專題04 一次函數(shù)-2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考點(diǎn)大串講（人教版）

八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期·期末復(fù)習(xí)大串講專題04一次函數(shù)（6考點(diǎn)+3專題突破+5易錯）人教版01020403目

錄易錯易混題型剖析考點(diǎn)透視押題預(yù)測六大?？键c(diǎn)：知識梳理+針對訓(xùn)練三大專題突破（4圖象與實(shí)際問題+2面積問題+3動態(tài)問題）五大易錯易混經(jīng)典例題+針對訓(xùn)練精選3道期末真題對應(yīng)考點(diǎn)練圖象法一、三二、四增大減小一、三、四二、三、四上加下減知識結(jié)構(gòu)知識梳理知識點(diǎn)一：函數(shù)自變量的取值范圍1.自變量的取值范圍(1)定義：使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體叫做自變量的取值范圍.(2)確定自變量取值范圍的方法：其一，要使函數(shù)關(guān)系式有意義；其二，對實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系，還應(yīng)該使實(shí)際問題有意義.(3)不同類型的函數(shù)自變量取值范圍的確定類型特征舉例取值范圍整式型等式右邊是關(guān)于自變量的整式y(tǒng)＝2x2＋3x－1全體實(shí)數(shù)分式型等式右邊是關(guān)于自變量的分式使分母不為0的實(shí)數(shù)根式型偶次根式型等式右邊是關(guān)于自變量的開偶次方的式子使根號下的式子為大于或等于0的數(shù)奇次根式型等式右邊是關(guān)于自變量的開奇次方的式子全體實(shí)數(shù)1.函數(shù)的圖象一般地，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象．通過圖象可以數(shù)形結(jié)合地研究函數(shù)知識點(diǎn)二：函數(shù)的圖象拓展：函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)中的x，y均滿足函數(shù)解析式；滿足函數(shù)解析式的任意一對x，y的值，所對應(yīng)的點(diǎn)一定在這個函數(shù)的圖象上.2.描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象的一般步驟步驟描述注意列表表中給出一些自變量的值及其對應(yīng)的函數(shù)值根據(jù)自變量的取值范圍取值時，要從小到大或自中間向兩邊選取，并且取值要有代表性，以便全面地反映函數(shù)圖象的全貌描點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對應(yīng)的各點(diǎn)描點(diǎn)時取點(diǎn)越多，圖象就越準(zhǔn)確連線按照橫坐標(biāo)由小到大的順序，把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線連接起來連線時用光滑的曲線，不要出現(xiàn)明顯的拐彎點(diǎn)函數(shù)字母系數(shù)取值（k>0）圖象經(jīng)過的象限函數(shù)性質(zhì)y＝kx+b(k≠0)b>0y隨x增大而增大b=0b<0第一、三象限

第一、二、三象限

第一、三、四象限

知識點(diǎn)三：一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)字母系數(shù)取值（k<0）圖象經(jīng)過的象限函數(shù)性質(zhì)y＝kx+b(k≠0)b>0y隨x增大而減小b＝0b<0第一、二、四象限

第二、四象限

第二、三、四象限

求一次函數(shù)解析式的一般步驟：（1）先設(shè)出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)條件列關(guān)于待定系數(shù)的方程（組）；（3）解方程（組）求出解析式中未知的系數(shù)；（4）把求出的系數(shù)代入設(shè)的解析式，從而具體寫出這個解析式.這種求解析式的方法叫待定系數(shù)法.知識點(diǎn)四：用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式

求ax+b=0(a，b是常數(shù)，a≠0)的解．

x為何值時，函數(shù)y=ax+b的值為0？

從“數(shù)”的角度看求ax+b=0(a,b是常數(shù)，a≠0)的解．

求直線y=ax+b與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

從“形”的角度看(1)一次函數(shù)與一元一次方程知識點(diǎn)五：一次函數(shù)與方程、不等式解不等式ax+b＞0(a，b是常數(shù)，a≠0)．

x為何值時，函數(shù)

y=ax+b的值大于0？

解不等式ax+b＞0(a，b是常數(shù)，a≠0)．

求直線y=ax+b在x軸上方的部分（射線）所對應(yīng)的橫坐標(biāo)的取值范圍．

從“數(shù)”的角度看從“形”的角度看(2)一次函數(shù)與一元一次不等式

一般地，任何一個二元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)y=kx+b(k、b為常數(shù)，且k≠0)的形式，所以每個二元一次方程都對應(yīng)一個一次函數(shù)，也對應(yīng)一條直線．(3)一次函數(shù)與二元一次方程組方程組的解

對應(yīng)兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo).建立模型：認(rèn)真分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，找出其中的常量與變量，設(shè)出變量，根據(jù)已知條件建立一次函數(shù)關(guān)系式。確定定義域：根據(jù)實(shí)際問題的背景，確定自變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域。求解問題：利用一次函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)數(shù)學(xué)知識，對建立的函數(shù)模型進(jìn)行求解，得出結(jié)果。檢驗(yàn)答案：將求得的結(jié)果代入原問題中進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合實(shí)際意義，若不符合，則需要重新檢查解題過程。知識點(diǎn)六：一次函數(shù)的應(yīng)用

x≥1且x≠2

B針對訓(xùn)練A B C D知識點(diǎn)2：函數(shù)的圖象3．

如圖，在大燒杯中放了一個小燒杯，現(xiàn)向小燒杯中勻速注水，小燒杯滿了后繼續(xù)勻速注水，則大燒杯的液面高度h與注水時間t的大致圖象是(

)

CC

DA

B4．

勻速地向一個容器內(nèi)注水，在注滿水的過程中，水面的高度h與時間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則該容器是下列四個中的(

)

AA．

10min時，水溫升至100℃B．

加熱0~10min時，水溫隨加熱時間的增大而增大C．

加熱10min后，水的溫度不再變化D．

加熱0~10min時，水的溫度平均每分鐘上升10℃5．

(跨學(xué)科融合)嘉琪同學(xué)對水進(jìn)行加熱，并記錄了水的溫度T(℃)隨加熱時間t(min)變化的大致圖象如圖所示．下列說法錯誤的是(

)

D6．

周末小王騎電動車從家出發(fā)去商店買東西，當(dāng)他騎了一段路時，想起要買一本書，于是原路返回到剛經(jīng)過的新華書店，買到書后繼續(xù)前往商場．如圖，表示他離家的距離y(km)與所用的時間x(min)之間關(guān)系的圖象．請根據(jù)圖中提供的信息回答下列問題：(1)小王在新華書店停留了多長時間？(2)小王距離商場多少千米時返回書店的？返回書店的速度是多少？(3)小王在哪段路上騎行的速度最快？最快速度是多少？解：(1)30－20＝10(min)．∴小王在新華書店停留了10

min．(2)6.25－6＝0.25(km)，(6－4)÷(20－15)＝0.4(km/min)．∴小王距離商場0.25

km時返回書店的，返回書店的速度是0.4

km/min．(3)小王在買到書后前往商場的速度最快，最快速度是(6.25－4)÷(35－30)＝0.45(km/min)．知識點(diǎn)3：一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)7．

一次函數(shù)y＝(k－3)x＋2的函數(shù)值y隨x的增大而減小，則k的取值范圍是(

)A．

k＞0 B．

k＜0 C．

k＞3 D．

k＜3

D

C9．

已知直線y＝2x＋1是某一直線向上平移3個單位長度所得到的，則該直線的表達(dá)式為(

)A．

y＝2x－2 B．

y＝2x＋4C．

y＝2x＋7 D．

y＝2x－5

ADCA B 10．

一次函數(shù)y＝ax＋b與正比例函數(shù)y＝abx(a，b為常數(shù)，且ab≠0)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是(

)

CC DA B 11．

若kb＜0，b－k＞0，函數(shù)y＝kx＋b與y＝bx＋k在同一坐標(biāo)系中的圖象是(

)

D12．

(2024·鎮(zhèn)江)點(diǎn)A(1，y1)，B(2，y2)在一次函數(shù)y＝3x＋1的圖象上，則y1

y2．(填“＞”“＜”或“＝”)

＜知識點(diǎn)4：待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式13．

已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(－3，7)和點(diǎn)(2，－3)．(1)求一次函數(shù)的解析式；(2)求該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．

14．

若y與x－3成正比例，且x＝5時，y＝－4，試求出y與x的函數(shù)表達(dá)式．

解：由題意可設(shè)y＝k(x－3)(k≠0)．把x＝5，y＝－4代入上式，得－4＝(5－3)k．解得k＝－2．∴y＝－2(x－3)＝－2x＋6．∴y與x的函數(shù)表達(dá)式為y＝－2x＋6．

15．

如圖，直線y＝kx＋b(k＞0)與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，且OA＝3，OB＝4．(1)求直線AB的解析式；(2)若C是第一象限內(nèi)的直線AB上一點(diǎn)，當(dāng)△AOC的面積為6時，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

知識點(diǎn)5：一次函數(shù)與方程、不等式16．

如圖，已知一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與x軸，y軸分別交于點(diǎn)(2，0)，點(diǎn)(0，3)，關(guān)于x的方程kx＋b＝0的解是(

)A．

x＝2 B．

x＝3 C．

x＝0 D．

不確定

A17．

一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象如圖所示，點(diǎn)A(－1，4)在該函數(shù)的圖象上，則不等式kx＋b＞4的解集為(

)A．

x≥－1 B．

x＜－1 C．

x≤－1 D．

x＞－1

B

(3)請直接寫出關(guān)于x的不等式x＋1≥mx＋n的解集．

知識點(diǎn)6：一次函數(shù)的應(yīng)用20．

某單位計劃在新年期間組織員工到某地旅游，參加旅游的人數(shù)估計為10至25人，甲、乙兩家旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同，且報價都是每人200元．經(jīng)過協(xié)商，甲旅行社表示可給予每位游客七五折優(yōu)惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游費(fèi)用，然后給予其余游客八折優(yōu)惠．設(shè)該單位參加這次旅游的人數(shù)是x人，選擇甲旅行社時，所需的費(fèi)用為y1元；選擇乙旅行社時，所需的費(fèi)用為y2元．(1)請分別寫出y1，y2與x之間的關(guān)系式；(2)該單位選擇哪一家旅行社支付的旅游費(fèi)用較少？解：(1)由題意，得y1＝200×75%×x＝150x(10≤x≤25)，y2＝200×80%(x－1)＝160x－160(10≤x≤25)．(2)當(dāng)150x＝160x－160時，解得x＝16．∴當(dāng)x＝16時，兩家旅行社費(fèi)用一樣；當(dāng)150x＜160x－160時，解得x＞16．∴當(dāng)16＜x≤25時，甲旅行社費(fèi)用較少；當(dāng)150x＞160x－160時，解得x＜16．∴當(dāng)10≤x＜16時，乙旅行社費(fèi)用較少．綜上所述，當(dāng)人數(shù)為16人時，兩家旅行社費(fèi)用一樣；當(dāng)人數(shù)在10≤x＜16范圍內(nèi)時，選擇乙旅行社旅支付的游費(fèi)用較少；當(dāng)人數(shù)在16＜x≤25范圍內(nèi)時，選擇甲旅行社支付的旅游費(fèi)用較少．21．

端午節(jié)前夕，某大型超市采購了一批禮盒進(jìn)行銷售，這批禮盒有A型和B型兩種共600個，其進(jìn)價與標(biāo)價如下表：型號進(jìn)價標(biāo)價A型90元120元B型50元60元(1)該超市將A型禮盒按標(biāo)價的九折銷售，B型禮盒按標(biāo)價進(jìn)行銷售，當(dāng)銷售完這批禮盒后可獲利9200元，求該商場購進(jìn)A型、B型這兩種禮盒各多少個；(2)這批禮盒銷售完畢后，該超市計劃再次按原進(jìn)價購進(jìn)A、B兩種禮盒共200個，且均按標(biāo)價進(jìn)行銷售，請問如何進(jìn)貨能保證這批禮盒銷售完之后獲得利潤最大，且利潤不能超過成本的25%．

(2)設(shè)該商場購進(jìn)A型禮盒a個，則購進(jìn)B型禮盒(200－a)個．由題意，得(120－90)a＋(60－50)(200－a)≤［90a＋50(200－a)］×25%．解得a≤50．∵每個A型禮盒的利潤比B型禮盒的利潤高，∴當(dāng)a＝50時，利潤最大．此時200－50＝150(個)．答：該商場購進(jìn)A型禮盒50個，B型禮盒150個時，能保證這批禮盒銷售完之后獲得利潤最大，且利潤不能超過成本的25%．22．

(2024·黑龍江)甲、乙兩貨車分別從相距225km的A，B兩地同時出發(fā)，甲貨車從A地出發(fā)途經(jīng)配貨站時，停下來卸貨，半小時后繼續(xù)駛往B地，乙貨車沿同一條公路從B地駛往A地，但乙貨車到達(dá)配貨站時接到緊急任務(wù)立即原路原速返回B地，結(jié)果比甲貨車晚半小時到達(dá)B地．如圖是甲、乙兩貨車距A地的距離y(km)與行駛時間x(h)之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問題：(1)到達(dá)配貨站之前，甲貨車的速度是

km/h，乙貨車的速度是________

km/h；

(2)求甲貨車在配貨站卸貨后駛往B地的過程中，甲貨車距A地的距離y與行駛時間x之間的函數(shù)解析式；(3)直接寫出甲、乙兩貨車在行駛的過程中，出發(fā)多長時間甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等．

40

30

函數(shù)圖象與實(shí)際問題

專項(xiàng)突破一類型一

由實(shí)物圖形判斷函數(shù)圖象

DA.

B.

C.

D.

類型二

由實(shí)際情況的描述判斷函數(shù)圖象

AA.

B.

C.

D.

CA.

B.

C.

D.

BA.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

√類型三

由函數(shù)圖象描述實(shí)際問題

BA.

B.

C.

D.

DA.

B.

C.

D.

BA.

B.

C.

D.

類型四

從函數(shù)圖象中獲取信息

D

√

A

一次函數(shù)與面積問題專項(xiàng)突破二類型一

直接利用面積公式求面積

（1）求這兩個函數(shù)的解析式；

類型二

已知圖形面積求點(diǎn)的坐標(biāo)

一次函數(shù)的動態(tài)問題

專項(xiàng)突破三類型一

一次函數(shù)與動點(diǎn)

A

類型二

一次函數(shù)與動直線

D

類型三

一次函數(shù)與幾何變換

A

A

易混易錯

解：由題意，得m2－3＝1且m－2≠0．解得m＝±2且m≠2．∴m＝－2．

錯解分析：由于問題中沒有給出y隨x的變化怎樣變化，所以應(yīng)該考慮到有可能y隨x的增大而增大，也有可能y隨x的增大而減小，本題的出錯原因正是沒有全面考慮到這一點(diǎn)而漏解出錯．

【針對訓(xùn)練】

(創(chuàng)新題)定義：對于一個函數(shù)，當(dāng)它的自變量x與函數(shù)值y滿足m≤x≤n時，有m≤y≤n，我們就稱此函數(shù)是在［m，n］范圍內(nèi)的“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”．例如：函數(shù)y＝－x＋4，當(dāng)x＝1時，y＝3；當(dāng)x＝3時，y＝1，即當(dāng)1≤x≤3時，有1≤y≤3，所以函數(shù)y＝－x＋4是在［1，3］范圍內(nèi)的“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”．(1)正比例函數(shù)y＝x是在［1，2024］范圍內(nèi)的“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”嗎？并說明理由；解：對于y＝x，當(dāng)x＝1時，y＝1；當(dāng)x＝2

024時，y＝2

024，∴當(dāng)1≤x≤2

024時，有1≤y≤2

024．∴正比例函數(shù)y＝x是在［1，2

024］范圍內(nèi)的“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”．

(2)若一次函數(shù)y＝kx＋b(k，b是常數(shù)，k≠0)是在［2，6］范圍內(nèi)的“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”，求一次函數(shù)的解析式．

易錯點(diǎn)3．忽略隱含條件，考慮問題不周密【例3】已知直線y＝mx＋2m－4不經(jīng)過第二象限，則m的取值范圍是

．

錯解：0＜m≤2．錯解分析：因?yàn)橹本€y＝mx＋2m－4，當(dāng)m＝0時，y＝－4，圖象也不經(jīng)過第二象限，所以m＝0也符合條件，以上的錯解忽略了直線y＝b(b＜0)圖象不過第二象限這一情況，從而導(dǎo)致了錯解．正解：0≤m≤2．【針對訓(xùn)練】已知一次函數(shù)y＝(2m＋1)x＋m－3．(1)若這個函數(shù)的圖象與y軸交于負(fù)半軸，求m的取值范圍；(2)若這個函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限，求m的取值范圍．

易錯點(diǎn)4．考慮問題不全面【例4】已知直線y＝－x＋5與x軸交于點(diǎn)A，直線上有一點(diǎn)P，滿足△POA的面積為10，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

圖D19－1－1∴y1＝4，y2＝－4．分別代入y＝－x＋5，得x1＝1，x2＝9．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，4)或(9，－4)．

解得t＝3．∴OC＝3．(2)若點(diǎn)E在x軸上，且△BED的面積為10，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

易錯點(diǎn)5．畫一次函數(shù)的圖象沒有考慮實(shí)際意義而出錯【例5】已知等腰三角形的周長為20，把底邊y表示為腰長x的函數(shù)，并畫出圖象．錯解：∵等腰三角形底邊長為y，腰長為x，周長為20，∴y＋2x＝20，即y＝－2x＋20．令x＝0，得y＝20．∴點(diǎn)A(0，20)．令y＝0，得x＝10．∴點(diǎn)B(10，0)．∴圖象為過A，B的直線，如圖．