江蘇省揚州市邗江區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（含詳解）

江蘇揚州市邗江區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．若，，則（

）A． B． C． D．2．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，，則B=（

）A． B．或 C． D．或3．函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A． B． C． D．4．如圖，在測量河對岸的塔高時，測量者選取了與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點與，并測得，，米，在點處測得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高（

）A．米 B．米 C．米 D．米5．已知平面向量，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．6．在中，，，則（

）A．2 B． C．-2 D．7．已知，則（

）A． B． C． D．8．在中，設(shè)，則下列說法錯誤的是（

）A． B．邊上的高是C．外接圓的周長是 D．內(nèi)切圓的面積是二、多選題9．下列關(guān)于向量，，的運算，一定成立的有（

）A． B．C． D．10．下列計算結(jié)果為的是（

）A． B．C． D．11．已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)有3個零點B．若函數(shù)有2個零點，則C．若關(guān)于的方程有4個不等實根，，，，則D．關(guān)于的方程有5個不等實數(shù)根三、填空題12．若向量，則與同向的單位向量的坐標(biāo)是.13．已知，為銳角，則.14．已知中，角、、所對的邊分別為、、，，的角平分線交于點，且，則的最小值為．四、解答題15．解答下列各題：(1)在中，已知，，.求的長.(2)銳角中，角所對應(yīng)的邊分別為，，，，求；16．已知向量，.(1)若，求；(2)若，，求與的夾角的余弦值.17．已知函數(shù).(1)將函數(shù)化簡為的形式；(2)求函數(shù)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值；(3)若，，求的值.18．如圖，點分別是矩形的邊上的兩點，，.(1)若、分別為、的中點，求；(2)若，求的范圍；(3)若，連接交的延長線于點為的中點，試探究線段上是否存在一點，使得最大.若存在，求的長；若不存在，說明理由.19．為了營造“全民健身”的休閑氛圍，銀川市政府計劃將某三角形健身場所擴建為凸四邊形，原來的健身區(qū)域近似為等腰直角三角形，施工圖紙如下圖所示（長度已按一定比例尺進行縮小），你能否運用所學(xué)知識解決下面兩個問題.

(1)若與的長度和為12，當(dāng)時，求擴建的區(qū)域的面積最大值；(2)若最終敲定方案為，求擴建后四邊形面積的最大值.題號12345678910答案DACABCADACAD題號11答案BCD1．D利用平面向量的加減運算的坐標(biāo)表示可得結(jié)果.【詳解】易知.故選：D2．A利用正弦定理進行求解即可．【詳解】在中，已知，，可知，所以．由正弦定理得，所以，則．故選：A．3．C判斷函數(shù)的單調(diào)性，求，，，，結(jié)合零點存在性定理確定零點所在的區(qū)間.【詳解】因為函數(shù)和函數(shù)在上都單調(diào)遞增，所以函數(shù)為增函數(shù)，又，，，，由零點存在性定理可得函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選：C.4．A先根據(jù)正弦定理求得，進而在中，利用求解．【詳解】在中，，，，則，由正弦定理得，所以.在中，，所以米.故選：A5．B根據(jù)向量在向量上的投影向量的定義求解即可.【詳解】設(shè)與的夾角為，則在上的投影向量為.故選：B.6．C先由求出和，再用兩角和的正切公式即可求出.【詳解】因為在中，，所以為銳角，所以，，則.故選：C7．A利用二倍角的余弦公式可求得結(jié)果.【詳解】因為，則.故選：A.8．D根據(jù)向量數(shù)量積公式、余弦定理、三角形面積公式、正弦定理以及三角形內(nèi)切圓相關(guān)知識，結(jié)合已知條件，來逐一分析各個選項.【詳解】對于A，，解得，故A正確，對于B，顯然是等腰三角形，底邊上的高是4，由等面積法可知邊上的高是，故B正確；對于C，由B知，，所以外接圓的周長是，故C正確；對于D，由等積法知，，故D不正確.故選：D.9．AC根據(jù)平面向量數(shù)量積運算性質(zhì)和定義逐一判斷即可.【詳解】A：由平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可以判斷本選項一定成立；B：與共線，與共線，而與不一定共線，所以不一定成立，因此本選項不一定成立；C：，所以本選項一定成立；D：當(dāng)時，，所以本選項不一定成立，故選：AC10．AD根據(jù)二倍角公式、兩角差的正弦公式等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，，A選項正確.B選項，，B選項錯誤.C選項，，C選項錯誤.D選項，，D選項正確.故選：AD11．BCD根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，依次分析選項是否正確，綜合可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，由此作出函數(shù)的草圖：依次分析選項：對于A：由圖象易知曲線與y軸有兩個交點，故函數(shù)有2個零點，故A錯誤；對于B：令，可得，則函數(shù)的零點個數(shù)即為與的圖象的交點個數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，由圖象可知，B正確；對于C：若關(guān)于的方程有四個不等實根，則與的圖象有四個交點.不妨設(shè)，由圖象可得：，且，，所以，故C正確；對于D：因為，解得或，結(jié)合圖象可知：有一個根，有四個根，所以關(guān)于的方程有5個不等實數(shù)根，D正確．故選：BCD.12．(0.6，-0.8)根據(jù)向量的坐標(biāo)，可得，從而根據(jù)即可得出與同向的單位向量的坐標(biāo).【詳解】解：因為，則，則與同向的單位向量的坐標(biāo)是故答案為：(0.6，-0.8)13．根據(jù)角的象限，以及平方關(guān)系求得，再根據(jù)兩角和的余弦公式求值即可.【詳解】因為，且為銳角，所以，所以.故答案為：.14．利用等面積法可得出，化簡可得，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因為，的角平分線交于點，且，因為，即，即，即，所以，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.故答案為：.15．(1)；(2)（1）根據(jù)內(nèi)角和定理求得，再由正弦定理求解即可；（2）由正弦定理可得，從而得，再由，求解即可.【詳解】（1）解：在中，，所以，由正弦定理得，所以；（2）解：在中，由正弦定理得，即，解得，又為銳角三角形，所以，所以.16．(1)；(2).（1）利用向量的坐標(biāo)運算和向量垂直的坐標(biāo)表示求出x，然后根據(jù)坐標(biāo)運算和向量模的坐標(biāo)表示可得；（2）利用向量的坐標(biāo)運算和向量平行的坐標(biāo)表示求出x，然后根據(jù)向量的夾角公式求解可得.【詳解】（1），由可得，即，解得，所以，故.（2）依題意，又，所以，解得，則，，，所以，故與的夾角的余弦值為.17．(1)(2)，2(3)（1）由恒等變換公式代入計算，即可得到結(jié)果；（2）由正弦型函數(shù)的周期性以及值域，代入計算，即可得到結(jié)果；（3）由，結(jié)合余弦的和差角公式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題意得，.（2）所以函數(shù)的最小正周期為.由可知，則當(dāng)，即時，取得最大值為.（3）∵，∴.又，∴，∴.∴.18．(1)；(2)；(3)存在，.（1）解法一，以、作為一組基底表示出，，再根據(jù)數(shù)量積的運算律求出，，，最后由夾角公式計算可得；解法2，建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法計算可得；（2）根據(jù)數(shù)量積的運算律得到，結(jié)合的范圍計算可得；（3）建立平面直角坐標(biāo)系，求出點坐標(biāo)，設(shè)，則，利用兩角差的正切公式、銳角三角函數(shù)及基本不等式計算可得.【詳解】（1）解法1：因為，，所以，，，.解法2：以點為坐標(biāo)原點，、所在的直線為軸?軸建立直角坐標(biāo)系則，，，，所以，，，.（2）由，，故，則，所以，由，故；（3）如圖所示，以點為坐標(biāo)原點，為軸，建立直角坐標(biāo)系，由題意可得，即，假設(shè)存在點，使得最大，由，即有最大，設(shè)，當(dāng)時，角度為，此時不可能最大，故，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即存在，且.19．(1)(2)（1）利用三角形面積公式結(jié)合基本不等式即可求出最值；（2）設(shè)，，分別利用余弦定理及勾股定理表