上海市松江某中學(xué)2024-2025學(xué)年高一年級下冊3月月考 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

松江一中2024學(xué)年度第二學(xué)期階段測試1試卷

局一數(shù)學(xué)

考生注意：

本卷滿分150分，考試時間120分鐘，答案全部做在答題紙上.

一.填空題(本大題共有12題，滿分54分.考生必須在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫

結(jié)果，第卜6題每個空格填對得4分，第7~12題每個空格填對得5分，否則一律得零分).

1.角々=2025。，則a屬于第象限.

【答案】三

【解析】

【分析】夕=2025。=5x360。+225。，根據(jù)終邊相同的角位于同一個象限求解即可.

【詳解】因為</=2025。=5x360。+225。，

所以角2025°的終邊與角225°的終邊相同，位于第三象限，

故答案為：三.

2.若角1的終邊經(jīng)過點尸(5/,12/)(/>0),則sina=.

【答案】—

13

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦函數(shù)的定義求出正弦值.

12t12t12

【詳解】依題意，su而…廠后『

故答案為：—

13

3.已知sinO+cos。=，貝sin28=.

3

【答案】—

3

【解析】

【分析】將已知等式兩邊平方，利用二倍角的正弦公式即可求解.

【詳解】解：因為sin6+cose='^，

3

兩邊平方，可得l+2sin6cose=g,

2

則sin20=2sin9cos6=--

故答案為：—

3

【分析】由x的取值范圍可得2xe(O,2?),在該范圍求解cos2x=g的解即可

【詳解】因為xe(O,?),所以2%e(O,2?),

|jr5萬

又因為cos2x=—,所以2x=—或者2x=——,

233

解得x=g或半，

66

n57r

所以該方程的解集為

'6,~6

71571

故答案為:

~6,~6

5.將sina+bcostz化為Asin(1+0)(A>O,O<0<27i)的形式

【答案】2sin(6Z+1

【解析】

【分析】利用輔助角公式整理即可.

fl,上百、

【詳解】由題意可得：sina+Qcosa=2—sinaH-c-o--s-a2sin[a+]).

22

7

故答案為：2sinfa+^-j.

6.在VA3C中，已知sinA:sin3:sinC=3:5:7,則此三角形最大內(nèi)角度數(shù)為

【答案】120

【解析】

【分析】利用正弦定理角化邊可得三邊比例關(guān)系，由大邊對大角知所求角為NC,利用余弦定理可求得結(jié)

果.

【詳解】在VA5C中，利用正弦定理可得：a:>：c=3:5:7,二A3C的最大內(nèi)角為NC,

不妨設(shè)。=3左，b=5k>c=7k>

a2+b2-c29k2+25k2-49k2_1

則cosC=

2ab30^~~2

0<ZC<180..'.ZC=120.

故答案為:120.

7.已知cosa=g,且一恭&<0,則cos[]+ajtan(27i-a)=.

【答案】|

6

【解析】

【分析】由己知利用同角三角函數(shù)關(guān)系式可求sina,根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡所求后即可代入求值.

2

【詳解】cosa=—，且—

32

益孰=—叵,

/.sma

3

5

cos[]+a)tan(2兀一a)=_sina(—tana)=，桁“="|~二~

3

故答案為：—.

6

8.已知cos[e—,則sin(2e+w]=

【答案】-##0.125

8

【解析】

JT(JTAJT

【分析】由2，+§=2，一五+,,根據(jù)二倍角公式即可求解.

【詳解】由2，+1=2(，培卜方,

故答案為：—

8

9.若cos(a-1)=^^

,cos2a=-.且均為銳角，a<B,則a+￡=

10

3兀

【答案】丁

【解析】

【分析】利用配湊法將a+分表示成功—（夕—力）,再去求解cos[2。——0]即可得到a+分的值.

jr

【詳解】因為。、夕為銳角，且。＜，，所以—?＜。一/＜0,0＜2。＜?,

、2半,sin(2e)=Jl—|2_3710

所以sin(a—,)=-,1-

7

MV53A/10j26]_虛

所以cos(a+,)=cos[2a-(a-7?)]=cos2acos(a-/7)+sin2asin(a-=-----X------1--------X-----------------

105105J2

3兀

且因為0＜。+，＜%，所以a+〃=z].

3兀

故答案為：]

1+sintzi_則tan%的值為

10.已知。為第三象限角，且+=2t

1-sinacosa2

-1-75

【答案】

2

【解析】

【分析】由1+sme+^_=_2,及。為第三象限角，得tan＜z=2的值，由々為第三象限角確定區(qū)

Yl-sinacosa2

a

的范圍,再根據(jù)2倍角公式求tan-的值.

2

【詳解】Qa為第三象限角，

??cosavO,sino<0,tana>0,

1+sina1

1-sindz+cosdz

2

(1+sincif)1

+------

(l+sino)(l-sino)cosa

1+sina1

-------+-----

一cos。cosa

-sina

--------=—2

cosa

sina^

------=2,即tana=2,

COSOf

2tan-@a

tana——=2即tan?—i-tan----1=0,

。

1-t+an2一22

2

Qa為第三象限角,

.?.a上為第二或第四象限,

2

a-l-y/5

tan——---------

22

故答案為：.節(jié)

11.如圖，在半徑為2、圓心角為60°的扇形的弧尸。上任取一點4作扇形的內(nèi)接平行四邊形A5CP,使

點8在。。上，點C在0P上，則該平行四邊形面積的最大值為.

【答案】22/1##-73

33

【解析】

【分析】首先連結(jié)。4,設(shè)NAQP=。，利用三角函數(shù)表示四邊形的面積，結(jié)合三角函數(shù)的性

質(zhì)即可求解.

【詳解】過點A8分別作AM,BN分別垂直于點N,

則5N=AM,NBNC=NAMP=90，又BC=AP,

所以_AAg_5NC,所以MP=NC,

所以平行四邊形APCB的面積和長方形AMNB的面積相等,

設(shè)ZA0P=6,

BN_AM_2G.

則AM=2sin6?,OM=2cosO,-n~~^一亍smt/

tan—tan—

33

所以MN=0M—ON=2CGS9—--sin6>.

3

所以四邊形AMNB面積S=A/N-AM=2cosc-------sin。2sind,

3

所以S=4sin%os"哈h?"2sin2”孚上產(chǎn)

c.c八2A/3CZ,2734g.（兀）273

=2sin29H------cos2夕------=-----sin2。n-\-------,

333I6）3

因為所以2嗯4拜］，

故當(dāng)29+2=烏即。=代時，面積取得最大值為逑一友=友.

626333

故答案為：2叵.

3

12.如圖，△A0D與3OC存在對頂角NA0D=/B0C=2,AC=2,5。=2日且

兀1

SC=AD,V5sin2A+cosB=V5.則下列說法：①。是BD中點；②A=3+—；③OC=—.正確的

43

序號是___________

【解析】

【分析】設(shè)OC=x,OB=y,結(jié)合余弦定理，表示出AD?與利用BC=AD化簡判斷①；借助全

等三角形確定角的數(shù)量關(guān)系判斷②；由6sin2A+cosB=J?求出sinB,再利用正弦定理求出OC

判斷③.

詳解】設(shè)0C=x,OB=y,則04=2—x,OD=2g-y,

在如中,由余弦定理得:AD-27+Q及一y)2—2Q—x)QHy)(，

在5OC中，由余弦定理得：BC2=x2+y2-2xy-^，

由3。=加，得(2—xy+(2后—丁丁―2(2—x)(20—丁)?1=必+/—2孫。孝，

化簡得：y=及,因此08。中點，①正確；

如圖：

71

過。點做。石〃5C,交AC與E,則N￡DO=NCBO,而/EOD=/COB=一,

4

jrjr

OD=OB,則一0EDM_0CB,DE=BC=AD,A=ZDEA=ZEDO+-=B+-,②正確;

44

由石sin2A+cos3=百，得石sin2（3+：）+cos3=百，即逐cos23+cos5=V?,

整理得2百COS25+COSB—2j?=0，而—1<COSB<1,解得cosB=學(xué)，sinB=

?二—71,n.兀①3小3M

sinC--sin(3H—)—sinBcos—FcosBsin—=—-----=-------,

4442510

版正

_2

在△O3C中，由正弦定理，得0-=匹-,oc=—=③錯誤.

sinCsinB3V10

10

故答案為：①②

二.選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分），

每題有且只有一個正確答案，考生必須在答題紙相應(yīng)位置上，將代表答案的小方格涂黑.

13.對任意角a和夕，“5也。=5附”是“。=尸”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合必要不充分的定義即可求解.

【詳解】由sina=sin/?可得。=/7+2E或者。+尸=兀+2E,4eZ,

故sina=sin/?不能得到a=/3,

但tz=/7,則sin（z=sin/?,

故"sin。=sin/?”是“。=尸”的必要不充分條件，

故選：B

14.《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，

問徑幾何？”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知道大小，用鋸去鋸這木材，鋸口深一寸，鋸

道長一尺，問這塊圓柱形木材的直徑是多少？現(xiàn)有一類似問題：一圓柱形木材，有一部分埋在墻壁中，其

截面如圖所示.用鋸去鋸這木材，若鋸□深CD=10（點-1）寸，鋸道A3=20寸，則該木材埋在墻壁中

的截面面積約為（）（注：7t?3）

A.30平方寸B.40平方寸C.50平方寸D.60平方寸

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)該圓的半徑為「，根據(jù)圓的性質(zhì)可知垂直平分弦A6,且Q4=OB=OC=r,在

中根據(jù)勾股定理求出半徑廠，進(jìn)而可得403=1,再利用扇形面積公式和三角形面積公式即

可求解.

【詳解】設(shè)該圓的半徑為『，則。。=一10(后-1),

因為卜—10(0—1)]2+102=/,解得廠=10匹.

又因為OA2+O32=A§2,所以NAO3=T，

所以扇形。46的面積&=Lx'X(100)2=50兀，

]22

三角形OAB的面積S2=；x10應(yīng)x10?=100,

所以陰影部分面積為S1—S?=50?！?00土50,

故該木材埋在墻壁中的截面面積約為50平方寸.

故選：C.

15.在VA3C中，角的對邊分別是a,b,c,若扃=b(6cosC+sin。)，且a+c=4,則》的最

小值是()

A.73B.2C.20D.2G

【答案】B

【解析】

7T

【分析】由正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式可得3=—,再由余弦定理結(jié)合基本不等式即可得6的

3

最小值.

【詳解】因為石0=人(1§00$。+$1110),

由正弦定理，得JIsinA=\/3sinBcosC+sinBsinC.

因為A+5+。=萬，

所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以y/3sinA=百siaBcosC+GcosgsinC=gsiuBcosC+siaBsinC，

所以V3cosBsinC=siaBsinC-

因為sinC〉0,所以tan§=3,則3=5.

由余弦定理，b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-3ac>(a+c)2-=(a1)=4,

當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時，等號成立，

所以622,即6的最小值為2.

故選：B.

16.已知VABC滿足，sinA+sinB+sinC=V3(cosA+cosB+cosC),則下列選項中正確的為

()

A.VA3C的三個內(nèi)角一定都是60。

B.VA5C的三個內(nèi)角至少有一個是60。

C.VA3C的三個內(nèi)角可能均不是60。

D.以上說法均錯誤

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)輔助角公式可得sin[A-1]+sin[5—1]+sin[c-1]=0,即可利用換元法，結(jié)合二倍角

公式以及和差化積公式，得sin絲2sin4sin2=0,即可利用三角函數(shù)性質(zhì)求解.

222

【詳解】由sinA+sinB+sinC=6(cosA+cosB+cosC)可得

1.A6AJRM"1?「石「八

—smA~——cosA+—smB~——cosB+—sinC~——cosC=0,

222222

故sin[A.1)+sin[Bg)+sin[C—g

=0,

TTTTTTTTTTTT

由于A——+3——+C——=0,設(shè)儀二4一一,/二3-一，y=C—,則。+/?+/=(),

333333

從而

..A?.0./0、.(a+Pa—0、.(a+/3a-fiy,.a+fia+fl_

sina+sm〃+sin/=sina+sm〃-sin(a+〃)=sin-+-----—+sin----------——2sin------cos-----=0

(22J122J22

c.a+。a—p.cc+/3a+。八、H不

即2sm------cos------2sin------cos------=0,進(jìn)而

2222

c.a+a-(3a+(3\?/.a+/3.a.(3

2sm------cos-----——cos------=0n4sHi......-sm-sin-=0,

2(22)222

由于A昆C?。,兀)，所以*?因此中至少一個為。,

4--4+Z?---

因此32=___3.a邛_工至少一個為0,

5一22

JTJT2冗

即A——,B——,A+B——至少一個為0,故A,5c中至少一個為0.

333

故選：B.

三.解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域

內(nèi)寫出必要的步驟.

17.已知sin。-2cos8=0.

（1）求tan[6+；）的值;

、44sin6-2cos。上…

（2）求--------------的值.

5sin8+3cos。

【答案】（1）-3

⑵1

【解析】

【分析】（1）利用條件求得tan。=2,根據(jù)兩角和的正切直接求解即可;

（2）利用弦化切直接求解即可.

【小問1詳解】

由題知，sin8=2cos。，tan0=2,

貝i]tan[6+Etan0+1_2+1

1-tan01-2

【小問2詳解】

,_,4sme—2cos。4tan9—28-26

由題n知，--------------=----------=------=一.

5sin6+3cos。5tan0+310+313

3

18.已知VA5C的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且〃=2,cosB=-.

(1)若Z?=4,求sinA的值；

(2)若VA5C的面積S.c=4,求a。的值.

【答案】(1)-

5

(2)b=yfn,c=5

【解析】

42

【分析】(1)根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得到sin5二三，由正弦定理得到sinA=彳；

(2)結(jié)合(1)中的sin3=1,利用三角形面積公式得到c=5,由余弦定理求出6=J5.

【小問1詳解】

因為cos3=」,所以sinB=Jl—cos?B--,

55

ab

在VA5C中，由正弦定理得

sinAsinB

24

即sinA-g，所以豆叱=丸2；

45

【小問2詳解】

4

由(1)得sin3=§,

114

因為SABC=5acsinB=4,即5乂2(＞《=4,解得c=5,

3

由余弦定理得b?=a?+/—2〃ccos5=4+25—2x2x5x—=17,所以/?=’17，

綜上，b=VlT",c=5.

19.如圖，我國南海某處的一個海域上有四個小島，小島8與小島A、小島。相距都為5海里，與小島O

相距為36海里./B4D為鈍角，且sinA=《.

c

(1)求小島A與小島。之間的距離；

(2)已知NBCD與互補，求四個小島所形成的四邊形的面積.

【答案】(1)2海里；

(2)18平方海里.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意得出各邊長和cosA,利用余弦定理可解出AD的長；

(2)利用余弦定理求出CD的長，再利用三角形面積公式求出兩個三角形的面積，相加即為所求四邊形面

積.

【小問1詳解】

由題意，AB=BC=5,BD=3y/5,sinA=^,且A為鈍角，

4

cosA1t.——.

5

夫人“no小人力八工用AD~+AB2-BD-AD-+25-454

在△A5￡)中，由余弦定理，cosA1t=----------------------=------------------=一一，

2ADxAB10AD5

得A￡>2+8AD—20=0，解得4）=2或一10（舍去）.

故2，小島A與小島。之間的距離為2海里.

【小問2詳解】

34

由題意，sinC=sinA=—,cosC=-cos^=~

25+CD2-454

在W中，由余弦定理，…”不

10CD-5

得CD2—8CD-20=0，解得CD=10或—2（舍去）.

故CD=10.

所以=SARn+SRcn=—ABxADxsinA+—BCxCDxsinC

1313

=-x5x2x-+-x5xl0x-=18.

2525

所以，四個小島所形成的四邊形的面積為18平方海里.

20.人臉識別技術(shù)在社會各行各業(yè)中的應(yīng)用深刻改變著人們的生活.所謂人臉識別，就是利用計算機(jī)分析

人臉視頻或者圖像、并從中提取出有效的識別信息，最終判別對象的身份.在人臉識別中為了檢測樣本之

間的相似度主要運用距離進(jìn)行測試，經(jīng)常使用的測量距離有曼哈頓距離和余弦距離.若二維空間有兩個點

A（x1,y1）,B（x2,y2）,則A,8之間的曼哈頓距離為：d（A3）=|西-司+|%一為|?48之間的余弦距

/43X1無，M%

離為1—COS(A§),其中COS(A5)=/2，義I2-2+I22義I2-2為4?之間的余

+M+%，玉+乂\X2+%

弦相似度.

（1）若42』）,8（1,2）,求A,8之間的曼哈頓距離和余弦距離;

兀

(2)已知0<。<§<—,M(cosa,sina),7V(cos(3,sin/?),P(cos(a+/?),sin(a+/?)),且

123

cos(M,N)=—,cos(M,P)=-.

①求N,P之間的余弦距離；

②求N,P之間的曼哈頓距離.

【答案】（1）曼哈頓距離為2,余弦距離為:

(2)①二9；②2——22

65325

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意代入題目中的公式可得答案;

（2）①根據(jù)條件和兩角和的余弦公式可求答案；②先求解cos2，,sin2，，結(jié)合和角公式可得答案.

【小問1詳解】

由題意d（A,B）=]+帆一％|=|2-+|1—斗=2；

因為cos(A,3)=i%xi/Xx[%=2_x_L+/[=3,

所以余弦距離為l-cos(A,B)=1.

【小問2詳解】

12

①由題意cos"N)-s尸+sinasin嶺。s(o-加百，

由0<a</?<5，可得一故$111(a一/)=一11一8$2(儀一/)=一百；

因cos(M,P)=cosdfcos(tz+/7)+sinasin(o+尸)=cos[a-(a+P)]=cos0=-1,故sin^=g,

則cos(N,尸)=cosAcos(o+0+sin/?sin(o+0=cos[/?一(0+4)]=cosa,

又cosa=cos(a-/?+/?)

9

所以N,尸之間的余弦距禺為l—cos(N,P)=1-cos。二一.

65

247

②由①可知sin2/7=2sin/cos￡=—,cos2/3=2cos?尸一1二----,

cos(6Z+尸)=cos[(cr-/3)+2/3}=cos(a-0cos2/?—sin(a-/?)sin2/?

=g〔w〔一mtt=2

因0<￡/+,<%,則sin((z+尸)=Jl一cos(tz+〃)2323

325

所以N,尸之間曼哈頓距離為:

d(N,P)^\cos/?-cos(?+/?)|+1sin/?-sin(?+/?)|=(—黑+|-|||222

JD乙JJD乙D325,

21.在VA5C中，內(nèi)角A3,C所對的邊分別為〃，4c.

(1)若c—Z?=2Z?cosA,求證：A=25；

(2)在(1)條件下，若A&C均為銳角，求」-----L+2sinA的取值范圍.

tanBtanA

(3)若A3為銳角且54鉆0=6,5足24+5皿23=5m(4+5),求VA3C周長的最小值.

【答案】(1)證明見詳解

(2)

(3)40+2指

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，由正弦定理和三角形的內(nèi)角和的性質(zhì)，化簡得到sin(A-B)=sinB,進(jìn)而證得

A—2B；

7171

(2)根據(jù)題意求得5￡,由A=25化簡得到」......-+2sinA=+2sinA,結(jié)合對勾函數(shù)

6J4taaBtanAsinA

的單調(diào)性即可求解;

(3)整理可得sinA(sinA—cosB)+sinB(sinB—cosA)=0,分類討論A,§之間的大小關(guān)系，可得

JT

C=—,進(jìn)而可得次?=12,結(jié)合基本不等式運算求解.

2

【小問1詳解】

因為c一/?=2bcosA，由正弦定理可得sinC-siiiB=2sinBcosA，

又因為sinC=sin(A+5)=sinAcosB+cosAsinB,

代入可得sinAcosB—cosAsinB=sinB,即sin(A-5)=sinB,

因為0vA5v兀，則sinB>0,故0VA—6VTI,

可得A—J?=5或A—5+JB=兀，即A=2_B或A=兀(舍去),

所以A=26.

【小問2詳解】

因為VABC為銳角三角形，A=2B,所以。=兀一35,

?！翱?/p>

7