專題04 圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題(典型題型歸類訓(xùn)練)原卷版

專題04圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1三、定直線問題 2二、典型題型 2題型一：定點問題 2題型二：定值問題 5題型三：定直線問題 8三、專項訓(xùn)練 11一、必備秘籍一、定點問題1.求解(或證明)直線和曲線過定點的基本思路是：把直線或曲線方程中的變量，視作常數(shù)，把方程一邊化為零，既然是過定點，那么這個方程就是對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)于，的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點．2.常用方法：一是引進參數(shù)法，引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點；二是特殊到一般法，根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).二、定值問題1.解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達式的值等和題目中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個確定的值．常見定值問題的處理方法：（1）確定一個（或兩個）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進行表示（2）將所求表達式用核心變量進行表示（有的甚至就是核心變量），然后進行化簡，看能否得到一個常數(shù).2.定值問題的處理技巧：（1）對于較為復(fù)雜的問題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進而給后面一般情況的處理提供一個方向.（2）在運算過程中，盡量減少所求表達式中變量的個數(shù)，以便于向定值靠攏（3）巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點的坐標符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運算三、定直線問題定直線問題是證明動點在定直線上，其實質(zhì)是求動點的軌跡方程，所以所用的方法即為求軌跡方程的方法，如定義法、消參法、交軌法等．二、典型題型題型一：定點問題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是橢圓的內(nèi)接四邊形，直線AB經(jīng)過左焦點，直線AC，BD交于右焦點，直線AB與直線CD的斜率分別為．(1)求證：為定值；(2)求證：直線CD過定點，并求出該定點的坐標．2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，過的直線l與橢圓C交于P，Q兩點，的周長為．(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，點A，分別是橢圓C的左頂點、左焦點，直線m與橢圓C交于不同的兩點M，N（M，N都在x軸上方）．且．證明直線m過定點，并求出該定點的坐標．3．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測）已知雙曲線的焦距為，點在C上．(1)求C的方程；(2)直線與C的右支交于兩點，點與點關(guān)于軸對稱，點在軸上的投影為.①求的取值范圍；②求證：直線過點．4．（2024·青海海南·二模）已知雙曲線的虛軸長為，點在上.設(shè)直線與交于A，B兩點（異于點P），直線AP與BP的斜率之積為.(1)求的方程；(2)證明：直線的斜率存在，且直線過定點.5．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知拋物線的焦點為，為原點，第一象限內(nèi)的點在上，，且的面積為.(1)求的方程；(2)若，是上與不重合的兩動點，且，求證：直線過定點.6．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知為坐標原點，是拋物線上與點不重合的任意一點．(1)設(shè)拋物線的焦點為，若以為圓心，為半徑的圓交的準線于兩點，且的面積為，求圓的方程；(2)若是拋物線上的另外一點，非零向量滿足，證明：直線必經(jīng)過一個定點．題型二：定值問題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖所示，已知橢圓系方程：（，），、是橢圓的焦點，是橢圓上一點，且．(1)求的離心率，求出的方程．(2)P為橢圓上任意一點，過P且與橢圓相切的直線l與橢圓交于M、N兩點，點P關(guān)于原點的對稱點為Q，求證：的面積為定值．2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓的左、右頂點分別為，過軸上一點作一直線，與橢圓交于兩點（異于），直線和的交點為，記直線和的斜率分別為，求的值．3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知是雙曲線的左右焦點，，點在雙曲線上.(1)求雙曲線的標準方程；(2)若直線與雙曲線相切與于點，與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點，當點在雙曲線上運動時，的值是否為定值？若是，求出定值；否則，請說明理由.4．（23-24高二下·上?！て谀┮阎p曲線：的離心率為，點在雙曲線上．過的左焦點F作直線交的左支于A、B兩點．(1)求雙曲線的方程．(2)若，試問：是否存在直線l，使得點M在以AB為直徑的圓上？若存在出直線l的方程；若不存在，說明理由．(3)點，直線交直線于點．設(shè)直線、的斜率分別、，求證：為定值．5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過點，直線與拋物線有兩個不同的交點，直線交軸于，直線交軸于．(1)若直線過點，求直線的斜率的取值范圍；(2)若直線過拋物線的焦點，交軸于點，求的值；(3)若直線過點，設(shè)，求的值．6．（23-24高一下·安徽·階段練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過點中的兩個點，為坐標原點，為焦點.(1)求拋物線的方程；(2)過且傾斜角為的直線交于兩點，在第一象限，求的值；(3)過點的直線與拋物線交于兩點，直線分別交直線于兩點，記直線的斜率分別為，證明：為定值.題型三：定直線問題1．（23-24高三下·上?！ら_學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，左右焦點分別為，是橢圓上一點，，．(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線與橢圓交于兩點，為線段中點．（i）求證：點軌跡方程為；（ii）為坐標原點，射線與橢圓交于點，點為直線上一動點，且，求證：點在定直線上．2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，，分別為的上、下頂點，為坐標原點，直線與交于不同的兩點，．(1)設(shè)點為線段的中點，證明：直線與直線的斜率之積為定值；(2)若，證明：直線與直線的交點在定直線上．3．（23-24高二下·黑龍江大慶·期中）已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點，P是C上異于A，B的一點，直線PA，PB的斜率分別為，且.(1)求雙曲線C的方程；(2)已知過點的直線，交C的左，右兩支于D，E兩點（異于A，B）.（i）求m的取值范圍；（ii）設(shè)直線AD與直線BE交于點Q，求證：點Q在定直線上.4．（2024高三下·河南·專題練習(xí)）動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是2，記動點的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)過的直線與交于兩點，且，若點滿足，證明：點在一條定直線上.5．（23-24高二下·廣東惠州·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點關(guān)于直線的對稱點為．(1)求的方程；(2)若為坐標原點，過焦點且斜率為1的直線交于兩點，求；(3)過點的動直線交于不同的兩點，為線段上一點，且滿足，證明：點在某定直線上，并求出該定直線的方程．6．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知點，，和動點滿足是，的等差中項．(1)求點的軌跡方程；(2)設(shè)點的軌跡為曲線按向量平移后得到曲線，曲線上不同的兩點M，N的連線交軸于點，如果（為坐標原點）為銳角，求實數(shù)的取值范圍；(3)在（2）的條件下，如果時，曲線在點和處的切線的交點為，求證：在一條定直線上．三、專項訓(xùn)練1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）橢圓經(jīng)過點，且離心率．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)是直線上任意一點，是經(jīng)過橢圓右焦點的一條弦（不經(jīng)過點）．記直線，，的斜率依次為，，，問是否存在常數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓C：，F(xiàn)是橢圓的右焦點且橢圓C與圓M：外切，又與圓N：外切．

(1)求橢圓C的方程．(2)已知A，B是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩點，A在x軸的上方，連接AF，BF并分別延長交橢圓C于D，E兩點，證明：直線DE過定點．3．（23-24高二下·山西運城·期中）已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點，是上異于A，B的一點，直線PA，PB的斜率分別為，且.(1)求雙曲線的方程;(2)已知過點的直線交于兩點（異于A，B），直線與直線交于點.求證:點在定直線上.4．（23-24高二下·云南曲靖·階段練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點為，點，過點且斜率存在的直線交于不同的兩點，當直線垂直于軸時，.(1)求的方程；(2)設(shè)直線與的另一個交點分別為，設(shè)直線的斜率分別為，證明：