專題11 數(shù)列的極限（典型題型歸類訓(xùn)練）原卷版

專題11數(shù)列的極限（典型題型歸類訓(xùn)練）目錄TOC\o"1-2"\h\u一、典型題型 1題型一：概率統(tǒng)計(jì)中數(shù)列的極限 1題型二：分形中的極限問(wèn)題 3題型三：數(shù)列中其他極限問(wèn)題 5二、專題11數(shù)列的極限（典型題型歸類訓(xùn)練） 7一、典型題型題型一：概率統(tǒng)計(jì)中數(shù)列的極限1．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）隨著疫情時(shí)代的結(jié)束，越來(lái)越多的人意識(shí)到健康的重要性，更多的人走出家門，走進(jìn)戶外.近期文旅消費(fèi)加速回暖，景區(qū)人流不息?酒店預(yù)訂爆滿?市集紅紅火火，旅游從業(yè)者倍感振奮.某鄉(xiāng)村旅游區(qū)開(kāi)發(fā)了一系列的娛樂(lè)健身項(xiàng)目，其中某種游戲?qū)官?，每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，兩人約定其中一人比另一人多贏兩局就停止比賽，每局比賽相互獨(dú)立.設(shè)比賽結(jié)束時(shí)比賽進(jìn)行的局?jǐn)?shù)為.附：當(dāng)時(shí)，.求：(1)當(dāng)時(shí)，甲贏得比賽的概率；(2)的數(shù)學(xué)期望.2．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）投擲一枚硬幣（正反等可能），設(shè)投擲次不連續(xù)出現(xiàn)三次下面向上的概率為，(1)求和；(2)寫出的遞推公式，并指出單調(diào)性；(3)是否存在？有何統(tǒng)計(jì)意義．3．（2023·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)人相互傳接球，第一次從甲開(kāi)始傳球，甲隨機(jī)地把球傳給乙、丙中的一人，接球后視為完成第一次傳接球；接球者進(jìn)行第二次傳球，隨機(jī)地傳給另外兩人中的一人，接球后視為完成第二次傳接球；依次類推，假設(shè)傳接球無(wú)失誤．(1)設(shè)乙接到球的次數(shù)為，通過(guò)三次傳球，求的分布列與期望；(2)設(shè)第次傳球后，甲接到球的概率為，（i）試證明數(shù)列為等比數(shù)列；（ii）解釋隨著傳球次數(shù)的增多，甲接到球的概率趨近于一個(gè)常數(shù)．4．（2002·上海·高考真題）某公司全年的利潤(rùn)為b元，其中一部分作為獎(jiǎng)金發(fā)給n位職工，獎(jiǎng)金分配方案如下：首先將職工按工作業(yè)績(jī)（工作業(yè)績(jī)均不相同）從大到小，由1到n排序，第1位職工得獎(jiǎng)金元，然后再將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方法將獎(jiǎng)金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金．(1)設(shè)為第k位職工所得獎(jiǎng)金額，試求，并用和表示（不必證明）；(2)證明，并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實(shí)際意義；(3)發(fā)展基金與n和b有關(guān)，記為，對(duì)常數(shù)b，當(dāng)n變化時(shí)，求．題型二：分形中的極限問(wèn)題1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）圖中的樹(shù)形圖形為：第一層是一條與水平線垂直的線段，長(zhǎng)度為1；第二層在第一層線段的前端作兩條與該線段成135°角的線段，長(zhǎng)度為其一半；第三層按第二層的方法在每一線段的前端生成兩條線段．重復(fù)前面的作法作圖至第n層．設(shè)樹(shù)的第n層的最高點(diǎn)至水平線的距離為n層的樹(shù)形的高度．試求：

(1)第三層及第四層的樹(shù)形圖的高度(2)第n層的樹(shù)形圖的高度(3)若樹(shù)形圖的高度大于2，則稱樹(shù)形圖為“高大”否則則稱“矮小”．試判斷該樹(shù)形圖是“高大”還是“矮小”的？2．（23-24高二上·上?！ふn后作業(yè)）如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并擦去中間這一段，如此繼續(xù)下去得到的曲線稱為科克雪花曲線．將下面的圖形依次記作

(1)求的周長(zhǎng)；(2)求所圍成的面積；(3)當(dāng)時(shí)，計(jì)算周長(zhǎng)和面積的極限，說(shuō)明科克雪花曲線所圍成的圖形是“邊長(zhǎng)”無(wú)限增大而面積卻有極限的圖形．3．（23-24高二上·上海徐匯·期末）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形紙板，在的左下端剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為的等邊三角形得到，然后再剪去一個(gè)更小的等邊三角形（其邊長(zhǎng)是前一個(gè)被剪去的等邊三角形邊長(zhǎng)的一半），得到、、、、.(1)設(shè)第次被剪去等邊三角形面積為，求；(2)設(shè)的面積為，求.4．（23-24高二上·上海普陀·期中）如圖，是一塊直徑為2的半圓形紙板，在的左下端剪去一個(gè)半徑為的半圓后得到圖形，然后依次剪去一個(gè)更小的半圓（其直徑為前一個(gè)被剪掉半圓的半徑）得到圖形，，…，，…，記紙板的面積和周長(zhǎng)分別為、，求：（1）；（2）.題型三：數(shù)列中其他極限問(wèn)題1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）著名的斐波那契數(shù)列滿足，，證明.2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）按照如下規(guī)則構(gòu)造數(shù)表：第一行是：2；第二行是：；即3，5，第三行是：即4，6，6，8；（即從第二行起將上一行的數(shù)的每一項(xiàng)各項(xiàng)加1寫出，再各項(xiàng)加3寫出）23，54，6，6，85，7，7，9，7，9，9，11……若第行所有的項(xiàng)的和為．(1)求；(2)試求與的遞推關(guān)系，并據(jù)此求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)，求和的值．3．已知數(shù)列，其中．記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)求；(2)設(shè)（其中為的導(dǎo)函數(shù)），計(jì)算．4．（23-24高二上·上?！て谥校┮阎c(diǎn)在直線上，為直線l與y軸的交點(diǎn)，等差數(shù)列的公差為1（）．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的值；(3)若，且，求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式．5．已知定義在上的函數(shù)和數(shù)列滿足下列條件：，，，，其中為常數(shù)，為非零常數(shù)．(1)令，證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)當(dāng)時(shí)，求．二、專題11數(shù)列的極限（典型題型歸類訓(xùn)練）1．（23-24高二上·上海松江·期末）如圖所示，設(shè)正三角形邊長(zhǎng)為是的中點(diǎn)三角形，為除去后剩下三個(gè)三角形內(nèi)切圓面積之和，求.2．（23-24高二上·上海徐匯）如圖，現(xiàn)將一張正方形紙片進(jìn)行如下操作：第一步，將紙片以為頂點(diǎn)，任意向上翻折，折痕與交于點(diǎn)，然后復(fù)原，記；第二步，將紙片以為頂點(diǎn)向下翻折，使與重合，得到折痕，然后復(fù)原，記；第三步，將紙片以為頂點(diǎn)向上翻折，使與重合，得到折痕，然后復(fù)原，記；按此折法從第二步起重復(fù)以上步驟，得到，則.3．（22-23高二上·上海·期中）定義:對(duì)于任意數(shù)列,假如存在一個(gè)常數(shù)使得對(duì)任意的正整數(shù)都有,且,則稱為數(shù)列的“上漸近值”．已知數(shù)列有（為常數(shù),且）,它的前項(xiàng)和為,并且滿足,令,記數(shù)列的“上漸近值”為,則的值為．4．（23-24高一下·上海浦東新）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，，，，可得正三角形，以此類推可得正三角形、…、正三角形，記，則．5．（23-24高二上·上海虹口）我們用表示內(nèi)接內(nèi)接于單位圓的正邊形的邊長(zhǎng)，那么對(duì)于正邊形的邊長(zhǎng)可通過(guò)圖得到如下關(guān)系式.例如：當(dāng)時(shí)，，，，，根據(jù)如上敘述以及極限的意義，計(jì)算.6．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）隨著疫情時(shí)代的結(jié)束，越來(lái)越多的人意識(shí)到健康的重要性，更多的人走出家門，走進(jìn)戶外.近期文旅消費(fèi)加速回暖，景區(qū)人流不息?酒店預(yù)訂爆滿?市集紅紅火火，旅游從業(yè)者倍感振奮.某鄉(xiāng)村旅游區(qū)開(kāi)發(fā)了一系列的娛樂(lè)健身項(xiàng)目，其中某種游戲?qū)官悾烤旨撰@勝的概率為，乙獲勝的概率為，兩人約定其中一人比另一人多贏兩局就停止比賽，每局比賽相互獨(dú)立.設(shè)比賽結(jié)束時(shí)比賽進(jìn)行的局?jǐn)?shù)為.附：當(dāng)時(shí)，.求：(1)當(dāng)時(shí)，甲贏得比賽的概率；(2)的數(shù)學(xué)期望.7．（23-24高二·全國(guó)·課后作業(yè)）題圖是某神奇“黃金數(shù)學(xué)草”的生長(zhǎng)圖．第1階段生長(zhǎng)為豎直向上長(zhǎng)為1米的枝干，第2階段在枝頭生長(zhǎng)出兩根新的枝干，新枝干的長(zhǎng)度是原來(lái)的，且與舊枝成，第3階段又在每個(gè)枝頭各長(zhǎng)出兩根新的枝干，新枝干的長(zhǎng)度是原來(lái)的，且與舊枝成，…，依次生長(zhǎng)，直到永遠(yuǎn)．(參數(shù)數(shù)據(jù)：，)(1)求第3階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度；(2)求第13階段“黃金數(shù)學(xué)草”的所有枝干的長(zhǎng)度之和；（精確到0.01米）(3)該“黃金