列出方程，并求解。

【詳解】解：設(shè)x時(shí)后兩車(chē)相遇。

(60+50)-=1320

IWx=1320

llOx-110=1320-110

x=12

答：12時(shí)后兩車(chē)相遇。

【典例二】?jī)奢v汽車(chē)同時(shí)從相距300千米的兩地相對(duì)開(kāi)出，甲車(chē)每小時(shí)行駛33千米，乙

車(chē)每小時(shí)行駛42千米，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩車(chē)相距75千米？

【分析】此題應(yīng)考慮兩種情況，一種是未相遇；另一種是相遇后再相距。設(shè)經(jīng)過(guò)x小時(shí)后,

兩車(chē)相距75千米；根據(jù)公式：總路程=速度之和x所用時(shí)間，分別列方程為：(33+42)x

=300-75,(33+42)x=300+75,據(jù)此解出方程即可。注意：第一種情況總路程為(300

-75)千米；第二種情況總路程為(300+75)千米。

【詳解】解：設(shè)經(jīng)過(guò)x小時(shí)后，兩車(chē)相距75千米。

(33+42)x=300-75

75x=300-75

75x=225

75x+75=225+75

x=3

(33+42)x=300+75

75x=375

75x+75=375+75

x=5

答：未相遇是3小時(shí)后兩車(chē)相距75千米，相遇后再相距是5小時(shí)后兩車(chē)相距75千米。

【典例三】甲、乙兩艘輪船分別從相距198千米的A、B兩港同時(shí)出發(fā)相向而行，甲船平

均每小時(shí)行駛18千米，經(jīng)過(guò)6小時(shí)兩船在途中相遇，乙船平均每小時(shí)行駛多少千米？(列

方程解答)

【分析】題目中已知甲船平均每小時(shí)行駛18千米，時(shí)間為6小時(shí)，總路程為198千米，可

以設(shè)乙船速度為每小時(shí)x千米，得到等量關(guān)系式為：甲船速度x時(shí)間+乙船速度x時(shí)間=總

路程，據(jù)此列出方程求解即可。

【詳解】由分析可得：

解：設(shè)乙船平均速度為每小時(shí)x千米，

18x6+6x=198

108+6x=198

108+6x-108=198-108

6x=90

6x+6=90+6

x=15

答：乙船平均每小時(shí)行駛15千米。

考點(diǎn)四：列方程解決稍復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題

【典例一】甲、乙兩隊(duì)合鑿一條長(zhǎng)700米的隧道，甲隊(duì)每天鑿12.6米，乙隊(duì)每天鑿14.4

米，甲隊(duì)先鑿了25米后，甲、乙合作開(kāi)鑿，合作多少天后能鑿?fù)ㄋ淼溃?用方程解)

【分析】甲隊(duì)先鑿了25米后，這條隧道剩(700-25)米，由甲、乙合作開(kāi)鑿，根據(jù)工作

效率x工作時(shí)間=工程量列方程并求解。

【詳解】解：設(shè)合作x天后能鑿?fù)ㄋ淼馈?/p>

(12.6+14.4)x=700-25

27x=675

x=25

答：合作25天后能鑿?fù)ㄋ淼馈?/p>

【典例二】小張和小李用20分鐘合作打了一份5000個(gè)字的文件，小張平均每分鐘打字

130個(gè)，小李平均每分鐘打多少個(gè)字？(列方程解)

【分析】設(shè)小李平均每分鐘打x個(gè)字，根據(jù)等量關(guān)系式：工作效率和*工作時(shí)間=工作總量，

列出方程求解即可。

【詳解】解：設(shè)小李平均每分鐘打x個(gè)字。

(130+x)X20=5000

(130+x)x20-20=5000-20

130+x=250

130+x-130=250-130

x=120

答：小李平均每分鐘打120個(gè)字。

胴固靖優(yōu)

A.基礎(chǔ)訓(xùn)練

一、選擇題

1.王陽(yáng)和李軍分別從相距810米的A,B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，王陽(yáng)每分鐘走65米，

李軍每分鐘走70米。當(dāng)他們相遇時(shí)，王陽(yáng)走了（）。

A.420米B.405米C.390米D.982米

2.美美的年齡和好好相差8歲，美美的年齡剛好是好好年齡的3倍。那么美美的年齡是（）。

A.9歲B.12歲C.15歲D.18歲

3.校園里種有杉樹(shù)和樟樹(shù)共126棵，杉樹(shù)的數(shù)量比樟樹(shù)的2倍少12棵，杉樹(shù)有（）棵。

A.46B.80C.59D.57

4.甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)同時(shí)修一條長(zhǎng)840米的路，甲隊(duì)每天修70米，乙隊(duì)每天修50米，經(jīng)

過(guò)x天修完。下列列式不正確的是（）。

A.70x+50x=840B.840-x=70+50

C.（70+50）xx=840D.840-70-50x

5.有一批宿舍，若每間住2人則有10人住不下，若每間住3人，則有8間無(wú)人住，這批

宿舍共有（）間。

A.30B.34C.35D.40

6.全班46人去劃船，每條大船限乘5人，每條小船限乘3人。要求每條船都坐滿，全班

一共乘了12條船，其中大船的數(shù)量是（）條。

A.3B.5C.7D.9

二、填空題

7.某工廠將1025元獎(jiǎng)金分給三名工人，第一名比第二名多得300元，第二名比第三名多

得175元，第二名工人得（）元獎(jiǎng)金。

8.媽媽比淘氣大30歲，今年媽媽的年齡是淘氣的3倍，淘氣今年（）歲，媽媽今年

（）歲。

9.40名同學(xué)參加植樹(shù)活動(dòng)，男同學(xué)每人栽了5棵樹(shù)，女同學(xué)每人栽了3棵樹(shù)，一共栽了

180棵樹(shù)，女生有（）人，男生有（）人。

10.小軍和小東收集卡片，兩人一共有180張卡片，小軍送給小東5張后發(fā)現(xiàn)自己和小東

的卡片一樣多了。小東原來(lái)有（）張卡片。

11.兩地相距180km,甲、乙兩車(chē)分別從兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲車(chē)每小時(shí)行駛90km,

乙車(chē)每小時(shí)行駛60km,兩車(chē)開(kāi)出后（）小時(shí)相遇。

12.小明和小紅合作加工600個(gè)零件，小明每天完成95個(gè)，小紅每天完成105個(gè),他們需

要（）天能完成全部任務(wù)。

三、判斷題

13.3x+0.7=3.4的解是x=0.9。（）

14.五年級(jí)繪畫(huà)興趣小組的女生比男生多12人，且正好是男生的3倍，則五年級(jí)繪畫(huà)興趣

小組有6個(gè)男生。（）

15.3x+5x=84和（3+5）x=84的結(jié)果的一樣的。（）

16.6+4x等于10Xo（）

17.甲、乙共有50本書(shū)，甲給乙8本，則兩人的本數(shù)相同，求甲、乙原有書(shū)的本數(shù)。用方

程解，設(shè)乙原來(lái)有x本書(shū)，列方程式x+x+8=50。（）

18.一個(gè)數(shù)的4倍比它本身大6,則這個(gè)數(shù)是1.5。（）

四、計(jì)算題

19.解方程。

6天一尤=75y+3y=24.43x-8=25

X+6=358+8X=887.2X+2.8X=9

20.看圖列方程并解答。

x米

甲締：Ln

j1.米

乙繩：

X米X米X米

B.培優(yōu)拓展

21.A、B兩個(gè)碼頭相距880千米,一艘郵輪和一艘貨輪分別從A、B兩個(gè)碼頭相對(duì)開(kāi)出,

10小時(shí)后相遇。貨輪的速度是郵輪速度的1.2倍，郵輪和貨輪的速度分別是多少千米/時(shí)？

22.某小學(xué)學(xué)生參加植樹(shù)活動(dòng)，六年級(jí)植樹(shù)168棵，比五年級(jí)植樹(shù)棵數(shù)的3倍多72棵。五

年級(jí)植樹(shù)多少棵？（列方程解答）

23.笑笑和媽媽想在六一兒童節(jié)前，為希望小學(xué)的小朋友編60個(gè)筆筒。媽媽平均每時(shí)編3

個(gè)，笑笑平均每時(shí)編2個(gè)。編好60個(gè)筆筒，一共需要多長(zhǎng)時(shí)間？

24.購(gòu)買(mǎi)一套桌椅需要224元，一張桌子的價(jià)格是一把椅子的3倍。一把椅子多少元？

25.笑笑和她的爺爺今年一共72歲，爺爺今年的年齡是笑笑今年的年齡的5倍。笑笑和爺

爺今年各多少歲？（用方程解）

26.甲乙兩列火車(chē)從相距533千米的兩地同時(shí)相向而行，4時(shí)后兩車(chē)還相距37千米（未相

遇），甲車(chē)每時(shí)行駛69千米，乙車(chē)每小時(shí)行駛多少千米？（用方程解答）

參考答案

1.C

2.B

3.B

4.D

5.B

6.B

7.300

8.1545

9.1030

10.85

11.1.2

12.3

13.V

14.V

15.V

16.x

17.x

18.x

19.

【詳解】⑴6x-x=75

解：5x=75

5九+5=75+5

x=15

(2)y+3y=24.4

解：4y=24.4

4y+4=24.4+4

y=6.1

(3)3x-8=25

解：3x—8+8=25+8

3%=33

3A3=33+3

x=ll

⑷x+6=3.5

解'xx6+6=3.5x6

x=2l

（5）8+8x=88

解：8+8x-8=88-8

8x=80

8x+8=80+8

x=10

（6）7.2x+2.8x=9

解：10尤=9

10x^10=9-10

x=0.9

20.

【詳解】3x-x=114

解：2%=114

%+2=114+2

x=57

57x3=171（米）

即甲繩的長(zhǎng)度是57米，乙繩的長(zhǎng)度171米。

21.

【分析】根據(jù)“貨輪的速度是郵輪速度的L2倍”，可以設(shè)郵輪的速度是x千米/時(shí)，則貨輪

的速度1.2千米/時(shí)；

根據(jù)“速度和x相遇時(shí)間二路程”可得出等量關(guān)系：（郵輪的速度+貨輪的速度）x相遇時(shí)

間二A、B兩個(gè)碼頭的距離，據(jù)此列出方程，并求解。

【詳解】解：設(shè)郵輪的速度是％千米/時(shí)，則貨輪的速度L2千米/時(shí)。

（元+1.2%）xi0=880

2.2xx3_0=880

22x=880

x=880-22

x=40

貨輪的速度：40x1.2=48（千米/時(shí)）

答：郵輪的速度是40千米/時(shí)，貨輪的速度是48千米/時(shí)。

22.

【分析】根據(jù)題意可得出等量關(guān)系：五年級(jí)植樹(shù)棵數(shù)x3+72=六年級(jí)植樹(shù)棵數(shù)，據(jù)此列出

方程，并求解。

【詳解】解：設(shè)五年級(jí)植樹(shù)元棵。

3%+72=168

+72-72=168-72

3%=96

3x:3—96:3

元=32

答：五年級(jí)植樹(shù)32棵。

23.

【分析】根據(jù)題意可得出等量關(guān)系：媽媽每時(shí)編筆