浙江省麗水市2023-2024學年高一數(shù)學下學期6月期末教學質(zhì)量監(jiān)控試題含答案

/1.本試題卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.2.考生答題前，務必將自己的姓名、準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙上.3.選擇題的答案須用2B鉛筆將答題紙上對應題目的答案標號涂黑，如要改動，須將原填涂處用橡皮擦凈.4.非選擇題的答案須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題紙上相應區(qū)域內(nèi)，作圖時可先使用2B鉛筆，確定后須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆描黑，答案寫在本試題卷上無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復數(shù)的乘除法運算直接化簡即可.【詳解】，故選：C2.已知向量，，若與垂直，則實數(shù)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，則求解．【詳解】解：因為與垂直，所以，則，得，故選：A3.若數(shù)據(jù)的方差為，則數(shù)據(jù)的方差為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)計算可得.【詳解】根據(jù)數(shù)據(jù)的方差，則數(shù)據(jù)的方差為.故選：D.4.擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點”，“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點”，則與的關系為（）．A.互斥 B.互為對立C.相互獨立 D.相等【答案】C【解析】【分析】根據(jù)互斥、對立、獨立事件的定義判斷即可.【詳解】解：擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點”，“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點”，事件與能同時發(fā)生，故事件與既不是互斥事件，也不是對立事件，故選項A，B錯誤；，，，，因為，所以與獨立，故選項C正確；事件與不相等，故選項D錯誤.故選：C.5.已知m，n是空間中兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間中線線、線面、面面的位置關系逐一判斷即可.【詳解】若，，，則可能平行，可能相交，故A錯誤；若，，則或或或與相交（不垂直），故B錯誤；若，則或，故C錯誤，因為，，所以，又，所以，故D正確.故選：D6.如圖，在三棱錐中，，、分別是、中點，且滿足，則異面直線與所成的角等于A. B. C.或者 D.【答案】A【解析】【分析】通過做平行線將異面直線所成角化為或其補角，根據(jù)三角形中的余弦定理得到結果.詳解】取AC的中點G,連接EG,GF,可得，此時，為異面直線與所成的角或其補角，根據(jù)可得到分別為三角形的中位線，在三角形中，根據(jù)余弦定理得到因為異面直線所成的角為直角或銳角，故得到異面直線與所成的角等于.故答案為A.【點睛】本題考查了異面直線所成角的求法，異面直線所成的角常用方法有：將異面直線平移到同一平面中去，達到立體幾何平面化的目的；或者建立坐標系，通過求直線的方向向量得到直線夾角或其補角.7.如圖，某山山頂與山底的垂直部分為（記山頂為點，山底為點），首先測量人員位于點，測得點位于正北方向，測得點的仰角為，然后測量人員沿北偏東方向行走了米到達點，此時測得，則此山的高度為（）A.米 B.米C.米 D.米【答案】B【解析】【分析】在中，由正弦定理求出，在中由三角函數(shù)求出即可．【詳解】如圖，，則，，在中，由正弦定理知道，即，解得．在中，，則，即，解得．故選：B.8.已知函數(shù)，若的圖象的任意一條對稱軸與軸交點的橫坐標均不屬于區(qū)間，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知得，，且，解之討論，可得選項.【詳解】因為的圖像的任何一條對稱軸與軸交點的橫坐標均不屬于區(qū)間，所以，所以，又，且，解得，又因，所以，解得，當時，符合題意，當時，，符合題意，所以.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若，，是任意的非零向量，下列命題中正確的是（）A.若，則 B.C.若，則 D.若，，則【答案】BCD【解析】【分析】由已知結合向量數(shù)量積的性質(zhì)及向量共線定義分別檢驗各選項即可判斷．【詳解】對于A,當時，則向量長度相等，但方向不一定相同，不能得到，A錯誤；對于B，由向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可知，故B正確；對于C,若，兩邊平方得，，即，C正確；對于D,，，則非零向量方向相同或相反，非零向量方向相同或相反，即的方向相同或相反，故，D正確．故選：BCD．10.已知事件發(fā)生概率分別為，，則（）A.一定有 B.C.若與互斥，則 D.若與相互獨立，則【答案】BD【解析】【分析】對于A，舉例判斷，對于B，利用和事件與交事件的概率公式結合已知分析判斷，對于C，根據(jù)互斥事件的定義結合對立事件的概率公式分析判斷，對于D，根據(jù)獨立事件與和事件的概率公式分析判斷.【詳解】對于A，盒子中有大小相同的12個球，其中紅球有3個，白球有4個，黑球有5個，從盒子中任意摸出一個球，記事件為摸到紅球，事件為摸到白球，則滿足，，但不成立，所以A錯誤，對于B，，因，且，，，所以，所以，所以，即，所以，所以B正確，對于C，因為與互斥，所以，所以，所以C錯誤，對于D，因為與相互獨立，，，所以，所以，所以D正確，故選：BD11.在棱長為的正方體中，點滿足，其中，，則下列說法正確的是（）A.當時，對任意，平面恒成立B.當時，的最小值為C.當時，與平面所成的最大角的正切值為D.當時，四棱錐的外接球的表面積是【答案】ACD【解析】【分析】當，得到點在線段上運動，結合平面平面，可判定A正確；當時，得到點在線段上運動，根據(jù)為邊長為的等邊三角形，過點作，可判定B錯誤；當時，得到點在線段上運動，連接，證得平面，得到是直線與平面所成的角，求得到的最短距離，在直角中，可判定C正確；當時，得到在線段的中點，結合球的截面性質(zhì)，求得外接球的半徑，可判定D正確.【詳解】對于A中，當，時，可得，此時點在線段上運動，如圖所示，在正方體中，可得平面平面，因為平面，所以平面，所以A正確；對于B中，當時，可得，即點在線段上運動，如圖所示，連接，則為邊長為的等邊三角形，過點作，可得，即的最小值為，所以B錯誤；對于C中，當時，可得，即點在線段上運動，如圖所示，連接，在正方體，可得，因為，且平面，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設平面，在直角中，可得，取的中點，連接，則，且，即點到的最短距離為，在直角中，可得，所以與平面所成的最大角的正切值為，所以C正確.對于D中，當時，可得，可得點在線段的中點，即點為正方體的中心，如圖所示，設四棱錐的外接球的球心為，且半徑為，，連接，因為正方體的棱長為1，可得，在直角中，可得，解得，所以四棱錐的表面積為，所以D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知復數(shù)，（為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則實數(shù)_________．【答案】【解析】【分析】求出，根據(jù)純虛數(shù)概念求解即可．【詳解】，若為純虛數(shù)，則，解得．故答案為：．13.已知圓錐的底面半徑為1，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的體積為______．【答案】##【解析】【分析】先計算圓錐的底面周長，即為側面展開圖的弧長，進而求得側面展開圖的半徑，即為圓錐的母線長，再求得圓錐的高，從而求得體積即可【詳解】∵圓錐的底面半徑為1，∴側面展開圖的弧長為，又∵側面展開圖是半圓，∴側面展開圖的半徑為2，即圓錐的母線長為2，故圓錐的高為，故體積故答案為：14.在中，為邊上的高，，，為邊上一點，且，則_________．【答案】【解析】【分析】過分別作，的平行線交于，交于，由向量加法的平行四邊形法則得，結合平面向量基本定理得，分別是，的中點，然后由得到，兩邊平方即可求解．【詳解】如圖，過分別作，的平行線交于，交于，則，又，所以，，因為，所以，所以四邊形是菱形，且，和都是等邊三角形，所以，，，，，因為，所以，兩邊平方得：，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某中學為了調(diào)查高一年級學生勞動實踐活動情況，對名學生某周的勞動時間統(tǒng)計如下：周勞動時間（小時）人數(shù)208014020060（1）根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，直接在答題卡中補充完整周勞動時間的頻率分布直方圖（用陰影填涂，不需要書寫具體步驟）；（2）求周勞動時間的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（3）根據(jù)圖表，估計周勞動時間的樣本數(shù)據(jù)分位數(shù).【答案】（1）答案見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表計算出周勞動時間在和小時的頻率，從而可補全頻率分布直方圖；（2）根據(jù)平均的定義結合頻率分布直方圖求解即可；（3）先判斷分位數(shù)所在的區(qū)間，然后列方程求解即可.【小問1詳解】由題意可知，周勞動時間在小時的頻率為，周勞動時間在小時的頻率為，所以補全的頻率分布直方圖如下圖【小問2詳解】周勞動時間平均數(shù)為：；【小問3詳解】因為前3組的頻率和為，前4組的頻率和為，所以數(shù)據(jù)分位數(shù)在內(nèi)，設樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，則，得，周勞動時間的樣本數(shù)據(jù)分位數(shù)為.16.如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，為的中點．（1）證明：平面；（2）設，，三棱錐的體積為，求到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面平行的判定推理即得.（2）由已知結合錐體的體積公式求出，再利用線面垂直的判定性質(zhì)確定點到平面的垂線段并求出其長度.【小問1詳解】設與交于點，由底面為矩形，得為中點，又為中點，則，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】由底面，底面為矩形，得，解得，過點作，垂足為，底面，則，而，平面，于是平面，又平面，則，而平面，因此平面，即為點到平面的距離，在中，，所以.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象上每個點的縱坐標縮短到原來的，橫坐標也縮短到原來的，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)，再利用正弦函數(shù)周期公式和整體替換的方法解出周期和單調(diào)減區(qū)間；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換得到，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點，數(shù)形結合得出實數(shù)的取值范圍；【小問1詳解】由題得，則最小正周期；令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：；【小問2詳解】函數(shù)的圖象上每個點的縱坐標縮短到原來的，橫坐標也縮短到原來的，得到函數(shù)，所以，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與的圖象在內(nèi)有兩個交點，由，得，則，由圖可得.18.如圖，已知四邊形為菱形，四邊形為平行四邊形，且，.（1）證明：直線平面；（2）設平面平面，且二面角的平面角為，，設為線段的中點，求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)利用菱形和全等三角形證明出從而證明線面垂直.(2)先證明出，，得到為二面角的平面角，在直角三角形中求得，根據(jù)為線段的中點，求到平面的距離，從而求解出與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】設，連接，四邊形為菱形，則，又，易得，所以，則，又，平面，所以直線平面；【小問2詳解】過點作于點，過點作于點，連接，過點作于點，連接，由（1）易證，，，則為二面角的平面角，在直角中，，又，可得，設，則，直角中，，可得，為線段的中點，則到平面的距離，又，設直線與平面所成角為，，直線與平面所成角的正弦值為.19.克羅狄斯·托勒密（Ptolemy）是古希臘天文學家、地理學家、數(shù)學家，他在所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當且僅當對角互補時取等號.如圖，半圓的直徑為2cm，為直徑延長線上的點，2cm，為半圓上任意一點，且三角形為正三角形.（1）當時，求四邊形的周長；（2）當在什么位置時，四邊形的面積最大，并求出面積的最大值；（3）若與相交于點，則當線段的長取最大值時，求的值.【答案】（1）cm（2）位置見解析，（3）【解析】【分析】（1）結合已知條件，只需用余弦定理計算即可求