熱點專題 4-1 三角函數(shù)概念與誘導(dǎo)公式【10類題型】（原卷版）- 2025年高考數(shù)學(xué)熱點題型追蹤與重難點專題突破（新高考專用）

專題4-1三角函數(shù)概念與誘導(dǎo)公式近5年考情考題示例考點分析考點要求2023年甲卷，第14題,5分三角函數(shù)概念與誘導(dǎo)公式考點分析：掌握正弦、余弦、正切等基本定義，理解其在單位圓上的幾何意義。誘導(dǎo)公式是重點，需熟練記憶并應(yīng)用，解決復(fù)雜角度的三角函數(shù)值問題。（1）三角函數(shù)基本概念（2）任意角的三角函數(shù)（3）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（4）誘導(dǎo)公式2022年浙江卷第13題,5分2021年甲卷第8題,5分模塊一模塊一總覽熱點題型解讀（目錄）【題型1】等分角的象限問題 1【題型2】三角函數(shù)的定義 3【題型3】對sinα，cosα，tanα的知一求二問題 4【題型4】弦切互化求值 5【題型5】sinα±cosα與sinαcosα的關(guān)系 6【題型6】利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù) 6【題型7】誘導(dǎo)求值與變形（給值求值問題） 8【題型8】扇形弧長與面積的計算 9【題型9】割圓術(shù) 10【題型10】象限與三角函數(shù)正負(fù)的辨析 12模塊二模塊二核心題型·舉一反三【題型1】等分角的象限問題如何確定角終邊所在象限法1分類討論法：利用已知條件寫出的范圍（用表示），由此確定的范圍，在對進(jìn)行分類討論，從而確定所在象限。法2幾何法：先把各象限分為等份，再從軸的正方向的上方起，逆時針依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四……則原來是第幾象限的角，標(biāo)號為幾的區(qū)域即角終邊所在的區(qū)域。（多選）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪個象限的角（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限已知是第二象限角，則（

）A．是第一象限角 B．C． D．是第三或第四象限角【鞏固練習(xí)1】（多選）如果是第四象限角，那么可能是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【鞏固練習(xí)2】已知，，則的終邊在（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限【鞏固練習(xí)3】（2024·高三·湖北黃岡·期中）若角滿足＝(k∈Z)，則的終邊一定在()A．第一象限或第二象限或第三象限B．第一象限或第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限或x軸非正半軸上D．第一象限或第二象限或y軸非正半軸上【題型2】三角函數(shù)的定義一、任意角的三角函數(shù)（1）定義：任意角的終邊與單位圓交于點時，則，，．（2）推廣：三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點P是角終邊上異于頂點的任一點，設(shè)點到原點的距離為，則，，二、三角函數(shù)的定義中常見的三種題型及解決辦法1、已知角的終邊上一點的坐標(biāo)，求角的三角函數(shù)值方法：先求出點到原點的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解。2、已知角的一個三角函數(shù)值和終邊上一點的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，求與角有關(guān)的三角函數(shù)值方法：先求出點到原點的距離（帶參數(shù)），根據(jù)已知三角函數(shù)值及三角函數(shù)的定義建立方程，求出未知數(shù)，從而求解問題。3、已知角的終邊所在的直線方程（），求角的三角函數(shù)值方法：先設(shè)出終邊上一點，求出點到原點的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解，注意的符號，對進(jìn)行討論。若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角的三角函數(shù)值【注意】不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況已知為角α終邊上一點，則=．（2024·山東青島·一模）已知角終邊上有一點，則的值為（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】（2024·江西·二模）已知角的終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)2】如果角的終邊在直線上，則（）A．B．C．D．【鞏固練習(xí)3】在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點，且，則的值可以是（）A．B．1C．0D．2【鞏固練習(xí)4】已知角的終邊經(jīng)過點，則的值不可能是（

）A． B．0 C． D．【題型3】對sinα，cosα，tanα的知一求二問題1、知弦求弦：利用誘導(dǎo)公式及平方關(guān)系sin2α＋cos2α＝1求解2、知弦求切：常通過平方關(guān)系，與對稱式sinα±cosα，sinα·cosα建立聯(lián)系3、知切求弦：先利用商數(shù)關(guān)系得出sinα＝tanα·cosα或cosα＝eq\f(sinα,tanα)，然后利用平方關(guān)系求解若sinα＝－，則tanα＝.已知，則（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】已知，，則等于（）A．B．C．D．【鞏固練習(xí)2】若，,則.【鞏固練習(xí)3】（2023年全國甲卷真題）設(shè)甲：，乙：，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【題型4】弦切互化求值1、弦化切：把正弦、余弦化成切的結(jié)構(gòu)形式，統(tǒng)一為“切”的表達(dá)式，進(jìn)行求值．常見的結(jié)構(gòu)有：（1）sinα，cosα的二次齊次式(如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α)的問題常采用“切”代換法求解；（2）sinα，cosα的齊次分式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(如\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)))的問題常采用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形．2、切化弦：利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)，把式子中的切化成弦．一般單獨出現(xiàn)正切的時候，采用此技巧．已知，則（

）A． B． C． D．若，則.已知角θ的大小如圖所示，則＝（）

A． B． C． D．4【鞏固練習(xí)1】已知，則.【鞏固練習(xí)2】已知，則．【鞏固練習(xí)3】已知，則的值是．【題型5】sinα±cosα與sinαcosα的關(guān)系對于，，這三個式子，知一可求二：（多選題）已知，，則下列選項中正確的有（

）A． B．C． D．已知為第三象限角，，則（）A．B．C．D．【鞏固練習(xí)1】已知，A為第四象限角，則等于（）A．B．C．D．【鞏固練習(xí)2】（多選題）已知，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【題型6】利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)一、誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限二、把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟eq\x(\a\al(任意負(fù)角,的三角函,數(shù)))eq\o(→,\s\up9(\a\vs4\al(利用誘導(dǎo)公式)),\s\do8(三或一))eq\x(\a\al(任意正角,的三角函,數(shù)))eq\x(\a\al(0～2π的,角的三角,函數(shù)))eq\o(→,\s\up9(\a\vs4\al(利用誘導(dǎo)公式二)),\s\do8(或四或五))eq\x(\a\al(銳角三,角函數(shù)))也就是：“負(fù)化正，大化小，化到銳角就好了”．點位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【鞏固練習(xí)1】已知為第三象限角，=.【鞏固練習(xí)2】已知，且，則＝.【鞏固練習(xí)3】已知角的頂點在原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點，且．(1)求的值；(2)求的值．【題型7】誘導(dǎo)求值與變形（給值求值問題）（1）誘導(dǎo)公式用于角的變換，凡遇到與整數(shù)倍角的和差問題可用誘導(dǎo)公式，用誘導(dǎo)公式可以把任意角的三角函數(shù)化成銳角三角函數(shù)．（2）通過等誘導(dǎo)變形把所給三角函數(shù)化成所需三角函數(shù)．（3）等可利用誘導(dǎo)公式把的三角函數(shù)化已知，，則（

）A． B． C． D．已知，則（

）A． B． C． D．已知，則?！眷柟叹毩?xí)1】已知，則（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)2】若，則等于（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)3】已知，則=。【題型8】扇形弧長與面積的計算一、扇形弧長與面積的基本公式已知扇形的半徑為R，圓心角為弧長公式：面積公式：二、應(yīng)用弧度制解決問題的方法（1）利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．（2）求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題．（3）在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．（2024·四川南充·三模）如圖，圓O內(nèi)接一個圓心角為60°的扇形，在圓O內(nèi)任取一點，該點落在扇形內(nèi)的概率為（

）A． B． C． D．（2024·遼寧撫順·三模）已知圓錐的底面圓的半徑為1，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的母線長為（

）A． B．3 C． D．4如圖是一扇環(huán)形磚雕，可視為扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，則此扇環(huán)形磚雕的面積為．

若扇形的周長為18，則扇形面積取得最大值時，扇形圓心角的弧度數(shù)是.【鞏固練習(xí)1】已知扇形的周長為，則當(dāng)扇形的圓心角扇形面積最大．【鞏固練習(xí)2】（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當(dāng)時，（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)3】下圖是第19屆杭州亞運會的會徽“潮涌”，可將其視為一扇環(huán)ABCD．已知，．且該扇環(huán)的面積為，若將該扇環(huán)作為側(cè)面圍成一圓臺，則該圓臺的體積為.【題型9】割圓術(shù)割圓術(shù)其核心思想是通過不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，使正多邊形的周長無限接近圓的周長，進(jìn)而求得較為精確的圓周率。這一方法體現(xiàn)了極限思想，為中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。具體操作為：從圓內(nèi)接正六邊形開始，逐步分割成正十二邊形、正二十四邊形等，直至邊數(shù)無法再增，此時正多邊形的周長即接近圓周率與直徑的乘積?！毒耪滤阈g(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”.這可視為中國古代極限觀念的佳作.割圓術(shù)可以視為將一個圓內(nèi)接正邊形等分成個等腰三角形（如圖所示），當(dāng)越大，等腰三角形的面積之和越近似等于圓的面積.運用割圓術(shù)的思想，可得到的近似值為（

）A． B． C． D．我國古代魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽用“割圓術(shù)”計算圓周率，“割之彌細(xì)，所失彌少，割之，又割，以至于不可割，則與圓周合體無所失矣”.劉徽從圓內(nèi)接正六邊形逐次分割，一直分割到圓內(nèi)接正3072邊形，用正多邊形的面積逼近圓的面積.利用該方法，由圓內(nèi)接正n邊形與圓內(nèi)接正邊形分別計算出的圓周率的比值為（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】依據(jù)“割圓術(shù)”，由圓內(nèi)接正六邊形算得的圓周率的近似值是（

）A．2.9 B．3 C．3.1 D．3.14【鞏固練習(xí)2】如圖當(dāng)時，圓內(nèi)接正六邊形的周長為，故，即．運用“割圓術(shù)”的思想，下列估算正確的是（

）A．時， B．時，C．時， D．時，【題型10】象限與三角函數(shù)正負(fù)的辨析首先明確各象限坐標(biāo)符號，再根據(jù)三角函