安徽省宿州市省、市示范高中皖北2024～2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題含答案

/安徽省宿州市省、市示范高中皖北2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．下列選項(xiàng)正確的是（）A． B．C． D．2．已知平面內(nèi)有兩個向量，，設(shè)平面的法向量為，則可以為（）A． B． C． D．3．已知圓與圓，則兩圓圓心所在直線的方程為（）A．或 B． C． D．4．記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則（）A． B． C． D．5．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作垂直于軸的直線l，M，N分別是與雙曲線及其漸近線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)．若是線段的中點(diǎn)，則的漸近線方程為（）A． B．C． D．6．2025年1月16日在靈璧縣鐘靈文化廣場舉辦了靈璧縣第四屆青年音樂節(jié)，節(jié)目均由青年人自導(dǎo)自演，展現(xiàn)了靈璧青年的獨(dú)特風(fēng)采和靈璧城市的魅力.若音樂節(jié)共6個節(jié)目，其中2個是個人歌唱表演，2個是舞蹈表演，1個大合唱，1個樂器合奏，要求第一個節(jié)目不能是大合唱，兩個歌唱表演節(jié)目不相鄰，現(xiàn)確定節(jié)目順序，則不同的排法種數(shù)為（）A．280 B．336 C．360 D．4087．已知函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A．0 B． C． D．2e8．已知各項(xiàng)非零的遞增數(shù)列滿足：，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知的展開式共有7項(xiàng)，則（）A．展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為1 B．二項(xiàng)式系數(shù)和為128C．展開式中的系數(shù)與的系數(shù)和為128 D．所有項(xiàng)的系數(shù)絕對值之和為72910．已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)交拋物線于兩點(diǎn)，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，且為中點(diǎn)，則下面說法正確的是（

）A． B．直線的斜率是C． D．設(shè)原點(diǎn)為，則的面積為11．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，，則下列說法正確的有（）A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C．D．若，則數(shù)列的前項(xiàng)和三、填空題（本大題共3小題）12．直線與直線的距離為．13．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，則的最小值為．14．設(shè)函數(shù)，若在上的最大值不小于4，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù)在處取得極值.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間的最大值與最小值.16．如圖，在四棱錐中，底面，，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動點(diǎn).

(1)若，證明：平面平面；(2)若底面為正方形，當(dāng)平面與平面夾角為時，求的值.17．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.(1)求，；(2)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.18．已知橢圓上的點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的最大距離為3．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（異于）．①若的面積為，求直線的方程；②若直線與直線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在一條定直線上．19．對于無窮數(shù)列和函數(shù)，若，則稱是數(shù)列的生成函數(shù).(1)定義在上的函數(shù)滿足：對任意，有，且；又?jǐn)?shù)列滿足.求證：是數(shù)列的生成函數(shù)；(2)在（1）的條件下，求數(shù)列的前項(xiàng)和.(3)已知是數(shù)列的生成函數(shù)，且.若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.（參考數(shù)據(jù)：）

參考答案1．【答案】D【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，，D正確.故選D.2．【答案】B【詳解】因?yàn)闉槠矫娴姆ㄏ蛄?，所以?因?yàn)椋?；?所以ACD都不是.因?yàn)?，，所以B正確.故選B.3．【答案】C【詳解】圓的圓心為，圓可化為，所以圓心為，圓心所在直線的斜率為，所以兩圓圓心所在直線的方程為.故選C.4．【答案】C【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得，可得，所以，，所以，.故選C.5．【答案】C【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)，過第一象限的漸近線方程為，直線與直線交于點(diǎn)，交雙曲線于點(diǎn)，由M是線段的中點(diǎn)，得，則，，所以C的漸近線方程為.故選C6．【答案】D【詳解】間接法：第一個節(jié)目不排大合唱，共有（種）不同的排法，第一個節(jié)目不排大合唱且兩個歌唱節(jié)目相鄰共（種），所以第一個節(jié)目不排大合唱且兩個歌唱節(jié)目不相鄰共有（種）排法，故選D.7．【答案】C【詳解】令，即得，即方程有兩個不同的解，即直線與曲線有兩個不同的交點(diǎn)，可得，所以當(dāng)或時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，有極小值為，當(dāng)時，有極大值為，當(dāng)時，，且當(dāng)時，，所以作出函數(shù)的圖象如圖所示，所以實(shí)數(shù)的最大值為.故選C.8．【答案】A【詳解】因?yàn)椋?，所以，設(shè)，則，所以，若，則，，矛盾，所以，故，所以數(shù)列為以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，所以，故，若，則，數(shù)列為遞增數(shù)列，且，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，與已知矛盾；若，則，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，且，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，滿足條件；當(dāng)時，，故，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，令，可得，所以當(dāng)，且時，，當(dāng)，且時，，與條件矛盾，所以的取值范圍是，故選A.9．【答案】AD【詳解】因?yàn)榈恼归_式共有7項(xiàng)，所以，對于A，令，得的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，所以A正確；對于B選項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)和為，B錯誤；對于C，因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)公式為，令，得，即的系數(shù)為，又令，得，系數(shù)為，所以這兩項(xiàng)的系數(shù)和為，所以C錯誤；對于D選項(xiàng)，由二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式可知的系數(shù)正負(fù)交錯排列，所以令，得，所以D正確.故選AD.10．【答案】ABC【詳解】設(shè)，，，由向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，由向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，連接,，由題知，直線的斜率一定存在且不為0，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為：，聯(lián)立得，，，，對于A，為中點(diǎn)，∽，，，，，，故A正確；對于B，，，，，，，，，解得，，故B正確；對于C，，，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選ABC.11．【答案】BCD【詳解】對于A選項(xiàng)，由條件可得，，且，所以，則數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，故，故A錯誤；對于B選項(xiàng)，由已知等式變形得，且，所以，則數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為1的等比數(shù)列，則，故B正確；對于C選項(xiàng)，由，可得，所以，故C正確；對于D選項(xiàng)，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和為，故D正確.故選BCD.12．【答案】/1.1【詳解】設(shè)直線即與直線的距離為，則.13．【答案】【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)，可得，解得，則，因?yàn)椋援?dāng)或時，有最小值為.14．【答案】【詳解】的定義域?yàn)?，，，，，在上單調(diào)遞增，故在上的最大值為，即.15．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)最大值為2，最小值為.【詳解】（1）由題意得，由題意得，即，解得，故，定義域?yàn)镽，，令得或，令得，故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，易知為極小值點(diǎn)，符合題意，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）知，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，1+0-0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，.又，，故的最大值為2，最小值為.16．【答案】(1)證明見解析(2).【詳解】（1）證明：平面，平面，，又，而，平面，平面，平面，，，為的中點(diǎn)，，而，且平面，平面，平面，平面平面.（2）由底面為正方形及底面，，AD，AP兩兩垂直，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

不妨設(shè)，則，，，，，，設(shè)，設(shè)平面的一個法向量為，，則，取，則，，得，設(shè)平面的一個法向量為，，則，取，則得，因?yàn)槠矫媾c平面的夾角為，所以，解得，所以.17．【答案】(1)，.(2)證明見解析，(3)證明見解析.【詳解】（1），.（2）由得，且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（3）由（2）可知，，所以，又因?yàn)?，所?18．【答案】(1)(2)①；②證明見解析【詳解】（1）由題意可知，，所以．又，所以橢圓的方程為；（2）①設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，點(diǎn)，聯(lián)立，得，則，則．又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離．令，解得，所以直線的方程為．②由①知，則直線，直線，由，整理得．由①知，