廣西平果市鋁城中學(xué)2024～2025學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)測(cè)試卷含答案

/廣西平果市鋁城中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）.A． B． C． D．2．若是一個(gè)單位正交基底，且向量，，則的值為（

）A． B．4 C．7 D．233．已知展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為40，則a等于（）A．1 B．2 C． D．4．小李一家打算去張家界或長(zhǎng)沙旅游，去張家界與長(zhǎng)沙的概率分別為0.6，0.4，在張家界去徒步爬山的概率為0.5，在長(zhǎng)沙去徒步爬山的概率為0.6，則小李一家旅游時(shí)去徒步爬山的概率為（

）A．0.54 B．0.56 C．0.58 D．0.65．在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E在棱BC上，且，點(diǎn)G為的重心，則點(diǎn)G到直線AE的距離為（）A． B． C． D．6．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．7．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，稱在區(qū)間上是“緩減函數(shù)”，區(qū)間稱為的“緩減區(qū)間”，若，下列區(qū)間是的“緩減區(qū)間”的是（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線（不同時(shí)為0），到直線的距離為，為直線的法向量；推廣，在空間直角坐標(biāo)系中，已知平面（不同時(shí)為0），到平面的距離為，為平面的法向量.若平面，點(diǎn)，則（

）A．點(diǎn) B．若為原點(diǎn)，則C．點(diǎn)到平面的距離為 D．若，則10．某次射擊比賽中，記事件：“甲射擊一次，命中目標(biāo)”，，常數(shù)；事件：“乙射擊一次，命中目標(biāo)”，，假定甲、乙互不影響，各人每次射擊互不影響，比賽時(shí)，兩人同時(shí)射擊次，事件，，發(fā)生的次數(shù)分別為，，，則（

）A． B．C． D．11．甲、乙兩人進(jìn)行投籃游戲，用抽簽的方式?jīng)Q定誰(shuí)先投籃，抽到誰(shuí)是等可能的.每次投籃若命中，則繼續(xù)投籃；若未命中，則換對(duì)方投籃.規(guī)定兩人累計(jì)共投3次球，投中次數(shù)多的一方獲勝，若兩人投中次數(shù)相同，再抽簽決定誰(shuí)投籃一次，投中為勝，未投中則對(duì)方獲勝.若甲、乙每次投籃命中的概率分別為，且每次投籃相互獨(dú)立，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．第2個(gè)球是甲投的概率為B．甲只投了1次球獲勝的概率為C．甲投了3次球獲勝的概率為D．在第一次是乙投籃的條件下，甲獲勝的概率為三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若.13．已知空間中的三點(diǎn)，，，則點(diǎn)到直線AB的距離為.14．若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知在中，角的對(duì)邊分別為．(1)求的值；(2)若是的中點(diǎn)，，求的值．16．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，，.(1)證明：平面ABCD.(2)若，求二面角的余弦值.17．某學(xué)校為調(diào)查高三年級(jí)的體育開(kāi)展情況，隨機(jī)抽取了20位高三學(xué)生作為樣本進(jìn)行體育綜合測(cè)試，體育綜合測(cè)試成績(jī)分4個(gè)等級(jí)，每個(gè)等級(jí)對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)和人數(shù)如下表所示：等級(jí)不及格及格良優(yōu)分?jǐn)?shù)1234人數(shù)3953(1)若從樣本中隨機(jī)選取2位學(xué)生，求所選的2位學(xué)生分?jǐn)?shù)不同的概率；(2)用樣本估計(jì)總體，以頻率代替概率.若從高三年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取n位學(xué)生，記所選學(xué)生分?jǐn)?shù)不小于3的人數(shù)為X.（?。┤?，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）若，當(dāng)k為何值時(shí)，最大？18．已知為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，若為直角三角形，且橢圓過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率互為相反數(shù)的兩條直線與分別交橢圓于兩點(diǎn)，①求證：通過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為定值，并求出該定值；②求的最大值.19．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的解集；(2)若有極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)，若，求的最大值.

參考答案1．【答案】D【詳解】在等比數(shù)列中，由前n項(xiàng)和，則，當(dāng)時(shí)，由，所以，即.故選D.2．【答案】A【詳解】由是一個(gè)單位正交基底，得，所以.故選A.3．【答案】B【詳解】對(duì)于可知：，可知展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，即，解得或（舍去），且，所以.故選B.4．【答案】A【詳解】記小李一家去張家界為事件，去長(zhǎng)沙為事件，去徒步爬山為事件，則、、、，所以，即小李一家旅游時(shí)去徒步爬山的概率為.故選A.5．【答案】A【詳解】在長(zhǎng)方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由，得，由點(diǎn)E在棱BC上，且，得，的重心，則，，，，所以點(diǎn)G到直線AE的距離.故選A.6．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，又，，所以，所以，所以，所?故選.7．【答案】A【詳解】因?yàn)?，易知，所?不是零點(diǎn)，令，即，得到，令，，則，易知恒成立，由，得到，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，又易知，當(dāng)，且時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，所以的圖象如圖所示，由題知與有三個(gè)交點(diǎn)，所以，故選A.8．【答案】A【詳解】由題意得，又，由，得,解得，，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，.設(shè)，則，由，得，即，又，則，解得，，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，．由“緩減區(qū)間”的定義可得的“緩減區(qū)間”為，，而是的子集，是“緩減區(qū)間”；不是的子集，不是“緩減區(qū)間”；不是的子集，不是“緩減區(qū)間”；不是的子集，不是“緩減區(qū)間”.故選A.9．【答案】AD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，由平面，可得平面的法向量為，又，，所以，又，所以與不共線，故不垂直于平面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由點(diǎn)到平面的距離公式可得點(diǎn)到平面的距離，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，，所以，所以，所以，又，所以，所以，故D正確.故選AD.10．【答案】AC【詳解】對(duì)于A，由題意得事件：“甲射擊一次，命中目標(biāo)”，，事件：“乙射擊一次，命中目標(biāo)”，，則，，由二項(xiàng)分布的期望公式得，，則，，即，故A正確，對(duì)于B，由二項(xiàng)分布的方差公式得，，則，，則不一定相等，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由題意得假定甲、乙互不影響，則，相互獨(dú)立，由獨(dú)立事件概率公式得，則，由二項(xiàng)分布的期望公式得，由二項(xiàng)分布的方差公式得，由已知得，得到，故C正確，對(duì)于D，由已知得，，則，故D錯(cuò)誤.故選AC.11．【答案】ABD【詳解】記“抽簽抽到甲”，“甲投籃命中”，“抽簽抽到乙”，“乙投籃命中”.對(duì)于A，第2個(gè)球是甲投的概率為，所以A正確；對(duì)于B，甲只投了1次球獲勝的概率為，所以B正確；對(duì)于C，甲投了3次球獲勝的概率為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在第一次是乙投籃的條件下，甲獲勝的概率為，故D正確.故選ABD.12．【答案】2【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和因?yàn)樗越獾?3．【答案】【詳解】因?yàn)榭臻g中的三點(diǎn)，，，所以，，所以，，點(diǎn)到直線AB的距離為．14．【答案】【詳解】直線方程可化為，則該直線過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)橹本€與橢圓恒有公共點(diǎn)，則點(diǎn)在橢圓上或橢圓內(nèi)，所以，解得且.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）在，，所以，由，即，所以，在中，，所以，因此，即；（2）由余弦定理得，即有①，由是中點(diǎn)得，兩邊平方有，即有②，聯(lián)立①②解得，所以．16．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).【詳解】（1）證明：因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所?又因?yàn)?，，平面，所以平面PBD；因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)椋c相交，平面.所以平面.（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，則，，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為.，易知二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為.17．【答案】(1)(2)（?。┓植剂幸?jiàn)解析，；（ⅱ）時(shí)，最大【詳解】（1）設(shè)事件“選取的2位學(xué)生分?jǐn)?shù)不同”，則，故所選的2位學(xué)生分?jǐn)?shù)不同的概率為；（2）設(shè)“學(xué)生分?jǐn)?shù)不小于3”，則，（?。┤?，的可能取值為，由題意可得,又，，，，所以的分布列為：由于，則；（ⅱ）若，則，所以，由于最大，所以，即，因?yàn)?，，所以時(shí)，最大.18．【答案】(1)(2)①證明見(jiàn)解析，定值為1；②4.【詳解】（1）由題意，則是等腰直角三角形，即得，從而.又橢圓過(guò)點(diǎn)則有解得.橢圓的方程：.（2）①由（1）知橢圓的方程為，設(shè)直線的方程：，則的方程是.令，由可得則有，同理得，.即直線的斜率為定值，且定值為1.②由①知，則又，當(dāng)且僅當(dāng)即當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即的最大值為4.19．【答案】(1)(2)(3)2【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，