電子技術(shù)基礎(chǔ)（第2版）課件 第7-12章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) - 數(shù)模和模數(shù)轉(zhuǎn)換電路

第7章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)7.1數(shù)字電路概述7.2數(shù)制與碼制7.3邏輯代數(shù)7.4邏輯函數(shù)的表示方法及其相互轉(zhuǎn)換

7.5邏輯函數(shù)的基本公式、定律和規(guī)則

7.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)7.1數(shù)字電路概述

7.1.1數(shù)字電路的特點(diǎn)及分類1.數(shù)字電路的特點(diǎn)（1）數(shù)字電路中的工作信號(hào)是不連續(xù)的數(shù)字信號(hào)，反映在電路上只有高電平和低電平兩種狀態(tài)，因此在分析數(shù)字電路時(shí)采用二進(jìn)制數(shù)碼0和1來(lái)表示電路中的高、低兩種電平狀態(tài)。（2）與模擬電路相同，數(shù)字電路也是由半導(dǎo)體器件如二極管、三極管、場(chǎng)效應(yīng)管組成，但不同電路中器件的工作狀態(tài)不同。數(shù)字電路在穩(wěn)態(tài)情況下，半導(dǎo)體器件工作于開(kāi)、關(guān)狀態(tài)，這種開(kāi)關(guān)狀態(tài)是利用器件的導(dǎo)通和截止來(lái)實(shí)現(xiàn)的，器件的導(dǎo)通和截止反映在電路上就是電流的有無(wú)、電壓的高低，這種有和無(wú)、高和低是相對(duì)立的兩種狀態(tài)，正好可用二進(jìn)制數(shù)碼0和1來(lái)表示。因此，數(shù)字電路中的信號(hào)采用的是二進(jìn)制表示，二進(jìn)制數(shù)碼0和1在此只代表兩種不同的狀態(tài)，沒(méi)有數(shù)量的大小。如用0和1分別表示一件事的是與非、真與假、一盞燈的亮與滅、一個(gè)開(kāi)關(guān)的開(kāi)通與斷開(kāi)等。（3）數(shù)字電路對(duì)元件的精度要求不高，允許有較大的誤差，只要在工作時(shí)能夠可靠地區(qū)分0和1兩種狀態(tài)就可以了。因此，數(shù)字電路便于集成化、系列化生產(chǎn)。它具有使用方便、可靠性高、價(jià)格低廉等特點(diǎn)。（4）與模擬電路不同，數(shù)字電路討論的是輸入與輸出之間抽象的邏輯關(guān)系，使用的主要方法是邏輯分析和邏輯設(shè)計(jì)，主要工具是邏輯代數(shù)，所以數(shù)字電路又稱邏輯代數(shù)。（5）數(shù)字電路能夠?qū)?shù)字信號(hào)進(jìn)行各種邏輯運(yùn)算和算術(shù)運(yùn)算，因此廣泛應(yīng)用于數(shù)控裝置、智能儀表以及計(jì)算機(jī)中。2.數(shù)字電路的分類數(shù)字電路按其組成的結(jié)構(gòu)不同可分為分立元件電路和集成數(shù)字電路兩大類。分立元件電路是最基本的電路，它是由二極管、三極管、電阻、電容等元器件組成，并且所有元件都裸露在外，沒(méi)有封裝。隨著集成電路的飛速發(fā)展，分立元件電路已逐步被取代。集成數(shù)字電路按照所用元器件的不同，可分為雙極型和單極型兩類。其中雙極型電路又有TTL、DTL、ECL、IIL、HTL等多種；單極型電路有JFET、NMOS、PMOS、CMOS共4種。按照應(yīng)用的角度可分為通用型和專用型兩大類，通用型是已被定型的標(biāo)準(zhǔn)化、系列化的產(chǎn)品，適用于不同的數(shù)字設(shè)備；專用型是指為某種特殊用途專門設(shè)計(jì)，具有特定的復(fù)雜而完整功能的功能塊型產(chǎn)品，只適用于專用的數(shù)字設(shè)備。按照邏輯功能的不同特點(diǎn)，又分為組合邏輯電路和時(shí)序邏輯電路兩大類。

7.1.2數(shù)字電路的應(yīng)用

數(shù)字電路較模擬電路具有更多的優(yōu)點(diǎn)，如有較強(qiáng)的穩(wěn)定性、可靠性和抗干擾能力，精確度較高，具有算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算能力，可進(jìn)行邏輯推理和邏輯判斷，電路結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，便于制造和集成等。因此，數(shù)字電路的應(yīng)用領(lǐng)域越來(lái)越廣泛。在數(shù)字通信系統(tǒng)中，可以用若干個(gè)0和1編成各種代碼，分別代表不同的含義，用以實(shí)現(xiàn)信息的傳送。利用數(shù)字電路的邏輯推理和判斷功能，可以設(shè)計(jì)出各式各樣的數(shù)控裝置，用來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)生產(chǎn)和過(guò)程的自動(dòng)控制。其工作過(guò)程是：首先用傳感器在現(xiàn)場(chǎng)采集受控對(duì)象的數(shù)據(jù)，求出它們與設(shè)定數(shù)據(jù)的偏差，接著由數(shù)字電路進(jìn)行計(jì)算、判斷，然后產(chǎn)生相應(yīng)的控制信號(hào)，驅(qū)動(dòng)伺服裝置對(duì)受控對(duì)象進(jìn)行控制或調(diào)整。這樣不僅能通過(guò)連續(xù)監(jiān)控提高生產(chǎn)的安全性和自動(dòng)化水平，同時(shí)也提高了產(chǎn)品的質(zhì)量，降低了成本，減輕了勞動(dòng)強(qiáng)度。

在數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的數(shù)字電子計(jì)算機(jī)，是當(dāng)代科學(xué)技術(shù)最杰出的成就之一。今天，電子計(jì)算機(jī)不僅成了近代自動(dòng)控制系統(tǒng)中不可缺少的一個(gè)重要組成部分，而且已經(jīng)滲透到了國(guó)民經(jīng)濟(jì)和人民生活的各個(gè)領(lǐng)域，成為人們工作、生活、學(xué)習(xí)不可或缺的重要組成部分，并在許多方面產(chǎn)生了根本性的變革。尤其是計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的飛速發(fā)展，使人們獲取信息、享受網(wǎng)絡(luò)服務(wù)更為便捷。然而，數(shù)字電路的應(yīng)用也具有它的局限性。前面已提到，在自動(dòng)控制和測(cè)量系統(tǒng)中，被控制和被測(cè)量的對(duì)象往往是一些連續(xù)變化的物理量，即模擬信號(hào)，而模擬信號(hào)不能直接為數(shù)字電路所接收，這就給數(shù)字電路的使用帶來(lái)很大的不便。為了用數(shù)字電路處理這些模擬信號(hào)，必須用專門的電路將它們轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)（稱為模數(shù)轉(zhuǎn)換）；而經(jīng)數(shù)字電路分析、處理輸出的數(shù)字量往往還要通過(guò)專門的電路轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬信號(hào)（稱為數(shù)模轉(zhuǎn)換）才能為執(zhí)行機(jī)構(gòu)所接收。這樣一來(lái)，不僅導(dǎo)致了整個(gè)設(shè)備的復(fù)雜化，而且也使信號(hào)的精度受到影響，數(shù)字電路本身可以達(dá)到的高精度也因此失去了意義。因此，在使用數(shù)字電路時(shí)，應(yīng)具體情況具體分析，以便于操作、提高生產(chǎn)效率為目的。（1）十進(jìn)制（Decimal）十進(jìn)制是我們最常使用的數(shù)制。在十進(jìn)制中，共有0～9十個(gè)數(shù)碼，所以它的運(yùn)算規(guī)則是“逢十進(jìn)一，借一當(dāng)十”，故為十進(jìn)制；同一數(shù)字符號(hào)在不同的數(shù)位代表的數(shù)值不同。十進(jìn)制數(shù)的基數(shù)是10，各位的權(quán)為10i。（2）二進(jìn)制（Binary）在數(shù)字電路中，應(yīng)用最廣的是二進(jìn)制。二進(jìn)制數(shù)中只有0、1兩個(gè)數(shù)字符號(hào)，所以運(yùn)算規(guī)則是“逢二進(jìn)一，借一當(dāng)二”，二進(jìn)制數(shù)的基數(shù)是2，各位的權(quán)為2i。7.2數(shù)制與碼制

7.2.1數(shù)制及其轉(zhuǎn)換1.各種數(shù)制例如，將二進(jìn)制數(shù)101.11轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)的方法是：（101.11）2=1×22+0×21+1×20+1×2-1+1×2-2=（5.75）10（3）八進(jìn)制（Octal）八進(jìn)制有0，1，2，3，4，5，6，7八個(gè)數(shù)碼，基數(shù)為8，它的運(yùn)算規(guī)則是“逢八進(jìn)一，借一當(dāng)八”，八進(jìn)制數(shù)的基數(shù)是8，各位的權(quán)為8i。例如，將八進(jìn)制數(shù)372.5轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)的方法是：（372.5）8=3×82+7×81+2×80+5×8-1=（250.625）10（4）十六進(jìn)制（Hexadecimal）十六進(jìn)制數(shù)采用十六個(gè)數(shù)碼，而且“逢十六進(jìn)一，借一當(dāng)十六”。這十六個(gè)數(shù)碼是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A（對(duì)應(yīng)于十進(jìn)制數(shù)中的10），B（11），C（12），D（13），E（14），F(xiàn)（15）。十六進(jìn)制數(shù)的基數(shù)是16，各位的權(quán)為16i。例如，將十六進(jìn)制數(shù)4E6轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)的方法是：(4E6)16=4×162+14×161+6×160=（1254)10

今后，十進(jìn)制數(shù)（Decimal）、二進(jìn)制數(shù)（Binary）、八進(jìn)制數(shù)（Octal）、十六進(jìn)制數(shù)（Hexadecimal）也常采用第一個(gè)字母D、B、O、H作為其標(biāo)識(shí)，加在數(shù)的后面。例如，（F58.B2）16可寫成F58.B2H，還可寫成（F58.B2）H。2.各種數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換（1）非十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)二進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制時(shí)，先按權(quán)展開(kāi)為多項(xiàng)式，然后按十進(jìn)制數(shù)進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果便是十進(jìn)制數(shù)。在轉(zhuǎn)換過(guò)程中要注意各位權(quán)的冪不要寫錯(cuò)，系數(shù)為0的那些項(xiàng)可以不寫。（2）十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成非十進(jìn)制數(shù)

轉(zhuǎn)換方法：整數(shù)部分：用“除基數(shù)取余”的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換結(jié)果為“先余為低，后余為高”；小數(shù)部分：用“乘基數(shù)取整“的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換結(jié)果為“先整為高，后整為低”。

【注意】：從二進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制，或十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制整數(shù)，都能做到完全準(zhǔn)確。但把十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換為其它進(jìn)制小數(shù)時(shí)，除少數(shù)可以完全準(zhǔn)確外，大多數(shù)存在誤差，這時(shí)就要根據(jù)精度的要求進(jìn)行“四舍五入”，請(qǐng)看下面例題。

【例7-1】把十進(jìn)制小數(shù)0.39轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制小數(shù)。①要求誤差不大于2-7；②要求誤差不大于0.2%。

解：①要求誤差不大于2-7，只需保留至小數(shù)點(diǎn)后7位，計(jì)算過(guò)程如下：

0.39×2=0.78……00.78×2=1.56……10.56×2=1.12……10.12×2=0.24……00.24×2=0.48……00.48×2=0.96……00.96×2=1.92……1因此，（0.39）10≈（0.0110001）2

②由于，，因此要求誤差不大于0.2%，只需保留至小數(shù)點(diǎn)后9位。接（1）的計(jì)算過(guò)程有：

0.92×2=1.84……10.84×2=1.68……1因此，（0.39）10≈（0.011000111）2（3）二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制、十六進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換由于1位八進(jìn)制數(shù)有0～7八個(gè)數(shù)碼，3位二進(jìn)制數(shù)正好有000～111八種組合，它們之間有以下簡(jiǎn)單的對(duì)應(yīng)關(guān)系：八進(jìn)制數(shù)01234567

二進(jìn)制數(shù)000001010011100101110111

利用這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以很方便地在八進(jìn)制數(shù)與二進(jìn)制數(shù)之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)的方法是：以小數(shù)點(diǎn)為界，將二進(jìn)制數(shù)的整數(shù)部分從低位開(kāi)始，小數(shù)部分從高位開(kāi)始，每3位分成一組，頭尾不足3位的補(bǔ)0，然后將每組3位二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為1位八進(jìn)制數(shù)。反之，將八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)時(shí)，只需將每一位八進(jìn)制數(shù)碼用相應(yīng)的3位二進(jìn)制數(shù)表示即可。同理，由于1位十六進(jìn)制數(shù)有16個(gè)代碼，而4位二進(jìn)制數(shù)正好有0000～11111十六種組合，它們之間也存在簡(jiǎn)單的對(duì)于關(guān)系。利用這種對(duì)于關(guān)系，可以很方便地在十六進(jìn)制數(shù)與二進(jìn)制數(shù)之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。轉(zhuǎn)換方法與二、八進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換類似，只是將二進(jìn)制數(shù)中3位一組改為4位一組。3.二進(jìn)制正、負(fù)數(shù)的表示法在十進(jìn)制數(shù)中，可以在數(shù)字前面加上“+”、“-”號(hào)來(lái)表示正、負(fù)數(shù)，顯然數(shù)字電路不能直接識(shí)別“+”、“-”號(hào)。因此，在數(shù)字電路中把一個(gè)數(shù)的最高位作為符號(hào)位，并用0表示“+”號(hào)，用1表示“-”號(hào)，像這樣符號(hào)也數(shù)碼化的二進(jìn)制數(shù)稱為機(jī)器數(shù)。原來(lái)帶有“+”、“-”號(hào)的數(shù)稱為真值。例如：十進(jìn)制數(shù)+67-67

二進(jìn)制數(shù)（真值）+1000011-1000011

計(jì)算機(jī)內(nèi)（機(jī)器數(shù)）0100001111000011

通常，二進(jìn)制正、負(fù)數(shù)（機(jī)器數(shù)）有3種表示方法：原碼、反碼和補(bǔ)碼。（1）原碼用首位表示數(shù)的符號(hào)，0表示正，1表示負(fù)，其它位則為數(shù)的真值的絕對(duì)值，這樣表示的數(shù)就是數(shù)的原碼。

【例7-2】求（+105）10和（-105）10的原碼。解：[（+105）10]原

=[（+1101001）2]原

=（01101001）2[（-105）10]原

=[（-1101001）2]原

=（11101001）20的原碼有兩種，即

[+0]原

=（00000000）2[-0]原=（10000000）2

原碼的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：原碼簡(jiǎn)單易懂，與真值轉(zhuǎn)換起來(lái)很方便。

不足：若是兩個(gè)異號(hào)的數(shù)相加或兩個(gè)同號(hào)的數(shù)相減就要做減法，做減法就必須判別這兩個(gè)數(shù)哪一個(gè)絕對(duì)值大，用絕對(duì)值大的數(shù)減去絕對(duì)值小的數(shù)，運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)就是絕對(duì)值大的那個(gè)數(shù)的符號(hào)，這樣操作比較麻煩，運(yùn)算的邏輯電路也較難實(shí)現(xiàn)。于是，為了將加法和減法運(yùn)算統(tǒng)一成只做加法運(yùn)算，就引入了反碼和補(bǔ)碼表示。（2）

反碼

反碼用得較少，它只是求補(bǔ)碼的一種過(guò)渡。正數(shù)的反碼與其原碼相同，負(fù)數(shù)的反碼是這樣求的：先求出該負(fù)數(shù)的原碼，然后原碼的符號(hào)位不變，其余各位按位取反，即0變1，1變0。

【例7-3】求（+65）10和（-65）10的反碼。

解：[（+65）10]原

=（01000001）2

[（-65）10]原=（11000001）2

則[（+65）10]反

=（01000001）2

[（-65）10]反

=（10111110）2

很容易驗(yàn)證：一個(gè)數(shù)反碼的反碼就是這個(gè)數(shù)本身。（3）

補(bǔ)碼正數(shù)的補(bǔ)碼與其原碼相同，負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼是它的反碼加1。

【例7-4】求（+63）10和（-63）10的補(bǔ)碼。

解：[（+63）10]原

=（00111111）2

[（+63）10]反

=（00111111）2則[（+63）10]補(bǔ)=（00111111）2[（-63）10]原

=（10111111）2

[（-63）10]反

=（11000000）2則[（-63）10]補(bǔ)=（11000001）2

同樣可以驗(yàn)證：一個(gè)數(shù)的補(bǔ)碼的補(bǔ)碼就是其原碼。

【注意】：引入了補(bǔ)碼以后，兩個(gè)數(shù)的加減法運(yùn)算就可以統(tǒng)一用加法運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)，此時(shí)兩數(shù)的符號(hào)位也當(dāng)成數(shù)值直接參加運(yùn)算，并且有這樣一個(gè)結(jié)論：兩數(shù)和的補(bǔ)碼等于兩數(shù)補(bǔ)碼的和。所以在數(shù)字系統(tǒng)中一般用補(bǔ)碼來(lái)表示帶符號(hào)的數(shù)。

【例7-5】用二進(jìn)制補(bǔ)碼運(yùn)算求出14+10、14-10、-14+10和-14-10。解：由于14+10和-14-10的絕對(duì)值為24，所以必須用有效數(shù)字為5位的二進(jìn)制數(shù)才能表示，再加上一位符號(hào)位，就得到6位的二進(jìn)制補(bǔ)碼。根據(jù)前述計(jì)算補(bǔ)碼的方法可知，+14的二進(jìn)制補(bǔ)碼應(yīng)為001110（最高位為符號(hào)位），-14的二進(jìn)制補(bǔ)碼為110010，+10的二進(jìn)制補(bǔ)碼為001010，-10的二進(jìn)制補(bǔ)碼為110110。計(jì)算結(jié)果分別為：

+14001110+14001110

+10001010

-10110110+24011000+4(1)0

00100

-14110010

-14110010

+10001010

-10110110

-4111100

-24(1)1

01000

【注意】：（1）由例6-5可以看出，若將兩個(gè)加數(shù)的符號(hào)位和來(lái)自最高有效數(shù)字位的進(jìn)位相加，得到的結(jié)果（舍棄產(chǎn)生的進(jìn)位）就是和的符號(hào)。（2）需要指出的是，在兩個(gè)同符號(hào)數(shù)相加時(shí)，它們的絕對(duì)值之和不可超過(guò)有效數(shù)字位所能表示的最大值，否則會(huì)得出錯(cuò)誤的計(jì)算結(jié)果。7.2.2碼制

一般地說(shuō)，用文字、符號(hào)或者數(shù)字表示特定事物的過(guò)程都可以稱為編碼。在數(shù)字設(shè)備中，任何數(shù)據(jù)和信息都要用二進(jìn)制代碼表示。對(duì)同一事物的編碼方案通常不止一種，不同的編碼方案稱為碼制。1.二-十進(jìn)制編碼（BCD碼）

BCD碼：二-十進(jìn)制編碼是用4位二進(jìn)制數(shù)表示1位十進(jìn)制數(shù)的編碼，簡(jiǎn)稱BCD（BinaryCodedDecimal）碼。1位十進(jìn)制數(shù)有0～9十個(gè)數(shù)碼，而4位二進(jìn)制數(shù)有16種組態(tài)，指定其中的任意10種組態(tài)來(lái)表示十進(jìn)制的10個(gè)數(shù)，因此BCD編碼方案有很多，常用的有8421碼、余3碼、2421碼、5421碼、格雷碼等，如表6-1所列。

8421BCD碼：最常用的一種BCD碼，它和自然二進(jìn)制碼的組成相似，4位的權(quán)值從高到低依次是8，4，2，1。不同的是，它只選取了4位自然二進(jìn)制碼16個(gè)組合中的前10個(gè)組合，即0000～1001，分別用來(lái)表示0～9十個(gè)十進(jìn)制數(shù)，稱為有效碼，剩下的6個(gè)組合1010～1111沒(méi)有采用，稱為無(wú)效碼。8421BCD碼與十進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換只要直接按位轉(zhuǎn)換即可。例如：（509.37）10=（010100001001.00110111）8421BCD

（011101001000.00010110）8421BCD=（748.16）10

余3碼由8421碼加3（0011）得到?；蛘哒f(shuō)是選取了4位自然二進(jìn)制碼16個(gè)組合中的中間10個(gè)，而舍棄頭、尾3個(gè)組合而形成。

2421BCD碼和5421BCD碼都是有權(quán)碼，從高位到低位的權(quán)值依次為：2，4，2，1和5，4，2，1，這兩種碼的編碼方案都不是唯一的，表12-1中給出的是其中一種方案。

2421BCD碼在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，也具有和余3碼類似的特點(diǎn)。

5421BCD碼較明顯的一個(gè)特點(diǎn)是：最高位連續(xù)5個(gè)0后又連續(xù)五個(gè)1。若計(jì)數(shù)器采用該種代碼進(jìn)行編碼，在最高位可產(chǎn)生對(duì)稱方波輸出。

表7-1幾種常見(jiàn)的BCD代碼十進(jìn)制數(shù)編碼種類8421碼余3碼2421碼5421碼格雷碼000000011000000000000100010100000100010001200100101001000100011300110110001100110010401000111010001000110501011000101110000111601101001110010010101701111010110110100100810001011111010111100910011100111111001101權(quán)值8，4，2，1

2，4，2，15，4，2，1

2.可靠性編碼

代碼在產(chǎn)生和傳輸過(guò)程中，難免發(fā)生錯(cuò)誤，為減少錯(cuò)誤發(fā)生，或者在發(fā)生錯(cuò)誤時(shí)能迅速地發(fā)現(xiàn)和糾正，在工程應(yīng)用中普遍采用了可靠性編碼。利用該技術(shù)編出的代碼叫可靠性代碼，格雷碼和奇偶校驗(yàn)碼是其中最常用的兩種。（1）格雷碼

格雷碼有多種編碼形式，但所有格雷碼都有兩個(gè)顯著的特點(diǎn)：一是相鄰性，二是循環(huán)性。相鄰性是指任意兩個(gè)相鄰的代碼間僅有1位的狀態(tài)不同；循環(huán)性是指首尾的兩個(gè)代碼也具有相鄰性。因此，格雷碼也稱循環(huán)碼。表7-2列出了典型的格雷碼與十進(jìn)制碼及二進(jìn)制碼的對(duì)應(yīng)關(guān)系。由于格雷碼具有以上特點(diǎn)，因此時(shí)序電路中采用格雷碼編碼時(shí)，能防止波形出現(xiàn)“毛刺”，并可提高工作速度。十進(jìn)制碼二進(jìn)制碼格雷碼000000000100010001200100011300110010401000110501010111601100101701110100810001100910011101101010111111101111101211001010131101101114111010011511111000表7-2典型的格雷碼（2）奇偶校驗(yàn)碼數(shù)碼在傳輸、處理過(guò)程中，難免發(fā)生一些錯(cuò)誤，即有的1錯(cuò)成0，有的0錯(cuò)成1。奇偶校驗(yàn)碼是一種能夠檢驗(yàn)出這種差錯(cuò)的可靠性編碼。奇偶校驗(yàn)碼由信息位和校驗(yàn)位兩部分組成，信息位是要傳輸?shù)脑夹畔ⅲｒ?yàn)位是根據(jù)規(guī)定算法求得并添加在信息位后的冗余位。奇偶校驗(yàn)碼分奇校驗(yàn)和偶校驗(yàn)兩種。以奇校驗(yàn)為例，校驗(yàn)位產(chǎn)生的規(guī)則是：若信息位中有奇數(shù)個(gè)1，校驗(yàn)位為0，若信息位中有偶數(shù)個(gè)1，校驗(yàn)位為1。偶校驗(yàn)正好相反。也就是說(shuō)，通過(guò)調(diào)節(jié)校驗(yàn)位的0或1使傳輸出去的代碼中1的個(gè)數(shù)恒為奇數(shù)或偶數(shù)。接收方對(duì)收到的加有校驗(yàn)位的代碼進(jìn)行校驗(yàn)。信息位和校驗(yàn)位中1的個(gè)數(shù)的奇偶性符合約定的規(guī)則，則認(rèn)為信息沒(méi)有發(fā)生差錯(cuò)，否則可以確定信息已經(jīng)出錯(cuò)。局限性：這種奇偶校驗(yàn)只能發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，但不能確定是哪一位出錯(cuò)，而且只能發(fā)現(xiàn)代碼的1位出錯(cuò)，不能發(fā)現(xiàn)2位或更多位出錯(cuò)。但由于其實(shí)現(xiàn)起來(lái)容易，信息傳送效率也高，而且由于2位或2位以上出錯(cuò)的幾率相當(dāng)小，所以奇偶校驗(yàn)碼用來(lái)檢測(cè)代碼在傳送過(guò)程中的出錯(cuò)是相當(dāng)有效的，被廣泛應(yīng)用于數(shù)字系統(tǒng)中。奇偶校驗(yàn)碼只能發(fā)現(xiàn)1位出錯(cuò)，但不能定位錯(cuò)誤，因而也就不能糾錯(cuò)。漢明校驗(yàn)碼就是一種既能發(fā)現(xiàn)又能定位錯(cuò)誤的可靠性編碼，漢明校驗(yàn)的基礎(chǔ)是奇偶校驗(yàn)，可以看成是多重的奇偶校驗(yàn)碼。3.字符碼

字符碼是對(duì)字母、符號(hào)等編碼的代碼。目前使用比較廣泛的是ASCII碼，它是美國(guó)信息交換標(biāo)準(zhǔn)碼（AmericanStandardCodeforInformationInterchange）的簡(jiǎn)稱。ASCII碼用7位二進(jìn)制數(shù)編碼，可以表示27（128個(gè)）字符，其中95個(gè)可打印字符，33個(gè)不可打印和顯示的控制字符。如表7-3所列。由表可以看出，數(shù)字和英文字母都是按順序排列的，只要知道其中一個(gè)數(shù)字或字母的ASCII碼，就可以求出其它數(shù)字或字母的ASCII碼。具體特點(diǎn)為：數(shù)字0～9的ASCII碼表示成十六進(jìn)制數(shù)為30H～39H，即任一數(shù)字字符的ASCII碼等于該數(shù)字值加上+30H；字母的ASCII瑪中，小寫字母a～z的ASCII碼表示成十六進(jìn)制數(shù)為61H～7AH，而大寫字母A～Z的ASCII碼表示成十六進(jìn)制數(shù)為41H～5AH，同一字母的大小寫其ASCII碼不同，且小寫字母的ASCII碼比大寫字母的ASCII碼大20H。為了使用更多的字符，大部分系統(tǒng)采用擴(kuò)充的ASCII碼。擴(kuò)充ASCII碼用8位二進(jìn)制數(shù)編碼。共可表示256（28=256）個(gè)符號(hào)。其中編碼范圍在00000000～01111111之間編碼所對(duì)應(yīng)的符號(hào)與標(biāo)準(zhǔn)ASCII碼相同，而10000000～11111111之間的編碼定義了另外128個(gè)圖形符號(hào)。表7-3標(biāo)準(zhǔn)ASCII編碼表

7.3.1邏輯變量與邏輯函數(shù)

1849年，英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治?布爾（GeorgeBoole）首先提出了描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法——布爾代數(shù)。因?yàn)椴紶柎鷶?shù)廣泛地用于解決開(kāi)關(guān)電路及數(shù)字邏輯電路的分析設(shè)計(jì)上，故又把布爾代數(shù)稱為開(kāi)關(guān)代數(shù)或邏輯代數(shù)。值得注意的是，邏輯代數(shù)與數(shù)學(xué)中的普通代數(shù)是不同的，盡管有些運(yùn)算在形式上是一樣的，但其含義不同，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，一定要加以區(qū)別。邏輯代數(shù)中，也用字母來(lái)表示變量，這種變量叫做邏輯變量。邏輯變量的取值只有0和1兩個(gè)，這里的0和1不再表示數(shù)量的大小，只表示兩種不同的邏輯狀態(tài)，如是和非、開(kāi)和關(guān)、高和低等。在研究事件的因果關(guān)系時(shí)，決定事件變化的因素稱為邏輯自變量，對(duì)應(yīng)事件的結(jié)果稱為邏輯因變量，也叫邏輯結(jié)果，以某種形式表示邏輯自變量與邏輯結(jié)果之間的函數(shù)關(guān)系稱為邏輯函數(shù)。例如，當(dāng)邏輯自變量A，B，C，D，……的取值確定后，邏輯因變量F的取值也就惟一確定了，則稱Y是A，B，C，D，……的邏輯函數(shù)。記作：

F=f（A，B，C，D，……）7.3邏輯代數(shù)7.3.2基本邏輯運(yùn)算1.與運(yùn)算

從電路可以總結(jié)出這樣的邏輯關(guān)系：“只有當(dāng)一件事（燈亮）的幾個(gè)條件（開(kāi)關(guān)A與B都接通）全部具備時(shí)，這件事才發(fā)生”，這種關(guān)系稱為與邏輯。這一關(guān)系可以用表7-4所示的功能來(lái)表示。圖7-1與邏輯電路

若用二值邏輯0和1來(lái)表示圖7-1（a）所示電路的邏輯關(guān)系，把開(kāi)關(guān)和燈分別用字母A、B和Y表示，并用0表示開(kāi)關(guān)斷開(kāi)和燈滅，用1表示開(kāi)關(guān)閉合和燈亮，這種用字母表示開(kāi)關(guān)和燈的過(guò)程稱為設(shè)定變量，用二進(jìn)制代碼0和1表示開(kāi)關(guān)和燈有關(guān)狀態(tài)的過(guò)程稱為狀態(tài)賦值。經(jīng)過(guò)狀態(tài)賦值得到的反映開(kāi)關(guān)狀態(tài)和電燈亮滅之間邏輯關(guān)系的表格稱為真值表。表7-4功能表表7-5與真值表

邏輯表達(dá)式：

式中“·”表示A和B的與運(yùn)算，讀作“與”，也叫作邏輯乘。在不致引起混淆的前提下，“·”可省略。圖7-1（b）所示是與運(yùn)算的圖形符號(hào)。2.或運(yùn)算

由電路可總結(jié)出另一種邏輯關(guān)系：“當(dāng)一件事情的幾個(gè)條件中只要有一個(gè)條件得到滿足，這件事就會(huì)發(fā)生”，這種邏輯關(guān)系稱為或邏輯。

圖7-2或邏輯電路

在同上的狀態(tài)賦值條件下，或運(yùn)算的邏輯表達(dá)式和真值表分別下式和表7-6所列。表7-6或真值表3.非運(yùn)算

在圖7-3（a）所示的開(kāi)關(guān)電路中，當(dāng)開(kāi)關(guān)A閉合時(shí)，燈泡Y不亮；只有當(dāng)開(kāi)關(guān)A斷開(kāi)時(shí)，燈泡Y才會(huì)亮。由此可總結(jié)出第三種邏輯關(guān)系，即“一件事情的發(fā)生是以其相反的條件為依據(jù)”。這種邏輯關(guān)系稱為非邏輯。非就是相反，就是否定。非運(yùn)算的邏輯表達(dá)式和真值表分別如式（7-3）和表7-7所列。式中字母上方的“—”表示非運(yùn)算，讀作非或反。圖6-4（b）所示是非運(yùn)算的圖形符號(hào)。

圖7-3非邏輯電路表7-7非真值表

與、或、非是邏輯代數(shù)中的3種基本運(yùn)算，實(shí)際的邏輯問(wèn)題往往比與、或、非復(fù)雜得多，不過(guò)這些復(fù)雜的邏輯運(yùn)算都可以通過(guò)3種基本的邏輯運(yùn)算組合而成。最常見(jiàn)的復(fù)合邏輯運(yùn)算有：與非運(yùn)算、或非運(yùn)算、異或運(yùn)算、同或運(yùn)算以及與或非運(yùn)算。其邏輯表達(dá)式、真值表、邏輯符號(hào)及運(yùn)算特征如表7-8所列，其中與或非門沒(méi)有相應(yīng)的國(guó)外流行符號(hào)。

用以實(shí)現(xiàn)基本邏輯運(yùn)算和復(fù)合邏輯運(yùn)算的單元電路稱為邏輯門電路，簡(jiǎn)稱門。例如，用以實(shí)現(xiàn)與邏輯運(yùn)算的電路稱為與門，此外，還有或門、非門、與非門、異或門等。各種邏輯運(yùn)算的圖形符號(hào)即為對(duì)應(yīng)門電路的圖形符號(hào)。關(guān)于門電路的知識(shí)將在本書第8章學(xué)習(xí)。7.3.3復(fù)合邏輯運(yùn)算

表7-8幾種常見(jiàn)的復(fù)合邏輯運(yùn)算【說(shuō)明兩點(diǎn)】：（1）邏輯非的運(yùn)算符號(hào)尚無(wú)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。本書中采用“-”表示非運(yùn)算，而在國(guó)內(nèi)、外的某些電子技術(shù)教材和EDA軟件中，采用A‘、～A、┐A等形式表示變量A的非運(yùn)算。（2）關(guān)于與、或、非三種基本邏輯門電路以及幾種復(fù)合邏輯門電路的圖形符號(hào)，以上給出的是國(guó)標(biāo)符號(hào)。此外，還有一種是目前國(guó)外教材和EDA軟件中使用比較多的特定邏輯符號(hào)，如圖7-4所示，在此一并給出，以便對(duì)照和學(xué)習(xí)。圖7-4邏輯運(yùn)算的另一種圖形符號(hào)1.高、低電平的概念

這里“電平”就是“電位”，單位是伏特（V）。在數(shù)字電路中，人們習(xí)慣于用高、低電平來(lái)描述電位的高低。高電平（VH）、低電平（VL）是兩種不同的狀態(tài)。它們表示的都是一定的電壓范圍，而不是一個(gè)固定不變的數(shù)值。例如，在TTL電路中，常規(guī)定高電平的額定值為3V，低電平的額定值為0.2V，而從0V～0.8V都算作低電平，從1.8V～5V都算作高電平。如果超出規(guī)定的范圍，（VH高于上限值和VL低于下限值時(shí)），則不僅會(huì)破壞電路的邏輯功能，而且還可能造成器件性能下降甚至損壞。7.3.4幾個(gè)概念2.正、負(fù)邏輯的概念

數(shù)字電路是以二進(jìn)制數(shù)碼0和1來(lái)表示輸入和輸出高、低電平的。若規(guī)定用邏輯1表示高電平，用邏輯0表示低電平，這種規(guī)定稱為正邏輯賦值，簡(jiǎn)稱正邏輯。反之，若規(guī)定用邏輯0表示高電平，用邏輯1表示低電平，這種規(guī)定稱為正負(fù)邏輯賦值，簡(jiǎn)稱負(fù)邏輯。前面討論各種邏輯運(yùn)算時(shí)，都采用的是正邏輯。

例如，假定某邏輯門電路的輸入、輸出電平關(guān)系如表7-10所列。按正邏輯規(guī)定可得到表7-11所列真值表，由真值表可知，該電路是一個(gè)與門。按負(fù)邏輯規(guī)定可得到表7-12所列真值表，由真值表可知，該電路是一個(gè)或門。

【結(jié)論】：正邏輯與門等價(jià)于負(fù)邏輯或門。同理，正邏輯的或門等價(jià)于副邏輯的與門；正邏輯的與非門等價(jià)于負(fù)邏輯的或非門；正邏輯的或非門等價(jià)于負(fù)邏輯的與非門。但是對(duì)于非門電路來(lái)說(shuō)，不管是正邏輯還是負(fù)邏輯，其邏輯功能不變。表7-10輸入、輸出電平關(guān)系表7-11正邏輯真值表表7-12負(fù)邏輯真值表

一個(gè)邏輯函數(shù)可以采用真值表、邏輯表達(dá)式、邏輯圖、波形圖和卡諾圖5種表示形式。雖然各種表示形式具有不同的特點(diǎn)，但它們都能表示出輸出變量與輸入變量之間的邏輯關(guān)系，并且可以相互轉(zhuǎn)換。7.4邏輯函數(shù)的表示方法及其相互轉(zhuǎn)換

7.4.1真值表

真值表也叫邏輯真值表，它是將輸入、輸出變量之間各種取值的邏輯關(guān)系經(jīng)過(guò)狀態(tài)賦值后用0、1兩個(gè)數(shù)字符號(hào)列成的表格。在圖7-5所示的電燈控制電路中，若設(shè)開(kāi)關(guān)A、B接到S1用1表示、接到S0用0表示，電燈亮用1表示、不亮用0表示，可以得到反映開(kāi)關(guān)A、B和電燈Y狀態(tài)關(guān)系的真值表，如表7-13所列。

圖7-5電燈控制電路表7-13電燈控制電路真值表

真值表法表示邏輯函數(shù)的特點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：能夠直觀明了地反映出輸入變量與輸出變量之間的取值對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且當(dāng)把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題抽象為邏輯問(wèn)題時(shí)，使用真值表最為方便，所以在數(shù)字電路的邏輯設(shè)計(jì)中，首先就是根據(jù)要求列出真值表。

缺點(diǎn)：不能進(jìn)行運(yùn)算，而且當(dāng)變量比較多時(shí)，真值表就會(huì)變得比較復(fù)雜。一個(gè)確定的邏輯函數(shù)，只有一個(gè)真值表，因此真值表具有唯一性。

邏輯表達(dá)式是用與、或、非3種基本運(yùn)算組合而成的表示邏輯關(guān)系的一種數(shù)學(xué)表示形式。

1.標(biāo)準(zhǔn)與或式

由真值表寫邏輯表達(dá)式的方法：在真值表中，找出那些使函數(shù)值為1的變量取值組合，在變量取值組合中，變量值為1的寫成原變量（字母上無(wú)非號(hào)的變量），為0寫成反變量（字母上帶非號(hào)的變量），這樣對(duì)應(yīng)于使函數(shù)值為1的每一種變量取值組合，都可寫出唯一的乘積項(xiàng)（也叫與項(xiàng)）。只要將這些乘積項(xiàng)加（或）起來(lái)，即可得到函數(shù)的邏輯表達(dá)式。顯然從表7-13不難得到7.4.2邏輯表達(dá)式

這樣得到的表達(dá)式即為邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式。之所以叫做標(biāo)準(zhǔn)與或式，是因?yàn)楸磉_(dá)式中的乘積項(xiàng)具有標(biāo)準(zhǔn)的形式。這種標(biāo)準(zhǔn)的乘積項(xiàng)，我們稱之為邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)。因此，標(biāo)準(zhǔn)與或式又可稱做最小項(xiàng)之和表達(dá)式。2.最小項(xiàng)

最小項(xiàng)就是一個(gè)乘積項(xiàng)（與項(xiàng)）。一個(gè)n變量函數(shù)，最多可以有2n種不同的組合，每個(gè)組合都對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)最小項(xiàng)，因此，一個(gè)n變量函數(shù)共有2n個(gè)最小項(xiàng)。最小項(xiàng)的組成特點(diǎn)（以三變量邏輯函數(shù)為例）：

1）每個(gè)最小項(xiàng)都由三個(gè)因子組成；

2）最小項(xiàng)中，每一個(gè)變量都以原變量或反變量的形式作為一個(gè)因子出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次。

最小項(xiàng)的性質(zhì)：當(dāng)輸入變量取某一種組合時(shí)：

1）僅有1個(gè)最小項(xiàng)的值為1；

2）全體最小項(xiàng)之和恒為1；

3）任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為0。

最小項(xiàng)的編號(hào)：今后，為了敘述方便，給每個(gè)最小項(xiàng)編上號(hào)，用mi表示。、、、……分別用m0、m1、m2……m7表示。最小項(xiàng)的序號(hào)就是其對(duì)應(yīng)變量取值組合當(dāng)成二進(jìn)制數(shù)時(shí)所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。

邏輯相鄰最小項(xiàng)：通常，對(duì)于兩個(gè)最小項(xiàng)，若它們只有1個(gè)因子不同，則稱其為邏輯相鄰的最小項(xiàng)，簡(jiǎn)稱邏輯相鄰項(xiàng)。如

和

是邏輯相鄰項(xiàng)，

和ABC也是邏輯相鄰項(xiàng)。兩個(gè)邏輯相鄰項(xiàng)可以合并成1項(xiàng)，并且消去1個(gè)因子。例如，

+

=B。這一特性正是卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的依據(jù)。

【注意】：任一邏輯函數(shù)，都能化成唯一的最小項(xiàng)之和形式（標(biāo)準(zhǔn)與或式）。方法是：首先將給定的邏輯函數(shù)式化為若干乘積項(xiàng)之和的與或形式，然后再利用基本公式，將每個(gè)乘積項(xiàng)中缺少的因子補(bǔ)全，這樣就可以講與或的形式化為最小項(xiàng)之和的標(biāo)準(zhǔn)形式。這種標(biāo)準(zhǔn)形式在邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)以及計(jì)算機(jī)輔助分析和設(shè)計(jì)中得到了廣泛的應(yīng)用。

【例7-6】寫出函數(shù)的最小項(xiàng)之和形式（標(biāo)準(zhǔn)與或式）。解：邏輯表達(dá)式的特點(diǎn)：（1）優(yōu)點(diǎn)：書寫方便，形式簡(jiǎn)潔，不會(huì)因?yàn)樽兞繑?shù)目的增多而變得復(fù)雜；便于運(yùn)算和演變，也便于用相應(yīng)的邏輯符號(hào)來(lái)實(shí)現(xiàn)。（2）缺點(diǎn)：在反映輸入變量與輸出變量的取值對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)不夠直觀。3.最大項(xiàng)

在n變量邏輯函數(shù)中，若M為n個(gè)變量之和，而且這n個(gè)變量均以原變量或反變量的形式在M中出現(xiàn)一次，則稱M為該組變量的最大項(xiàng)。

例如，對(duì)于三變量函數(shù)，其最大項(xiàng)有、……、共8個(gè)。

可見(jiàn)，一個(gè)n變量的邏輯函數(shù)，共有2n個(gè)最大項(xiàng)，其數(shù)目與最小項(xiàng)是相等的。今后，為了敘述方便，給每個(gè)最大項(xiàng)編上號(hào)，用Mi表示。例如最大項(xiàng)可記作M5。

根據(jù)最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的定義乃至性質(zhì)不難發(fā)現(xiàn)，最大項(xiàng)和最小項(xiàng)之間存在關(guān)系。任一邏輯函數(shù)同樣可以化成唯一的最大項(xiàng)之積形式（即標(biāo)準(zhǔn)或與式）。方法是：首先把函數(shù)式化成若干多項(xiàng)式相乘的或與形式（亦稱“和之積”形式）。然后利用基本公式將每個(gè)多項(xiàng)式中缺少的變量補(bǔ)齊，就可以將函數(shù)式的或與形式化成最大項(xiàng)之積的形式了。邏輯表達(dá)式表示邏輯函數(shù)的特點(diǎn)是：書寫方便，形式簡(jiǎn)潔，不會(huì)因?yàn)樽兞繑?shù)目的增多而變得復(fù)雜；便于運(yùn)算和演變，也便于用相應(yīng)的邏輯符號(hào)來(lái)實(shí)現(xiàn)。不足之處是，在反映輸入變量與輸出變量的取值對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)不夠直觀。

邏輯圖是用圖形符號(hào)表示邏輯關(guān)系的圖形表示方法。與表達(dá)式對(duì)應(yīng)的邏輯圖如下圖所示。邏輯圖的優(yōu)點(diǎn)比較突出。邏輯圖中的圖形符號(hào)和實(shí)際使用的電路器件有著明顯的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以它比較接近于工程實(shí)際。在工作中，要了解某個(gè)數(shù)字系統(tǒng)或者數(shù)控裝置的邏輯功能時(shí)，都要用到邏輯圖，因?yàn)樗梢园言S多繁雜的實(shí)際電路的邏輯功能層次分明地表示出來(lái)。在制作數(shù)字設(shè)備時(shí)，首先也要通過(guò)邏輯設(shè)計(jì)畫出邏輯圖，再把邏輯圖變成實(shí)際電路。

7.4.3邏輯圖圖7-6邏輯圖

波形圖也叫時(shí)序圖，它是由輸入變量的所有可能取值組合的高、低電平及其對(duì)應(yīng)的輸出變量的高、低電平所構(gòu)成的圖形。它是用變量隨時(shí)間變化的波形來(lái)反映輸入、輸出間對(duì)應(yīng)關(guān)系的一種圖形表示法。畫波形圖時(shí)要特別注意，橫坐標(biāo)是時(shí)間軸，縱坐標(biāo)是變量取值（高、低電平或二進(jìn)制代碼1和0），由于時(shí)間軸相同，變量取值又十分簡(jiǎn)單，所以在波形圖中可略去坐標(biāo)軸。具體畫波形時(shí)，還要注意務(wù)必將輸出與輸入變量的波形在時(shí)間上對(duì)應(yīng)起來(lái)，以體現(xiàn)輸出決定于輸入。根據(jù)表7-13和給定的A、B波形對(duì)應(yīng)畫出Y的波形如圖7-7所示。

7.4.4波形圖圖7-7波形圖

卡諾圖是一種最小項(xiàng)方格圖，每一個(gè)小方格對(duì)應(yīng)一個(gè)最小項(xiàng)，n變量邏輯函數(shù)有2n個(gè)最小項(xiàng)，因此n變量卡諾圖中共有2n個(gè)小方格。

小方格排列要求：小方格在排列時(shí)，應(yīng)保證幾何位置相鄰的小方格，在邏輯上也相鄰。所謂幾何相鄰，是指空間位置上的相鄰，包括緊挨著的，以及相對(duì)的（卡諾圖中某一行或某一列的兩頭）。7.4.5卡諾圖

（1）寫方格編號(hào)時(shí)，以行變量為高位組，列變量為低位組（當(dāng)然也可用相反的約定）。例如圖7-8（b）中，AB=10，CD=01的方格對(duì)應(yīng)編號(hào)為m9（1001=9）的最小項(xiàng)，那么就可以在對(duì)應(yīng)的方格中填上m9，或只簡(jiǎn)單地填上序號(hào)9。（2）行、列變量取值順序要按按循環(huán)碼排列，例如圖7-8（b）中AB和CD都是按00，01，11，10的順序排列的。這樣可以保證幾何相鄰的最小項(xiàng)必定也是邏輯相鄰的最小項(xiàng)。循環(huán)碼可由二進(jìn)制數(shù)碼推導(dǎo)出來(lái)。若設(shè)B3B2B1B0是一組4位二進(jìn)制數(shù)碼，則對(duì)應(yīng)的4位循環(huán)碼G3G2G1G0可用公式Gi=Bi+1Bi求出。（3）用卡諾圖表示邏輯函數(shù)根據(jù)邏輯函數(shù)最小項(xiàng)表達(dá)式畫卡諾圖時(shí)，式中有哪些最小項(xiàng)，就在相應(yīng)的方格中填1，而其余的方格填0（0也可以省略不填）。若不是最小項(xiàng)之和形式，可先化成最小項(xiàng)之和形式。規(guī)定：圖7-8變量卡諾圖

1.常量之間的關(guān)系

0·0=0

1+1=10·1=0

1+0=11·1=1

0+0=0=1=0

2.變量和常量的關(guān)系

A·1=AA+0=A

A·0=0A+1=1

=0=1

7.5.1基本公式7.5邏輯函數(shù)的基本公式、定律和規(guī)則

7.5.2基本定律（1）交換律

A+B=B+A

A·B=B·A（2）結(jié)合律(A+B)+C=A+(B+C) (A·B)·C=A·(B·C)（3）分配律A+BC=(A+B)(A+C) A·(B+C)=A·B+A·C（4）同一律A+A=A

A·A=A（5）反演律（又稱摩根定律）（6）還原律

7.5.3常用公式

7.5.4有關(guān)異或運(yùn)算的一些公式1.代入規(guī)則任何一個(gè)邏輯等式，若以同一邏輯函數(shù)代替等式中的某一變量，則該等式仍成立，稱此為代入規(guī)則。例如，已知，若用Y=BC代替式中的B，則。依此類推，+…，此即多個(gè)變量的反演律?？梢?jiàn)，代入規(guī)則可以擴(kuò)大公式的使用范圍。2.反演規(guī)則對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，若將式中的“·”和“+”互換、“0”和“1”互換、“原變量”和“反變量”互換，這樣得到的邏輯函數(shù)就是原函數(shù)的反函數(shù)，稱這一規(guī)則為反演規(guī)則。運(yùn)用反演規(guī)則可以直接求得一個(gè)函數(shù)Y的反函數(shù)。

【注意】：運(yùn)用反演規(guī)則求反函數(shù)時(shí)，不是一個(gè)變量上的反號(hào)應(yīng)保持不變；而且要特別注意運(yùn)算符號(hào)的優(yōu)先順序——先算括號(hào)，再算乘積，最后算加。

7.5.5基本規(guī)則

【例7-8】求下列邏輯函數(shù)的反函數(shù)。（1）（2）

解：利用反演規(guī)則，求得各函數(shù)的反函數(shù)為：（1）（2）3.對(duì)偶規(guī)則

若兩邏輯式相等，則它們的對(duì)偶式也相等，這就是對(duì)偶規(guī)則。所謂對(duì)偶式的定義是：對(duì)于任何一個(gè)邏輯式Y(jié)，若將其中所有的“·”換成“+”，“+”換成“·”，0換成1，1換成0，則得到一個(gè)新的邏輯式Y(jié)/，這個(gè)就稱為Y的對(duì)偶式，或者說(shuō)Y和Y/互為對(duì)偶式。對(duì)偶規(guī)則的意義在于：如果兩個(gè)函數(shù)式相等，則它們的對(duì)偶式也相等。前面介紹的基本公式和定律中，左右兩列等式之間的關(guān)系即是利用了對(duì)偶規(guī)則。顯然，利用對(duì)偶規(guī)則，可以使要證明的公式數(shù)目減少一半。運(yùn)用對(duì)偶規(guī)則時(shí)，同樣要注意反演規(guī)則中提到的兩點(diǎn)注意事項(xiàng)。

【例7-9】求下列邏輯函數(shù)的對(duì)偶式。

（1）（2）

解：利用對(duì)偶規(guī)則，求得各函數(shù)的對(duì)偶式為

（1）（2）1.“最簡(jiǎn)”的概念以與或表達(dá)式為例，所謂最簡(jiǎn)與或表達(dá)式，必須同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：

（1）與項(xiàng)（乘積項(xiàng)）的個(gè)數(shù)最少，這樣可以保證所需門電路數(shù)目最少；（2）在與項(xiàng)個(gè)數(shù)最少的前提下，每個(gè)與項(xiàng)中包含的因子數(shù)最少，這樣可以保證每個(gè)門電路輸入端的個(gè)數(shù)最少。2.最簡(jiǎn)表達(dá)式的幾種形式

一個(gè)邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)表達(dá)式，常按照式中變量之間運(yùn)算關(guān)系的不同，分成最簡(jiǎn)與或式、最簡(jiǎn)與非-與非式、最簡(jiǎn)或與式、最簡(jiǎn)或非-或非式、最簡(jiǎn)與或非式。例如，某個(gè)邏輯函數(shù)Y，其最簡(jiǎn)表達(dá)式可表示成如下5種形式：

7.6.1“最簡(jiǎn)”的概念及最簡(jiǎn)表達(dá)式的幾種形式7.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)（1）與或表達(dá)式：（2）與非—與非式：

（3）或與表達(dá)式：（4）或非—或非表達(dá)式：（5）與或非表達(dá)式：

【提示】：不同的表達(dá)式將用不同的門電路來(lái)實(shí)現(xiàn)，而且各種表達(dá)形式之間可以相互轉(zhuǎn)換。應(yīng)當(dāng)指出，最簡(jiǎn)與或表達(dá)式是最基本的表達(dá)形式，由最簡(jiǎn)與或表達(dá)式可以轉(zhuǎn)換成其它各種形式。

【例7-10】已知，求其最簡(jiǎn)與非—與非表達(dá)式。

解：由與或式轉(zhuǎn)換成與非—與非式，通常采用兩次求反的方法。

【例7-11】：已知，求其最簡(jiǎn)或與表達(dá)式。

解：求最簡(jiǎn)或與式的方法前面已經(jīng)介紹過(guò)。即在反函數(shù)最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的基礎(chǔ)上取反，再用反演律去掉反號(hào)，便可得到函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。由于Y的反函數(shù)：于是可得：

【例7-12】：已知，求其最簡(jiǎn)或非-或非表達(dá)式。

解：在最簡(jiǎn)或與式的基礎(chǔ)上，兩次取反，再用反演律去掉下面的非號(hào)，所得到的便是函數(shù)的最簡(jiǎn)或非-或非表達(dá)式。

【例7-13】：已知，求其最簡(jiǎn)與或非表達(dá)式。

解：在最簡(jiǎn)或非-或非式的基礎(chǔ)上，利用反演律，即可得到最簡(jiǎn)與或非表達(dá)式。

【結(jié)論】：從以上幾個(gè)例子不難看出，只要有了函數(shù)的最簡(jiǎn)與或式，再用反演律進(jìn)行適當(dāng)變換，就可以得到其它幾種形式的最簡(jiǎn)式。

邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法，是應(yīng)用邏輯代數(shù)的公式、定律，對(duì)邏輯函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算和變換，以求得邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)形式。常用的方法有：

1.并項(xiàng)法根據(jù)可以把兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，保留相同因子，消去互為相反的因子。

2.吸收法根據(jù)A+AB=A可將AB項(xiàng)消去。A和B可代表任何復(fù)雜的邏輯式。

3.消項(xiàng)法

根據(jù)可將BC項(xiàng)消去。A、B和C可代表任何復(fù)雜的邏輯式。7.6.2邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法4.消因子法

根據(jù)可將中的因子消去。A和B可代表任何復(fù)雜的邏輯式。

5.配項(xiàng)法

根據(jù)A+A+…+A=A可以在邏輯函數(shù)式中重復(fù)寫入某一項(xiàng)，以獲得更加簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)結(jié)果?！纠?-14】用公式法化簡(jiǎn)下列邏輯函數(shù)。（1）（2）

（3）

【補(bǔ)充例題】化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

【注意】：用公式法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)，需要對(duì)邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式比較熟悉，它沒(méi)有固定的規(guī)律，適于化簡(jiǎn)變量比較多的邏輯函數(shù)。1.卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的理論依據(jù)

由于卡諾圖中幾何位置相鄰的最小項(xiàng)也具有邏輯相鄰性，而邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的實(shí)質(zhì)就是合并邏輯相鄰的最小項(xiàng)，因此，直接在卡諾圖中合并幾何相鄰的最小項(xiàng)即可。

合并邏輯相鄰項(xiàng)的方法：將所有幾何相鄰的最小項(xiàng)圈在一起進(jìn)行合并。下圖分別畫出了兩個(gè)最小項(xiàng)、4個(gè)最小項(xiàng)、8個(gè)最小項(xiàng)合并成一項(xiàng)的情況。7.6.3邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法

圖（1）合并2個(gè)邏輯相鄰最小項(xiàng)舉例

圖（2）合并4個(gè)邏輯相鄰最小項(xiàng)舉例

圖（3）合并8個(gè)邏輯相鄰最小項(xiàng)舉例2.卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的一般步驟（1）畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖畫邏輯函數(shù)的卡諾圖就是在卡諾圖中將函數(shù)所包含的最小項(xiàng)方格內(nèi)填1，其余方格填0（0也可不填）；（2）合并幾何相鄰的最小項(xiàng)實(shí)際上是將幾何相鄰的填有1的方格（簡(jiǎn)稱“1格”）圈在一起進(jìn)行合并，合并的結(jié)果是一個(gè)與項(xiàng)，該與項(xiàng)中的所包含變量是被合并的所有“1格”中取值相同的變量，未包含的變量是“1格”中取值不同的變量。每圈一個(gè)圈，就得到一個(gè)與項(xiàng)；（3）將所有的與項(xiàng)相加，即可得到函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式

【提示】：以上三步中，第一步是基礎(chǔ)，第二步是難點(diǎn)，為了正確化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)，圈出幾何相鄰的“1格”最關(guān)鍵。3.圈“1格”的注意事項(xiàng)

（1）每個(gè)圈中只能包含2n個(gè)“1格”，并且可消掉n個(gè)變量，被合并的“1格”應(yīng)該排成正方或矩形；（2）圈的個(gè)數(shù)應(yīng)盡量少，圈越少，與項(xiàng)越少；（3）圈應(yīng)盡量大，圈越大，消去的變量越多；（4）有些“1格”可以多次被圈，但每個(gè)圈中應(yīng)至少有一個(gè)“1格”只被圈過(guò)一次；（5）要保證所有“1格”全部圈完，無(wú)幾何相鄰項(xiàng)的“1格”，獨(dú)立構(gòu)成一個(gè)圈；（6）圈“1格”的方法不止一種，因此化簡(jiǎn)的結(jié)果也就不同，但它們之間可以轉(zhuǎn)換。

【注意】：卡諾圖中4個(gè)角上的最小項(xiàng)也是幾何相鄰最小項(xiàng)，可以圈在一起合并。

【例7-15】利用卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù)Y=∑m（1，4，5，6，8，12，13，15）。解：化簡(jiǎn)結(jié)果為

【例7-16】利用卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù)

解：化簡(jiǎn)結(jié)果為:

【例7-17】函數(shù)Y=AB+BC+CA，用卡諾圖求出的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。解：①畫出Y的卡諾圖，如下圖所示。②合并“0格”。③寫出的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式

【注意】：與公式化簡(jiǎn)法相比，卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)具有直觀、簡(jiǎn)便、易于掌握化簡(jiǎn)結(jié)果的準(zhǔn)確程度等優(yōu)點(diǎn)，因而廣泛應(yīng)用于數(shù)字電路的分析和設(shè)計(jì)過(guò)程中。

1.約束項(xiàng)、任意項(xiàng)和邏輯函數(shù)中的無(wú)關(guān)項(xiàng)在分析某些邏輯函數(shù)時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到輸入變量的取值不是任意的。對(duì)輸入變量的取值所加的限制稱為約束，把這一組變量稱為具有約束的一組變量。例如，有三個(gè)變量A、B、C，它們分別表示一臺(tái)電動(dòng)機(jī)的正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)和停止命令，A=1表示正轉(zhuǎn)，B=1表示反轉(zhuǎn)，C=1表示停止。因?yàn)殡姍C(jī)任何時(shí)候只能執(zhí)行其中的一個(gè)命令，所以不允許兩個(gè)或兩個(gè)以上的變量同時(shí)為1。A、B、C的取值可能是001、010、100當(dāng)中的某一種，而不能是000、011、101、110、111中的任何一種。因此，A、B、C是一組具有約束的變量。

7.6.4具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)

約束項(xiàng)：邏輯函數(shù)中不會(huì)出現(xiàn)的變量取值組合所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)稱為約束項(xiàng)。

任意項(xiàng)：有些邏輯函數(shù)，當(dāng)變量取某些組合時(shí)，函數(shù)的值可以任意，即可以為0，也可以為1，這樣的變量取值組合所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)稱為任意項(xiàng)。無(wú)關(guān)項(xiàng)：把約束項(xiàng)和任意項(xiàng)統(tǒng)稱為邏輯函數(shù)的無(wú)關(guān)項(xiàng)。由最小項(xiàng)的性質(zhì)知道，只有對(duì)應(yīng)變量取值出現(xiàn)時(shí)，最小項(xiàng)的值才會(huì)為1。而約束項(xiàng)對(duì)應(yīng)的是不會(huì)出現(xiàn)的變量取值，任意項(xiàng)對(duì)應(yīng)的取值一般也不會(huì)出現(xiàn)，所以無(wú)關(guān)項(xiàng)的值總等于0。

約束條件：由無(wú)關(guān)項(xiàng)加起來(lái)所構(gòu)成的值為0的邏輯表達(dá)式稱為約束條件。因?yàn)闊o(wú)關(guān)項(xiàng)的值恒為0，而無(wú)論多少個(gè)0加起來(lái)還是0，所以約束條件是一個(gè)值恒為0的條件等式。上例中的約束條件可表示為

2.無(wú)關(guān)項(xiàng)在化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)中的應(yīng)用

在真值表和卡諾圖中，無(wú)關(guān)項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值往往用符號(hào)“×”表示。在邏輯表達(dá)式中，通常用字母d表示無(wú)關(guān)項(xiàng)。

化簡(jiǎn)具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)時(shí)，如果能合理地利用這些無(wú)關(guān)項(xiàng)，一般都可以得到更加簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)結(jié)果。具體做法是：(1)在公式法化簡(jiǎn)中，可以根據(jù)化簡(jiǎn)的需要加上或去掉約束條件。因?yàn)樵谶壿嫳磉_(dá)式中，加上或去掉0，函數(shù)是不會(huì)受影響的。(2)在卡諾圖化簡(jiǎn)法中，可以根據(jù)化簡(jiǎn)的需要包含或去掉無(wú)關(guān)項(xiàng)。因?yàn)楹喜⒆钚№?xiàng)時(shí)，如果圈中包含了約束項(xiàng)，則相當(dāng)于在相應(yīng)的乘積項(xiàng)上加上了該約束項(xiàng)，而約束項(xiàng)的值恒為0，顯然函數(shù)不會(huì)受影響。

【例7-18】用卡諾圖法將下列具有約束的邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)與或式。（1）

（2）Y2(A，B，C，D)=∑m(2，3，4，7，12，13，14)+∑d(5，6，8，9，10，11)

解：畫出Y1和Y2

的卡諾圖，如下圖（a）和（b）所示?？傻茫罕菊滦〗Y(jié)1.數(shù)字電路研究的主要問(wèn)題是輸入變量與輸出函數(shù)間的邏輯關(guān)系，它的工作信號(hào)在時(shí)間和數(shù)值上是離散的，用二值量0、1表示。2.二進(jìn)制是數(shù)字電路的基本計(jì)數(shù)體制；十六進(jìn)制數(shù)有16個(gè)數(shù)字符號(hào)，4位二進(jìn)制數(shù)可表示1位十六進(jìn)制數(shù)。常用的碼制為8421BCD碼。3.邏輯代數(shù)有3種基本的邏輯運(yùn)算（關(guān)系）——與、或、非，由它們可組合或演變成幾種復(fù)合邏輯運(yùn)算——與非、或非、異或、同或和與或非等。4.邏輯函數(shù)有5種常用的表示方法——真值表、邏輯表達(dá)式、邏輯圖、波形圖、卡諾圖。它們雖然各具特點(diǎn)，但都能表示輸出函數(shù)與輸入變量之間的取值對(duì)應(yīng)關(guān)系。5種表示方法可以相互轉(zhuǎn)換，其轉(zhuǎn)換方法是分析和設(shè)計(jì)數(shù)字電路的必要工具，在實(shí)際中可根據(jù)需要選用。5.邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)是分析、設(shè)計(jì)數(shù)字電路的重要環(huán)節(jié)。實(shí)現(xiàn)同樣的功能，電路越簡(jiǎn)單，成本就越低，且工作越可靠?；?jiǎn)邏輯函數(shù)有兩種方法，公式法和卡諾圖法各有所長(zhǎng)，又各有不足，應(yīng)熟練掌握。6.在實(shí)際邏輯問(wèn)題中，輸入變量之間常存在一定的制約關(guān)系，稱為約束；把表明約束關(guān)系的等式稱為約束條件。在邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)中，充分利用約束條件可使邏輯表達(dá)式更加簡(jiǎn)化。第8章邏輯門電路8.1半導(dǎo)體器件的開(kāi)關(guān)特性8.2分立元件門電路8.3

集成門電路

門電路及其分類：用以實(shí)現(xiàn)基本邏輯運(yùn)算的電子電路稱為門電路。與第1章所講的基本邏輯運(yùn)算和復(fù)合邏輯運(yùn)算相對(duì)應(yīng)，常用的門電路在邏輯功能上有與門、或門、非門、與非門、或非門、異或門、同或門、與或非門等。門電路分為：分立元件門電路和集成門電路。集成門電路又分為：集成TTL門電路和集成MOS門電路。

構(gòu)成門電路的主要元器件：是各種半導(dǎo)體元件器，如二極管、三極管和場(chǎng)效應(yīng)管。且它們均工作在開(kāi)、關(guān)狀態(tài)，用以實(shí)現(xiàn)門電路輸出高、低兩種電平。因此稱其為“電子開(kāi)關(guān)”。理想情況下，開(kāi)關(guān)狀態(tài)的轉(zhuǎn)換是瞬間完成的，但實(shí)際中這種理想開(kāi)關(guān)是不存在的。（1）二極管正偏時(shí)導(dǎo)通，等效成0.7V的電壓源，其等效電路如圖8-1（a）所示。（注意：理想情況下，二極管正偏時(shí)可看成短路，相當(dāng)于開(kāi)關(guān)閉合）。（2）二極管反偏時(shí)截止，此時(shí)二極管相當(dāng)于開(kāi)關(guān)斷開(kāi)，其等效電路如圖7-1（d）所示。8.1半導(dǎo)體器件的開(kāi)關(guān)特性

8.1.1半導(dǎo)體二極管的開(kāi)關(guān)特性圖8-1二極管的開(kāi)關(guān)特性

（1）當(dāng)工作在截止?fàn)顟B(tài)時(shí)，發(fā)射結(jié)反偏，集電結(jié)也反偏，此時(shí)c-e間相當(dāng)于開(kāi)關(guān)斷開(kāi)。三極管截止時(shí)的等效電路如圖8-2（a）所示，三個(gè)電極如同斷開(kāi)的開(kāi)關(guān)。（2）當(dāng)工作在飽和狀態(tài)時(shí)，發(fā)射結(jié)正偏偏，集電結(jié)也正偏，三極管c-e間相當(dāng)于一個(gè)閉合開(kāi)關(guān)。

等效電路如圖8-2（b）所示。

8.1.2半導(dǎo)體三極管的開(kāi)關(guān)特性圖8-2三極管及其開(kāi)關(guān)等效電路

【例8-1】在如圖7-2（a）所示電路中，已知Rc=1kΩ，Rb=10kΩ，VCC=5V，β?=50，三極管發(fā)射結(jié)的開(kāi)啟電壓UON=0.5V，飽和時(shí)的uBE=0.7V，UCES=0.3V。分別求當(dāng)輸入電壓ui=0.3V、1V、3V時(shí)的輸出電壓uo，并判斷三極管的工作狀態(tài)。

解：（1）當(dāng)ui=0.3V時(shí)，因?yàn)閡BE＜UON=0.5V，所以三極管發(fā)射結(jié)截止，基極電流iB0，三極管工作在截止?fàn)顟B(tài)，集電極電流iC0，故輸出電壓uo=VCC-iCRc=5V。（2）當(dāng)ui=1V時(shí)，三極管發(fā)射結(jié)正偏導(dǎo)通，基極電流三極管臨界飽和時(shí)的基極電流

顯然0＜iB＜IBS，所以三極管工作在放大狀態(tài)。此時(shí)，iC=βiB=1.5mA，輸出電壓uo=uCE=VCC-iCRc=3.5V。（3）當(dāng)ui=3V時(shí)，三極管導(dǎo)通，基極電流三極管臨界飽和時(shí)的基極電流

顯然iB＞IBS，所以三極管工作在飽和狀態(tài)。此時(shí)輸出電壓uo=UCES=0.3V。

8.1.3MOS管的開(kāi)關(guān)特性圖8-3MOS管開(kāi)關(guān)電路

圖8-4NMOS管的開(kāi)關(guān)等效電路

與門是實(shí)現(xiàn)與邏輯功能的電路，它有多個(gè)輸入端和一個(gè)輸出端。由二極管構(gòu)成的與門電路如圖8-5（a）所示，uA、uB為輸入電壓信號(hào)，uY為輸出電壓信號(hào)；圖8-5（b）為與門的邏輯符號(hào)，其中A、B為輸入變量，Y為輸出變量。8.2分立元件門電路

8.2.1二極管與門

圖8-5二極管與門表8-1與門電壓關(guān)系表表8-2與門真值表

或門是實(shí)現(xiàn)或邏輯功能的電路，它也有多個(gè)輸入端和一個(gè)輸出端。由二極管構(gòu)成的或門電路如圖8-6（a）所示，uA、uB為輸入電壓信號(hào)，uY為輸出電壓信號(hào)，其輸入信號(hào)的高、低電平仍取5V和0V，圖8-6（