新概念為導(dǎo)向的壓軸題 高三數(shù)學(xué)

高考第19題突破練新概念為導(dǎo)向的壓軸題(2)已知數(shù)列{an}既是“Π(2)數(shù)列”，又是“Π(3)數(shù)列”.①證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列.②設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＋a2＝3，a3－a2＝2，問(wèn)：是否存在正整數(shù)n，p，m，使得Sn＋2＝pm＋1？若存在，求出所有的n，p，m；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.所以3q′2－5q′－2＝0.由an>0，易知q′>0，所以q′＝2，a1＝1.所以an＝2n－1，Sn＝2n－1.假設(shè)存在正整數(shù)n，p，m，使得Sn＋2＝pm＋1，即2n＋1＝pm＋1，即pm＋1－1＝2n.可得2t＝2，2s－t－1＝1，所以t＝1，s＝2，所以n＝3，S3＋2＝9＝31＋1，所以存在n＝3，p＝3，m＝1，使得Sn＋2＝pm＋1.當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，pm＋1－1＝(p－1)(pm＋pm－1＋…＋p＋1)，若p為偶數(shù)，則pm＋1－1為奇數(shù)，所以pm＋1－1≠2n.若p為奇數(shù)，則p>1，p－1為偶數(shù)，pm＋pm－1＋…＋p＋1為m＋1個(gè)奇數(shù)之和，也為奇數(shù)，所以pm＋1－1≠2n.所以當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，不存在正整數(shù)n，p，m，使得Sn＋2＝pm＋1.綜上所述，存在n＝3，p＝3，m＝1，使得Sn＋2＝pm＋1.2.已知函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在它們的公共定義域D內(nèi)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)(x0，f(x0))，對(duì)于?x1∈D且x1∈(－∞，x0)，x2∈D且x2∈(x0，＋∞)，若都有[f(x1)－g(x1)]·[f(x2)－g(x2)]<0，則稱f(x)與g(x)關(guān)于點(diǎn)(x0，f(x0))互穿；若都有[f(x1)－g(x1)]·[f(x2)－g(x2)]>0，則稱f(x)與g(x)關(guān)于點(diǎn)(x0，f(x0))互回.

已知函數(shù)f(x)與g(x)的定義域均為R，導(dǎo)函數(shù)分別為f′(x)與g′(x)，f(x)與g(x)的圖象在R上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)(m，f(m))，f′(x)與g′(x)的圖象在R上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)(m，f′(m)). (1)若f(x)＝ex，g(x)＝1＋x，試判斷函數(shù)f(x)與g(x)的位置關(guān)系.設(shè)H(x)＝f(x)－g(x)＝ex－(1＋x)＝ex－x－1，則H′(x)＝ex－1，當(dāng)x<0時(shí)，H′(x)<0，當(dāng)x>0時(shí)，H′(x)>0，∴H(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴H(x)≥H(0)＝e0－1＝0，即f(x)≥g(x)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào).又f(x)與g(x)的圖象在R上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)(0，1)，∴函數(shù)f(x)與g(x)關(guān)于點(diǎn)(0，1)互回.(2)若f′(x)與g′(x)關(guān)于點(diǎn)(m，f′(m))互回，證明：f(x)與g(x)關(guān)于點(diǎn)(m，f(m))互穿且[f(x)－g(x)]·[f′(x)－g′(x)]>0在(m，＋∞)上恒成立.設(shè)x1<m，x2>m，則[f′(x1)－g′(x1)]·[f′(x2)－g′(x2)]>0，設(shè)h(x)＝f(x)－g(x)，則h′(x)＝f′(x)－g′(x)，故h′(x1)·h′(x2)>0.①若h′(x1)，h′(x2)均大于零，∵h(yuǎn)′(m)＝f′(m)－g′(m)＝0，∴h′(x)≥0，∴h(x)單調(diào)遞增，又h(m)＝f(m)－g(m)＝0，∴h(x1)<0，h(x2)>0，∴h(x1)·h(x2)＝[f(x1)－g(x1)]·[f(x2)－g(x2)]<0，h(x2)·h′(x2)>0，

∴f(x)與g(x)關(guān)于點(diǎn)(m，f(m))互穿且[f(x)－g(x)]·[f′(x)－g′(x)]>0在(m，＋∞)上恒成立.②若h′(x1)，h′(x2)均小于零，∵h(yuǎn)′(m)＝f′(m)－g′(m)＝0，∴h′(x)≤0，∴h(x)單調(diào)遞減，又h(m)＝f(m)－g(m)＝0，∴h(x1)>0，h(x2)<0，∴h(x1)·h(x2)＝[f(x1)－g(x1)]·[f(x2)－g(x2)]<0，h(x2)·h′(x2)>0.∴f(x)與g(x)關(guān)于點(diǎn)(m，f(m))互穿且[f(x)－g(x)]·[f′(x)－g′(x)]>0在(m，＋∞)上恒成立.由(2)得f2(x)與g2(x)關(guān)于點(diǎn)(0，1)互穿，由(3)得f3(x)與g3(x)關(guān)于點(diǎn)(0，1)互回，易得當(dāng)i為奇數(shù)時(shí)，fi(x)與gi(x)關(guān)于點(diǎn)(0，1)互回，∴?x1∈(－∞，0)，x2∈(0，＋∞)，有[fi(x1)－gi(x1)]·[fi(x2)－gi(x2)]>0(i為奇數(shù)).由題意得[fi(x2)－gi(x2)]·[fi－1(x2)－gi－1(x2)]>0，對(duì)任意正整數(shù)i恒成立，∴[fi－1(x2)－gi－1(x2)]·[fi－2(x2)－gi－2(x2)]>0，[fi－2(x2)－gi－2(x2)]·[fi－3(x2)－gi－3(x2)]>0，…，[f2(x2)－g2(x2)]·[f1(x2)－g1(x2)]>0，累乘得[fi(x2)－gi(x2)]·[fi－1(x2)－gi－1(x2)]2·…·[f1(x2)－g1(x2)]>0，∴[fi(x2)－gi(x2)]·[f1(x2)－g1(x2)]>0，易知f1(x2)－g1(x2)>0，∴fi(x2)－gi(x2)>0.