第2課時(shí) 勾股定理的逆定理的應(yīng)用

勾股定理的逆定理的應(yīng)用R·八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)命題1

如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為

a，b，斜邊長(zhǎng)為

c，那么

a2+b2=c2．命題2

如果三角形

ABC的三邊長(zhǎng)

a，b，c滿足

a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．復(fù)習(xí)回顧利用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)

例2如圖，某港口

P

位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16

nmile，“海天”號(hào)每小時(shí)航行

12

nmile.它們離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)后分別位于點(diǎn)

Q、R

處，且相距

30

nmile.

如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？12NEP

QR【思考】1.已知哪些條件？2.需要解決的問(wèn)題是什么？速度已知時(shí)間已知距離已知其中一艘船的航向已知求另一艘船的航向12NEP

QR【分析】通過(guò)已知條件可以求出：PQPRQR∠1利用勾股定理的逆定理判斷∠RPQ是否為直角從而確定∠2的度數(shù)12NEP

QR解：根據(jù)題意，PQ

=

16×1.5

=

24，PR

=

12×1.5

=

18，QR

=

30.因?yàn)?/p>

242

+

182

=

302，即PQ2

+

PR2

=

QR2，所以∠QPR

=

90°.∠1

=

45°.因此∠2

=

45°，即“海天”號(hào)沿西北方向航行.

如圖，在四邊形

ABCD

中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°.求四邊形ABCD

的面積.解：如圖，連接

AC.∵∠B=90°，AB=20，BC

=15，∴AC2=AB2+BC2=202+152=625.∵AD2+CD2=242+72=625，∴AC2=AD2+CD2，∴△ADC

是直角三角形，且∠D

是直角.∴S四邊形ABCD

=S△ABC

+S△ADC=AB·BC+AD·CD

=×20×15+×24×7=234.ABCD轉(zhuǎn)化思想練習(xí)1.如果三條線段長(zhǎng)

a，b，c

滿足

a2=c2-b2，這三條線段

組成的三角形是不是直角三角形？為什么？解:

這三條線段組成的三角形是直角三角形.∵a2

=

c2-b2，∴a2

+

b2=

c2，由勾股定理的逆定理知這個(gè)三角形是直角三角形.2.說(shuō)出下列命題的逆命題.這些逆命題成立嗎？

（1）兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；

（2）如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等；其逆命題為“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”；這個(gè)命題成立.其逆命題為“如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等”；這個(gè)命題不成立.如|-3|=|3|，但-3≠3.

（3）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；

（4）在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平

分線上.其逆命題為“對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形全等”；這個(gè)命題不成立.其逆命題為“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”；這個(gè)命題成立.3.A，B，C

三地的兩兩距離如圖所示，A

地在

B

地

的正東方向，C

地在

B

地的什么方向？解：由圖知：△ABC中，AB=12，BC=5，AC=13.∵AB2+BC2=122+52=144+25=169，∴AB2+BC2=AC2，由勾股定理的逆定理得△ABC為直角三角形，且∠B=90°.∵A

地在

B

地的正東方向，∴C

地在

B

地的正北方向.復(fù)習(xí)鞏固1.判斷由線段

a，b，c

組成的三角形是不是直角三角形：

（1）a=7，b=24，c=25；∵a2+b2=72+242=49+576=625，c2=252=625，∴a2+b2=c2.由勾股定理的逆定理知這個(gè)三角形是直角三角形.習(xí)題（2）a=，b=4，c=5；∵b2+c2=42+52=16+24=41，a2=()2=41，∴b2+c2=a2.由勾股定理的逆定理知這個(gè)三角形是直角三角形.（3）a=，b=1，c=；∵b2+c2=12+()2=1+=，a2=()2=，∴b2+c2=a2.由勾股定理的逆定理知這個(gè)三角形是直角三角形.（4）a=40，b=50，c=60；∵a2+b2=402+502=1600+2500=4100，c2=602=3600，∴a2+b2≠c2.∴這個(gè)三角形不是直角三角形.2.下列各命題都成立，寫(xiě)出它們的逆命題.這些逆命題成立嗎？

（1）同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；其逆命題為“兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)”；這個(gè)命題成立.（2）如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等；其逆命題為“如果兩個(gè)角相等，那么它們都是直角”；這個(gè)命題不成立.（3）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；其逆命題為“如果兩個(gè)三角形的三組邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等”；這個(gè)命題成立.（4）如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等.其逆命題為“如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等”；這個(gè)命題不成立.3.小明向東走80m后，

沿另一方向又走了60m，再沿第三個(gè)方向走100m回到原地.小明向東走80m后是向哪個(gè)方向走的？解：小明的行走路線恰好構(gòu)成三角形.∵602+802=3600+6400=10000=1002，∴這個(gè)三角形是直角三角形.∵小明向東走80m，∴小明又向北或南走60m.綜合運(yùn)用4.在△ABC

中，AB=13，BC=10，BC邊上的中線

AD=12.求

AC.解：在△ABD中，BD=BC=5.AD=12，AB=13.∵BD2+AD2=52+122=25+144=169，AB2

=132=169，∴BD2+AD2=AB2，∴△ABD是直角三角形且∠ADB=90°.在△ADC

中，∠ADC=90°，由勾股定理得

AC2=AD2+CD2=122+52=132，∴AC=13.5.如圖，在四邊形

ABCD

中，AB=3，BC=4，CD=12，

AD=13，∠B=90°.求四邊形

ABCD

的面積.解：AB=3，BC=4，∠B=90°，∴由勾股定理得

AC2=AB2+BC2，得

AC==5.又

CD=12，AD=13，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD為直角三角形，∴S四邊形ABCD=S△ABC

+S△ACD=AB·BC+AC·CD=×3×4+×5×12=36.6.如圖，在正方形

ABCD

中，E是

BC

的中點(diǎn)，F(xiàn)

是

CD

上一點(diǎn)，且

CF=CD.求證∠AEF=90°.證明：設(shè)

CF=x，則

EC=BE=2x，DF=3x，AD=AB=4x.

由勾股定理得：EF2=EC2+FC2=5x2，AE2=AB2+BE2=20x2，AF2=AD2+DF2=25x2=25x2，∴EF2+AE2=25x2=AF2.由勾股定理的逆定理知，∠AEF=90°.拓廣探索7.我們知道3，4，5是一組勾股數(shù)，那么3k，4k，5k（k

是正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)嗎？一般地，如果

a，b，

c是一組勾股數(shù)，那么

ak，bk，ck（k是正整數(shù)）也是

一組勾股數(shù)嗎？解：3k，4k，5k

也是一組勾股數(shù).∵(3k)2+(4k)2=9k2+16k2=25k2，(5k)2=25k2，∴(3k)2+(4k)2=(5k)2.如果a，b，c是一組勾股數(shù)，那么ak，bk，ck也是一組勾股數(shù).∵a，b，c