微專題13　解三角形

微專題13解三角形高考定位應(yīng)用正弦定理、余弦定理解三角形是高考的必考內(nèi)容，主要考查邊、角、面積、周長等的計(jì)算，既有選擇、填空題，也有解答題，難度為中檔或偏下.【真題體驗(yàn)】1.(2024·全國甲卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若B＝eq\f(π,3)，b2＝eq\f(9,4)ac，則sinA＋sinC＝()A.eq\f(2\r(39),13) B.eq\f(\r(39),13)C.eq\f(\r(7),2) D.eq\f(3\r(13),13)2.(2021·全國乙卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為eq\r(3)，B＝60°，a2＋c2＝3ac，則b＝________.3.(2024·新高考Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinC＝eq\r(2)cosB，a2＋b2－c2＝eq\r(2)ab.(1)求B；(2)若△ABC的面積為3＋eq\r(3)，求c.【熱點(diǎn)突破】熱點(diǎn)一利用正、余弦定理求邊或角1.正弦定理：在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為△ABC的外接圓半徑).變形：a＝2RsinA，b＝2RsinB,c＝2RsinC，sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等.2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.變形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).例1(2024·新高考Ⅱ卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA＋eq\r(3)cosA＝2.(1)求A；(2)若a＝2，eq\r(2)bsinC＝csin2B，求△ABC的周長.規(guī)律方法當(dāng)題目條件中出現(xiàn)邊和角的“混和體”時有兩種方案：(1)全部統(tǒng)一為角，將“邊的齊次式”中的邊直接化為對應(yīng)角的正弦；(2)全部統(tǒng)一為邊，利用正、余弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，最后用因式分解等代數(shù)技巧化簡即可.訓(xùn)練1(1)(2024·濟(jì)南模擬)已知a，b，c分別為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且acosC＋eq\r(3)asinC＝b，則A＝()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)(2)(2024·綿陽診斷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,tanB)＝eq\f(1,tanC)，則eq\f(a2＋b2,c2)＝()A.1 B.2C.3 D.4熱點(diǎn)二三角形的面積問題三角形的面積公式設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其面積為S，△ABC的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r.(1)S＝eq\f(1,2)ah(h為BC邊上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r(r為△ABC內(nèi)切圓的半徑)；(4)S＝eq\r(p（p－a）（p－b）（p－c）)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)（a＋b＋c）)).例2(2024·阜陽模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且asinAcosB＋bsinAcosA＝eq\r(3)acosC.(1)求角C的大??；(2)若a＝3，且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝1，求△ABC的面積.規(guī)律方法與三角形面積有關(guān)問題的解題策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關(guān)邊、角之后，直接求三角形的面積；(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他量.訓(xùn)練2(2024·湛江調(diào)研)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AC上，且AB⊥BD.已知cosA＝2sineq\f(A,2)sineq\f(∠ABC＋C,2)，AB＝eq\r(2).(1)求A；(2)若△BCD的面積為eq\f(1,2)，求BC.熱點(diǎn)三解三角形的實(shí)際應(yīng)用解三角形實(shí)際問題的步驟例3(2024·臨沂模擬)在同一平面上有相距14公里的A，B兩座炮臺，A在B的正東方.某次演習(xí)時，A向西偏北θ方向發(fā)射炮彈，B則向東偏北θ方向發(fā)射炮彈，其中θ為銳角，觀測回報兩炮彈皆命中18公里外的同一目標(biāo)C，接著A改向向西偏北eq\f(θ,2)方向發(fā)射炮彈，彈著點(diǎn)為18公里外的點(diǎn)M，則B炮臺與彈著點(diǎn)M的距離為()A.7公里 B.8公里C.9公里 D.10公里規(guī)律方法解三角形應(yīng)用問題的要點(diǎn)(1)從實(shí)際問題中抽象出已知的角度、距離、高度等條件，作為某個三角形的元素；(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得到實(shí)際問題的解.訓(xùn)練3(2024·湖州、衢州、麗水模擬)某學(xué)生為測量某酒店的高度，在遠(yuǎn)處選取了與該建筑物的底端B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點(diǎn)C與D，如圖，現(xiàn)測得∠BCD＝45°，∠BDC＝105°，CD＝100米，在點(diǎn)C處測得酒店頂端A的仰角∠ACB＝28°，則酒店的高度約為(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.4，eq\r(6)≈2.4，tan28°≈0.53)()A.91米 B.101米C.111米 D.121米【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】一、單選題1.(2024·青島模擬)△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b＝2asinB，bc＝4，則△ABC的面積為()A.1 B.eq\r(3)C.2 D.2eq\r(3)2.在△ABC中，已知C＝45°，b＝eq\r(2)，c＝2，則角B為()A.30° B.60°C.30°或150° D.60°或120°3.(2024·北京海淀區(qū)調(diào)研)在△ABC中，sinB＝sin2A，c＝2a，則()A.∠B為直角 B.∠B為鈍角C.∠C為直角 D.∠C為鈍角4.(2024·河南名校調(diào)研)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，且b＝2a，2a2＋b2＝c2，則sinB＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(\r(6),4)C.eq\f(\r(10),4) D.eq\f(\r(15),4)5.(2024·石家莊模擬)海倫公式是利用三角形的三條邊的長a，b，c直接求三角形面積S的公式，表達(dá)式為S＝eq\r(p（p－a）（p－b）（p－c）)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中p＝\f(a＋b＋c,2)))，它的特點(diǎn)是形式漂亮，便于記憶.中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶在1247年獨(dú)立提出了“三斜求積術(shù)”，但它與海倫公式完全等價，因此海倫公式又譯作海淪—秦九韶公式.現(xiàn)在有周長為10＋2eq\r(7)的△ABC滿足sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶eq\r(7)，則用以上給出的公式求得△ABC的面積為()A.8eq\r(7) B.4eq\r(7)C.6eq\r(3) D.126.(2024·昆明診斷)在△ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，AD＝6，BD＝3，∠ABC＝45°，則sin∠ADC的值為()A.eq\f(2＋\r(3),3) B.eq\f(1＋\r(2),4)C.eq\f(1＋\r(7),4) D.eq\f(\r(3),4)7.(2024·廣東名校聯(lián)考)如圖，A，B兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且A，B兩點(diǎn)均不可到達(dá).現(xiàn)需測A，B兩點(diǎn)間的距離，測量者在河對岸選定兩點(diǎn)C，D，測得CD＝eq\f(\r(3),2)km，同時在C，D兩點(diǎn)分別測得∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為()A.eq\f(\r(3),2)km B.eq\f(\r(3),4)kmC.eq\f(\r(6),3)km D.eq\f(\r(6),4)km二、多選題8.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c.下面四個結(jié)論正確的是()A.若a＝2，A＝30°，則△ABC的外接圓半徑是4B.若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,sinB)，則A＝eq\f(π,4)C.若a2＋b2<c2，則△ABC一定是鈍角三角形D.若A<B，則cosA<cosB9.(2024·武漢調(diào)研)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列與△ABC有關(guān)的結(jié)論正確的是()A.若a＝2，A＝30°，則eq\f(b＋2c,sinB＋2sinC)＝eq\f(2b＋c,2sinB＋sinC)＝4B.若acosA＝bcosB，則△ABC是等腰直角三角形C.若△ABC是銳角三角形，則cosA<sinBD.若2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，S△AOC，S△ABC分別表示△AOC，△ABC的面積，則S△AOC∶S△ABC＝1∶6三、填空題10.(2024·泰安模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2ccosB＝2a－b，則C＝________.11.(2024·合肥調(diào)研)如圖是2024年4月30日17時46分神舟十七號返回艙(圖中C)接近地面的場景.傘面是表面積為1200m2的半球面(不含底面圓)，傘頂B與返回艙底端C的距離為半球半徑的5倍，直線BC與水平地面垂直于點(diǎn)D，D和觀測點(diǎn)A在同一水平線上，在A測得點(diǎn)B的仰角∠DAB＝30°，且sin∠BAC＝eq\f(7\r(3),2\r(247))，則此時返回艙底端離地面的距離CD＝________.(π＝3.14，sin∠ACB＝eq\f(9\r(3),\r(247))，計(jì)算過程中，球半徑四舍五入保留整數(shù))12.(2024·無錫模擬)設(shè)a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊.若B＝C≠A，且a(b2＋c2－a2)＝b2c，則A＝________.13.(2024·天津卷)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知cosB＝eq\f(9,16)，b＝5，eq\f(a,c)＝eq\f(2,3).(1)求a的值；(2)求sinA的值；(3)求cos(B－2A)的值.14.(2024·北京卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A為鈍角，a＝7，sin2B＝eq\f(\r(3),7)bcosB.(1)求A；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得△ABC存在，求△ABC的面積.條件①：b＝7；條件②：cosB＝eq\f(13,14)；條件③：csinA＝eq\f(5\r(3),2).注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.【解析版】1.(2024·全國甲卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若B＝eq\f(π,3)，b2＝eq\f(9,4)ac，則sinA＋sinC＝()A.eq\f(2\r(39),13) B.eq\f(\r(39),13)C.eq\f(\r(7),2) D.eq\f(3\r(13),13)答案C解析由正弦定理得eq\f(9,4)sinAsinC＝sin2B，因?yàn)锽＝eq\f(π,3)，所以sinAsinC＝eq\f(4,9)sin2B＝eq\f(1,3).由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝a2＋c2－ac＝eq\f(9,4)ac，所以a2＋c2＝eq\f(13,4)ac，所以sin2A＋sin2C＝eq\f(13,4)sinAsinC，所以(sinA＋sinC)2＝sin2A＋sin2C＋2sinAsinC＝eq\f(21,4)sinAsinC＝eq\f(7,4)，又sinA>0，sinC>0，所以sinA＋sinC＝eq\f(\r(7),2).故選C.2.(2021·全國乙卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為eq\r(3)，B＝60°，a2＋c2＝3ac，則b＝________.答案2eq\r(2)解析由題意得S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(3),4)ac＝eq\r(3)，則ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝a2＋c2－2accosB＝12－2×4×eq\f(1,2)＝8，則b＝2eq\r(2).3.(2024·新高考Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinC＝eq\r(2)cosB，a2＋b2－c2＝eq\r(2)ab.(1)求B；(2)若△ABC的面積為3＋eq\r(3)，求c.解(1)由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(\r(2),2)，又0<C<π，∴C＝eq\f(π,4)，∴eq\r(2)cosB＝sinC＝eq\f(\r(2),2)，∴cosB＝eq\f(1,2).又0<B<π，∴B＝eq\f(π,3).(2)由(1)得A＝π－B－C＝eq\f(5π,12)，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得eq\f(\a\vs4\al(a),\f(\r(2)＋\r(6),4))＝eq\f(\a\vs4\al(c),\f(\r(2),2))，∴a＝eq\f(1＋\r(3),2)c.∴△ABC的面積S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1＋\r(3),4)c2×eq\f(\r(3),2)＝3＋eq\r(3)，解得c＝2eq\r(2).【熱點(diǎn)突破】熱點(diǎn)一利用正、余弦定理求邊或角1.正弦定理：在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為△ABC的外接圓半徑).變形：a＝2RsinA，b＝2RsinB,c＝2RsinC，sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等.2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.變形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).例1(2024·新高考Ⅱ卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA＋eq\r(3)cosA＝2.(1)求A；(2)若a＝2，eq\r(2)bsinC＝csin2B，求△ABC的周長.解(1)由sinA＋eq\r(3)cosA＝2，得eq\f(1,2)sinA＋eq\f(\r(3),2)cosA＝1，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＝1.因?yàn)?<A<π，所以eq\f(π,3)<A＋eq\f(π,3)<eq\f(4π,3)，所以A＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，故A＝eq\f(π,6).(2)由eq\r(2)bsinC＝csin2B，得eq\r(2)bsinC＝2csinBcosB，由正弦定理，得eq\r(2)bc＝2cbcosB，所以cosB＝eq\f(\r(2),2)，因?yàn)?<B<π，所以B＝eq\f(π,4).C＝π－(A＋B)＝eq\f(7π,12)，所以sinC＝sineq\f(7π,12)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(π,4)))＝sineq\f(π,3)coseq\f(π,4)＋coseq\f(π,3)sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).由正弦定理得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(2sin\f(π,4),sin\f(π,6))＝2eq\r(2)，c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(2sin\f(7π,12),sin\f(π,6))＝eq\r(6)＋eq\r(2)，所以△ABC的周長為a＋b＋c＝2＋eq\r(6)＋3eq\r(2).規(guī)律方法當(dāng)題目條件中出現(xiàn)邊和角的“混和體”時有兩種方案：(1)全部統(tǒng)一為角，將“邊的齊次式”中的邊直接化為對應(yīng)角的正弦；(2)全部統(tǒng)一為邊，利用正、余弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，最后用因式分解等代數(shù)技巧化簡即可.訓(xùn)練1(1)(2024·濟(jì)南模擬)已知a，b，c分別為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且acosC＋eq\r(3)asinC＝b，則A＝()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)(2)(2024·綿陽診斷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,tanB)＝eq\f(1,tanC)，則eq\f(a2＋b2,c2)＝()A.1 B.2C.3 D.4答案(1)A(2)C解析(1)由acosC＋eq\r(3)asinC＝b以及正弦定理可得sinAcosC＋eq\r(3)sinAsinC＝sinB，因sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，代入整理得eq\r(3)sinAsinC－cosAsinC＝0，因?yàn)?<C<π，sinC>0，則得tanA＝eq\f(\r(3),3)，又因?yàn)?<A<π，故A＝eq\f(π,6).(2)因?yàn)閑q\f(1,tanA)＋eq\f(1,tanB)＝eq\f(1,tanC)，所以eq\f(cosA,sinA)＋eq\f(cosB,sinB)＝eq\f(cosC,sinC)，由正弦定理得eq\f(cosA,a)＋eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)，由余弦定理的推論得eq\f(b2＋c2－a2,2abc)＋eq\f(a2＋c2－b2,2abc)＝eq\f(a2＋b2－c2,2abc)，整理得a2＋b2＝3c2，即eq\f(a2＋b2,c2)＝3.故選C.熱點(diǎn)二三角形的面積問題三角形的面積公式設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其面積為S，△ABC的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r.(1)S＝eq\f(1,2)ah(h為BC邊上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r(r為△ABC內(nèi)切圓的半徑)；(4)S＝eq\r(p（p－a）（p－b）（p－c）)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)（a＋b＋c）)).例2(2024·阜陽模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且asinAcosB＋bsinAcosA＝eq\r(3)acosC.(1)求角C的大?。?2)若a＝3，且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝1，求△ABC的面積.解(1)法一因?yàn)閍sinAcosB＋bsinAcosA＝eq\r(3)acosC，所以根據(jù)正弦定理得sinAsinAcosB＋sinAsinBcosA＝eq\r(3)sinAcosC，因?yàn)閟inA≠0，所以sinAcosB＋sinBcosA＝eq\r(3)cosC，即sin(A＋B)＝eq\r(3)cosC，即sinC＝eq\r(3)cosC.因?yàn)閏osC≠0，所以tanC＝eq\r(3).因?yàn)?<C<π，所以C＝eq\f(π,3).法二由三角形內(nèi)的射影定理知acosB＋bcosA＝c，所以asinAcosB＋bsinAcosA＝(acosB＋bcosA)sinA＝csinA＝eq\r(3)acosC，又由正弦定理得sinCsinA＝eq\r(3)sinAcosC，因?yàn)閟inA≠0，所以sinC＝eq\r(3)cosC，因?yàn)閏osC≠0，所以tanC＝eq\r(3)，因?yàn)?<C<π，所以C＝eq\f(π,3).(2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝bccosA＝1.因?yàn)閍2＝b2＋c2－2bccosA，所以b2＋c2＝9＋2bccosA＝11.①因?yàn)閏2＝a2＋b2－2abcosC，所以b2－c2＝2abcosC－a2＝2×3×b×coseq\f(π,3)－32＝3b－9.②聯(lián)立①②可得2b2－3b－2＝0，解得b＝2(負(fù)根舍去)，故△ABC的面積為eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×3×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).規(guī)律方法與三角形面積有關(guān)問題的解題策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關(guān)邊、角之后，直接求三角形的面積；(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他量.訓(xùn)練2(2024·湛江調(diào)研)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AC上，且AB⊥BD.已知cosA＝2sineq\f(A,2)sineq\f(∠ABC＋C,2)，AB＝eq\r(2).(1)求A；(2)若△BCD的面積為eq\f(1,2)，求BC.解(1)因?yàn)閏osA＝2sineq\f(A,2)sineq\f(∠ABC＋C,2)＝2sineq\f(A,2)sineq\f(π－A,2)＝2sineq\f(A,2)coseq\f(A,2)＝sinA，可得tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝1，因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,4).(2)作BE⊥AC，垂足為E，在△ABD中，由A＝eq\f(π,4)，AB⊥BD，知△ABD為等腰直角三角形，因?yàn)锳B＝eq\r(2)，所以BD＝eq\r(2)，AD＝2，BE＝1，由△BCD的面積為eq\f(1,2)BE·CD＝eq\f(1,2)，解得CD＝1，可得AC＝AD＋CD＝3，所以BC＝eq\r(AB2＋AC2－2AB·AC·cosA)＝eq\r(5).熱點(diǎn)三解三角形的實(shí)際應(yīng)用解三角形實(shí)際問題的步驟例3(2024·臨沂模擬)在同一平面上有相距14公里的A，B兩座炮臺，A在B的正東方.某次演習(xí)時，A向西偏北θ方向發(fā)射炮彈，B則向東偏北θ方向發(fā)射炮彈，其中θ為銳角，觀測回報兩炮彈皆命中18公里外的同一目標(biāo)C，接著A改向向西偏北eq\f(θ,2)方向發(fā)射炮彈，彈著點(diǎn)為18公里外的點(diǎn)M，則B炮臺與彈著點(diǎn)M的距離為()A.7公里 B.8公里C.9公里 D.10公里答案D解析依題意，設(shè)炮彈第一次命中點(diǎn)為C，則AB＝14，AC＝BC＝AM＝18，∠CBA＝∠CAB＝θ，∠MAB＝eq\f(θ,2)，在△ABC中BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosθ，即182＝142＋182－2×14×18cosθ，解得cosθ＝eq\f(7,18)，所以cosθ＝2cos2eq\f(θ,2)－1＝eq\f(7,18)，又θ為銳角，解得coseq\f(θ,2)＝eq\f(5,6)(負(fù)值舍去)，在△ABM中BM2＝AM2＋AB2－2AM·ABcoseq\f(θ,2)＝182＋142－2×18×14×eq\f(5,6)＝100，所以BM＝10，即B炮臺與彈著點(diǎn)M的距離為10公里.規(guī)律方法解三角形應(yīng)用問題的要點(diǎn)(1)從實(shí)際問題中抽象出已知的角度、距離、高度等條件，作為某個三角形的元素；(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得到實(shí)際問題的解.訓(xùn)練3(2024·湖州、衢州、麗水模擬)某學(xué)生為測量某酒店的高度，在遠(yuǎn)處選取了與該建筑物的底端B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點(diǎn)C與D，如圖，現(xiàn)測得∠BCD＝45°，∠BDC＝105°，CD＝100米，在點(diǎn)C處測得酒店頂端A的仰角∠ACB＝28°，則酒店的高度約為(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.4，eq\r(6)≈2.4，tan28°≈0.53)()A.91米 B.101米C.111米 D.121米答案B解析由題知∠CBD＝30°，在△BCD中，eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，因?yàn)閟in∠BDC＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，所以BC＝eq\f(CDsin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(100×\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(1,2))＝50(eq\r(6)＋eq\r(2))，所以，在△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝50(eq\r(6)＋eq\r(2))×tan28°≈101(米).【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】一、單選題1.(2024·青島模擬)△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b＝2asinB，bc＝4，則△ABC的面積為()A.1 B.eq\r(3)C.2 D.2eq\r(3)答案A解析根據(jù)正弦定理得sinB＝2sinAsinB，因?yàn)锽∈(0，π)，則sinB≠0，所以1＝2sinA，解得sinA＝eq\f(1,2)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×4×eq\f(1,2)＝1.2.在△ABC中，已知C＝45°，b＝eq\r(2)，c＝2，則角B為()A.30° B.60°C.30°或150° D.60°或120°答案A解析在△ABC中，由正弦定理可得sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(\r(2)sin45°,2)＝eq\f(1,2)，又因?yàn)閏>b，可得C>B，即0°<B<45°，所以B＝30°.3.(2024·北京海淀區(qū)調(diào)研)在△ABC中，sinB＝sin2A，c＝2a，則()A.∠B為直角 B.∠B為鈍角C.∠C為直角 D.∠C為鈍角答案C解析由sinB＝sin2A＝2sinAcosA，得b＝2acosA，cosA＝eq\f(b,2a)，又c＝2a，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b2＋4a2－a2,2b·2a)＝eq\f(b,2a)，化簡得b＝eq\r(3)a，因?yàn)閏2＝4a2＝a2＋b2，所以△ABC是直角三角形，且C是直角.故選C.4.(2024·河南名校調(diào)研)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，且b＝2a，2a2＋b2＝c2，則sinB＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(\r(6),4)C.eq\f(\r(10),4) D.eq\f(\r(15),4)答案C解析由b＝2a，2a2＋b2＝c2，得2a2＋b2＝6a2＝c2，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(3a,2c)＝eq\f(\r(6),4)，又B∈(0，π)，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(\r(10),4).5.(2024·石家莊模擬)海倫公式是利用三角形的三條邊的長a，b，c直接求三角形面積S的公式，表達(dá)式為S＝eq\r(p（p－a）（p－b）（p－c）)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中p＝\f(a＋b＋c,2)))，它的特點(diǎn)是形式漂亮，便于記憶.中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶在1247年獨(dú)立提出了“三斜求積術(shù)”，但它與海倫公式完全等價，因此海倫公式又譯作海淪—秦九韶公式.現(xiàn)在有周長為10＋2eq\r(7)的△ABC滿足sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶eq\r(7)，則用以上給出的公式求得△ABC的面積為()A.8eq\r(7) B.4eq\r(7)C.6eq\r(3) D.12答案C解析∵sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶eq\r(7)，∴a∶b∶c＝2∶3∶eq\r(7)，∵△ABC的周長為10＋2eq\r(7)，即a＋b＋c＝10＋2eq\r(7)，∴a＝4，b＝6，c＝2eq\r(7)，∴p＝eq\f(4＋6＋2\r(7),2)＝5＋eq\r(7)，∴S△ABC＝eq\r(（5＋\r(7)）×（1＋\r(7)）×（\r(7)－1）×（5－\r(7)）)＝6eq\r(3).6.(2024·昆明診斷)在△ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，AD＝6，BD＝3，∠ABC＝45°，則sin∠ADC的值為()A.eq\f(2＋\r(3),3) B.eq\f(1＋\r(2),4)C.eq\f(1＋\r(7),4) D.eq\f(\r(3),4)答案C解析如圖，在△ABD中，由正弦定理得eq\f(AD,sin∠ABD)＝eq\f(BD,sin∠BAD)，即eq\f(6,sin45°)＝eq\f(3,sin∠BAD)，故sin∠BAD＝eq\f(\r(2),4).又BD<AD，則∠BAD<∠ABC，故∠BAD只能是銳角，從而cos∠BAD＝eq\f(\r(14),4).所以sin∠ADC＝sin(∠BAD＋∠ABD)＝sin(∠BAD＋45°)＝eq\f(\r(2),4)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(14),4)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1＋\r(7),4)，故選C.7.(2024·廣東名校聯(lián)考)如圖，A，B兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且A，B兩點(diǎn)均不可到達(dá).現(xiàn)需測A，B兩點(diǎn)間的距離，測量者在河對岸選定兩點(diǎn)C，D，測得CD＝eq\f(\r(3),2)km，同時在C，D兩點(diǎn)分別測得∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為()A.eq\f(\r(3),2)km B.eq\f(\r(3),4)kmC.eq\f(\r(6),3)km D.eq\f(\r(6),4)km答案D解析∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴△ADC是等邊三角形，∴AD＝CD＝AC＝eq\f(\r(3),2)km.在△BCD中，∠BDC＝30°，∠CBD＝180°－60°－30°－45°＝45°，由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(DC,sin∠CBD)，即eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(\f(\r(3),2),sin45°)，BC＝eq\f(\f(\r(3),2)×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(6),4)km，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos45°＝eq\f(3,4)＋eq\f(6,16)－2×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(6),4)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(6,16)，∴AB＝eq\f(\r(6),4)km，即A，B兩點(diǎn)間的距離為eq\f(\r(6),4)km.二、多選題8.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c.下面四個結(jié)論正確的是()A.若a＝2，A＝30°，則△ABC的外接圓半徑是4B.若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,sinB)，則A＝eq\f(π,4)C.若a2＋b2<c2，則△ABC一定是鈍角三角形D.若A<B，則cosA<cosB答案BC解析由正弦定理知eq\f(a,sinA)＝4＝2R，所以外接圓半徑是2，故A錯誤；由正弦定理及eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,sinB)，可得eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(sinB,sinB)＝1，即tanA＝1，由0<A<π，知A＝eq\f(π,4)，故B正確；因?yàn)閏osC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，所以C為鈍角，△ABC一定是鈍角三角形，故C正確；若A＝eq\f(π,6)，B＝eq\f(π,4)，顯然cosA>cosB，故D錯誤.9.(2024·武漢調(diào)研)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列與△ABC有關(guān)的結(jié)論正確的是()A.若a＝2，A＝30°，則eq\f(b＋2c,sinB＋2sinC)＝eq\f(2b＋c,2sinB＋sinC)＝4B.若acosA＝bcosB，則△ABC是等腰直角三角形C.若△ABC是銳角三角形，則cosA<sinBD.若2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，S△AOC，S△ABC分別表示△AOC，△ABC的面積，則S△AOC∶S△ABC＝1∶6答案ACD解析對于A，設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，因?yàn)閍＝2，A＝30°，所以2R＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(2,sin30°)＝4，所以eq\f(b＋2c,sinB＋2sinC)＝eq\f(2R·sinB＋2·2R·sinC,sinB＋2sinC)＝2R＝4，eq\f(2b＋c,2sinB＋sinC)＝eq\f(2·2R·sinB＋2R·sinC,2sinB＋sinC)＝2R＝4，所以A正確.對于B，因?yàn)閍cosA＝bcosB，所以由正弦定理得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，因?yàn)锳，B∈(0，π)，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，所以B不正確.對于C，由△ABC是銳角三角形得A＋B>eq\f(π,2)，即A>eq\f(π,2)－B，因?yàn)閥＝cosx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞減，所以cosA<coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))＝sinB，所以C正確.對于D，如圖所示，設(shè)AC的中點(diǎn)為M，BC的中點(diǎn)為D，因?yàn)?eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即2(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＋(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝0，則2×2eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(OD,\s\up6(→))＝0，即2eq\o(OM,\s\up6(→))＝－eq\o(OD,\s\up6(→))，所以點(diǎn)O是MD上靠近M的三等分點(diǎn)，所以點(diǎn)O到AC的距離等于D到AC的距離的eq\f(1,3)，又由B到AC的距離為D到AC的距離的2倍，所以O(shè)到AC的距離等于B到AC的距離的eq\f(1,6).由三角形的面積公式，可得S△ABC＝6S△AOC，即S△AOC∶S△ABC＝1∶6，所以D正確.三、填空題10.(2024·泰安模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2ccosB＝2a－b，則C＝________.答案eq\f(π,3)解析根據(jù)題意，在△ABC中，2ccosB＝2a－b，則2sinCcosB＝2sinA－sinB，變形可得2sinCcosB＝2sin(B＋C)－sinB，則有2sinBcosC＝sinB，因?yàn)閟inB>0，所以cosC＝eq\f(1,2)，因?yàn)镃∈(0，π)，則C＝eq\f(π,3).11.(2024·合肥調(diào)研)如圖是2024年4月30日17時46分神舟十七號返回艙(圖中C)接近地面的場景.傘面是表面積為1200m2的半球面(不含底面圓)，傘頂B與返回艙底端C的距離為半球半徑的5倍，直線BC與水平地面垂直于點(diǎn)D，D和觀測點(diǎn)A在同一水平線上，在A測得點(diǎn)B的仰角∠DAB＝30°，且sin∠BAC＝eq\f(7\r(3),2\r(247))，則此時返回艙底端離地面的距離CD＝________.(π＝3.14，sin∠ACB＝eq\f(9\r(3),\r(247))，計(jì)算過程中，球半徑四舍五入保留整數(shù))答案20m解析設(shè)半球的半徑為rm，則2πr2＝1200，∴r≈14，∴BC＝5r＝70m.在△ABC中，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，則AB＝eq\f(BCsin∠ACB,sin∠BAC)＝70×eq\f(9\r(3),\r(247))×eq\f(2\r(247),7\r(3))＝180(m)，又∵∠DAB＝30°，∴BD＝90m，則CD＝BD－BC＝20m.12.(2024·無錫模擬)設(shè)a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊.若B＝C≠A，且a(b2＋c2－a2)＝b2c，則A＝________.答案eq\f(π,5)解析因?yàn)閎2＋c2－a2＝2bccosA，所以2abccosA＝b2c，即2acosA＝b，即2sinAcosA＝sinB，所以sin2A＝sinB，所以2A＝B或2A＋B＝π.因?yàn)锽＝C，所以A＋B＋C＝A＋2B＝π.若2A＝B，則A＝eq\f(π,5)，B＝C＝eq\f(2π,5)；若2A＋B＝π，則A＝B＝C＝eq\f(π,3)，與B＝C≠A矛盾.綜