《復變函數與積分變換》第三版答案大學數學

立身以立學為先，-立學以讀書為本1.1計算下列各式.;解1.2證明下列關于共軛復數的運算性質：=(xi±xz)+i(y?±y?)=(x=X?Z?-yIy?-i(x?y?+yix?).z1·z?=(x1+iyi)(z2+iy?)=(即左邊=右邊，得證.立身以立學為先，-立學以讀書為本即故(a-ib)z+(a+ib)乏+2c=0,立身以立學為先，-立學以讀書為本故Az+AE+B=0,其中A=a+ib,B=2c.1.5將圓周方程a(x2+y2)+bx+cy+得故其中A=2a,B=b+ic,C=2d.=|z?|2+|z?l2-2Re(z?22).立身以立學為先，-立學以讀書為本=2izil2+2|z?|2=2(|z?|2+|z?|2).(3)(其中≈=x+iy).故即故立身以立學為先，-立學以讀書為本牧解故1.9利用復數的三角表示計算下列各式：解故立身以立學為先，-立學以讀書為本解由乘冪公式知k=0,1,2,3.解方程z3+1=0,即z3=-1,它的解是由開方公式計算得即1.11指出下列不等式所確定的區(qū)域與閉區(qū)域，并指明它是有界立身以立學為先，-立學以讀書為本的還是無界的?是單連通域還是多連通域?●中●中解分三種情況：0<a<1,區(qū)域為圓的外部；1.12指出滿足下列各式的點z的軌跡是什么曲線?解以(0,-i)為圓心，1為半徑的圓周.(2)|z-al+|z+a|=b,其中a,b為正實常數；(3)|z-a|=Re(z-b),其中a,b為實常數；立身以立學為先，-立學以讀書為本故(z≠0).限為0,故導數為0.2.下列函數在何處可導?何處不可導?何處解析?何處不解析?z|2·z立身以立學為先，-立學以讀書為本這里u(x,y)=x(x2+y2),v(x,y)=y(x2+y2).ux=x2+y2+2x2,vy=x2+y要ux=Uy,uy=-vx,當且僅當x=y=0,而ux,uy,v,vy均連續(xù)，解這里u=x2,v=y2.u=2r,uy=0,vx=0,vy=2y,四(3)f(z)=x3-3xy2+i(3x2y-y3).解這里u(x,y)=x3-3zy2,v(x,y)=3x2y-y3.ux=3x2-3y2,uy=-6xy,vx=6xy,v,=3x2-3y2,四個偏導數均連續(xù)且處處解析.解這里u(x,y)=sinxchy,v(x,y)=osxshy.立身以立學為先，-立學以讀書為本(3)設f(z)=u+iv,由條件知,從而(4)設a≠0,則u=(c-bv)/a,求導得立身以立學為先，-立學以讀書為本而則有因立身以立學為先，-立學以讀書為本得解析函數.證,則立身以立學為先，-立學以讀書為本,所以p'(x)=ψ(y)=-y2-3y+C.故f(z)=x2-y2-3y+C+i(2xy+3x).立身以立學為先，-立學以讀書為本ψ'(y)=2y,ψ(y)=y2+C,則則故(4)u=e*(xcosy-ysiny),f(0)=0.則立身以立學為先，-立學以讀書為本故f(z)=e2(xcasy-ysiny)+ie(xsiny-ycosy)+iC.f(z)=e2(xoosy-ysiny)+ie*(xsin所以 立身以立學為先，-立學以讀書為本又即-u與v滿足CR條件，故if(z)也是解析函數.故(2)4(2k-1)π-i,k為整數.另解.見本節(jié)例24.解由題設知tanz=-1,,k為整數.14.求下列各式的值.立身以立學為先，-立學以讀書為本解33-i=e(3-i)Ln3=e(3-)(hn3+2km)(2)cos(z?+z2)=osz?COSz證立身以立學為先，-立學以讀書為本證利用復數變量正弦函數和余弦函數的定義直接計算得=1.sin(z?-z?)=sinz?COSz..立身以立學為先，-立學以讀書為本故立身以立學為先，-立學以讀書為本w=In(z+√z2-1).而=In|z|2+i(2θ+4kπ),k=0,±1,±2,…即Ln1=0僅當k=0時成立.20.下列命題是否成立?立身以立學為先，-立學以讀書為本p(z)=(a+ib)z,p(z)=(a-i而(4)Lnz=Lnz.Ln乏=1n|z|+i(-θ+2kπ)立身以立學為先，-立學以讀書為本1.計算積,積分路徑(1)自原點至1+i的直線段；(2)自原點沿實軸至1,再由1鉛直向上至1+i;(3)自原點沿虛軸至i,再由i沿水平方向向右至1+i.C?:x=1,dx=0,dz3.求證：,其中C是從1-i到1的直線段第3題立身以立學為先，-立學以讀書為本故解積分值為0,因被積函數在|z|≤1內解析，解積分值為0,理由同上.5.求積的值，其中C為由正向圓周|z|=2與負向圓周|z|=1所組成.=2πi-2πi=0.第5題第6題立身以立學為先，-立學以讀書為本6.計,其中C為圓周|z|=2.1,分別作以0,1為中心的圓周C?,C?,C?與C?不相交，則=2πi-2πi=0.7.計算8.計算下列積分值.解解乙3解=3ei-1-3=3ei-4.立身以立學為先，-立學以讀書為本一個原函數,則10.計算下列積分.解解將被積函數分解因式得到11.計算,其中C是立身以立學為先，-立學以讀書為本(2)被積函數在|z-2|≤1內僅有奇點z=2,故13.計算下列積分.立身以立學為先，-立學以讀書為本解解=πi(-1)-πi(-1)=0.則立身以立學為先，-立學以讀書為本z|=1上.立身以立學為先，-立學以讀書為本1.下列序列是否有極限?如果有極限，求出其極限.2.下列級數是否收斂?是否絕對收斂?②收斂；故(2)絕對收斂.(3),故發(fā)散.3.試證級數當時絕對收斂.立身以立學為先，-立學以讀書為本且收斂，故絕對收斂.故的冪級數，并指出其收斂區(qū)域，原點到所有奇點的距離最小值為1,故|z|<1.立身以立學為先，-立學以讀書為本,且,且即即(6)令f(z)=e,f(0)=1,立身以立學為先，-立學以讀書為本因為1為f(z)的唯一奇點，原點到1的距離為1,故收斂半徑R<1.6.證明對任意的z,有|e2-1|≤eIzl-1≤lzlel?所以le2-1≤elzl-1≤Izle21.7.求下列函數在指定點zo處的泰勒展式.立身以立學為先，-立學以讀書為本1立身以立學為先，-立學以讀書為本故8.將下列各函數在指定圓環(huán)內展開為洛朗級數.立身以立學為先，-立學以讀書為本9.將在z=1處展開洛朗級數.f(z)的奇點為zi=1,x?=2.f(z)z-1l>1解析.立身以立學為先，-立學以讀書為本解f(z)的孤立奇點為±i.f(z)在最大的去心鄰域0<上式即為f(z)在z=i的去心鄰域內的洛立身以立學為先，-立學以讀書為本立身以立學為先，-立學以讀書為本2,…),之=0處不解析，,故0不為的孤立奇其孤立奇點解(1),顯然z=±3i為其一階零點.(2)因=(-1)k·kπ≠0(3)令立身以立學為先，-立學以讀書為本所以z=0為f(z)的四階零點.又所以之=√2kπi(k=±1,±2,…)為f(z)的一階零點.3.下列各函數有哪些奇點?各屬何類型(如是極點，指出它的階數).解(1)令,z=0,±2i(2),所以z=0為二階極點.(3)令付的零點為,k=0,±1,±2,….因所以,±1,…)都為簡單極點.(4)令的零點為所以,±1,…)都為簡單極點.(4)令的零點為故z=2kπi的一階零點，即為f(z)的簡單極點.(5)令,z=0為其孤立奇點.因所以之=0為可去奇點.(6)令z=0和2kxi(k=±1,±2,…)為其孤立奇點.因所以z=0為其可去奇點.又所以z=2kπi(k=±1,±2,…)的一階零點，即為f(z)的簡立身以立學為先，-立學以讀書為本單極點.(7)令因單極點.因而≠0,故為f(z)的簡單極點.立身以立學為先，-立學以讀書為本常數C-m.所以由定理5.1,zo是g(z)的可去奇點.根據可去奇點的定義其中m≥1,bm≠0,p(z)是上式方括號內的冪級數的和函數.顯然φ(z)在zn解析且p(zo)=bm≠0.由于解析函數的商在分母不為零5.如果f(z)與g(z)是以zn為零點的兩個不恒為0的解析函數，則立身以立學為先，-立學以讀書為本(或兩端均為○).因而當m>n時，(1)式=(2)式=0,6.問一是否為下列各函數的孤立奇點.,故一為可去孤立奇點.故口不是其孤立奇點，7.求出下列函數的在孤立奇點處的留數.44.4.4立身以立學為先，-立學以讀書為本解(1)令,孤立奇點僅有0.(3)z=-1為其三階極點.(5)的孤立奇點為z=0,zk=kπ立身以立學為先，-立學以讀書為本所以8.利用留數計算下列積分.中中中中(n為正整數，|a|≠1,1b≠1,ial<1bl).立身以立學為先，-立學以讀書為本9.判定z=是下列各函數的什么奇點，并求出在一的留數.解(1)不存在，故一為sinz-COSz的本性奇點.立身以立學為先，-立學以讀書為本(2),故為其可去奇點.(3)顯然一為的簡單極點10.求下列積分=2πi[Res(f(z),0)+Re立身以立學為先，-立學以讀書為本11.設函數f(z)在R<|z-zo|<+的洛朗級數展開為求證Res[f(z),○]=-C_1·證由逐項積分定理及的整數即Res[f(z),0]等于f(z)在點○的洛朗展式這一項系數的反12.求下列各積分之值.;甲中甲中立身以立學為先，-立學以讀書為本令,其中a=-a-√a2-1,β=-a+√a2-1為實系數二次方程≈2+2az+1=0的兩相異實根，顯然又有一個簡單極點z=β,故即軸上無奇點，在上半平面僅有二階極點ai,所以立身以立學為先，-立學以讀書為本(4)不難驗證滿足若爾當引理條件，函數f(z)有兩個一階極點-2+i,-2-i.故所以(6)令,容易驗證f(z)滿足若爾當引理條件.故立身以立學為先，-立學以讀書為本所以證立身以立學為先，-立學以讀書為本注：是w的偶函數.3.試求f(t)=|sint|的離散頻譜和它的傅里葉級數的復指數形立身以立學為先，-立學以讀書為本故4.求下列函數的傅氏變換：解立身以立學為先，-立學以讀書為本證明,立身以立學為先，-立學以讀書為本故立身以立學為先，-立學以讀書為本故立身以立學為先，-立學以讀書為本求解.解(1)已知,F[1]=2πδ(w),(2)已知+38(w+1)-8(w+3)].(4)由于故立身以立學為先，-立學以讀書為本kk202證立身以立學為先--立學以讀書為本=7[cosp(t)],立身以立學為先，-立學以讀書為本立身以立學為先，-立學以讀書為本立身以立學為先，-立學以讀書為本12.求函數的傅氏積分變換.解13.證明下列各等式.(2)a[fi(t)*f?(t)]=[af?(t)]*f?(t)(a為常數);證(1)、(2)略.僅證(3):又立身以立學為先，-立學以讀書為本14.設求fi(t)*f?(t).故證立身以立學為先，-立學以讀書為本16.求下列函數的傅氏變換(1)f(t)=sinwot·u(t);(2)解(1)已知：由位移性質有(2)由微分性質有了立身以立學為先，-立學以讀書為本立身以立學為先，-立學以讀書為本