浙江省十校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

浙江省十校聯(lián)盟2022年10月高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試題卷考生須知：1．本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的地方.3．答題時(shí)，請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范答題，在本試卷紙上答題一律無(wú)效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷.第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合并集的定義作答即可【詳解】故選：C2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得復(fù)數(shù)z，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念即可求得答案.【詳解】由題意得，，故，故選：D3.展開(kāi)式中的系數(shù)為A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡(jiǎn)已知代數(shù)式，利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可以求出展開(kāi)式中的系數(shù)．【詳解】因?yàn)?，則展開(kāi)式中含的項(xiàng)為；展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，故的系數(shù)為，故選：C．4.源于探索外太空的渴望，航天事業(yè)在21世紀(jì)獲得了長(zhǎng)足的發(fā)展．太空中的環(huán)境為某些科學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了有利條件，宇航員常常在太空旅行中進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn)．在某次太空旅行中，宇航員們負(fù)責(zé)的科學(xué)實(shí)驗(yàn)要經(jīng)過(guò)5道程序，其中兩道程序既不能放在最前，也不能放在最后，則該實(shí)驗(yàn)不同程序的順序安排共有（）A.18種 B.36種 C.72種 D.108種【答案】B【解析】【分析】先排兩道程序有種放法，再排剩余的3道程序有種放法，再由分步計(jì)數(shù)原理即可得出答案.【詳解】先排兩道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，則在第2,3,4道程序選兩個(gè)放，共有種放法；再排剩余的3道程序，共有種放法；則共有種放法.故選：B.5.設(shè)平面向量，均為單位向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】將兩邊平方，化簡(jiǎn)后即可得，由此即可選出答案.【詳解】因?yàn)?，所以“”是“”的充分必要條件，故選：C.6.同時(shí)具有以下性質(zhì)：“①最小正周期是π：②在區(qū)間上是增函數(shù)”的一個(gè)函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正余弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性逐一分析判斷即可.【詳解】解：對(duì)于A，函數(shù)的最小正周期，故A不符合題意；對(duì)于B，函數(shù)的最小正周期，當(dāng)，，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故B符合題意；對(duì)于C，函數(shù)的最小正周期，當(dāng)，，所以函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，故C不符題意；對(duì)于D，函數(shù)的最小正周期，當(dāng)，，所以函數(shù)在區(qū)間上不具有單調(diào)性，故D不符題意.故選：B.7.已知定義在上的函數(shù)滿足．若函數(shù)與的圖像的交點(diǎn)為，，…，，則（）A.5 B.10 C.15 D.20【答案】A【解析】【分析】由題意可知函數(shù)與都關(guān)于點(diǎn)點(diǎn)對(duì)稱，則可知，，由此即可得處答案.【詳解】由題意函數(shù)滿足，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)點(diǎn)對(duì)稱，記，則，則所以函數(shù)也關(guān)于點(diǎn)點(diǎn)對(duì)稱，則其交點(diǎn)，，…，也關(guān)于點(diǎn)點(diǎn)對(duì)稱，即，，所以.故選：A8.在中，，．若空間點(diǎn)滿足，則直線與平面所成角的正切的最大值是（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】設(shè)，易知點(diǎn)在以為旋轉(zhuǎn)軸，底面圓半徑為的圓柱上，以所在平面為，建立空間直角坐標(biāo)，則平面的法向量，設(shè)則，記直線與平面所成角為,則，令，利用換元法可得，又，則的最大值為，由此即可求出答案.【詳解】過(guò)點(diǎn)作與點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作與點(diǎn)，設(shè)，則，又，則，則點(diǎn)在以為旋轉(zhuǎn)軸，底面圓半徑為的圓柱上，如圖所示：以所在平面為，建立空間直角坐標(biāo)，則平面的法向量為：，，設(shè)，則，記直線與平面所成角為,則，因?yàn)?，所以，令，則，則，，又，在上單調(diào)遞減。在上單調(diào)遞增，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，又，所以直線與平面所成角的最大值為，此時(shí)，故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知甲、乙兩名同學(xué)在高三的6次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)的折線圖如下，則下列說(shuō)法正確的是（）．A.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，，則B.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為，，則C.甲成績(jī)的極差大于乙成績(jī)的極差D甲成績(jī)比乙成績(jī)穩(wěn)定【答案】AD【解析】【分析】利用題中折線圖中的數(shù)據(jù)信息以及變化趨勢(shì)，由平均數(shù)的計(jì)算公式以及方差的計(jì)算公式結(jié)合極差的定義對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可．【詳解】解：由折線圖可知，甲同學(xué)除第二次考試成績(jī)略低于乙同學(xué)，其他次考試成績(jī)都高于乙同學(xué)，所以，故選項(xiàng)A正確；由折線圖的變化趨勢(shì)可知，甲同學(xué)的成績(jī)比乙同學(xué)的成績(jī)穩(wěn)定，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確；極差為數(shù)據(jù)樣本的最大值與最小值的差，所以甲同學(xué)成績(jī)的極差小于乙同學(xué)成績(jī)的極差，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤．故選：AD．10.某車間加工同一型號(hào)零件，第一、二臺(tái)車床加工的零件分別占總數(shù)的40%，60%，各自產(chǎn)品中的次品率分別為6%，5%.記“任取一個(gè)零件為第i臺(tái)車床加工”為事件，“任取一個(gè)零件是次品”為事件B，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)全概率概率公式及條件概率概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：依題意，，，，故C正確；所以，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故B正確；所以，故D正確；故選：BCD11.如圖，已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為，，其頂點(diǎn)都在同一球面上，且該球的表面積為，則側(cè)棱長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)球的表面積公式可求得球的半徑；作出截面，設(shè)外接球球心為，棱臺(tái)底面的中心分別為，分別討論在四邊形內(nèi)和在四邊形外兩種情況，結(jié)合勾股定理可求得棱臺(tái)的高，進(jìn)而可得側(cè)棱長(zhǎng).【詳解】正四棱臺(tái)的外接球表面積，解得：，即球的半徑為；，，作出截面，設(shè)外接球球心為，棱臺(tái)底面的中心分別為，若在四邊形內(nèi)，如下圖所示，，，，，即棱臺(tái)側(cè)棱長(zhǎng)為；若在四邊形外，如下圖所示，，，，，即棱臺(tái)側(cè)棱長(zhǎng)為；綜上所述：側(cè)棱長(zhǎng)為或.故選：AD.12.已知，，且，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)對(duì)直接利用基本不等式即可得證；對(duì)于B選項(xiàng)對(duì)利用基本不等式可得，由此即可判斷；對(duì)于C選項(xiàng)由題意可知，構(gòu)造函數(shù)，易證函數(shù)在上單調(diào)遞增，則可得；對(duì)于D選項(xiàng)易證即可得，，則.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)“”，即“”時(shí)，等號(hào)成立，正確；對(duì)于B選項(xiàng)：因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)“”，即“”時(shí)，等號(hào)成立，所以，錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)：因?yàn)椋?，且，所以，所以，記，則，易知在上單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以，正確；對(duì)于D選項(xiàng)：記，則恒成立，且，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，即當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)?，，且，所以，所以，又，即，則，所以，正確；故選：ACD第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若，則．【答案】【解析】【詳解】∵，∴，∴.考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的計(jì)算14.臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40千米處，則B城市處于危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間為_(kāi)______小時(shí)．【答案】1【解析】【分析】設(shè)地東北方向上存在點(diǎn)到的距離為30千米，，結(jié)合余弦定理得到，進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理即可求出，從而求出結(jié)果.【詳解】設(shè)地東北方向上存在點(diǎn)到的距離為30千米，，在中，，故，化簡(jiǎn)得，設(shè)方程的兩根為，則，，所以，即圖中千米，所以B城市處于危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間為小時(shí)，故答案為：1.15.已知雙曲線恰好滿足下列條件中的兩個(gè)：①過(guò)點(diǎn)；②漸近線方程為；③離心率．則雙曲線C方程為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】利用漸近線以及離心率的定義，列出方程求解即可.【詳解】若選②③，，得，又，化簡(jiǎn)得，可得，不符題意，故選②③錯(cuò)；若選①③，，得，過(guò)點(diǎn)，得，又由，得到，無(wú)解，故選①③錯(cuò)；若選①②，，化簡(jiǎn)得，又由且過(guò)點(diǎn)，得，解得，故此時(shí)，雙曲線C方程為故答案為：16.若對(duì)任意，都有（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】恒成立等價(jià)于恒成立，構(gòu)造函數(shù)，即恒成立，求判斷函數(shù)單調(diào)遞增，則有恒成立，即，令，求導(dǎo)求的最大值即可求出的最小值.【詳解】解：因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，所以有恒成立；令，即證，則有，所以在上單調(diào)遞增，即有在上恒成立，即在上恒成立；令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以，即.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，．（1）若，求B的大??；（2）若△ABC不是鈍角三角形，且，求△ABC的面積取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用三角公式得到或.由求出；（2）先判斷出△ABC是直角三角形，利用基本不等式求出△ABC的面積取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，?因?yàn)锳，B，C為△ABC的內(nèi)角，所以或.因?yàn)?，所以（不合題意，舍去）.所以，而，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：或.當(dāng)時(shí)，有，這與△ABC不是鈍角三角形相矛盾，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，所以△ABC是直角三角形，所以，即.而因?yàn)椋裕ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.又，所以，所以，即△ABC的面積取值范圍為.18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用，代入等式，變形后即可得證；（2）由（1）可得，借助即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此即可得出，利用裂項(xiàng)相消，即可求出，即可得證.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，又，所以，即，即，所以數(shù)列為以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不滿足上式，所以，所以所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.19.現(xiàn)將某校高三年級(jí)不同分?jǐn)?shù)段（滿分150分）的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)感興趣程度進(jìn)行調(diào)查（只有感興趣和不感興趣兩個(gè)選項(xiàng)且每人必須選擇其中一項(xiàng)），隨機(jī)抽調(diào)了50人，各分?jǐn)?shù)段頻數(shù)（單位：人）及對(duì)數(shù)學(xué)感興趣人數(shù)如下表：成績(jī)頻數(shù)510151055感興趣人數(shù)135745（1）根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認(rèn)為“該校高三學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣程度與成績(jī)110分為分界點(diǎn)有關(guān)”？成績(jī)低于110分成績(jī)不低于110分合計(jì)感興趣不感興趣合計(jì)（2）若在成績(jī)?yōu)榉謹(jǐn)?shù)段并且對(duì)數(shù)學(xué)感興趣的人中隨機(jī)選取4人，求成績(jī)來(lái)自這一分?jǐn)?shù)段人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：，．0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，有的把握認(rèn)為“該校高三學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣程度與成績(jī)110分為分界點(diǎn)有關(guān)”（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表，則可計(jì)算出，再與7.879比較，即可得出答案；（2）有題意可知的取值可以為：0,1,2,3，分別求出其概率，則可寫出分布列，由期望公式計(jì)算出期望.【小問(wèn)1詳解】由題意2×2列聯(lián)表如下：成績(jī)低于110分成績(jī)不低于110分合計(jì)感興趣91625不感興趣21425合計(jì)302050，所以有的把握認(rèn)為“該校高三學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣程度與成績(jī)110分為分界點(diǎn)有關(guān)”；【小問(wèn)2詳解】成績(jī)?yōu)榉謹(jǐn)?shù)段并且對(duì)數(shù)學(xué)感興趣的有3人，成績(jī)?yōu)榉謹(jǐn)?shù)段并且對(duì)數(shù)學(xué)感興趣的有5人，從中隨機(jī)選取4人，成績(jī)來(lái)自這一分?jǐn)?shù)段人數(shù)的取值可以為：0,1,2,3，，，，，所以的分布列為：012320.在斜三棱柱中，，，．（1）證明：在底面ABC上的射影是線段BC中點(diǎn)；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)勾股定理可證，結(jié)合三線合一可證平面、平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定證明；（2）建系，分別求平面與平面的法向量，利用空間向量求面面夾角.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接由題意可得：，則∴，則∵，則又∵為等邊三角形且為的中點(diǎn)，則，且平面∴平面平面，則又∵且為的中點(diǎn)，則，且平面∴平面平面，則，且平面∴平面即在底面ABC上的射影是線段BC中點(diǎn)M【小問(wèn)2詳解】如圖，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則可得：∴設(shè)平面法向量，則令，則，即平面的法向量∴即平面與平面夾角的余弦值為【點(diǎn)睛】21.如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)F，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．（1）求p和m的值；（2）點(diǎn)M，N在C上，且．過(guò)點(diǎn)A作，D為垂足，證明：存在定點(diǎn)Q，使得為定值．【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由拋物線定義有求，由在拋物線上求m即可.（2）令，，，聯(lián)立拋物線得到一元二次方程，應(yīng)用韋達(dá)定理，根據(jù)及向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，求k、n數(shù)量關(guān)系，確定所過(guò)定點(diǎn)，再由易知在以為直徑的圓上，即可證結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由拋物線定義知：，則，又在拋物線上，則，可得.小問(wèn)2詳解】設(shè)，，由（1）知：，所以，，又，所以，令直線，聯(lián)立，整理得，且，所以，，則，，綜上，，當(dāng)時(shí)，過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，過(guò)定點(diǎn)，即共線，不合題意；所以直線過(guò)定點(diǎn)，又，故在以為直徑的圓上，而中點(diǎn)為，即為定值，得證.22.已知函數(shù)與有相同的最大值（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）證明：，都有；（3）若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，求證：