馬松山群論試題及答案

馬松山群論試題及答案姓名：____________________

一、多項選擇題（每題2分，共10題）

1.馬松山群論中，下列哪項是群的定義？

A.一個集合G，如果滿足結(jié)合律，則稱G為一個群。

B.一個集合G，如果存在一個元素e，使得對G中任意元素a，有ea=ae=a。

C.一個集合G，如果存在一個元素e，使得對G中任意元素a，有a^2=e。

D.一個集合G，如果存在一個元素e，使得對G中任意元素a，有ae=a。

2.在馬松山群論中，下列哪項是子群的定義？

A.設(shè)G是一個群，H是G的子集，如果H不包含G中的任何非單位元，則稱H是G的子群。

B.設(shè)G是一個群，H是G的子集，如果H中存在一個元素e，使得對H中任意元素a，有ea=ae=a。

C.設(shè)G是一個群，H是G的子集，如果H滿足結(jié)合律，則稱H是G的子群。

D.設(shè)G是一個群，H是G的子集，如果H中的元素都滿足a^2=e。

3.在馬松山群論中，下列哪個是群的同態(tài)的定義？

A.設(shè)G和H是兩個群，如果存在一個映射f：G→H，使得對G中任意元素a和b，有f(ab)=f(a)f(b)。

B.設(shè)G和H是兩個群，如果存在一個映射f：G→H，使得對G中任意元素a，有f(a^2)=f(a)^2。

C.設(shè)G和H是兩個群，如果存在一個映射f：G→H，使得對G中任意元素a，有f(e)=e。

D.設(shè)G和H是兩個群，如果存在一個映射f：G→H，使得對G中任意元素a，有f(a)=f(a^2)。

4.下列哪個是群的自同構(gòu)的定義？

A.設(shè)G是一個群，如果存在一個同態(tài)f：G→G，使得f(e)=e，則稱f是G的自同構(gòu)。

B.設(shè)G是一個群，如果存在一個同態(tài)f：G→G，使得對G中任意元素a，有f(a)=a。

C.設(shè)G是一個群，如果存在一個同態(tài)f：G→G，使得對G中任意元素a和b，有f(ab)=f(b)f(a)。

D.設(shè)G是一個群，如果存在一個同態(tài)f：G→G，使得對G中任意元素a，有f(a^2)=f(a)^2。

5.下列哪個是群同態(tài)核的定義？

A.設(shè)f：G→H是群同態(tài)，如果存在一個子集K?G，使得對G中任意元素a，有f(a)=e，則稱K是f的同態(tài)核。

B.設(shè)f：G→H是群同態(tài)，如果存在一個子集K?G，使得對G中任意元素a和b，有f(a)f(b)=f(ab)。

C.設(shè)f：G→H是群同態(tài)，如果存在一個子集K?G，使得對G中任意元素a，有f(a^2)=f(a)^2。

D.設(shè)f：G→H是群同態(tài)，如果存在一個子集K?G，使得對G中任意元素a和b，有f(a)f(b)=f(b)f(a)。

6.在馬松山群論中，下列哪個是群的直積的定義？

A.設(shè)G和H是兩個群，如果存在一個群G×H，使得對G×H中任意元素(a,b)，有(a,b)(c,d)=(ac,bd)。

B.設(shè)G和H是兩個群，如果存在一個群G×H，使得對G×H中任意元素(a,b)，有(a,b)^2=(a^2,b^2)。

C.設(shè)G和H是兩個群，如果存在一個群G×H，使得對G×H中任意元素(a,b)，有(a,b)^2=(a^2,b^2)，并且a^2=e和b^2=e。

D.設(shè)G和H是兩個群，如果存在一個群G×H，使得對G×H中任意元素(a,b)，有(a,b)(c,d)=(ac,bd)，并且a^2=e和b^2=e。

7.在馬松山群論中，下列哪個是群的商群的定義？

A.設(shè)G是一個群，H是G的子群，如果存在一個群G/H，使得對G/H中任意元素aH和bH，有aHbH=(ab)H。

B.設(shè)G是一個群，H是G的子群，如果存在一個群G/H，使得對G/H中任意元素aH和bH，有aHbH=(ab)H，并且aHbH=(ba)H。

C.設(shè)G是一個群，H是G的子群，如果存在一個群G/H，使得對G/H中任意元素aH和bH，有aHbH=(ab)H，并且aHbH=(ba)H，并且aH=a^2H。

D.設(shè)G是一個群，H是G的子群，如果存在一個群G/H，使得對G/H中任意元素aH和bH，有aHbH=(ab)H，并且aHbH=(ba)H，并且aH=a^2H，并且aHbH=(ab)H。

8.在馬松山群論中，下列哪個是群的可解性的定義？

A.設(shè)G是一個群，如果存在一個正整數(shù)n，使得G的n次冪是阿貝爾群，則稱G是可解群。

B.設(shè)G是一個群，如果存在一個正整數(shù)n，使得G的n次冪是阿貝爾群，并且G的n次冪的每個子群都是可解群，則稱G是可解群。

C.設(shè)G是一個群，如果存在一個正整數(shù)n，使得G的n次冪是阿貝爾群，并且G的n次冪的每個子群都是阿貝爾群，則稱G是可解群。

D.設(shè)G是一個群，如果存在一個正整數(shù)n，使得G的n次冪是阿貝爾群，并且G的n次冪的每個子群都是可解群，并且G的n次冪的每個子群的子群都是可解群，則稱G是可解群。

9.在馬松山群論中，下列哪個是群的中心的定義？

A.設(shè)G是一個群，如果存在一個子集Z(G)，使得對G中任意元素a和b，有ab=ba，則稱Z(G)是G的中心。

B.設(shè)G是一個群，如果存在一個子集Z(G)，使得對G中任意元素a和b，有ab=ba，并且a∈Z(G)和b∈Z(G)時，有ab=ba，則稱Z(G)是G的中心。

C.設(shè)G是一個群，如果存在一個子集Z(G)，使得對G中任意元素a和b，有ab=ba，并且a∈Z(G)和b∈Z(G)時，有ab=ba，并且a∈Z(G)和b∈Z(G)的任意元素c，有ac=ca，則稱Z(G)是G的中心。

D.設(shè)G是一個群，如果存在一個子集Z(G)，使得對G中任意元素a和b，有ab=ba，并且a∈Z(G)和b∈Z(G)時，有ab=ba，并且a∈Z(G)和b∈Z(G)的任意元素c，有ac=ca，并且a∈Z(G)和b∈Z(G)的任意元素c的任意元素d，有cd=dc，則稱Z(G)是G的中心。

10.在馬松山群論中，下列哪個是群的交換性的定義？

A.設(shè)G是一個群，如果對G中任意元素a和b，有ab=ba，則稱G是交換群。

B.設(shè)G是一個群，如果對G中任意元素a和b，有ab=ba，并且a∈G和b∈G時，有ab=ba，則稱G是交換群。

C.設(shè)G是一個群，如果對G中任意元素a和b，有ab=ba，并且a∈G和b∈G時，有ab=ba，并且a∈G和b∈G的任意元素c，有ac=ca，則稱G是交換群。

D.設(shè)G是一個群，如果對G中任意元素a和b，有ab=ba，并且a∈G和b∈G時，有ab=ba，并且a∈G和b∈G的任意元素c，有ac=ca，并且a∈G和b∈G的任意元素c的任意元素d，有cd=dc，則稱G是交換群。

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.馬松山群論中的群必須包含單位元。

2.任何非空集合都可以構(gòu)成一個群。

3.一個群中的任意兩個元素都有逆元。

4.任何阿貝爾群都是交換群。

5.交換群的任意兩個子群都是交換群。

6.一個群的子群必定包含該群的單位元。

7.任何有限群的階都是有限的。

8.任何無限群的階都是無限的。

9.兩個同構(gòu)的群具有相同的結(jié)構(gòu)。

10.任何群的同態(tài)都是單射。

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述群的同態(tài)定理的內(nèi)容及其在群論研究中的應(yīng)用。

2.解釋什么是群的自同構(gòu)，并舉例說明。

3.簡要描述群的可解性的概念，并說明如何判斷一個群是否可解。

4.舉例說明群的同態(tài)核在群論中的具體作用。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述群論在數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域中的應(yīng)用，例如在數(shù)論、代數(shù)幾何、拓撲學(xué)等方面的具體例子。

2.探討群論在密碼學(xué)中的應(yīng)用，分析群論在密碼學(xué)中的重要性以及群論如何幫助設(shè)計安全的加密算法。

五、單項選擇題（每題2分，共10題）

1.下列哪個數(shù)不是有限群的階？

A.6

B.12

C.24

D.無限

2.下列哪個群是阿貝爾群？

A.每個元素都是交換的群

B.每個元素的階都是有限的群

C.每個元素的階都是奇數(shù)的群

D.每個元素的階都是2的冪的群

3.下列哪個群是循環(huán)群？

A.每個元素都是交換的群

B.每個元素都有一個唯一的逆元

C.存在一個生成元，使得該生成元的任意冪都是群中的元素

D.每個元素的階都是有限的群

4.下列哪個群是交換群？

A.每個元素的階都是有限的群

B.每個元素的階都是奇數(shù)的群

C.每個元素的階都是2的冪的群

D.每個元素都是交換的群

5.下列哪個群是單群？

A.沒有非平凡子群的群

B.沒有非平凡正規(guī)子群的群

C.沒有非平凡中心子群的群

D.沒有非平凡對稱子群的群

6.下列哪個群不是有限群？

A.每個元素都是交換的群

B.每個元素的階都是有限的群

C.每個元素的階都是奇數(shù)的群

D.每個元素的階都是2的冪的群

7.下列哪個群不是阿貝爾群？

A.每個元素的階都是有限的群

B.每個元素的階都是奇數(shù)的群

C.每個元素都是交換的群

D.每個元素的階都是2的冪的群

8.下列哪個群不是循環(huán)群？

A.每個元素的階都是有限的群

B.每個元素的階都是奇數(shù)的群

C.存在一個生成元，使得該生成元的任意冪都是群中的元素

D.每個元素的階都是2的冪的群

9.下列哪個群不是交換群？

A.每個元素的階都是有限的群

B.每個元素的階都是奇數(shù)的群

C.每個元素都是交換的群

D.每個元素的階都是2的冪的群

10.下列哪個群不是單群？

A.沒有非平凡子群的群

B.沒有非平凡正規(guī)子群的群

C.沒有非平凡中心子群的群

D.沒有非平凡對稱子群的群

試卷答案如下：

一、多項選擇題（每題2分，共10題）

1.ABCD

解析思路：群的定義包含了結(jié)合律、存在單位元、存在逆元三個要素。

2.AC

解析思路：子群的定義要求子集必須包含單位元，并且滿足結(jié)合律。

3.AC

解析思路：群同態(tài)的定義要求映射保持群的運算，即映射下的元素運算等于原群中的運算。

4.A

解析思路：群的自同構(gòu)是群到自身的同態(tài)，且要求同態(tài)核是單位元。

5.A

解析思路：群同態(tài)核是群同態(tài)下，映射到單位元的元素集合。

6.AD

解析思路：群的直積要求新群的元素是原群元素的有序?qū)?，并且運算規(guī)則符合群的定義。

7.AD

解析思路：群的商群要求商群中的元素是原群元素的同余類，且運算規(guī)則符合群的定義。

8.B

解析思路：群的可解性是指群可以通過一系列正規(guī)子群分解為一個交換群的直積。

9.AC

解析思路：群的中心是包含單位元的子集，且在該子集中任意兩個元素的乘積等于它們的逆元乘積。

10.D

解析思路：交換群的定義是群中任意兩個元素的乘積等于它們的逆元乘積。

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.正確

2.錯誤

3.正確

4.正確

5.正確

6.正確

7.正確

8.錯誤

9.正確

10.錯誤

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.群的同態(tài)定理內(nèi)容：群同態(tài)保持群的結(jié)構(gòu)，即同態(tài)下的元素運算等于原群中的運算。應(yīng)用：用于研究群的結(jié)構(gòu)，證明群的性質(zhì)，解決群論中的問題。

2.群的自同構(gòu)是群到自身的同態(tài)，且要求同態(tài)核是單位元。舉例：整數(shù)加法群Z的自同構(gòu)是乘以一個非零整數(shù)。

3.群的可解性是指群可以通過一系列正規(guī)子群分解為一個交換群的直